Đồ án Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh

Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 1 LỜI NÓI ĐẦU Ngày nay khoa học nhận dạng có một vai trò vô cùng quan trọng bởi các ứng dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khoa học.Thining (làm mảnh) là một bước tiền xử lý nhằm phục vụ cho những bước tiếp theo trong quá trình nhận dạng. Đồ án này giới thiệu các khái niệm, cách phân loại, và một số thuật toán làm mảnh, những đánh giá cho từng loại thuật toán. Cấu trúc của đồ án gồm 4 chương bao gồm 3 chương lý thuyết và 1 chương về cài đặt thực nghiệm. Chương 1: Tổng quan về làm mảnh ảnh. Chương 2: Các thuật toán làm mảnh tuần tự. Chương 3: Các thuật toán làm mảnh song song. Chương 4: Cài đặt thực nghiệm. Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 2 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ LÀM MẢNH ẢNH 1.1 Xử lý ảnh Cũng như xử lý dữ liệu bằng đồ họa, xử lý ảnh số là một lĩnh vực của tin học ứng dụng. Xử lý ảnh số bao gồm các phương pháp và kỹ thuật để biến đổi, để truyền tải hoặc mã hoá các ảnh tự nhiên . Mục đích của xử lý ảnh gồm: ¾ Thứ nhất, biến đổi ảnh và làm đẹp ảnh. ¾ Thứ hai, tự động nhận dạng ảnh hay đoán nhận ảnh và đánh giá các nội dung của ảnh. Hình 1: các giai đoạn chính trong xử lý ảnh 1.1.1 Biểu diễn ảnh Trong xử lý ảnh bằng máy tính , ảnh phải được đưa về dạng biểu diễn số . Một ảnh được biểu diễn dưới dạng một ma trận hai chiều. Mỗi phần tử của ma trận biểu diễn cho mức xám hay cường độ của điểm ảnh tương ứng. Mỗi phần tử trong ma trận được gọi là phần tử ảnh (pixel). Tuỳ theo vùng các giá trị xám của điểm ảnh, mà các ảnh được phân chia ra thành ảnh màu, ảnh xám, hay ảnh nhị phân. Khi trên một ảnh chỉ tồn tại các Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 3 giá trị 0 hoặc 1 thì ta nói đó là một ảnh nhị phân hoặc ảnh đen trắng và các điểm ảnh của nó gọi là điểm ảnh nhị phân . Mỗi điểm ảnh nhị phân chỉ cần dùng 1 bit để biểu diễn. Với ảnh xám nếu dùng 1 Byte để biểu diễn thì số mức xám có thể biểu diễn là 28 hay 256 màu. Mỗi mức xám được biểu diễn dưới dạng số nguyên nằm trong khoảng từ 0 đến 255. Với ảnh màu , việc biểu diễn tương tự ảnh xám chỉ khác các phần tử của ma trận biểu diễn cho ba màu riêng rẽ gồm đỏ (red) , lục (green) , lam (blue) . Để biểu diễn cho một điểm ảnh cần 24 bit , chia làm 3 khoảng 8 bit , mỗi khoảng biểu diễn cho cường độ sáng của một trong các màu chính. 1.1.2 Nhận dạng Nhận dạng là một ứng dụng quan trọng của làm mảnh. Nhận biết và đánh giá nội dung của ảnh(nhận dạng) là sự phân tích một hình ảnh thành những phần có nghĩa để phân biệt đối tượng này với đối tượng khác. Dựa vào đó ta có thể mô tả cấu trúc của hình ảnh ban đầu. Có thể liệt kê một số phương pháp nhận dạng cơ bản như nhận dạng biên của một đối tượng trên ảnh , tách cạnh , phân đoạn ảnh .v..v... Kỹ thuật này được dùng nhiều trong y học ( xử lý tế bào , nhiễm sắc thể ) , nhận dạng chữ trong văn bản. Nhận dạng là quá trình liên quan đến mô tả đối tượng mà người ta muốn đặc tả nó. Quá trình nhận dạng thường đi sau quá trình trích chọn các đặc tính của đối tượng. Có hai kiểu mô tả đối tượng : • Mô tả theo tham số ( nhận dạng theo tham số) • Mô tả theo cấu trúc ( nhận dạng theo cấu trúc) Trên thực tế người ta đã áp dụng nhận dạng chữ ( chữ cái , chữ số , chữ có dấu) Hiện nay có các phương pháp nhận dạng chữ bằng phương pháp cấu trúc , véctơ hoá đường nét các ảnh bản đồ , nhận dạng theo cấu trúc topo.... Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 4 Nhận dạng chữ in hoặc đánh máy phục vụ cho quá trình tự động đọc tài liệu , tăng tốc độ và chất lượng thu nhận thông tin. Nhận dạng chữ viết tay (với mức độ ràng buộc về cách viết , kiểu chữ ... ) phục vụ cho nhiều lĩnh vực. Ngoài hai kỹ thuật nhận dạng trên còn kỹ thuật nhận dạng mới dựa vào kỹ thuật mạng nơron đang được áp dụng và cho kết quả khả quan. 1.2 Xương và các phương pháp tìm xương 1.2.1. Thế nào là xương và làm mảnh ảnh Kết quả của việc làm mảnh là đưa ra xương của đối tượng ảnh , vậy “xương ảnh là gì?”. Thuật ngữ “xương” dùng để chỉ kết quả mà không quan tâm đến hình dạng chuẩn của mẫu hoặc các phương thức được sử dụng. Cho đến nay, vẫn chưa có một định nghĩa đáng thuyết phục nào về xương ảnh. Vì vậy việc tìm xương ảnh, tức là tìm ra những nét đặc trưng cho một đối tượng ảnh, là một điều hết sức khó khăn. Xương được coi như hình dạng cơ bản của một đối tượng, với số ít các điểm ảnh cơ bản. Ta có thể lấy được các thông tin về hình dạng nguyên bản của một đối tượng thông qua xương. Vị trí, sự định hướng, độ dài của một đoạn xương đặc trưng cho đoạn ảnh đó. Nhiệm vụ đặt ra là phải định rõ đặc điểm thành phần của đoạn ảnh. Các kỹ thuật tìm xương luôn là chủ đề nghiên cứu trong xử lý ảnh. Do tính phức tạp của nó , mặc dù có những nỗ lực cho việc phát triển các thuật toán tìm xương nhưng các phương pháp đưa ra đều bị mất mát thông tin. Nghiên cứu về làm mảnh ta cần chú ý các vấn đề sau : ¾ Không phải tất cả các đối tượng đều có thể làm mảnh. Làm mảnh chỉ hữu dụng với các đối tượng là đường, nghĩa là chúng chỉ Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 5 thẳng hoặc cong và nó không có tác dụng với các đối tượng có hình dạng đóng trong một vùng. ¾ Làm mảnh thông thường là bước chuẩn bị cho các bước tiếp theo xử lý một đối tượng ảnh. Các bước tiếp theo làm việc trên các thuộc tính cần thiết của xương. 1.2.2. Phân loại các thuật toán tìm xương Có hai phương pháp tìm xương cơ bản : ¾ Phương pháp thứ nhất xử dụng phép biến đổi trục trung vị , trục trung vị được xác định bằng cách nối các điểm trung tâm của khối bao bọc đối tượng , các điểm trung tâm thường được tính bằng hàm khoảng cách cực đại . Phương pháp này là phương pháp tìm xương không dựa trên làm mảnh. ¾ Phương pháp thứ hai bao gồm các thuật toán làm mảnh(thinning) bằng các loại bỏ các điểm cực trị ( điểm biên) mà không làm thay đổi tính liên thông và cấu trúc tôpô của ảnh cho đến khi độ rộng của các đường bằng 1 đơn vị (1 pixel). 1.2.3. Phương pháp thay đổi trục trung vị Có thể người đầu tiên định nghĩa xương là Blum (1976), thông qua việc định nghĩa hàm trục trung vị (MFA). Hàm MFA xử lý tất cả các điểm ảnh trên đường biên như các điểm nguồn của một mặt sóng trước. Mỗi một điểm ảnh lại tác động lên các láng giềng của nó với một thời gian trễ tương ứng với khoảng cách, do vậy chúng cũng trở thành một phần của sóng trước. Sóng truyền qua mỗi điểm chỉ một lần và khi hai sóng gặp nhau, chúng sẽ triệt tiêu nhau, sinh ra một góc. Trục trung vị (MA) là quĩ tích của các góc này, và là Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 6 mẫu xương của một đối tượng. MAF sử dụng hai thông tin cả về không gian lẫn thời gian, và có thể đảo ngược lại một ảnh gốc. Có một cách để tìm ra trục trung vị là sử dụng đường biên của đối tượng. Đối với bất cứ một điểm p nào đó trên đối tượng, đều có thể bao nó bởi một đường biên. Nếu như có nhiều hơn một điểm biên có khoảng cách ngắn nhất thì p nằm trên trục trung vị. Bộ tất cả các điểm như vậy lập thành trục trung vị của đối tượng. Điều đó phải được thực hiện với độ phân giải cao, hoặc khoảng cách Ơcơlit là không bằng nhau, và như thế các điểm ảnh xương sẽ mất đi. Ta dễ dàng thu được một xấp xỉ của trục trung vị trên một lưới đơn giản sau hai bước: ¾ Bước thứ nhất, tính toán khoảng cách từ mỗi điểm ảnh của đối tượng đến điểm biên gần nhất. Việc này yêu cầu phải tính toán khoảng cách tới tất cả các điểm ảnh đường biên. ¾ Bước thứ hai, khoảng cách ảnh đã được tính toán, và các điểm ảnh có giá trị rộng nhất được xem là nằm trên trục trung vị. Hình2: Trục trung vị Hầu hết các nhà nghiên cứu đều cho rằng thay đổi trục trung vị thường không mang lại một xương chuẩn, và thời gian tính toán quá dài, tuy nhiên, nó là mẫu cơ bản của phần lớn các phương pháp làm mảnh. Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 7 Phương pháp thay đổi trục trung vị được coi là một phương pháp làm mảnh không lặp , ngoài ra còn có một vài thuật toán duyệt các điểm biên 2 bên mẫu , tính điểm trung tâm của các đường nối giữa các điểm biên đó và xương thu được là tập hợp các điểm trung tâm đó ( line following) hoặc các phương thức sử dụng chuỗi Fourier (Fourier transform) cũng được coi là làm mảnh không lặp. 1.2.4. Phương pháp tìm xương dựa trên làm mảnh Các phương pháp tìm xương dựa trên làm mảnh chính là vấn đề mà đồ án này nghiên cứu. Đó chính là các dạng thuật toán xoá các điểm biên của mẫu một cách có chọn lọc cho đến khi thu được xương. Việc xoá đi hay giữ lại một điểm ảnh (điểm đen) p dựa trên vùng lân cận của p. Như vậy chúng ta xét các điểm ảnh, các thuật toán có thể được phân lớp thành các thuật toán tuần tự hay song song. Đối với thuật toán tuần tự các điểm ảnh được xoá đi theo một trật tự nhất định trong mỗi vòng lặp và giá trị của điểm ảnh p sau mỗi vòng lặp không chỉ phụ thuộc vào giá trị của các láng giềng mà còn phụ thuộc vào các điểm ảnh đã được xét trước đó trong chính vòng lặp đó. Đối với thuật toán làm mảnh song song , các điểm ảnh có thể được xử lý cùng một lúc , giá trị của điểm ảnh chỉ phụ thuộc vào giá trị của các láng giềng. Chính vì thế mà các thuật toán dạng này được xử dụng trên các bộ vi xử lý song song để tăng khả năng tính toán. Tuỳ theo số chu trình con được xử Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 8 dụng trong thuật toán mà làm mảnh song song được chia ra thành các kiểu như sau : 1, 2 , hoặc 4 chu trình con. 1.3 Các khái niệm cơ bản trong làm mảnh Xét điểm ảnh p(i,j) và các điểm lân cận Hình3 : Điểm ảnh p và các láng giềng Láng giềng : các điểm ảnh x1, x2,. ... , x8 là 8_láng giềng của p và được biểu thị bởi N(p) và chúng còn được gọi là kề 8 của p. Các điểm ảnh x1, x3, x5, x7 được gọi là 4_láng giềng hay kề 4 của p. Ta sẽ sử dụng xi để chỉ các điểm ảnh và xi là điểm ảnh trắng hoặc đen tương ứng giá trị 0 hoặc 1 của nó. Số các điểm ảnh đen trong N(p) được gọi là b(p). Đường đi : một trật tự của các điểm ảnh y1, y2,. ..., yn được gọi là một 8_đường đi (hoặc 4_đường đi) nếu yi+1 là một trong 8_láng giềng ( hoặc 4_láng giềng ) của yi (i=1, 2,.. ., n-1). Hai điểm được gọi là liên thông với nhau nếu tồn tại đường đi giữa chúng. Một bộ con Q của ảnh P được gọi 8_liên thông ( hay 4_liên thông) nếu mọi cặp điểm x, y trong Q đều tồn tại 8_đường đi (hoặc 4_đường đi) từ x đến y phù hợp với các điểm của Q. Trong trường hợp này, Q được gọi là một 8_thành phần (hoặc 4_thành phần) của P. x4 x3 x2 x5 P x1 x6 x7 x8 Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 9 Điểm biên : các điểm ảnh được xét để xoá là các điểm biên và thường được định nghĩa là có ít nhất 1 trong các láng giềng là trắng. Có 2 loại biên 4 liên kết và 8 liên kết. Hình 4 : các điểm biên liên kết 8 Điểm trong : các điểm đen mà không phải là điểm biên được gọi là điểm trong của ảnh. Điểm cuối : một điểm đen thoả mãn điều kiện b(p)=1 thì được coi là điểm cuối. Điều kiện điểm cuối này được một số tác giả đưa ra với các dạng khác nhau : p có thể được giữ lại khi có 2 hoặc 3 các điểm ảnh đen phối hợp trên một bên của N(p), điều kiện này có thể được áp dụng chỉ sau hai vòng lặp đầu tiên, hoặc rất có thể nó sẽ bị bỏ qua hoàn toàn để tránh các nhánh giả. Phần lớn sự khác nhau giữa các thuật toán là ở điều kiện đảm bảo tính liên thông. Điều kiện này được định nghĩa theo các thuật ngữ số giao, số liên thông, và điểm ảnh đơn. Số giao : có hai định nghĩa về số giao của một điểm ảnh. Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 10 Rutovitz [5] là người đầu tiên đưa ra định nghĩa về số giao, số giao là số các lần biến đổi từ 1 điểm trắng sang 1 điểm đen và ngược lại khi các điểm ảnh này của N(p) được đặt theo thứ tự ngược chiều kim đông hồ. Do đó, số giao được định nghĩa như sau: XR(p) = i= ∑ 1 8 |xi -1-xi| trong đó x0 = x8 .Việc xoá đi p sẽ không là ảnh hưởng đến 4_liên thông nếu XR(p) = 2. Tuy nhiên, bởi 4_thành phần tách rời có thể được 8_liên thông, các xương thu được sử dụng số giao này có thể có chứa các điểm ảnh xoá được, và các xương đó đôi khi cũng được nói là 8_liên thông một cách chưa hoàn chỉnh (Y. S. Chen [1]). Hilditch [4] định nghĩa số giao XH (p) như số lần nhảy từ điểm trắng sang điểm đen khi các điểm này đang được đặt trong thứ tự, cắt góc giữa kề 4 đen và 4_láng giềng. Do đó: XH (p)= i= ∑ 1 4 bi với bi = ⎧⎨⎩ 1 nếu x2i - 1 = 0 và (x2i=1 hoặc x2i+1=1) 0 nếu ngược lại khi p có 4_láng giềng đều là đen, trong trường hợp này XH (p) = 0. Có thể thấy rằng, đối với cả hai định nghĩa của số giao, 1 điểm ảnh có cả 8_láng giềng đều là đen thì sẽ có số giao bằng 0, như một điểm ảnh bị cô lập. Nếu XH (p) = 1 thì việc xoá đi p không làm thay đổi tính 8_liên thông của mẫu. Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 11 Có sự khác nhau giữa hai số giao XR(p) và XH (p), điều kiện XH(p) = 1 cũng bao hàm rằng p cũng phải là điểm đường biên (có ít nhất một 4_láng giềng là trắng), trái lại XR(p) = 2 chưa chắc đã như một điều kiện vì điều này được thoả mãn nếu p có chính xác một láng giềng góc là trắng. Để tránh xoá đi p trong trường hợp này (tạo ra một điểm khuyết), các điều kiện khác cần được đi kèm (ví dụ, b(p) ≤ 6) để chắc chắn rằng p là điểm ảnh đường biên. Số liên thông : ta có thể tính số 8_liên thông theo định nghĩa sau: cN 8 = i= ∑ 1 4 ( x 2i - 1 - ( x 2i - 1. x 2i. x 2i + 1)) với x là phủ định của x, mặt khác với số 4_liên thông : cN 4 = i= ∑ 1 4 (x2i -1 - (x2i -1. x2i. x 2i+1)) Các điểm ảnh được giữa lại (khi cN 8 (p) > 1) để không làm mất tính liên thông. Các điểm ảnh có thể xoá được lại thường được gọi là đơn, một điểm ảnh biên không bị cô lập p là đơn nếu N(p) có duy nhất một thành phần đen, điều này tương đương với XH (p) = 1. Các điểm ảnh với số liên thông cN 8 (p) lớn hơn 1 thuộc vào loại điểm ảnh bội (T. Pavlidis [8]). Chúng bao gồm các điểm cuối các nhánh, các nét vẽ có độ dày 2 điểm ảnh, các điểm ảnh được qui cho xương dựa trên tiêu chuẩn liên thông. Do đó, các điểm ảnh này được giữ lại trong quá trình làm mảnh. 1.4. Các tính chất và yêu cầu đối với làm mảnh Phần này giới thiệu về các yêu cầu, tính chất đối với một thuật toán làm mảnh và khả năng đáp ứng của từng loại thuật toán. Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 12 Các tính chất bao gồm việc duy trì được những thuộc tính tô pô và các tính chất hình học, tính đẳng hướng, tính bất biến, khả năng tái tạo,không mất tính liên thông , không tạo ra lỗ hổng , không mất điểm cuối và tốc độ xử lý cao. 1.4.1 Yêu cầu về thời gian và số phép toán Các phương thức làm mảnh không lặp, không phụ thuộc vào điểm ảnh có hiệu quả trong việc giảm số các phép toán cần thiết, chúng giữ lại được tốt hơn những nét đặc trưng chi tiết của mẫu. Nhìn chung, các thuật toán làm mảnh song song đã làm tăng tốc độ xử lý, đặc biệt khi mà các cấu trúc xử lý ảnh song song đang ngày càng tăng. Đây là một bước tiến quan trọng trong lĩnh vực làm mảnh. 1.4.2 Yêu cầu về khả năng tái tạo mẫu ban đầu Khả năng tái tạo, hay còn gọi là khả năng phục hồi lại mẫu ban đầu từ một xương, là một thước đo khách quan về độ chính xác đối với mỗi một mẫu xương. Những điều kiện này, nhìn chung, phù hợp với những thuật toán dựa trên trục trung vị. 1.4.3 Yêu cầu về tính đẳng hướng và tính bất biến Đa số các thuật toán lặp đều đảm bảo tính đẳng hướng hoặc tính bất biến dưới một phép quay. Trong các thuật toán tuần tự, kết quả thu được dựa trên thứ tự của các điểm ảnh được kiểm tra, còn trên các thuật toán song song xoá đi một hay hai kiểu điểm biên trên mỗi vòng lặp con, thì xương thu được phụ thuộc vào thứ tự của các vòng lặp con này. Trong khi đó thì việc thay đổi trục trung vị không bất biến dưới một phép quay bởi vì tính không đầy đủ của các thuật toán. Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 13 1.4.4 Yêu cầu tính liên thông và tính Tô pô Việc duy trì tính liên thông và tính chất Tô pô khi làm mảnh cũng đã được giải quyết bằng những cách khác nhau. Trong các thuật toán tuần tự, kiểm tra một vùng 3 × 3 láng giềng dưới dạng số giao. Các thuật toán song song giải quyết vấn đề này bằng cách chia mỗi chu trình ra thành nhiều vòng lặp con hoặc bằng cách giữ một vùng láng giềng rộng hơn trên một vòng lặp con. 1.4.5 Yêu cầu về tính hình học Đảm bảo những thuộc tính hình học, là vấn đề gặp nhiều khó khăn nhất. Khó khăn chính là việc đạt được tính đơn giản của thuật toán, nó cho phép giữ lại một vùng nhỏ các láng giềng, nhưng các láng giềng này lại không thể đáp ứng được cho tổng thể, các thông tin có cấu trúc loại này lại cần thiết để phân biệt giữa điểm cuối giả và các điểm cuối thực. Để tránh sự xói mòn quá mức và việc tạo ra các điểm cuối giả tạo cùng một lúc, chúng ta phải có những cách khác nhau nhằm loại trừ điều kiện điểm cuối, tạo ra những điều kiện tổng quát và thích hợp hơn, hoặc chỉ áp dụng điều kiện trên các giai đoạn trước làm mảnh. Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 14 CHƯƠNG 2 CÁC THUẬT TOÁN LÀM MẢNH TUẦN TỰ Khi sử dụng các thuật toán làm mảnh tuần tự, các điểm biên được kiểm tra để xoá đi theo một thứ tự định trước, điều này có thể được hoàn thành bằng cách dò theo loạt hoặc theo biên. 2.1. Làm mảnh theo các điểm biên Các thuật toán dò biên có thể xét đến tất cả các điểm ảnh biên của một đối tượng đơn liên thông (Rosenfeld [6]), hay một đa liên thông, nếu tất cả các biên của ảnh và các lỗ hổng được kế tiếp nhau. Các đường biên được theo vết sử dụng chuỗi mã hóa kiểu Freeman [7]. Khi một điểm ảnh p được kiểm tra, nó sẽ được xoá đi hay giữ lại tuỳ theo cấu trúc của N(p). Để ngăn chặn việc xoá đi một cách tuần tự cả một nhánh trên một vòng lặp, một thuật toán tuần tự thường đánh dấu các điểm ảnh sẽ được xoá đi, và tất cả các điểm ảnh đánh dấu được xoá ở cuối vòng lặp. Điều này đảm bảo rằng chỉ có một lớp các điểm ảnh sẽ được xoá đi trên mỗi chu trình. Để tránh phải nhắc lại, chúng ta giả sử rằng một điểm p được xoá đi nếu tất cả các điều kiện sau đây được thoả mãn: Đồ án tôt nghiệp Tìm hiểu phương pháp làm mảnh ảnh Sinh viên Hà Đức Kiên - CT702 Trang 15 1. p là một điểm ảnh đen. 2. p không phải là một điểm bị cô lập hoặc điểm cuối, b(p) ≥ 2. 3. p là một điểm ảnh đường biên, p có ít nhất một trong 4_láng giềng là trắng. 2.1.1. Thuật toán của Chu và Suen Trong thuật toán này việc làm trơn được thực hiện trước mỗi vòng lặp. Trên mỗi vòng lặp các điểm biên thoả mãn các điều kiện của thuật toán được đánh dấu xoá với điều kiện điểm cuối. Khi không còn điểm ảnh nào có thể xoá được nữa, một giai đoạn chỉnh lý cuối cùng được đưa ra mà trên đó các điểm ảnh xương sẽ được chuyển cho một trong 4_láng giềng của nó nếu điểm ảnh sau cùng có khoảng cách lớn hơn 8 kể từ nền. Trong quá trình xử lý, tính liên thông của xương được đảm bảo trong khi các điểm xương được di chuyển dần tới đường trung vị của mẫu gốc. 2.1.2. Thuật toán của Arcelli Số giao Rutovitz XR(p) được sử dụng để xác định việc xoá các điểm ảnh. Trên các thuật toán này, một định nghĩa khác của điểm biên được sử dụng: ở đây, một điểm biên đen có ít nhất một 8_láng giềng là trắng. Điều kiện này cùng với việc sử dụng XR(p) đòi hỏi một điều kiện bổ sung (F = x1 x3 x5 x7 = 0) để đảm bảo rằng không tạo ra các lỗ hổng khi các đi