Trong bài báo này, trước hết chúng tôi đưa ra hai bổ đề quan trong về Điểm bất
động trong không gian kiểu metric, nó khái quát hóa và kéo theo nhiều kết quả
khác. Thứ hai, chúng tôi đưa ra một số định lý về điểm bất động của ánh xạ co trên
không gian kiểu metric đầy đủ. Thứ ba, chúng tôi chứng minh tính chất của phép lặp
Picard. Các kết quả trong bài báo này được viết dựa trên tài liệu [2].
5 trang |
Chia sẻ: thuyduongbt11 | Ngày: 09/06/2022 | Lượt xem: 463 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Điểm bất động trong không gian kiểu Metric, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
SỐ 53/2020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI
20 KH&CN QUI
Điểm bất động trong không gian kiểu Metric
ThS. Nguyễn Thị Thu Hương1,*
1Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh
Mobile: 0366450738; * Email: huongna2010@gmail.com
Tóm tắt
Từ khóa:
Ánh xạ co; Dãy Cauchy;
Điểm bất động; Không gian
kiểu metric;Phép lặp Picard.
Trong bài báo này, trước hết chúng tôi đưa ra hai bổ đề quan trong về Điểm bất
động trong không gian kiểu metric, nó khái quát hóa và kéo theo nhiều kết quả
khác. Thứ hai, chúng tôi đưa ra một số định lý về điểm bất động của ánh xạ co trên
không gian kiểu metric đầy đủ. Thứ ba, chúng tôi chứng minh tính chất của phép lặp
Picard. Các kết quả trong bài báo này được viết dựa trên tài liệu [2].
1. Giới thiệu
Hơn một thế kỉ qua, lý thuyết điểm bất động
được nhiều nhà toán học trên thế giới tìm cách cải
tiến trên các không gian trừu tượng khác nhau như:
Không gian 2- metric, không gian metric thứ tự,
không gian b-metric, không gian metric nón,. Tất
cả đều thiết lập mối liên hệ giữa phương pháp tiếp
cận thuần túy và ứng dụng của nó. Đặc biệt, một số
ứng dụng của lý thuyết điểm bất động đã được giới
thiệu để nghiên cứu và tính toán cho phương trình vi
phân, phương trình tích phân. Trong số đó, Định
lý điểm bất động có tầm ảnh hưởng lớn và nổi tiếng
nhất là nguyên lý ánh xạ co Banach được chứng
minh bởi nhà toán học Banach người Balan vào năm
1922. Kể từ đó lý thuyết điểm bất động đã có một
bước phát triển nhanh chóng.
2. Nội dung
2.1.Các định nghĩa và bổ đề
Định nghĩa 1[1].Cho X là tập hợp khác rỗng và
1k là một số thực cho trước. Hàm
d : X × X
được gọi là kiểu metric trên X nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn:
1) , 0 , d x y x y
2) , , ,d x y d y x
3) ,z , , , d x kd x y kd y z
, , . x y z X Khi đó bộ ba , , X k d được gọi là
không gian kiểu metric.
Định nghĩa 2[1]. Cho , , X k d là không
gian kiểu metric và nx là một dãy các phần tử
trong X. Khi đó:
(1) Dãy nx được gọi là hội tụ đến x X nếu
, 0nd x x khi n ;
(2) Dãy nx được gọi là dãy Cauchy nếu
, 0m nd x x khi ,m n ;
(3) , , X k d là không gian đầy đủ nếu mọi dãy
Cauchy các phần tử trong X đều hội tụ trong nó.
Định nghĩa 3[2]. Cho , , X k d là một
không gian kiểu metric, 0x X và ánh xạ
T: ,X X với (T) ,F trong đó (T)F là tập
các điểm bất động của T. Khi đó, dãy lặp
1 T n nx x với mọi n N được gọi T- dừng đối
với T nếu lim (T)
n
n
x q F và nếu mỗi dãy
n n Ny X thỏa mãn 1lim ,T 0 n nn d y y
thì lim .
n
n
y q
Định nghĩa 4[2]. Cho ,K là một
không gian metric bị chặn đầy đủ. Khi đó, điểm bất
động của ánh xạ :T K K được xác định nếu
tồn tại duy nhất :q K q F T và :y Xn
lim , 0m n
n
d y Ty
thì ta có lim .n
n
y q
Bổ đề 1. Cho , ,X k d là không gian
kiểu metric với hệ số 1k . Giả sử dãy
,n nx y X hội tụ tới các điểm tương ứng
;x y X . Khi đó ta có:
2n n n n2 n n
1
d x,y liminfd x ,y limsupd x ,y k d x,y .
k
Nếu x y thì lim d x ,y =0.n nn
Hơn nữa, với mỗi z X ta có
2n n
n n
1
d x,z liminfd x ,z limsupd x ,z k d x,z
k
Chứng minh.Với mỗi 1n , ta có:
, , , ,
, , , ,
, , , ,
, , , .
n n
n n n n
n n n n
n n
d x y k d x x d x y
d x y k d x y d y y
d x y k d x x d x y
d x y k d x y d y y
Suy ra
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 53/2020
KH&CN QUI 21
2
2 2
1 1
, , , ,
, , , .
n n n n
n n
d x y d x x d y y d x y
k k
kd x x k d y y k d x y
Cho n ta thu được
lim 2n n n n2 n n
1
d x,y infd x ,y limsupd x ,y k d x,y .
k
Nếu x y thì ( , ) 0.d x y Suy ra lim , 0.n n
n
d x y
Với mỗi z X , ta có
, , , , 1. n nd x z kd x x kd x z n
Từ đó ta suy ra
1
, , ,
, , .
n n
n
d x z d x x d x z
k
kd x x kd x z
Cho nvà sử dụng lim , 0n
n
d x x
ta thu được:
1
, liminf , limsup ,
, .
n n
n n
d x z d x z d x z
k
kd x z
Bổ đề 2. Cho , ,X k d là không gian kiểu
metric với hệ số 1k và ánh xạ :T X X . Giả
sử nx là một dãy các phần tử trong X xác định bởi
1n nx Tx sao cho n n+1 n-1 nd x ,x λd x ,x , (2.1)
với mọi n N trong đó và λ 0;1 . Khi đó nx là
một dãy Cauchy.
Chứng minh. Cố định
0x X và xây dựng dãy nx
bởi công thức
1n nx =Tx ,n N . Ta xét các trường
hợp sau:
Trường hợp 1: Với
1
λ 0, , k >1.
k
Theo (2.1), ta có:
n n+1 n-1 n
2
n-2 n-1
n
0 1
d x ,x λd x ,x
λ d x ,x
...
λ d x ,x .
n n+1 n-1 n
2
n-2 n-1
n
0 1
d x ,x λd x ,x
λ d x ,x
...
λ d x ,x .
Do đó, với mọi n,m N và n m ta có:
1 1
1
2 2
1 2 2
2
1 1 2
3 3
2 3 3
2
1 1 2
3
2 3
, , ,
,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
m n m m m n
m m
m m m n
m m m m
m m m n
m m m m
m m
d x x kd x x kd x x
kd x x
k d x x k d x x
kd x x k d x x
k d x x k d x x
kd x x k d x x
k d x x
1 1
2 1 1
2 1
0 1 0 1
3 2
0 1
1 2
0 1
1 1
0 1
2 2
2 2
, ,
, ,
,
,
,
1
n m n m
n n n n
m m
m
n m n
n m n m
m
n m n m
k d x x k d x x
k d x x k d x x
k d x x
k d x x
k d x x
s s
k
s
0 11 1 ,
n m n m
d x x
s
0 1
0
0 1
,
, 0 .
1
im
i
m
k s d x x
k
d x x m
k
Điều này chứng tỏ 0n nT x là dãy Cauchy. Hay
n nx là dãy Cauchy.
Trường hợp 2: Với
1
,1 , >1.k
k
Trong trường
hợp này, ta có 0n khi ,n do đó tồn tại
0n sao cho
0
1n
k
. Theo Trường hợp 1, suy
ra 0 0 0 00 1
0
, , , ,
n
n
n n n n
n
T x x x x
là dãy Cauchy.
Khi đó
0 0 0 0 00 1 2 1 1 20
, , , , , ,n n n n n n nnx x x x x x x x x
là dãy Cauchy trong X.
Trường hợp 3: Với 1k . Chứng minh tương tự
như Trường hợp 1, ta cũng có n nx là dãy
Cauchy.
2.2. Định lý
Định lý 1. Cho X, k, d là không gian kiểu
metric đầy đủ với hệ số 1k và ánh xạ :T X X
thỏa mãn điều kiện
1 2
3 4
5
, ,
, ,
1 ,
, , , ,
1 , 1 ,
, ,
, 2.2
1 ,
d x Tx d y Ty
d Tx Ty d x y
d x y
d x Ty d y Tx d x Tx d x Ty
d x y d x y
d y Ty d y Tx
d x y
trong đó
1 2 3 4, , , và 5 là các hằng số không âm
SỐ 53/2020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI
22 KH&CN QUI
và thỏa mãn
1 2 3 4 5 1k k . Khi đó, T
có điểm bất động duy nhất * .x X Hơn nữa, với
mỗi x X , dãy lặp nT x hội tụ về * .x X
Chứng minh.Chọn
0x X và xây dựng dãy lặp
nx bởi công thức 1 .n nx Tx n Nếu tồn tại
0n sao cho 0 0 1n nx x thì 0 0 01 ,n n nx x Tx hay
0n
x gọi là điểm bất động của T. Không mất tính tổng
quát, ta giả sử rằng
1,n nx x n . Theo giả thiết
ta có
1 1
1 1
1 1 2
1
1 1 1 1 1
3 4
1 1
1
5
1
1 1
1 1 2
1
, ,
, ,
,
1 ,
, , , ,
1 , 1 ,
, ,
1 ,
, ,
,
1 ,
n n
n n n n
n n
n n
n n n n n n n n
n n n n
n n n n
n n
n n n n
n n
n
d x x Tx Txn n
d x Tx d x Tx
d x x
d x x
d x Tx d x Tx d x Tx d x Tx
d x x d x x
d x Tx d x Tx
d x x
d x x d x x
d x x
d x x
1 1 1 1 1
3 4
1 1
1
1
1 1 2 1 4 1 1
+
.
, , , ,
1 , 1 ,
, ,
5 1 ,
, , , ,
n
n n n n n n n n
n n n n
n n n n
n n
n n n n n n n n
d x x d x x d x x d x x
d x x d x x
d x x d x x
d x x
d x x d x x k d x x d x x
Điều này chứng tỏ rằng
2 4 1 1 4 11 , , 2.3n n n nk d x x k d x x
Từ (2.2) ta có
.
1 1
1 1
1 1 2
1
1 1 1
3 4
1 1
1 1 1
5
1
1 1
1 1 2
1
3
, ,
, ,
,
1 ,
, , , ,
1 , 1 ,
, ,
1 ,
, ,
,
1 ,
n n n n
n n n n
n n
n n
n n n n n n n n
n n n n
n n n n
n n
n n n n
n n
n n
n
d x x d Tx Tx
d x Tx d x Tx
d x x
d x x
d x Tx d x Tx d x Tx d x Tx
d x x d x x
d x Tx d x Tx
d x x
d x x d x x
d x x
d x x
d x
1 1 1
4
1 1
1 1 1
5
1
1 1 2 1 5 1 1
, , , ,
1 , 1 ,
, ,
1 ,
, , , , .
n n n n n n n
n n n n
n n n n
n n
n n n n n n n n
x d x x d x x d x x
d x x d x x
d x x d x x
d x x
d x x d x x k d x x d x x
Kéo theo
2 5 1 1 5 11 , , 2.4n n n nk d x x k d x x
Từ (2.3) và (2.4) ta có
1 4 51 1
2 4 5
2
, ,
2 2
n n n n
k k
d x x d x x
k k
Đặt 1 4 5
2 4 5
2
.
2 2
k k
k k
Vì
1 2 3 4 5 1k k nên 0 1. Theo
Bổ đề 2, nx là dãy Cauchy trong X. Hơn nữa
X, k, d là đầy đủ nên tồn tại x X sao cho
lim .n
n
x x
(2.5)
Tiếp theo, ta chỉ ra rằng
x là điểm bất động của T.
Thật vậy
1 2
3 4
5
1
1 2
1
3 4
,T ,
, ,
,
1 ,
, , , ,
1 , 1 ,
, ,
1 ,
, ,
,
1 ,
, , ,
1 ,
n n
n n
n
n
n n n n n
n n
n
n
n n
n
n
n n n n
n
d x x d Tx Tx
d x Tx d x Tx
d x x
d x x
d x Tx d x Tx d x Tx d x Tx
d x x d x x
d x Tx d x Tx
d x x
d x x d x Tx
d x x
d x x
d x Tx d x x d x x
d x x
1
1
5
,T
1 ,
,T ,
1 ,
n
n
n
n
d x x
d x x
d x x d x x
d x x
Cho n ta thu được lim , 0.1d x Txnn
Từ đó suy ra *.
1
lim Tx
n
x
n
(2.6)
Từ (2.5) và (2.6) ta có Tx x hay x là bất động
của T. Cuối cùng, chúng ta chỉ ra tính duy nhất của
điểm bất động. Thật vậy, gia sử có một điểm bất
động
*y của T sao cho y x , theo giả thiết ta có:
1 2
3 4
, ,
, ,
,
1 ,
, , , ,
1 , 1 ,
d x y d Tx Ty
d x Tx d y Ty
d x y
d x y
d x Ty d y Tx d x Tx d x Ty
d x y d x y
5
1 3
1 3
, ,
1 ,
, ,
,
1 ,
, .
n
d y Ty d y Tx
d x y
d x y d x y
d x y
d x x
d x y
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 53/2020
KH&CN QUI 23
Do
1 2 3 4 5 1k k nên 1 3 1.
Từ đó suy ra , 0d x y hay .x y
Hệ quả 1. Cho ,X d là không gian metric
đầy đủ và ánh xạ :T X X thỏa mãn điều kiện
1 2
3 4
5
, ,
, ,
1 ,
, , , ,
1 , 1 ,
, ,
,
1 ,
d x Tx d y Ty
d Tx Ty d x y
d x y
d x Ty d y Tx d x Tx d x Ty
d x y d x y
d y Ty d y Tx
d x y
trong đó
1 2 3 4, , , và 5 là các hằng số không âm
và
1 2 3 4 5 1 .Khi đó, T có duy nhất
điểm bất động trong X. Hơn nữa, với mỗi x X ,
dãy lặp nT x n hội tụ về điểm cố định.
Chứng minh: Hệ quả này suy ra từ Định lý 1 bằng
cách chọn 1.k
Định lý 2. Giả sử các điều kiện của Định lý 1
được thỏa mãn.
Nếu 21 3 4 52 2 2k k k thì dãy
1n nx Tx n là T- dừng.
Chứng minh. Theo Định lý 1, ánh xạ T có điểm bất
động duy nhất .x X Giả sử ny là một dãy trong
X sao cho 1, 0n nd y Ty khi n .Từ (2.2), ta
có
1 2
3 4
5
, ,T
, ,
,
1 ,
, , , ,
1 , 1 ,
, ,
1 ,
n n
n n
n
n
n n n n n
n n
n
n
d Ty x d Ty x
d y Ty d x Tx
d y x
d y x
d y Tx d x Ty d y Ty d y Tx
d y x d y x
d x Tx d x Ty
d y x
1 3 4
1 4 3 4
, , ,
, , .
n n n n
n n
d y x d x Ty d y Ty
k d y x k d x Ty
Điều này chứng tỏ
3 4 1 41 , , 2.7n nk d x Ty k d y x
Mặt khác, ta có
1 2
3 4
5
1 3 5
1 5 3 5
, T ,T
, ,
,
1 ,
, , , ,
1 , 1 ,
, ,
1 ,
, , ,
, , .
n n
n n
n
n
n n n
n n
n n n
n
n n n n
n n
d Ty x d x y
d x Tx d y Ty
d x y
d x y
d x Ty d y Tx d x Tx d x Ty
d x y d x y
d y Ty d y Tx
d x y
d x y d x Ty d y Ty
k d y x k d x Ty
Điều này kéo theo
3 5 1 51 , , . 2.8n nk d x Ty k d y x T
ừ (2.7) và (2.8) suy ra
1 4 5
3 4 5
2
, , . (2.9)
2 2
n n
k k
d x Ty d y x
k k
Đặt
1 4 5
3 4 5
2
.
2 2
k k k
h
k k
Vì 1 3 4 522 2 2k k k nên 0 1h .
Đặt 1, , ,n n n n na d y x c kd y Ty .
Từ (2.9), ta có :
1 1 1, , ,n n n n n n na d y x kd y Ty kd Ty x ha c .
Áp dụng Bổ đề 1, suy ra
1 , 0n na d y x n .
Điều này có nghĩa là ny x n
.Vậy dãy lặp
1n nx Tx là T-dừng.
Hệ quả 2. Giả sử các giả thiết của Hệ quả 1
được thỏa mãn. Khi đó dãy lặp
1n nx Tx là T-
dừng.
Chứng minh. Trong Định lý 2 cho 1k . Khi đó
2
1 3 4 52 2 ( )( ) 2,k k k
kéo theo
1 3 4 5 1.
Theo Định lý 1 ta có điều phải chứng minh.
Định lý 3. Cho X, k, d là không gian kiểu
metric với hệ số 1k và ánh xạ :T X X thỏa
mãn điều kiện F T và 2, , 2.10d Tx T x d x Tx
với ,0 1x X là một hằng số. Khi đó ánh xạ
T có thuộc tính (P).
Chứng minh. Hiển nhiên, khẳng định trên luôn đúng
với 1.n
SỐ 53/2020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI
24 KH&CN QUI
Với 1n , lấy .nz F T Theo giả thiết, ta có
1 2 1, ,
1 ,
2 2 2 ,
2 2 1 ,
, 0 .
n nd z Tz d TT z T T z
n nd T z T z
n nd TT z T T z
n nd T z T z
nd z Tz n
Do đó , 0d z Tz vậy Tz z hay ánh xạ T có tính
chất (P).
Định lý 4. Giả sử các điều kiện của Định lý 1
được thỏa mãn. Khi đó ánh xạ T có tính chất P.
Chứng minh. Ta chứng minh ánh xạ T thỏa mãn
(2.10).Thật vậy, với mỗi x X ta có
2
1 2
3 4
5
,T T ,TT
, T ,TT
,T
1 ,T
,TT ,T , ,T
1 ,T 1 ,T
, ,
1 ,T
d Tx x d x x
d x Tx d x x
d x x
d x x
d x x d Tx x d x Tx d x Tx
d x x d x x
d Tx TTx d Tx Tx
d x x
2 2
1 3 4
2
1 4 2 4
,T , ,
,T , .
d x x d Tx T x d x T x
k d x x k d Tx T x
Điều này chứng tỏ
22 4 1 41 , , 2.11 .k d Tx T x k d x Tx
Mặt khác, ta có
2
1 2
3 4
5
2 2
1 3 5
2
1 5 2 5
, ,
, ,
,
1 ,
, , , ,
1 , 1 ,
, ,
1 ,
, , ,
, , .
d Tx T x d Tx TTx
d Tx TTx d x Tx
d Tx x
d Tx x
d Tx Tx d x TTx d Tx TTx d Tx Tx
d Tx x d Tx x
d x Tx d x TTx
d Tx x
d Tx x d Tx T x d x T x
k d Tx x k d Tx T x
Từ đó suy ra
22 5 1 51 , , . 2.12k d Tx T x k d x Tx
Từ (2.11) và (2.12), ta có
22 4 5 1 4 52 2 , 2 ,T .k k d Tx T x k k d x x
Do đó
2 1 4 5
2 4 5
2
, ,
2 2
k k
d Tx T x d x Tx
k k
.
Đặt 1 4 5
2 4 5
2
.
2 2
k k
k k
Do
1 2 3 4 5 1k k nên 1 . Khi đó
ánh xạ T thỏa mãn (2.10). Vậy ánh xạ T có tính chất
(P).
Hệ quả 3.Giả sử các điều kiện trong Hệ quả 1
được thỏa mãn. Khi đó ánh xạ T có tính chất (P).
Chứng minh.Vì Hệ quả 1 là trường hợp đặc biệt của
Định lý 1 và theo Định lý 4, ta có điều phải chứng
minh.
3. Kết luận
Trong bài báo này chúng tôi trình bày lại một
cách cụ thế khái niệm và một số kết quả trong không
gian kiểu metric. Các kết quả này có một số ứng
dụng vào phương trình vi phân. Vì khuôn khổ bài
báo không cho phép nên việc ứng dụng chưa được
trình bày.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. S. Czerwik, (1993) “Contraction
mappings in b-metric spaces”. Acta Math.
Inform.Univ. Ostrav. 1, pp. 5–11.
[2]. Huang, H., Radenovic, S., Deng, G. (2018),
"Fixed point theorems in b- metric space with
applications to differential equations."J. Fixed Point
Theory Appl., doi.org/10.1007/s11784-018-0491-z.