Điều kiện tối ưu cần cho cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc

TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 247 Email: jst@tnu.edu.vn ON NECESSARY OPTIMALITY CONDITIONS FOR LOCAL WEAK PARETO MINIMUM IN VECTOR OPTIMIZATION PROBLEM WITH CONSTRAINTS Vu Thi Thu Loan1, Tran Van Su2, Dinh Dieu Hang3* 1TNU - University of Agriculture and Forestry, 2Quang Nam University 3TNU - University of Information and Communication Technology ARTICLE INFO ABSTRACT Received: 16/4/2021 The vector optimization problem with set and inequalities constraints (also called as multiobjective optimization problem with constraints) is considered in this paper for which the data is of real Banach spaces. Using the regularity condition in the sense of Clarke’s derivatives in which the objective function and the constraints function are Gâteaux differentiable at the given optimal point, we provide the dual second- order nec- essary optimality condition for the local weak Pareto minimum of the vector optimization problem through the Clarke generalized derivatives and the Páles-Zeidan type second- order upper generalized directional derivatives. The result obtained in the literature is new and also illustrated by an example for our findings. Revised: 27/5/2021 Published: 31/5/2021 KEYWORDS Second-order necessary optimality conditions Local weak Pareto minimum Clarke’s generalized derivatives Optimality condition Páles and Zeidan’s second-order upper generalized direc- tional derivatives ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẦN CHO CỰC TIỂU PARETO YẾU ĐỊA PHƯƠNG CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ CÓ RÀNG BUỘC Vũ Thị Thu Loan1, Trần Văn Sự2, Đinh Diệu Hằng3* 1Trường Đại học Nông Lâm – ĐH Thái Nguyên 2Trường Đại học Quảng Nam 3Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông – ĐH Thái Nguyên THÔNG TIN BÀI BÁO TÓM TẮT Ngày nhận bài: 16/4/2021 Bài toán tối ưu với ràng buộc tập và bất đẳng thức (hay còn gọi là bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc) được nghiên cúu trong bài báo này với dữ liệu trong không gian Banach thực. Sử dụng điều kiện chính quy trong trường hợp đạo hàm Clarke trong đó hàm ràng buộc và hàm mục tiêu là khả vi Gâteaux tại điểm tối ưu cho trước, chúng tôi thiết lập điều kiên tối ưu cần cấp hai dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu thông qua ngôn ngữ đạo hàm suy rộng Clarke và đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp hai dạng Páles-Zeidan. Kết quả thu được trong bài báo là mới và chúng tôi cũng đề xuất một số ví dụ cho mô tả kết quả mới của bài báo. Ngày hoàn thiện: 27/5/2021 Ngày đăng: 31/5/2021 TỪ KHÓA Điều kiện cần tối ưu cấp hai Cực tiểu Pareto yếu địa phương Đạo hàm suy rộng Clarke Điều kiện tối ưu Đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp hai Páles-Zeidan DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.4319 * Corresponding author. Email: ddhang@ictu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 248 Email: jst@tnu.edu.vn 1. Mở đầu Giả sử X là một không gian Banach, C là một tập con mở khác rỗng trong X , hàm giá trị vectơ p p RCfff →= :),...,( 1 và các hàm giá trị thực miRCgi ,...,2,1,: =→ . Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc tập và bất đẳng thức dạng: )(min xf (hay min)( →xf ) (p) thỏa mãn Kx Trong đó, tập chấp nhận được K của bài toán tối ưu vectơ (P) có dạng:  mixgCxK i ,...,2,1,0)(:: == . Một vectơ Kx được gọi là cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu vectơ (P), nếu tồn tại một lân cận )(min xf U của x sao cho không tồn tại bất kỳ UKx  để pjxfxf ji ,...,2,1),()( = . Trường hợp XU = , từ “địa phương” có thể bỏ qua cho nghiệm cực tiểu Pareto yếu. Nếu một vectơ Kx là một cực tiểu Pareto yếu của bài toán tối ưu vectơ (P) thì cũng là một cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán. Do đó, trong nhiều bài toán tối ưu, tính chất nghiệm địa phương được ưu tiên trong thiết lập tính hữu hiệu “cần” cấp 1 và cấp 2. Bài toán tối ưu vectơ (P) với điều kiện Lipschitz địa phương được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây, nhưng giả thiết về hàm mục tiêu và ràng buộc ít nhất là khả vi liên tục. Trong nhiều kết quả về lĩnh vực điều kiện tối ưu cấp 2 tốt hơn cấp 1, nghĩa là điều kiện tối ưu cấp 2 chứa nhiều thông tin hơn điêu kiện tối ưu cấp 1, chúng còn làm mịn được các thông tin trong điều kiên tối ưu cấp 1. Trong nhiêu bài toán tối ưu vectơ, các điều kiện tối ưu cấp 1 không thể sử dụng cho kiểm tra kết quả tối ưu hay thiết kế thuật toán số trong thực hành mà cần đến điều kiện tối ưu cấp 2. Đấy là lý do chính tại sao chúng tôi cần nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp 2 trong bài báo này. Để bạn đọc có một góc nhìn toàn diện hơn về các điều kiện tối ưu cấp 2 đã biết, chúng tôi giới thiệu một vài vấn đề mang tính lịch sử đã được đề cập trong các bài báo uy tín như sau: Năm 1999, Bonnans-Cominetti-Shapiro [1] sử dụng đạo hàm parabolic cấp 2 để thiết lập điều kiện cần tối ưu vectơ có ràng buộc; năm 2003, Guerraggio-Luc [2] nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu đa mục tiêu vectơ với dữ liệu trong lớp 1,0C và 1,1C , và cũng trong thời điểm này, Jiménez-Novo [3]-[5] thu được điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu vectơ với dữ liệu là các hàm khả vi được mô tả thông qua các tập tiếp liên cấp 2. Kế tiếp đến năm 2010, Gutiérrez-Jiménez-Novo [6] sử dụng các tập tiếp tuyến cấp 2 thiết lập điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán tối đa mục tiêu có ràng buộc; năm 2018, Luu [7] biểu diễn điều kiện tối ưu cấp 2 dạng cơ bản và đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc sử dụng đạo hàm theo hướng cấp 2 dạng Páles-Zeidan. Gần đây nhất vào năm 2020, Constantin [8] cung cấp điều kiện tối ưu cấp 2 dạng cơ bản theo đạo hàm suy rộng Clarke và đạo hàm theo hướng cấp 2 dạng Páles- Zeidan. Nối tiếp kết quả của Constantin [8], chúng tôi cung cấp trong bài báo này điều kiện tối ưu cần cấp 2 dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương trong không gian Banach với dữ liệu bài toán Lipschitz địa phương tại thời điểm tối ưu cho trước. Ngoài ra, chúng tôi cũng đề xuất một số ví dụ mô tả kết quả mới của bài báo. 2. Kiến thức chuẩn bị Trong bài báo này chúng tôi quy ước: 0)(0 =− và 00 = , TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 249 Email: jst@tnu.edu.vn Với mỗi số tự nhiên n , ký hiệu nI là tập n số tự nhiên đầu tiên bắt đầu từ 1. Phần trong topo và bao đóng poto của một tập con A trong X được ký hiệu tương ứng bởi convA và riA . Số phần tử của tập A được mô tả như A . Định nghĩa sau đóng vai trò then chốt trong bài báo, bạn đọc có thể thấy trong Clarke [9], V. I. Ivanov [10] and Constantin [8]. Định nghĩa 2.1 Cho f là một hàm giá trị thực Lipschitz địa phương trên một tập mở C của X và Xx 0 . Ta có các định nghĩa sau: (a) Đạo hàm suy rộng Clarke của f tại 0x được xác định bởi: t xftvxf vxf xtx )()( suplim:),( )0,0(),( 0 0 −+= +→ (b) Đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp hai kiểu Páles-Zeidan của f tại 0x được xác định bởi: 00 0 0 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ; ) ( , ) : limsup , 2 t f x tv f x tf x v f x v v X t+→ + − − =  Chú ý 2.2 Theo Clarke [9], nếu X là hữu hạn chiều, f là Lipschitz địa phương xung quanh 0x , chính quy trong trường hợp của Clarke và khả vi Gâteaux tại 0x của f được ký hiệu bởi ),(),)(( 0 Xvvxf G  thì chúng ta luôn có đẳng thức đúng: Xvvxfvxf G = ),)((:),( 00 0 Đặc biệt, nếu f là khả vi Fréchet và liên tục xung quanh 0x và khả vi theo hướng cấp 2 tại 0x theo hướng Xv , ta cũng thu được: Xvvxfvxf G = ),)((),( 00 00 Ở đây '" 0 0 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ; ) ( , ) : limsup 2 t f x tv f x t f x v f x v t+→ + − −  = và )( 0xf là đạo hàm Fréchet tại 0x của hàm f . Với mỗi Kx (điểm chấp nhận được), tập chỉ số hoạt của bài toán tối ưu vectơ (P) ký hiệu  0)(::)( == xgIixI im Khi đề cập đến dữ liệu của bài toán (P), luôn giả thiết rằng các hàm pff ,...,1 và ( ))(xIigi  Lipschitz địa phương trên tập mở khác rỗng XC  , các hàm ( )( )xIIig mi \ liên tục tại điểm chấp nhận được x . Một phương Xv được gọi là trọng tâm tại điểm x nếu: ( ) ( ) ( )     .,0; ,0; 0 0 xIivxg Ijvxf i Pj Với trọng tâm v , ký hiệu: ( ) ( ) 0;:; 0 == vxfIjvxJ jp , TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 250 Email: jst@tnu.edu.vn ( ) ( ) ( ) 0;:; 0 == vxfxIivxI i Chuẩn hóa ràng buộc cấp 2 dạng Zingwill ký hiệu (ZSCQ) được thỏa mãn nếu: ( ) ( )vxAvxB ;;  , Trong đó: ( ) ( ) :0;::; = ivxIiXwvxA           ++ );0(,0 2 1 2 ii twttvxg  ( ) ( ) ( ) ( ) vxIivxgwxgXwvxB ii ;,0;;::; 000 += Định lý 2.3 (xem Constantin [8]) Giả sử Kx là một cực tiểu Parteto yếu địa phương của (P). Khi đó, với mọi hướng trọng tâm Xv thỏa mãn (ZSCQ), hệ sau không có nghiệm Xw ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   + + .;,0;; ,;,0;; 000 000 vxIivxgwxg vxJjvxfwxf ii jj 3. Kết quả mới của bài báo Xét bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức (P) được xác định trong phần 2. Một điều kiện tối ưu cần cấp 2 dạng đối ngẫu cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán (P) theo ngôn ngữ đạo hàm suy rộng Clarke và đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp 2 được thiết lập như sau: Định lý 3.1. (Điều kiện tối ưu cấp 2 cho Kx là một cực tiểu yếu địa phương dạng đối ngẫu) Cho Kx là một cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán (P). Giả sử X hữu hạn chiều, các hàm mục tiêu và các ràng buộc hàm pff ,...,1 và ( ))(xIig i  chính quy trong trường hợp của Clarke và khả vi Gâteaux tại x . Khi đó, với mọi hướng trọng tâm Xv thỏa mãn (ZSCQ), tồn tại ( )( )vxJjj ;0  và không đồng thời bằng 0 sao cho với mọi Xw , ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,0 ;; +  wxgwxf Gii vxIi G ji vxJj  (1) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,000 ; 00 ; +   wxgwxf ii vxIi ji vxJj  (2) ( ) .,0 mii Iixg = (3) Chứng minh. Giả sử tất cả các giả thiết của định lý 3.1 được thỏa mãn. Do X hữu hạn chiều, các ánh xạ hàm pff ,...,1 và ( ))(xIig i  chính quy trong trường hợp của Clarke và khả vi Gâteaux tại ,x chúng ta suy ra các đẳng thức sau đúng: ( ) ( )( ) ( )vxJjvxfvxf Gjj ;,;0 = ( ) ( )( ) ( ).;,;0 vxIivxgvxg Gii = Xét tập: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )XxgXxfL Gi vxIi G j vxJj =  ;; : ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )  ( ) ( )( ) XwwxgXwwxfXxgXxfL Gi vxIi G j vxJj G i vxIi G j vxJj ==  ::: ;;;; TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 251 Email: jst@tnu.edu.vn mà phần trong tương đối của L không chứa vectơ l , ở đây Xét tập ( ) ( )( ) ( ) ( )( )XxgXxfL Gi vxIi G j vxJj   = ;; : ( ) ( )( ) Xwwxf Gj vxJj =   : ; ( ) ( )( ) XwwxgGi vxIi    : ; mà phần trong tương đối của L không chứa vectơ l , ở đây ( ) ( ) ( ),;,...,;: 00 ; 00 1   −−= vxfvxfl vxJ ( ) ( ) ( ) .;,...,; 00 ; 00 1   −− vxgvxg vxI Sở dĩ ta có kết quả như trên là do X hữu hạn chiều, tập L là một nón lồi và theo giả thiết rằng hướng trọng tâm Xv thỏa mãn (ZSCQ), theo Định lý 2.3, L không chứa vectơ l và ngoài ra phần trong tương đối của L cũng là tập khác rỗng. Sử dụng định lý tách một điểm và tập là phần trong tương đối rời nhau (xem Rock-afellar [11]), tồn tại ( )( )vxJjj ;0  và ( )( )vxIii ;0  không đồng thời bằng 0 thỏa mãn các bất đẳng thức sau: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 02 ; 1 ; +   wxgwxf G ii vxIi G ji vxJj  với mọi Xww 21, và ( ) ( ) ( ) ( ) 0;; 00 ; 00 ; +   vxgvxf ii vxIi ji vxJj  Do đó, các điều kiện (1)-(2) đúng. Đặt 0=i trong trường hợp ( )vxIIi m ;\ , nhận được kết quả (3). Định lý được chứng minh. Trong trường hợp các hàm mục tiêu và ràng buộc của bài toán (P) khả vi Fréchet, liên tục xung quanh điểm tối ưu và khả vi theo hướng cấp 2 tại điểm đó theo hướng trọng tâm Xv , chúng tôi thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương theo đạo hàm theo hướng cấp 2 qua Định lý sau: Định lý 3.2. (Điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương theo đạo hàm theo phương cấp 2) Giả sử tất cả các giả thiết của Định lý 3.1 được thỏa mãn, các hàm mục tiêu và ràng buộc pff ,...,1 và ( ))(xIigi  của bài toán (P) khả vi Fréchet, liên tục xung quanh ,x và khả vi theo hướng cấp 2 tại điểm đó theo hướng trọng tâm Xv thỏa mãn (ZSCQ), tồn tại ( )( )vxJjj ;0  và ( )mi Ii 0 không đồng thời bằng 0 sao cho với mọi Xw , ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,0 ;; +   wxgwxf G ii vxIi G jj vxJj  (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ,0;; ;; +   vxgvxf n ii vxIi n jj vxJj  (5) ( ) .,0 mii Iixg = (6) TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 252 Email: jst@tnu.edu.vn Chứng minh. Áp dụng Định lý 3.1, tồn tại ( )( )vxJjj ;0  và ( )mi Ii 0 không đồng thời bằng 0 sao cho với mọi Xw , các điều kiện (1), (2) và (3) được nghiệm đúng. Sử dụng giả thiết ban đầu cùng với Chú ý 2.2, ta có: ( ) ( ) ( ),;;; 00'' vxJjvxfvxf jj = ( ) ( ) ( ).;;; 00'' vxIivxgvxg ii = Vậy các điều kiện (4), (5) và (6) cũng được thỏa mãn. Định lý được chứng minh. Chú ý nếu chúng ta đổi tính khả vi Gâteaux tại điểm bằng tính khả vi Fréchet trong một lân cận điểm x , dễ dàng kiểm tra được kết quả thu được trong Định lý 3.1 và Định lý 3.2 vẫn còn đúng nếu thay bất đẳng thức cũ: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,0 ;; +   wxgwxf G ii vxIi G jj vxJj  bằng bất đẳng thức mới: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,0 ;; +   wxgwxf ii vxIi jj vxJj  Chúng tôi minh họa Định lý qua ví dụ sau: Ví dụ 3.3. Xét bài toán (P), trong đó 2=p , 1=m , 2RC = và )0,0(=x . Khi đó, ( ) 2221 :, RRfff →= và RRgg →= 2 1 : , ở đây, với mọi 2 21 ),( Rxxx = , ,1)(:)( 41 2 211 ++−= xxxxf ,:)( 62 2 2 2 12 xxxxf +−−= .:)( 41211 xxxxg −−= Tập chấp nhận được của bài toán (P) có dạng  41212 : xxxRxK += . Dễ thấy x là một cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán (P) vì )()( 21 xfxf  với mọi 2Rx và các hàm 121 ,, gff thỏa mãn các giả thiết của Định lý 3.1 và Định lý 3.2. Chọn hướng trọng tâm v thỏa mãn += RRvv ),0( 2 . Ta có ( )  ,1=xI ( )  ,2,1; =vxJ . Dễ thấy chuẩn hóa ràng buộc dạng Zing-will (ZSCQ) thỏa mãn. Theo Định lý 3.1 và Định lý 3.2, tồn tại 0,0 21   và 01  với 0121 ==  sao cho các điều kiện (1), (2) và (3) (hoặc các điều kiện (4), (5) và (6)) đúng. Thật vậy, trong cách thiết lập ta có vế trái của (1) (hoặc (4)) bằng 0, trong khi với 0121 ==  và 01 = , ta có vế phải của (2) (hoặc (5)) bằng 0 2 2 v và hiển nhiên (3) được thỏa mãn. 4. Kết luận Dựa vào điều kiện cần tối ưu cấp 2 được biểu diễn ở dạng cơ bản cho cực tiểu Pareto yếu địa phương trong bài báo của Constantin [8], chúng tôi đã thiết lập được một số điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức thông qua ngôn ngữ đạo hàm suy rộng Clarke và đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp 2 dạng Pasles-Zeidan trong không gian Banach. Kết quả nhận được có thể mô tả trong trường hợp các hàm mục tiêu và ràng buộc của bài toán (P) là khả vi Fréchet và liên tục xung quanh điểm tối ưu và khả vi theo hướng cấp 2 tại điểm đó theo hướng trọng tâm Xv , hoặc trong trường hợp các hàm này khả vi liên tục Fréchet trong một lân cận điểm x . Kết quả đạt được trong bài báo có thể được áp dụng để xây dựng các thuật toán cho bài toán tối ưu vectơ. TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 253 Email: jst@tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] J.-F. Bonnans, R. Cominetti, and A. Shapiro, "Second order optimality conditions based on parabolic second order tangent sets," SIAM J. Optim., vol. 9, no. 2, pp. 466-492, 1999. [2] A. Guerraggio and D. T. Luc, "Optimality conditions for C1;1 constrained multiobjective problems," J. Optim. Theory Appl., vol. 116, pp. 117-129, 2003. [3] B. Jiménez and V. Novo, "First and second order sufficient conditions for strict minimality in nonsmooth vector optimization," J.Math. Anal. Appl., vol. 284, pp. 496-510, 2003. [4] B. Jiménez and V. Novo, "Second order necessary conditions in set constrained differentiable vector optimization," Math. Meth.Oper. Res., vol. 58, pp. 299-317, 2003. [5] B. Jiménez and V. Novo, "Optimality conditions in differentiable vector optimization via second-order tangent sets," Math. Meth. Oper. Res., vol. 9, pp. 123-144, 2004. [6] C. Gutierrez, B. Jiménez, and V. Novo, "On second-order Fritz John type optimality conditions in nonsmooth multiobjective programming," Math. Program., Ser. B, vol. 123, pp. 199-223, 2010. [7] V. L. Do, "Second-order necessary efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium problems," J. Glob. Optim., vol. 70, pp. 437- 453, 2018. [8] E. Constantin, "Second-order optimality conditions in locally Lipschitz inequalityconstrained multiobjective optimization," J. Optim. Theory Appl., vol. 186, pp. 50-67, 2020. [9] F. H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley, New York, 1983. [10] V. I. Ivanov, "Second-order optimality conditions for vector problems with continuously Fréchet differentiable data and secondorder constraint qualifications," J. Optim. Theory Appl., vol. 166, pp. 777-790, 2015. [11] R. T. Rockafellar, Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton, 1970.