Đề thi hết học kỳ III năm học 2014 - 2015 học phần: Giải Tích
Câu 1 (Phép tính vi phân hàm một biến: 2,0 điểm) Biết rằng nếu giá bán một sản phẩm là x đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu được xác định bởi: ( ) 64 ln(80 x2). x f x a) Tính đạo hàm f '(x) của hàm cầu f (x) . b) Tính vi phân của hàm f tại điểm x 4. Nếu ta tăng giá mỗi sản phẩm 0,01 đơn vị tiền so với giá ban đầu là 4 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu? Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm) Cho hàm số arctan . 14 13 g(x) x3 x x a) Tính đạo hàm g'(x) của hàm số g(x) . Từ đó tính 1[g'(x)]2. b) Tính độ dài đường cong OAcho bởi phương trình y g(x) với O(0;0) và ) 3 16 4 A(1; S . Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm) Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là x và y . Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng x, y là hàm hai biến h(x, y) xác định như sau: h(x, y)=125x +70y 2x2 xy y2 +15. Hãy tìm mức sản lượng x, y để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề thi hết học kỳ III năm học 2014 - 2015 học phần: Giải Tích, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Học viện Nông nghiệp Việt Nam
Khoa CNTT - Bộ môn Toán
Đề số 09
Ngày thi: 30/8/2015
ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015
Học phần: Giải tích
Thời gian làm bài: 90 phút
Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu
Câu 1 (Phép tính vi phân hàm một biến: 2,0 điểm)
Biết rằng nếu giá bán một sản phẩm là x đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu được xác định bởi:
).80ln(64)( 2xxxf
a) Tính đạo hàm )(' xf của hàm cầu )(xf .
b) Tính vi phân của hàm f tại điểm 4 x . Nếu ta tăng giá mỗi sản phẩm 0,01 đơn vị tiền so với
giá ban đầu là 4 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu?
Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm)
Cho hàm số .arctan
4
1
3
1)( 3 xxxxg
a) Tính đạo hàm )(' xg của hàm số )(xg . Từ đó tính .)]('[1 2xg
b) Tính độ dài đường cong OAcho bởi phương trình )(xgy với )0;0(O và )163
4;1( SA .
Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm)
Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là x
và y . Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng yx, là hàm
hai biến h(x, y) xác định như sau:
h(x, y)=125x+70y 2x2 xy y2 +15.
Hãy tìm mức sản lượng yx, để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
Câu 4 (Phương trình vi phân: 3,0 điểm)
Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau:
a) .0)2()2( dyyxdxyx
b) y" y ' 6y = xe x.
Câu 5 ( Sự hội tụ của chuỗi số: 1,0 điểm)
Xét sự hội tụ của chuỗi số ¦
f
1 !
3)12(
n
n
n
n (Gợi ý: áp dụng dấu hiệu Đa-lăm-be).
. Hết .
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Cán bộ ra đề
Nguyễn Văn Hạnh
Nguyễn Hữu Hải
Duyệt đề
Phạm Việt Nga
Học viện Nông nghiệp Việt Nam
Khoa CNTT - Bộ môn Toán
Đề số 10
Ngày thi: 30/8/2015
ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015
Học phần: Giải tích
Thời gian làm bài: 90 phút
Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu
Câu 1 (Phép tính vi phân hàm một biến: 2,0 điểm)
Biết rằng nếu giá bán một sản phẩm là x đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu được xác định bởi:
).95ln(75)( 2xxxf
a) Tính đạo hàm )(' xf của hàm cầu )(xf .
b) Tính vi phân của hàm f tại điểm 5 x . Nếu ta tăng giá mỗi sản phẩm 0,02 đơn vị tiền so với
giá ban đầu là 5 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu?
Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm)
Cho hàm số .arctan
4
1
12
1)( 3 xxxxg
a) Tính đạo hàm )(' xg của hàm số )(xg . Từ đó tính .)]('[1
2xg
b) Tính độ dài đường cong OAcho bởi phương trình )(xgy với )0;0(O và )43
1;1( SA .
Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm)
Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là x
và y . Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng x, ylà hàm
hai biến h(x, y) xác định như sau:
h(x, y)=85x+80y x2 xy y2 +20.
Hãy tìm mức sản lượng yx, để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
Câu 4 (Phương trình vi phân: 3,0 điểm)
Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau:
a) .0)2()2( dyyxdxyx
b) y"+ y ' 6y = (2x+1)e x.
Câu 5 ( Sự hội tụ của chuỗi số: 1,0 điểm)
Xét sự hội tụ của chuỗi số ¦
f
1 !
2)13(
n
n
n
n (Gợi ý: áp dụng dấu hiệu Đa-lăm-be).
. Hết .
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Cán bộ ra đề
Nguyễn Văn Hạnh
Nguyễn Hữu Hải
Duyệt đề
Phạm Việt Nga
Học viện Nông nghiệp Việt Nam
Khoa CNTT - Bộ môn Toán
Đề số: 09 - Ngày thi 30/08/2015
(Người ra đề: Nguyễn Văn Hạnh)
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015
Học phần: Giải tích
Thời gian làm bài: 90 phút
Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu
Câu Đáp án vắn tắt Điểm
1
(2đ)
a
Tính đạo hàm 22 80
260)(' x
x
xxf
4*0,25
Vi phân tại x = 4 là dxdf 125,4)4( 0.25+0.25
b Nếu dx = 0,01 thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ 0,04125 0.25+0.25
2
(2đ)
a
Tính đạo hàm
)1(4
11)(' 2
2
xxxg
0.25+0.25
2
2
2
2
2
22
]
)1(4
11[
]
)1(4
11[1)]('[1
xx
xxxg
0.25
0.25
b
Đô dài ³ ³
1
0
1
0
2
22 ]
)1(4
11[)]('[1 dxxxdxxgl
0.25+0.25
163
4]arctan
4
1
3
1[
1
0
3 S xxxl
0.25+0.25
3
(2đ)
Tính yxyxhyxyxh yx 270),(;4125),( '' 0.25+0.25
Điểm dừng 7/155;7/1800),(),( '' yxyxhyxh yx 0.25+0.25
Tính 2),(;1),(;4),( """ yxhyxhyxh yyxyxx 0.25
2)7/155;7/180(;1)7/155;7/180(;4)7/155;7/180( """ yyxyxx hChBhA 0.25
04;072 ! ABAC nên h đạt cực đại tại (180/7 ;155/7). Vậy lợi nhuận đạt
được tối đa nếu mức sản lượng x = 180/7 và y = 155/7.
0.25+0,25
4
(3đ)
a
xy
xyy
2
2'
0.25
Đặt y = ux
2
12'
u
uuxu 0.25
x
dx
u
duu
1
)2(
2 0.25+0,25
³³³
x
dx
u
du
u
ud
1
2
1
)1(
2
1
22
2
0.25
Cx
yyxCxx
y
x
y arctan2ln
2
1lnarctan21ln
2
1 22
2
2
0.25
b Ptđt: 3;2062 kkkk 0.25
Nghiệm tq của pt thuần nhất: xx eCeCy 3221 0.25
Nghiệm riêng của pt không thuần nhất: xeBAxY )( 0,25
xx eBAAxYeBAAxY )2(";)(' 0,25
Thay vào phương trình ta được 16
3,
4
1 BA 0,25
Nghiệm tq của pt đã cho
xxx exeCeCYyy )
4
3(
4
13
2
2
1 0,25
5
(1đ)
Ta có
)12)(1(
)32(3
3)12(
!
)!1(
3)32( 11
nn
n
n
n
n
n
u
u
n
n
n
n 0.25+0.25
10
)12)(1(
)32(3limlim 1
fo
fo nn
n
u
u
nn
n
n
0.25
Theo t/c Đa-lăm-bem chuỗi đã cho hội tụ
0.25
Học viện Nông nghiệp Việt Nam
Khoa CNTT - Bộ môn Toán
Đề số: 10 - Ngày thi 30/08/2015
(Người ra đề: Nguyễn Văn Hạnh)
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015
Học phần: Giải tích
Thời gian làm bài: 90 phút
Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu
Câu Đáp án vắn tắt Điểm
1
(2đ)
a
Tính đạo hàm 22 95
275)(' x
x
xxf
4*0,25
Vi phân tại x = 5 là dxdxdf 143,3
7
22)5( | 0.25+0.25
b Nếu dx = 0,02 thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ 0,06286 0.25+0.25
2
(2đ)
a
Tính đạo hàm
1
1)1(
4
1)(' 2
2
xxxg
0.25+0.25
2
2
22 ]
1
1)1(
4
1[)]('[1 xxxg
0.25+0.25
b
Đô dài ³ ³
1
0
1
0
2
22 ]
1
1)1(
4
1[)]('[1 dxxxdxxgl
0.25+0.25
43
1]arctan
4
1
12
1[
1
0
3 S xxxl
0.25+0.25
3
(2đ)
Tính yxyxhyxyxh yx 280),(;285),( '' 0.25+0.25
Điểm dừng 25;300),(),( '' yxyxhyxh yx 0.25+0.25
Tính 2),(;1),(;2),( """ yxhyxhyxh yyxyxx 0.25
2)25;30(;1)25;30(;2)25;30( """ yyxyxx hChBhA 0.25
02;032 ! ABAC nên h đạt cực đại tại (30; 25). Vậy lợi nhuận đạt
được tối đa nếu mức sản lượng x = 30 và y = 25.
0.25+0,25
4
(3đ)
a
xy
xyy
2
2'
0.25
Đặt y = ux
2
12'
u
uuxu 0.25
x
dx
u
duu
1
)2(
2 0.25+0,25
³³³
x
dx
u
du
u
ud
22
2
1
2
1
)1(
2
1
0.25
Cyx
yxyxCxu
uu
lnln
2
1ln
1
1ln1ln
2
1 222
0.25
b Ptđt: 3;2062 kkkk 0.25
Nghiệm tq của pt thuần nhất: xx eCeCy 3221 0.25
Nghiệm riêng của pt không thuần nhất: xeBAxY )( 0,25
xx eBAAxYeBAAxY )2(";)(' 0,25
Thay vào phương trình ta được 9
2,
3
1 BA 0,25
Nghiệm tq của pt đã cho
xxx exeCeCYyy )
3
2(
3
13
2
2
1 0,25
5
(1đ)
Ta có
)13)(1(
)43(2
2)13(
!
)!1(
2)43( 11
nn
n
n
n
n
n
u
u
n
n
n
n 0.25+0.25
10
)13)(1(
)43(2limlim 1
fo
fo nn
n
u
u
nn
n
n
0.25
Theo t/c Đa-lăm-bem chuỗi đã cho hội tụ
0.25
