Đề tài Sự truyền nhiệt đối lưu tự nhiên gần tấm nhiệt phẳng thẳng đứng

SỰ TRUYỀN NHIỆT ĐỐI LƯU TỰ NHIÊN GẦN TẤM NHIỆT PHẲNG THẲNG ĐỨNG Natural convection heat transfer from a vertical plate Hoàng Đức Liên1, Nguyễn Thanh Nam2, N.H.A. Kiet. SUMMARY This paper presents an application of numerical investigation to simulate natural convection heat transfer from a vertical plate. The study includes establishing mathematical model, defining boundary conditions, solving and programming on the computer with the help of Matlab software. The numerical investigation has been carried out in the case of the heated plate with temperature of the wall Tw = 800, temperature of the fluid (water) Tf = 300, the height of the plate H = 2m. The obtained results in comparision with method for theory of similarity have affirmed the reliability of the solving. The above results will be a useful reference document for studying the effect of natural convection heat transfer from a vertical plate. This is necessary to calculate in designing heat transfer equipments and study the application of the new energy sources in agriculture, industry and other fields. Key words: heat transfer, natural convection, numerical method 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Dòng đối lưu tự nhiên gần tấm nhiệt phẳng thẳng đứng là dòng chuyển động của chất lỏng do hiện tượng trao đổi nhiệt tự nhiên gây nên giữa một tấm nhiệt có bề mặt rắn tiếp xúc với môi trường chất lỏng nào đó (ví dụ như nước, dầu, không khí...). Việc tính toán dòng đối lưu tự nhiên đã được nhiều nhà khoa học nghiên cứu từ cuối thế kỷ 19, các thành quả thu được cũng rất khả quan. Từ đó nhiều lý thuyết đã được xây dựng, đặc biệt là phương pháp thực nghiệm kết hợp với cơ sở lý thuyết đồng dạng và phương pháp phân tích thứ nguyên. Với sự trợ giúp của máy tính, các phương trình vi phân đã được giải gần đúng nhanh chóng, tạo thuận lợi trong việc giải quyết các bài toán mà các phương pháp giải tích không đáp ứng được (M.Necati Ozisik, 2000; Kays, W.M. and Crawford, M.E., 1993). Dựa vào các tính chất của dòng đối lưu tự nhiên, các tác giả Nguyễn Thanh Nam, Hoàng Đức Liên, (2000) đã đưa ra hệ phương trình mô tả tính chất của trường nhiệt độ và vận tốc bên trong gần bề mặt tấm phẳng tiến dần ra xa theo hướng pháp tuyến của tấm phẳng cho đến khi nhiệt độ và vận tốc đạt được trạng thái ổn định. Để đơn giản hơn trong vấn đề khảo sát, nghiên cứu này lập mô hình số trên máy tính cho các phần tử khảo sát trong miền phẳng để giải bài toán đối lưu tự nhiên gần tấm nhiệt thẳng đứng. 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để đơn giản hơn cho vấn đề khảo sát, đồng thời không làm mất đi tính chất cơ bản của vấn đề, ta cần chú ý một vài điểm sau: - Do tính chất đối xứng của dòng đối lưu tự nhiên theo phương z và trường vận tốc theo phương z bằng 0, nên mô hình khảo sát là mô hình hai chiều. Tính chất chuyển động của dòng chất lỏng hầu như chỉ xảy ra chủ 1 Khoa Cơ điện, Đại học Nông nghiệp I 2 Khoa Cơ Khí, Đại học Bách khoa Tp HCM yếu theo phương thẳng đứng (phương y), nên có thể loại bỏ phương trình động lượng theo phương ngang (phương x). Do dó hệ phương trình Navie-Stokes chỉ cần phương trình động lượng theo phương y là đủ. - Do việc khảo sát đối với dòng chất lỏng không nén được (r = const), nên việc áp dụng thêm phương trình trạng thái là không cần thiết, chỉ cần thông qua phương trình năng lượng và động lượng để giải quyết bài toán (M.Necati Ozisik, 2000). Tấm phẳng nóng Tw y x 0 Môi trường lỏng lạnh Tf Hình 1. Mô hình đối lưu tự nhiên cho tấm phẳng nóng thẳng đứng Để giải bài toán đố lưu tự nhiên gần tấm nhiệt phẳng thẳng đứng chúng ta phải thiết lập mô hình toán. ở đây, áp suất p (hay là Dp) có tính chất ổn định (không phụ thuộc vào thời gian), chỉ phụ thuộc theo độ cao của phần tử khảo sát. Đại lượng yp ∂∂− / chính là lực đẩy trên một đơn vị thể tích do độ chênh áp suất gây ra. Đối với mọi phần tử bên trong chất lỏng, lực đẩy này có giá trị chính bằng trọng lượng riêng thể tích vật chất của môi trường mà phần tử hiện đang chiếm chỗ (Kiệt N.H.A., 2004), nghĩa là: 0 0 g yp g y y ρ ∂∂− = = ρ∂ ∂ Gộp biểu thức nguồn và lực đẩy do độ chênh lệch nhiệt độ, ta xác định được lực nâng trên một đơn vị thể tích của các phần tử trong trường đối lưu tự nhiên: ( ) ( )( ) ( ) My 0 f f p S g y g 1 T T g T T ∂− + = ρ − ρ∂ ⎡ ⎤= ρ + β − − ρ⎣ ⎦ = ρ β − Mặt khác: v p µ= Vì vậy: )(2 2 fTTgx v x vu y vv t v −+∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ βυ Trong đó: γ - gia tốc trọng trường; β- Hệ số giãn nở nhiệt; υ - Hệ số nhớt động học. Tính chất chuyển động của dòng chất lỏng khảo sát chỉ chịu tác động từ bên ngoài, chúng ta không xét đến nguồn năng lượng bên trong của chất lỏng, vì vậy có thể bỏ qua thành phần này (Si = 0), Hàm khuếch tán năng lượng F là vô cùng bé. Phương trình này trong lĩnh vực nhiệt động học gọi là phương trình truyền nhiệt, tính chất truyền nhiệt ở đây chỉ xảy ra chủ yếu giữa các lớp biên mỏng trượt lên nhau, nghĩa là hướng thẳng góc với bề mặt toả nhiệt. Do đó thành phần biến thiên nhiệt độ bậc hai theo phương đứng là không đáng kể trong phương trình. Đồng thời: 22 / yT ∂∂ pi C T∂ = ∂ ; a Cp λ= ρ Vì vậy: 2 2 x Ta x Tu y Tv t T ∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ Trong đó: a - Hệ số khuếch tán nhiệt, m2/s Như vậy kết quả của bài toán được thể hiện dưới dạng các hàm vi phân đơn giản hơn: Phương trình liên tục 0=∂ ∂+∂ ∂ y v x u (2.1) Phương trình động lượng theo phương y )(2 2 fTTgx v x vu y vv t v −+∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ βυ (2.2) Phương trình năng lượng 2 2 x Ta x Tu y Tv t T ∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ (2.3) Thông qua việc tìm ra trường nhiệt độ, ta tính toán được quan hệ của hệ số toả nhiệt đối lưu tự nhiên a và mật độ dòng nhiệt truyền qua q theo toạ độ các điểm dọc theo bề mặt biên của vách phẳng khi các điều kiện đã ổn định dựa theo mối quan hệ: w w n 0 n 0w f T q ( n T (T T ) n = = ∂⎛ ⎞= −λ = α −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ λ ∂⎛ ⎞⇒ α = − ⎜ ⎟− ∂⎝ ⎠ fT T ) (2.4) Tiêu chuẩn xác định lớp biên nhiệt và lớp biên thuỷ động: )(01.0)( fww TTTT −≤− (2.5) )(01.0)( maxmax fVVVV −≤− (2.6) Từ các nhận xét trên, hệ các điều kiện biên được thể hiện dưới dạng điều kiện biên loại 1, tức là các biên của miền khảo sát được thể hiện dưới dạng hàm và kết quả được liệt kê như sau: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ >>∞→== >>==== >==== ==== 00)(0 00000 0000 000 ytpxkhiTTv ytxkhiTTvu tykhiTTvu tkhiTTvu f w f f (2.7) Có thể minh hoạ điều kiện biên này được giới hạn như sau: Hình 2. Điều kiện biên của trường T, u, v 3. LỜI GIẢI SỐ 3.1 Rời rạc hoá miền khảo sát Ta chọn miền khảo sát là miền chữ nhật G: G = {(x, y): 0 ≤ x ≤ p; 0 y q} ≤ ≤ Hình 3. Phủ lưới chữ nhật lên miền khảo sát 3.2. Sai phân hoá điều kiện bờ Trong trường hợp điều kiện bờ là: ),,( tyxF ϕ=Γ Ta có: ),,(, kji k ji tyxF ϕ= Hay là: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ >>=== >>==== >==== ==== 000 00000 0000 000 ,, ,,, ,,, ,,, jkif k ji k ji jkiw k ji k ji k ji kjf k ji k ji k ji kf k ji k ji k ji ytpxkhiTTv ytxkhiTTvu tykhiTTvu tkhiTTvu (3.1) 3.3. Thay thế toán tử vi phân bằng toán tử sai phân Sử dụng phương pháp sai phân tiến để sai phân hoá các phương trình. Hệ phương trình vi phân cơ bản của bài toán sẽ được thay thế bằng những biểu thức sai phân xấp xỉ tại các miền khảo sát. Theo điều kiện Taylor: ( 54,443,332,22,,,1 0!4!3!2 x )xFxxFxxFxxFxFF k ji k ji k ji k jik ji k ji ∆+∂ ∂∆+∂ ∂∆±∂ ∂∆+∂ ∂∆±=± (3.2) Loại bỏ các giá trị vô cùng bé bậc cao, ta có: ( )22 ,1,,12,2 02 xx FFFxF k ji k ji k ji k ji ∆+∆ +−=∂ ∂ −+ (3.3) ( )2,1,, 0 x x FF x F k ji k ji k ji ∆+∆ −=∂ ∂ − (3.4) Tương tự: ( )21,,, 0 y y FF y F kji k ji k ji ∆+∆ −=∂ ∂ − (3.5) ( 21,,, 0 t t FF t F kji k ji k ji ∆+ )∆−=∂∂ − (3.6) Thay vào hệ phương trình (2.1) ÷ (2.3), ta được: 0 1 ,1 1 , 1 1, 1 , =∆ −+∆ − +−++−+ x uu y vv k ji k ji k ji k ji (3.7) ( ) )( 2 1 ,2 ,1,,1,,1 , 1,, , , 1 , f k ji k ji k ji k ji k ji k jik ji k ji k jik ji k ji k ji TTg x vvv x vv u y vv v t vv −+∆ +−=∆ −+∆ −+∆ − +−++−+ βυ (3.8) ( )2 ,1,,1,,1 , 1,, , , 1 , 2 x TTT a x TT u y TT v t TT k ji k ji k ji k ji k jik ji k ji k jik ji k ji k ji ∆ +−=∆ −+∆ −+∆ − −++−+ (3.9) Kết quả là hệ phương trình vi phân được thay thế bằng hệ phương trình đại số tuyến tính với 3(m + 1)(n + 1) phương trình tại (m + 1)(n + 1) điểm lưới. Để cho bài toán hội tụ, khi lập chương trình trên máy tính phải thoả mãn điều kiện như sau: ( ) 1 2 2 − ⎭⎬ ⎫ ∆+∆+⎩⎨ ⎧ ∆≤∆ xy v x u t ξ (3.10) Trong đó: ξ = n - cho phương trình động lượng ξ = a - cho phương trình năng lượng Điều kiện dừng của bài toán tuỳ theo sai số có thể chấp nhận được sao cho trường nhiệt độ và tốc độ là ổn định. Sơ đồ tính toán được mô tả trên hình 3. 4. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN Quá trình giải bài toán sẽ được thực hiện bằng cách lập trình và mô phỏng số trên máy tính. Xem xét một trường hợp cụ thể, với nhiệt độ của vách nóng Tw = 800C, nhiệt độ của môi trường Tf = 300C, chiều cao của vách H = 2 m, môi chất là nước, kết quả được chỉ ra trên các hình 4a- 4g. Hình 4a. Giao diện của phần mềm mô phỏng Hình 4b. Nhiệt độ khuếch tán Hình 4c. Sự khuếch tán vận tốc ngang Hình 4d. Sự khuếch tán vận tốc đứng Hình 4e. Biểu đồ véc tơ vận tốc Hình 4g. Hệ số khuếch tán nhiệt Víi tr−êng tèc ®é t¹i vÞ trÝ gÇn biªn, lùc nhít ph¸t huy t¸c dông vµ kÕt qu¶ k×m h·m vËn tèc cña dßng ch¶y lµm cho vËn tèc gÇn b»ng vËn tèc cña biªn thµnh cøng (b»ng 0), tøc lµ vËn tèc rÊt bÐ vµ cã thÓ hÇu nh− lµ ®øng yªn. Tuy nhiªn cµng tiÕn ra xa thµnh cøng, lùc n©ng cña dßng ch¶y chiÕm −u thÕ h¬n, do ®ã vËn tèc (theo ph−¬ng lùc n©ng) gia t¨ng tuyÕn tÝnh víi kho¶ng c¸ch thµnh cøng. Víi c¸ch gi¶i thÝch t−¬ng tù, chóng ta còng cã thÓ xem m«i tr−êng còng lµ líp biªn cã vËn tèc b»ng 0 nh− gi¶ thiÕt trong m« h×nh, theo h−íng ng−îc l¹i vËn tèc còng gia t¨ng tõ vËn tèc cña m«i tr−êng. Nh− vËy gi¸ trÞ tèc ®é theo ph−¬ng ®øng trong vïng biªn kh¶o s¸t ph¶i ®¹t ®−îc mét gi¸ trÞ cùc ®¹i nµo ®ã. Tr−êng nhiÖt ®é, vËn tèc còng chÞu ¶nh h−ëng tõ tÝnh chÊt cña dßng ch¶y vµ ng−îc l¹i. T¹i vÞ trÝ s¸t biªn, do vËn tèc rÊt bÐ vµ hÇu nh− b»ng 0, chóng ta cã thÓ xem nh− trong khu vùc nµy c¬ chÕ truyÒn nhiÖt lµ dÉn nhiÖt vµ do ®ã tr−êng nhiÖt ®é cã d¹ng tuyÕn tÝnh theo kho¶ng c¸ch tõ thµnh cøng h−íng ra, kÕt qu¶ lµ nhiÖt ®é gi¶m nhanh theo c¬ chÕ dÉn nhiÖt cña m«i chÊt. Cµng tiÕn ra xa thµnh cøng, do vËn tèc t¨ng, ¶nh h−ëng cña c¬ chÕ dÉn nhiÖt kh«ng cßn n÷a, thay vµo ®ã lµ c¬ chÕ truyÒn nhiÖt b»ng ®èi l−u chiÕm −u thÕ. Do sù chuyÓn ®éng x¸o trén m·nh liÖt cña c¸c phÇn tö chÊt láng, sù ph©n bè nhiÖt ®é gi÷a c¸c phÇn tö cµng ®Òu h¬n vµ do ®ã ®é chªnh nhiÖt ®é gi÷a c¸c phÇn tö chÊt láng gi¶m, nhiÖt ®é dÇn tiÕn ®Õn b»ng nhiÖt ®é m«i tr−êng. §Ó thÊy mèi quan hÖ cña tr-êng nhiÖt ®é vµ vËn tèc theo ph-¬ng ph¸p thùc nghiÖm kÕt hîp víi lý thuyÕt ®ång d¹ng (PPTN&§D), tû lÖ líp biªn nhiÖt vµ líp biªn thuû ®éng ®-îc x¸c ®Þnh theo: 3 Pr 1= v t δ δ . Víi nhiÖt ®é v¸ch nãng biÕn thiªn Tw = (0 ÷ 1000C), nhiÖt ®é m«i tr-êng Tf = 00C, chiÒu cao cña v¸ch H = 1 m, m«i chÊt lµ kh«ng khÝ, dÇu vµ n-íc, so s¸nh tû lÖ chiÒu dµy líp biªn cña ph-¬ng ph¸p sai ph©n (PPSP) vµ PPTN&§D kÕt qu¶ nh- sau (h×nh 5): Tû lÖ líp biªn nhiÖt vµ thuû ®éng 1.2 1 PPSP(1) 0.8 PPTN&D(1) Hình 5. Tỷ lệ chiều dày lớp biên nhiệt & lớp biên thuỷ động vt δδ / của nước (1), dầu (2), không khí (3) theo nhiệt độ. 0 0.2 0.4 0.6 0 20 40 60 80 100 120 T (oC) T/ V PPSP (2) PPTN&§D (2) PPSP(3) PPTN&ÑD(3) Theo số liệu trên, đối với tỷ số lớp biên nhiệt và lớp biên thuỷ động, kết quả cho thấy là khá chính xác với các loại môi chất khác nhau (sai số không quá 10%) theo tính toán của PPSP so với PPTN&ĐD. Điều này cho thấy rằng sự biến thiên của hai lớp biên này có giá trị tỷ lệ với nhau theo nhiệt độ Tw và Tf. 5. KẾT LUẬN Sự truyền nhiệt đối lưu tự nhiên từ tấm nhiệt phẳng thẳng đứng được mô phỏng số dưới môi trường Matlab. Phần mềm này có thể hỗ trợ chúng ta trong việc nghiên cứu hiệu quả của sự đối lưu tự nhiên truyền nhiệt từ tấm phẳng thẳng đứng, điều mà rất cần thiết đối việc nghiên cứu và phát triển nguồn năng lượng mới. Một số vấn đề thực tiễn có thể được xem xét để nghiên cứu số thí dụ như đối lưu tự nhiên giữa các tấm phẳng, dòng chảy trong kênh hở, ống trụ... đã và đang được ứng dụng nhiều trong nông nghiệp, công nghiệp và các lĩnh vực khác. Công trình được sự hỗ trợ quí báu của chương trình nghiên cứu cơ bản trong khoa học tự nhiên. Các tác giả xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO M.Necati Ozisik (2000). Finite Difference Methods In Heat Transfer; M&A Engineering Department North Carolina State University, pp.151-181. Kays, W.M. and Crawford, M.E. (1993). Convective Heat and Mass Transfer; McGraw-Hill, Inc., pp. 113 - 147. Nguyễn Thanh Nam, Hoàng Đức Liên (2000). Phương pháp khối hữu hạn ứng dụng trong các bài toán thuỷ khí động; Nhà xuất bản Khoa học & Kỹ thuật, Trang 131 - 157. Kiệt N.H.A. (2004). Mô Phỏng Số dòng đối luu tự nhiên gần tấm nhiệt phẳng thẳng đứng, Luận văn thạc sỹ, Đại học Bách khoa TP. HCM, trang 14 -55.