Đề tài Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim - Nguyễn Thành Quí

ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN NIÊN LUẬN 1 (Học kỳ II, Niên khóa 2008-2009) GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN : STT HỌ VÀ TÊN MSCB 1 Nguyễn Thành Quí 001945 SINH VIÊN THỰC HIỆN : STT HỌ VÀ TÊN MSSV THƯỞNG (Tối đa 1 điểm) ĐIỂM 1 Huỳnh Hải Đăng 1081642 I. HÌNH THỨC( Tối đa 0,5 điểm) Bìa (tối đa 0,25 điểm) Các tiêu đề : Trường ĐHCT, Khoa CNTT, Bộ môn Các niên luận : 1 Tên đề tài Giáo viên hướng dẫn : chức danh, họ tên Thông tin về sinh viên thực hiện : họ tên, mã số, lớp Năm thực hiện Bố cục (tối đa 0,25 điểm) Nhận xét của giáo viên hướng dẫn và giáo viên chấm Mục lục : cấu trúc chương, mục và tiểu mục Phụ lục (nếu có) Tài liệu tham khảo II. NỘI DUNG (Tối đa 3,5 điểm) Tổng Quan (tối đa 0,5 điểm) Mô tả bài toán, mục tiêu cần đạt được (0,25 điểm) Hướng giải quyết và kế hoạch thực hiện (0,25 điểm) Lý thuyết (tối đa 0,5 điểm) Các khái niệm sử dụng trong đề tài Kết quả vận dụng lý thuyết trong đề tài Ứng dụng (tối đa 2,0 điểm) Phân tích yêu cầu bài toán, xây dựng các cấu trúc dữ liệu cần thiết (0,5 điểm) Giải thuật (Lưu đồ - Ngôn ngữ giả ) (1,0 điểm) Giới thiệu chương trình (0,5 điểm) Kết luận (tối đa 0,5 điểm) Nhận xét kết quả đạt được Hạn chế Hướng phát triển III. CHƯƠNG TRÌNH DEMO (Tối đa 5,0) Giao diện thân thiện với người dùng (tối đa 1,0 điểm) Hướng dẫn sử dụng (0,5 điểm) Kết quả thực hiện đúng với kết quả cảu phần ứng dụng (3,5 điểm) Cần Thơ, ngày 4 tháng 4 năm 2010 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN š – & — › ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cần Thơ, ngày….. tháng ...... năm ...... Giáo viên hướng dẫn MỤC LỤC š – & — › TỔNG QUAN @& Tìm cây bao trùm nhỏ nhất (tiếng Anh: minimum spanning tree) là bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng trong thực tế. Nó là bài toán tìm hệ thống liên thông với chi phí nhỏ nhất. Hai thuật toán tìm cây bao trùm nhỏ nhất thường được nhắc đến là thuật toán Prim và thuật toán Krusskal. Cho G=(X,E) là một đồ thị liên thông. Ngoài ra, một hàm trọng số W(e), xác định trên tập các cạnh E của G. Cả hai thuật toán Prim và Kruskal đều dựa trên tư tưởng của các giải thuật tham ăn : Ở mỗi bước của thuật toán ta chọn và bổ sung vào cây cạnh có trọng số nhỏ nhất có thể. Ở đây ta chỉ đề cập đến thuật toán Prim Giải thuật Prim Vài nét về R. C. Prim Robert Clay Prim (sinh 1921 tại Sweetwater, Texas) là một nhà toán học và khoa học máy tính Mỹ. Năm 1941 ông đã lấy bằng cử nhân ở khoa kỹ thuật điện đại học Princeton. Sau này năm 1949, ông nhận bằng Ph.D. về toán học cũng tại đây. Giải thuật mang tên Prim được tìm ra từ năm 1930 bởi nhà toán học Vojtěch Jarník và do Prim hoàn thiện vào năm 1957. asd Mô tả Gọi T là cây bao trùm sẽ xây dựng Chọn một đỉnh s bất kỳ của G cho vào cây T. Khi đó T là một cây chỉ có một đỉnh và chưa có cạnh nào. Nếu T đã gồm tất cả các đỉnh của G thì T là cây bao trùm cần tìm. Kết thúc. Nếu G còn có các đỉnh không thuộc T, vì G liên thông nên có các cạnh nối một đỉnh trong T với một đỉnh ngoài T, chọn một cạnh có trọng số nhỏ nhất trong số đó cho vào T. Quay lại 2. I. Các mục tiêu cần đạt được: - Dữ liệu được nhập từ bàn phím là một ma trận trọng số. - Thiết kế giải thuật Prim và xuất ra màn hình cây khung có trọng lượng nhỏ nhất. II. Hướng giải quyết: - Viết chương trình nhập vào 1 ma trận trọng số. - Sử dụng giải thuật Prim để tìm được cây khung có trọng lượng nhỏ nhất. - Xuất ra màn hình đồ họa các bước trong trong giải thuật Prim. III. Kế hoạch thực hiện Tuần 1 Tuần 2 Tuần 3 Tuần 4 - Phân tích yêu cầu - Tìm kiếm tài liệu - Giải bài toán mẫu trên giấy - Phân tích giải bài toán bằng ngôn ngử giả - Cài đặt các cấu trúc dữ liệu cần thiết và kiểm tra tính đúng đắn của chúng - Viết chương trình chạy trên chế độ text. - Kiểm tra tính đúng đắn của chương trình - Cải tiến chương trình chạy trên chế độ đồ họa - Kiểm tra vét cạn tất cả các trường hợp. - Cải tiến để chương trình có thể chịu được các sai xót ở khâu nhập liệu. - Viết báo cáo LÝ THUYẾT š – & — › I. Các khái niệm chính. Một đồ thị G bao gồm một tập hợp V các đỉnh và một tập hợp E các cạnh, ký hiệu G=(V,E). Các đỉnh còn được gọi là nút (node) hay điểm (point). Các cạnh nối giữa hai đỉnh, hai đỉnh này có thể trùng nhau. Đồ thị được gọi là liên thông nếu với mõi cặp cạnh i,j bất ky luôn tìm được đường đi nối i với j. Hai đỉnh có cạnh nối nhau gọi là hai đỉnh kề (adjacency). Một cạnh nối giữa hai đỉnh v, w có thể coi như là một cặp điểm (v,w). Nếu các cạnh trong đồ thị G có thứ tự thì G gọi là đồ thị có hướng (directed graph). Nếu các cạnh trong đồ thị G không có thứ tự thì đồ thị G là đồ thị vô hướng (undirected graph). Đường đi trong đồ thị là một dãy các đỉnh: sao cho, mỗi đỉnh trong dãy (không kể đỉnh đầu tiên) kề với đỉnh trước nó bằng một cạnh nào đó, nghĩa là: " " i = 2, 3, … , k-1, k : (xi-1, xi) Î E. Ta nói rằng đường đi này đi từ đỉnh đầu x1 đến đỉnh cuối xk. Số cạnh của đường đi được gọi là độ dài của đường đi đó. Đường đi đơn là đường đi mà các đỉnh trên nó khác nhau từng đôi. Đồ thị vô hướng G=(V,E) được gọi là liên thông nếu với mỗi cặp đỉnh i, j bất kỳ thì luôn tìm được đường đi nối i và j. Đường đi nối i và j cũng là đường đi nối j và i. Cây là đồ thị vô hướng, liên thông, không có chu trình Cây Cây khung: Cho G là một đơn đồ thị. Một cây được gọi là cây khung của G nếu nó là một đồ thị con của G và chứa tất cả các đỉnh của G. Cây khung nhỏ nhất: Nói chung, ta có thể định nghĩa cây khung nhỏ nhất cho một đồ thị G như sau: Nếu mỗi cạnh eij = (vi, vj) có một trọng số cij, thì cây khung nhỏ nhất là một tập hợp các cạnh ký hiệu là Espan, sao cho: C = sum( cij | eij Î Espan ) là nhỏ nhất. II. Các cách biểu diễn đồ thị : Có khá nhiều cách biểu diễn đồ thị như biểu diễn bằng ma trận đỉnh-cung, ma trận đỉnh-cạnh, ma trận trọng số, danh sách liên kết, ….Ở đây chúng ta chỉ nghiên cứu cách biểu diễn đồ thị bằng ma trận trọng số như sau : Với đồ thị G=(V,E) , người ta thường gán cho mỗi cung hay cạnh (i,j) một giá trị cij gọi là trọng số của cung hay cạnh đó. Ma trận A biểu diễn đồ thị G=(V,E) có dạng : A=[aij] với i,j Î V Trong đó : aij=0 nếu cạnh/cung (i,j) không thuộc E, aij=wij nếu cạnh/cung (i,j) thuộc E Ví dụ : Xét đồ thị vô hướng có trọng số : 1 2 3 4 5 3 8 2 7 5 11 9 Ma trận trọng số biểu diễn đồ thị là : 1 2 3 4 5 1 0 3 8 0 0 2 3 0 2 5 7 3 8 2 0 9 0 4 0 5 9 0 11 5 0 7 0 11 0 III. Duyệt các đỉnh của đồ thị : Xét đồ thị G=(V,E) . Gọi i là một đỉnh nào đó của G. Ký hiệu L là cấu trúc dữ liệu kiểu danh sách lưu trữ các đỉnh của G. Thuật toán duyệt các đỉnh của G được trình bày một cách tổng quát như sau : Nạp đỉnh i vào danh sách L Lấy đỉnh x ra khỏi đầu danh sách Nếu x chưa được duyệt thì duyệt đỉnh x Nạp các đỉnh kề với x chưa được duyệt vào danh sách L Nếu L khác rỗng thì quay lên bước 2 Dừng Duyệt đồ thị theo chiều sâu DFS (Depth-First Search) Nếu trong thuật toán duyệt các đỉnh của đồ thị, danh sách L được tổ chức theo kiểu ngăn xếp (vào trước ra sau) thì ta có phương pháp duyệt theo chiều sâu. Trong phương pháp này mỗi lần duyệt một đỉnh ta duyệt đến tận cùng mỗi nhánh rồi mới chuyển sang duyệt nhánh khác. Duyệt đồ thị theo chiều rộng BFS (Breadth-First Search) Nếu trong thuật toán duyệt các đỉnh của đồ thị, danh sách L được tổ chức theo kiểu hàng đợi (vào trước ra trước) thì ta có phương pháp duyệt theo chiều rộng. Trong phương pháp này việc duyệt có tính chất lan rộng. Một đỉnh được duyệt xong ngay sau khi đã xét hết tất cả các đỉnh kề với nó. Kiểm tra tính liên thông của đồ thị : Hai giải thuật duyệt theo chiều sâu DFS và duyệt theo chiều rộng BFS thường được sử dụng để kiểm tra tính liên thông của đồ thị. Khi duyệt các đỉnh của đồ thị tập hợp các đỉnh đã được đánh số tạo thành một bộ phận liên thông của đồ thị. Nếu tất cả các đỉnh của đồ thị đều được đánh số thì kết luận đồ thị liên thông, ngược lại thì bắt đầu từ một đỉnh chưa được duyệt, áp dụng lại giải thuật trên tập hợp các đỉnh chưa được duyệt để tìm bộ phận liên thông kế tiếp. IV .Giải thuật Prim : Mô tả Gọi T là cây bao trùm sẽ xây dựng 1. Chọn một đỉnh s bất kỳ của G cho vào cây T. Khi đó T là một cây chỉ có một đỉnh và chưa có cạnh nào. 2. Nếu T đã gồm tất cả các đỉnh của G thì T là cây bao trùm cần tìm. Kết thúc. 3. Nếu G còn có các đỉnh không thuộc T, vì G liên thông nên có các cạnh nối một đỉnh trong T với một đỉnh ngoài T, chọn một cạnh có trọng số nhỏ nhất trong số đó cho vào T. 4. Quay lại 2. Kết quả vận dụng lý thuyết vào đề tài: Nhập vào đồ thị vô hướng sau: Kiểm tra tính liên thông của đồ thị : đồ thị liên thong Bước khởi đầu: U={1},T=Æ Bước kế tiếp ta chọn cạnh (1,3) = 1 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim. Ta có U={1,3},T={(1,3)}. Kế tiếp thì cạnh (3,6) = 4 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim. Ta có U={1,3,6},T={(1,3)(3,6)}. Kế tiếp thì cạnh (6,4) = 2 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim. Ta có U={1,3,6,4},T={(1,3)(3,6)(6,4)}. Tiếp tục, cạnh (3,2) = 5 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim. Ta có U={1,3,6,4,2},T={(1,3),(3,6), (6,4),(3,2)}. Cuối cùng là cạnh (2,5)=3 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim. Ta có U={1,3,6,4,2,5},T={(1,3),(3,6), (6,4),(3,2),(2,5),}. Giải thuật dừng và ta có cây bao trùm như hình bên dưới. Ứng Dụng I. Lưu đồ giải thuật Prim: U=V U={1},T=Æ End begin G=(V,E) là đồ thị liên thông Sai Sai Đúng For i Î U For j Î G-U min = ¥ min>(i,j) and (i,j) ≠ 0 Sai min=(i,j) u=i, v=j U=U+v T=T+(u,v) Đúng Đúng Kết thúc for Kết thúc for  II.Lưu đồ duyệt cây theo chiều sâu tại đỉnh i begin Duyệt đỉnh i Xét đỉnh lần lượt các j kề với i và chưa duyệt Duyệt đỉnh j end Đ S III. Lưu đồ duyệt cây theo chiều rộng tại đỉnh i Xét đỉnh j kề với i và đã duyệt Duyệt đỉnh j end begin Duyệt đỉnh i Đ S Đánh dấu đã duyệt tất cả j là kề của i Đ IV. Giới thiệu chương trình Chương trình gồm các chức năng sau: Nhập đồ thị Vẽ đồ thị Tìm cây bao trùm theo giải thuật Prim Thoát và lưu trạng dữ liệu vào file graph.txt Duyệt đồ thị theo chiều rộng Duyệt đồ thị theo chiều sâu Nhập đồ thị Người dùng sẽ nhập số đỉnh của đồ thị và nhập trọng số của các cạnh Vẽ đồ thị: Giải thuật Prim Bắt đầu từ đỉnh 1, chương trình sẽ thực hiện chọn lần lượt các cạnh có trọng số nhỏ nhất khi người dung nhấn bất kỳ phím nào. Chương trình sẽ dừng vào thông báo trọng lượng của cây bao trùm tối thiểu khi tất cả các đỉnh đã được chọn. Duyệt theo chiều rộng Người dùng chọn một đỉnh và chương trình sẽ hiện thị thứ tự duyệt theo chiều rộng Dyệt theo chiều sâu Người dùng chọn một đỉnh và chương trình sẽ hiện thị thứ tự duyệt theo chiều sâu KẾT LUẬN- ĐÁNH GIÁ I. Kết quả đạt được Nhìn chung chương trình đã đáp ứng được về cơ bản những mục tiêu cần đạt được của đề tài đặt ra. Ngoài ra qua quá trình thực hiện chương trình, bản thân cũng rút ra được một số kinh nghiệm trong quá trình xây dựng và thiết kế một chương trình. Giúp nâng cao khả năng tư duy, khả năng vận dụng những kiến thức lý thuyết đã được học vào việc giải quyết một bài toán , một vấn đề thực tế. II. Hạn chế của chương trình Chương trình chạy trong DOS đồ họa không được đẹp và có thể không chạy được trên các hệ điều hành mới. Không gian biểu diễn đồ thị là 2D nên sẽ rất khó quan sát khi số lượng đỉnh của đồ thị tăng quá 15.( Vì lý do này nên chương trình giới hạn số đỉnh của người dùng nhập là 20, mặc dù chương trình vẫn chạy đúng với n đỉnh ). III. Hướng phát triển. Viết chương trình bằng VC++ chạy được trên các hệ điều hành mới, và sử dụng chuẩn đồ họa OpenGL để biểu diễn đồ thị trong không gian 3D, làm cho người dùng quan sát dễ dàng hơn khi số lượng của đồ thị lớn. PHỤ LỤC Hướng dẫn chạy chương trình: 1. Khởi động tập tin main.exe 2. Nhập dữ liệu cho đồ thị bấm phím số 1 3. Vẽ đồ thị trên màn hình bấm phím số 2 4. Chạy giải thuật Prim bấm phím số 3 5. Thoát và lưu dữ liệu hiện hành vào tệp graph.txt bấm phím số 4 6. Duyệt đồ thị theo chiều sâu bấm phím số 5 7. Duyệt đồ thị theo chiều rộng bấm phím số 6 Các tài liệu tham khảo [1] Bài giảng: TOÁN RỜI RẠC 2 (Bộ Môn Hệ Thống Thông Tin – Toán Ứng Dụng, Khoa Công Nghệ Thông Tin, Trường Đại Học Cần Thơ) [2] Side bài giảng về đồ thị của Thạc sĩ Nguyễn Văn Linh – Trường Đại Học Cần Thơ [3] Giáo trình Lập Trình Hướng Đối Tượng C++ của Thạc sĩ Trương Văn Trí Công – Trường Đại Học Cần Thơ. [4] Giáo Trình Lập Trình C++ và Lập Trình Hướng Đối Tượng của GS Phạm Văn Ất – Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật Hà Nội. [5]