Đề thi học sinh giỏi môn Toán

Trường THCS Yên trường đề thi học sinh giỏi cấp huyện Môn: Toán Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút Đề bài I. Đề bài: Bài 1 (1,5đ): Dùng 3 chữ số 3; 0; 8 để ghép thành những số có 3 chữ số: a. Chia hết cho 2 b. Chia hết cho 5 c. Không chia hết cho cả 2 và 5 Bài 2 (2đ): a. Tìm kết quả của phép nhân A = 33 ... 3 x 99...9 50 chữ số 50 chữ số b. Cho B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2B + 3 = 3n Bài 3 (1,5 đ): Tính a. C = b. D = Bài 4 (1,5đ): Tìm hai chữ số tận cùng của 2100. Bài 5 (1,5đ): Cho ba con đường a1, a2, a3 đi từ A đến B, hai con đường b1, b2 đi từ B đến C và ba con đường c1, c2, c3, đi từ C đến D (hình vẽ). A B C D a1 a2 a3 b1 b2 c1 c2 c3 Viết tập hợp M các con đường đi từ A dến D lần lượt qua B và C Bài 6 (2đ): Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. có tất cả bao nhiêu đường thẳng. Đáp án toán 6 Bài 1 (1,5đ): a. 308; 380; 830 (0,5đ) b. 380 830 (0,5đ) c. 803 Bài 2 (2đ): a) (1đ) A = 33...3 x (1 00..0 - 1) (0,25đ) 50 chữ số 50 chữ số = 33...3 00...0 - 33...3 (0,25đ) 50 chữ số 50 chữ số 50 chữ số Đặt phép trừ 33 ... 33 00 ... 00 - 33 ... 33 33 ...32 66 ... 67 (0,25đ) 49 chữ số 49 chữ số Vậy A = 33 ...32 66 ... 67 (0,25đ) 49 chữ số 49 chữ số b) B = 3 + 32 + 33 + ... + 399 + 3100 (1) 3B = 32 + 33 + ... + 3100 + 3101 (2) (0,25đ) Lấy (2) trừ (1) ta được: 2B = 3101 - 3 (0,25đ) Do đó: 2B + 3 = 3101 (0,25đ) Theo đề bài 3B + 3 = 3n Vậy n = 101 (0,25đ) Bài 3 (1,5đ): a) (0,75đ) C = Ta có: 101 + (100 + 99 + ... + 3 + 2 + 1) =101 + 101.100 : 2 = 101 + 5050 = 5151 (0,25đ) 101 - 100 + 99 - 98 + ... + 3 - + 1 = (101 - 100) + (99 - 98) + ... + (3 - 2) + 1 50 cặp = 50 + 1 = 51 (0,25đ) Vậy C = (0,25đ) b) (0,75đ) B = Ta có: 3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 - 43.101.37 = 0 (0,5đ) Vậy B = 0 ( vì 2 = 4 + 6 + ...+ 100 ạ 0) (0,25đ) Bài 4 ( 1,5đ): Ta có: 210 = 1024 (0,25đ) 2100 = = 102410 = (0,75đ) =(......76)5 = ....76 (0,5đ) Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76 Bài 5 (1,5đ): Nếu đi từ A đến D bằng con đường a1: a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; (0,5đ) Đi từ A đến D bằng con đường a2: a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; (0,5đ) Đi từ A đến D bằng con đường a3: a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3; (0,5đ) Vậy tập hợp M: M = { a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3;} Bài 6 ( 2đ): Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ được 99 đường thằng (0,5đ) Làm như vậy với 100 điểm ta được 99.100 đường thẳng (0,5đ) Nhưng mỗi đường thẳng được tính 2 lần, do đó tất cả có 99.100 : 2 = 4950 đường thẳng (1đ) Trường THCS Yên trường đề thi học sinh giỏi cấp huyện Môn: toán Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút Đề bài Bài 1 (1,5đ): Thực hiện phép tính: a) A = b) B = 1 + 22 + 24 + ... + 2100 Bài 2 (1,5đ): a) So sánh: 230 + 330 + 430 và 3.2410 b) So sánh: 4 + và + Bài 3 (2đ): Ba máy xay xay được 359 tấn thóc. Số ngày làm việc của các máy tỉ lệ với 3:4:5, số giờ làm việc của các máy tỉ lệ với 6, 7, 8, công suất các máy tỉ lệ nghịc với 5,4,3. Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thọc. Bài 4 (1đ): Tìm x, y biết: a) |3x- 4| Ê 3 b) Bài 5 ( 3đ): Cho DABC có goc nhỏ hơn 1200. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng: a) b) Bài 6 (1đ): Cho hàm số f(x) xác định với mọi x thuộc R. Biết rằng với mọi x ta đều có: Tính f(2). Đáp án toán 7 Bài 1: a) A = (0,25đ) A = (0,25đ) A = + = 0 (0,25đ) b) 4B = 22 + 24 + ... + 2102 (0,25đ) 3B = 2102 - 1 B = (0,25đ) Bài 2: a) Ta có 430 = 230.415 (0,25đ) 3.2410 = 230.311 (0,25đ) mà 415 > 311 ị 430 > 311 ị 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25đ) b) 4 = > > (0,25đ) ị + > + (0,25đ) Bài 3: Gọi x1, x2 x3 lần lượt là số ngày làm việc của 3 máy ị (1) (0,25đ) Gọi y1, y2, y3 lần lượt là số giờ làm việc của các máy ị (2) (0,25đ) Gọi z1, z2, z3 lần lượt là công suất của 3 máy ị 5z1 = 4z2 = 3z3 Û (3) (0,25đ) Mà x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25đ) Từ (1) (2) (3) ị (0,5đ) ị x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25đ) Vậy số thóc mỗi đội lần lượt là 54, 105, 200 (0,25đ) Bài 4: a) DEAB =DCAD (c.g.c) (0,5đ) ị (1) (0,25đ) Ta có (gốc ngoài tam giác) (0,25đ) ị (0,25đ) b) Trên DM lấy F sao cho MF = MB (0,5đ) ị DFBM đều (0,25đ) ị DDFB = DAMB (c.g.c) (0,25đ) ị (0,5đ) Bài 6: Ta có (0,25đ) (0,25đ) ị (0,5đ) Trường THCS Yên trường đề thi học sinh giỏi cấp huyện Môn: toán Lớp 8 Thời gian làm bài: 120phút Đề bài Bài 1 (1,5đ): Hãy khôi phục những hằng đẳng thức đã bị mực làm nhòe đ một số chỗ: a) ............ + + ............. = b) Hãy nêu một đề bài tương tự Bài 2 (1đ): Điền đúng sai a) (x - 5)2 = 25 - 10x + x2 b) (x2 + 2)2 = x4 + 2x2 + 4 c) (a - b)(b - a) = (b- a)2 d) (A - B)3 = (B - A)3 đ) (x - y)2 = (x + y)2 - 4xy Bài 3 (2,5đ): Cho biểu thức M = a) Tìm TXĐ của M rồi rút gọn M b) Tìm giá trị x để M = 0 c) Tìm giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên Bài 4 (1,5đ): giải phương trình Bài 5 (2,5đ): Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH ^ AC. Gọi M là trung điểm của AH. K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: BM ^ MK Bài 6 (1đ): Tìm giá trị nguyên của x, y, z, t sao cho |x-y| + |y - z| + |z - t| + |t - x| =2007 Đáp án toán lớp 8 Bài 1 a) (0,5đ) b) (0,5đ) Đề bài tương tự (0,5đ) Bài 2: a) Đ b) S c) S d) S đ) Đ Bài 3: Sau khi phân tích ta có a) M = (0,5đ) TXĐ x ạ 2 (0,5đ) M = (0,25đ) b) M = 0 ị x = -2 (0,25đ) c) M = 1 + . M nguyên khi x - 2 là ước của 4 Ước của 4 = ± 4; ± 2; ± 1 (0,2đ) ị x =-2, 0, 1, 3, 4, 6 Bài 4: Giải phương trình TXĐ: x ạ -1, -2, -3, -4 (0,25đ) Û (0,5đ) Û Û 4x2 + 10x = 0 (0,5đ) ị x = 0; x = (0,25đ) Bài 5: Giả thiết, kết luận, hình (0,25đ) Gọi I là trung điểm BH ta có: MI là trung bình của DAHB MI // AB; MI = AB (1) Lại có: CK = AB CK // AB (2) Từ (1) (2) ta có CK = MI, CK // MI. nên CKMI là hình bình hành (0,5đ) Mặt khác I là trực tâm DBMC (0,25đ) ị CI ^ BM MK ^ BM (0,5đ) mà MK // CI Bài 6: Ta có: |a| + a = 2a nếu a ³ 0 0 nếu a < 0 (0,25đ) Vậy |a| + a là số tự nhiên chẵn Do đó: (|x-y| + x - y) + (|y - z| + y - z) + (|z - t| + z - t) + (|t - x| + t - x) = 2007 (0,25đ) Nhận thấy vế trái là số chẵn, vế phải là số lẽ nên phương trình không thể có nghiệm. (0,5đ) Trường THCS Yên trường đề thi học sinh giỏi cấp huyện Môn: toán Lớp 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề bài Bài 1(2,5đ): Cho biểu thức A = a) Tìm điều kiện của x để A xác định b) Rút gọn A Bài 2 (2đ): Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4) a) Viết phương tình đường thẳng AB b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M Bài 3 (1,5đ): Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình ẩn x sau: x2 - m2x + m + 1 = 0 có nghiệm nguyên. Bài 4 (3đ): Cho tam giác ABC. Phân giác AD (D ẻ BC) vẽ đường tròn tâm O qua A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh a) EF // BC b) Các tam giác AED và ADC; àD và ABD là các tam giác đồng dạng. c) AE.AC = à.AB = AC2 Bài 5 (1đ): Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 ³ x3 + y4. Chứng minh: x3 + y3 Ê x2 + y2 Ê x + y Ê 2 Đáp án toán 9 Bài 1: a) Điều kiện x thỏa mãn (0,25) Û Û x > 1 và x ạ 2 (0,5) KL: A xác định khi 1 2 (0,25) b) Rút gọn A A = (0,5) A = (0,25) Với 1 < x < 2 A = (0,25) Với x > 2 A = (0,25) Kết luận Với 1 < x < 2 thì A = Với x > 2 thì A = (0,25) Bài 2: a) A và B có hoành độ và tung độ đều khác nhau nên phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b (0,25) A(5; 2) ẻ AB ị 5a + b = 2 B(3; -4) ẻ AB ị 3a + b = -4 Giải hệ ta có a = 3; b = -13 (0,5) Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 3x - 13 (0,25) b) Giả sử M (x, 0) ẻ xx’ ta có MA = MB = DMAB cân ị MA = MB Û (0,5) Û (x - 5)2 + 4 = (x - 3)2 + 16 Û x = 1 (0,25) Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0) (0,25) Bài 3: Phương trình có nghiệm nguyên khi D = m4 - 4m - 4 là số chính phương (0,25) Ta lại có: m = 0; 1 thì D < 0 loại (0,25) m = 2 thì D = 4 = 22 nhận (0,25) m ³ 3 thì 2m(m - 2) > 5 Û 2m2 - 4m - 5 > 0 Û D - (2m2 - 2m - 5) < D < D + 4m + 4 Û m4 - 2m + 1 < D < m4 Û (m2 - 1)2 < D < (m2)2 D không chính phương (0,5) Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. (0,25) Bài 4: a) (0,25) (0,25) mà (0,25) ị EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau) (0,25) b) AD là phân giác góc BAC nên sđsđ() = sđ = sđ do đó và ị DDAE ~ DADC (g.g) (0,5) Tương tự: sđ = ị do đó DAFD ~ đAB (g.g) (0,5) c) Theo trên: + DAED ~ DADB ị hay AD2 = AE.AC (1) (0,5) + DADF ~ DABD ị ị AD2 = AB.AF (2) Từ (1) và (2) ta có AD2 = AE.AC = AB.AF (0,5) Bài 5 (1đ): Ta có (y2 - y) + 2 ³ 0 ị 2y3 Ê y4 + y2 ị (x3 + y2) + (x2 + y3) Ê (x2 + y2) + (y4 + x3) mà x3 + y4 Ê x2 + y3 do đó x3 + y3 Ê x2 + y2 (1) (0,25) + Ta có: x(x - 1)2 ³ 0: y(y + 1)(y - 1)2 ³ 0 ị x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 ³ 0 ị x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y ³ 0 ị (x2 + y2) + (x2 + y3) Ê (x + y) + (x3 + y4) mà x2 + y3 ³ x3 + y4 ị x2 + y2 Ê x + y (2) (0,25) và (x + 1)(x - 1) ³ 0. (y - 1)(y3 -1) ³ 0 x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1 ³ 0 ị (x + y) + (x2 + y3) Ê 2 + (x3 + y4) mà x2 + y3 ³ x3 + y4 ị x + y Ê 2 Từ (1) (2) và (3) ta có: x3 + y3 Ê x2 + y2 Ê x + y Ê 2 (0,5)