Câu 1: (2,0 điểm) Cho ma trận
1 1
2 2
2 1 1
m
A m
=
.
1. Tìm điều kiện của tham số m để ma trận A khả nghịch.
2. Với m tìm được ở trên, sử dụng ma trận phần bù đại số, hãy tìm ma trận nghịch
đảo của A.
Câu 2: (2,0 điểm) Cho dạng toàn phương trong ℝ3 :
2 2 2
f x x x x x x x x x x x x ( , , ) 2 5 6 4 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 = + + + − − λ .
1. Tìm dấu của f x x x ( 1 2 3 , , ) khi λ = 1.
2. Tìm λ để dạng toàn phương f x x x ( 1 2 3 , , ) xác định dương.
Câu 3: (3,0 điểm). Cho B p x x x p x x x p x x x = = + − = + − = + − { 1 2 3 ( ) 2 2 , 2 2 , 1 2 2 2 ( ) ( ) }
là một cơ sở của không gian véctơ P2 = + + ∈ {a bx cx a b c 2 | , , ℝ} (các đa thức hệ số thực
có bậc cao nhất là 2), và tập con P S ⊂ 2 cho bởi:
S p x p x p x p x p x p x p x p x = + + − + + { 1 2 3 1 2 1 2 3 ( ) ( ) ( ), , 2 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
1. Chứng minh rằng S cũng là một cơ sở của P2 .
2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang B.
3. Biết tọa độ của véctơ p x ( )∈ P2 theo cơ sở S là (p x ( ))S = − (2;5; 3), tìm tọa độ
của véctơ này theo cơ sở B.
2 trang |
Chia sẻ: anhquan78 | Lượt xem: 918 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề thi môn: Đại số - Học kỳ II – 2015 - 2016, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
TRƯỜNG ĐHSPKT TP.HCM
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
ĐỀ THI MÔN: ĐẠI SỐ
Mã môn học: MATH141401
Học kỳ II – 2015-2016
Ngày thi: 06/06/2016 Thời gian: 90 phút
Đề thi gồm 01 trang.
Sinh viên được sử dụng tài liệu.
Câu 1: (2,0 điểm) Cho ma trận
1 1
2 2
2 1 1
m
A m
=
.
1. Tìm điều kiện của tham số m để ma trận A khả nghịch.
2. Với m tìm được ở trên, sử dụng ma trận phần bù đại số, hãy tìm ma trận nghịch
đảo của A.
Câu 2: (2,0 điểm) Cho dạng toàn phương trong 3ℝ :
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 2 5 6 4 2f x x x x x x x x x x x xλ= + + + − − .
1. Tìm dấu của ( )1 2 3, ,f x x x khi 1.λ =
2. Tìm λ để dạng toàn phương ( )1 2 3, ,f x x x xác định dương.
Câu 3: (3,0 điểm). Cho ( ) ( ) ( ){ }2 2 21 2 32 2 , 2 2 , 1B p x x x p x x x p x x x= = + − = + − = + −
là một cơ sở của không gian véctơ { }P2 2 | , ,a bx cx a b c= + + ∈ ℝ (các đa thức hệ số thực
có bậc cao nhất là 2), và tập con
2
S ⊂ P cho bởi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3 1 2 1 2 3, , 2 .S p x p x p x p x p x p x p x p x= + + − + +
1. Chứng minh rằng S cũng là một cơ sở của
2
P .
2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang B.
3. Biết tọa độ của véctơ ( ) 2p x ∈ P theo cơ sở S là ( )( ) ( )2;5; 3
S
p x = − , tìm tọa độ
của véctơ này theo cơ sở B.
Câu 4: (2,0 điểm). Cho phép biến đổi tuyến tính 3 3:f →ℝ ℝ xác định bởi
( ) ( ), , 2 , , 2 3 .f x y z x y z y z x z= − + − +
1. Tìm ma trận của f theo cơ sở ( ) ( ) ( ){ }1 2 31, 2, 2 , 0,1, 2 , 0, 1, 3T v v v= = − = − = − .
2. Tìm tọa độ của ( )f v theo cơ sở T biết tọa độ của v theo cơ sở T là
( ) ( )2, 3, 1
T
v = − − .
Câu 5: (1,0 điểm). Trên ( ){ }\2 0, 0ℝ cho phép toán nhân được định nghĩa như sau:
( ) ( ) ( ), , , ,a b c d ab cd⊗ = với mọi ( ) ( ) ( ){ }\2, , , 0, 0 .a b c d ∈ ℝ
Chứng tỏ rằng ( ){ }( )\2 0, 0 ,⊗ℝ là một nửa nhóm giao hoán nhưng không là một nhóm.
Ghi chú: CBCT không giải thích đề thi
Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)
Câu 1 G 1.1, G 1.2, G 2.3
Câu 2 G 1.5, G 2.3, G 2.5
Câu 3 G 1.4, G 1.3, G 2.4,
Câu 4 G 1.2, G 1.5, G 2.5
Câu 5 G 1.1, G 2.6
Ngày 23 tháng 05 năm 2015
Bộ môn duyệt đề
