Giải tích các hàm nhiều biến

Chương 4 Tích phân bội 4.1.Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn................................................................ 133 4.1.1. Khái niệm...................................................................................................................... 133 4.1.2. Các thí dụ ...................................................................................................................... 137 4.1.3. Các tính chất ban đầu .................................................................................................... 139 4.2. Sự tồn tại tích phân. Tích phân trên tập bất kỳ .............................................................. 140 4.2.1. Hàm bậc thang và sự tồn tại của tích phân.................................................................... 140 4.2.2. Tích phân trên tập bất kỳ............................................................................................... 142 4.2.3. Tính khả tích của hàm liên tục ...................................................................................... 148 4.2.4. ý nghĩa của tích phân bội .............................................................................................. 150 4.3. Tích phân lặp ................................................................................................................ 152 4.3.1. Định lý Fubini ............................................................................................................... 152 4.3.2. Các hệ quả quan trọng................................................................................................... 156 4.4. Phép đổi biến trong tích phân bội............................................................................... 159 4.4.1. Phân hoạch đơn vị và bổ đề cơ bản............................................................................... 159 4.4.2. Phép đổi biến trong tích phân bội ................................................................................. 162 4.4.3. Một vài thí dụ ................................................................................................................ 168 4.1.Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn 4.1.1. Khái niệm Hộp đóng trong không gian Rn là tập hợp có dạng sau đây B := { 1 2( , ,... )nx x x ∈ Rn : , 1,2,...,i i ia x b i n≤ ≤ = }, trong đó 1 2 1 2, ,..., , , ,...n na a a b b b là những số cố định với , 1,...,i ia b i n≤ = . Khi ấy ta có thể nói hộp đóng B được xác định bởi các số 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n na a a b b b , và cũng có thể nói các số này xác định hộp đóng B. Nếu có chỉ số i sao cho i ia b= thì ta nói hộp đóng B là suy biến; trong trường hợp trái lại, hộp đóng B không suy biến. 134 Giải tích các hàm nhiều biến Các đoạn [ , ], 1,2,...,i ia b i n= được gọi là các cạnh sinh hộp đóng B, và đôi khi ta viết 1 1 2 2[ , ] [ , ] ... [ , ]n nB a b a b a b= × × × . Số 1 1 2 2( ).( )...( )n nb a b a b a− − − được gọi là thể tích của hộp đóng và thường được ký hiệu là ( )V B hay vol(B). Như vậy, nếu hộp đóng suy biến thì thể tích bằng 0, và hộp đóng không suy biến thì thể tích khác 0. Khái niệm hộp mở được định nghĩa tương tự như hộp đóng bằng các thay các dấu ≤ bởi các dấu <. Trong phần này, để thuận tiện trong việc sử dụng các ký hiệu hình thức, ta quy ước khoảng với 2 đầu mút trùng nhau là một điểm hay là khoảng có độ dài 0 (chứ không phải là tập rỗng). Hộp mở được coi là không suy biến khi tất cả các cạnh của nó là những khoảng thực sự trong R (tức là có 2 đầu mút phân biệt), và khi ấy người ta thường gọi nó là phần trong (hay miền trong) của hộp đóng tương ứng. Trong trường hợp ngược lại, tức là có chỉ số i sao cho i ia b= , thì ta nói hộp mở là suy biến. Nếu hộp có đúng s cạnh không suy biến (tức là chỉ có n-s cạnh suy biến thành điểm) thì ta gọi nó là hộp mở tương đối s chiều. Như vậy, hộp mở không suy biến là hộp mở tương đối n chiều (hay đơn giản là hộp mở n chiều), còn điểm là một hộp mở tương đối 0 chiều. Trong không gian 1 chiều thì hộp đóng chính là đoạn, còn hộp mở là khoảng. Thể tích của hộp [ , ]B a b= ⊂R là độ dài của đoạn và bằng ( )b a− . Hộp trong không gian 2 chiều chính là hình chữ nhật. Thể tích của hộp 1 1 2 2[ , ] [ , ]B a b a b= × là diện tích hình chữ nhật và bằng 1 1 2 2( )( )b a b a− − . Phần trong của hình chữ nhật là tập 1 1 2 2( , ) ( , )B a b a b′= × và là hộp mở 2 chiều. Các cạnh hình chữ nhật không kể đỉnh (tức các tập { }1 2 2( , )a a b× ,{ }1 2 2( , )b a b× , { }1 1 2( , )a b a× , { }1 1 2( , )a b b× ) là các hộp mở tương đối 1 chiều, còn các đỉnh của hình chữ nhật là các hộp mở tương đối 0 chiều. Rõ ràng, các hộp mở tương đối nói trên là không giao nhau, và hợp của chúng đúng bằng hình chữ nhật (đóng) ban đầu. Như vậy, người ta có được một cách “phân rã” hình chữ nhật đóng thành các hộp mở tương đối (với các số chiều từ 0 đến 2). Cách phân rã này được gọi là phân rã chuẩn tắc. Hộp trong không gian 3 chiều thì đúng là hộp theo ngôn ngữ thông thường và thể tích của nó cũng chính là khái niệm đã được biết trong chương trình phổ thông. Miền trong của hộp là một hộp mở 3 chiều, các mặt bao quanh hộp (không kể cạnh) là các hộp mở tương đối 2 chiều, các cạnh của hộp (không kể đỉnh) là các hộp mở tương đối 1 chiều, và các đỉnh của hộp là các hộp mở tương đối 0 chiều. Rõ ràng, các hộp mở tương đối nói trên cũng là không giao nhau, và hợp của chúng đúng bằng hộp đóng ban đầu. Như vậy, ta cũng có cách “phân rã chuẩn tắc” một hình hộp đóng 3 chiều thành các hộp mở tương đối (với các số chiều từ 0 đến 3). Chương 4. Tích phân bội 135 Tương tự như trên, với hộp n chiều 1 1 2 2[ , ] [ , ] ... [ , ]n nB a b a b a b= × × × , người ta có thể “phân rã chuẩn tắc” nó thành các hộp mở tương đối (với các số chiều khác nhau, từ 0 đến n). Cụ thể, mỗi thành phần của phân rã này là một tập trong Rn có dạng như sau: { }1 2( , ,..., ) : , 1,2,...,n i ix x x x Q i n∈ = , trong đó mỗi iQ chỉ có thể nhận 1 trong 3 khả năng: khoảng ( , )i ia b , điểm{ }ia , hoặc điểm{ }ib . Số lượng các chỉ số i mà iQ không phải là điểm (mà là khoảng thực sự) cũng chính là số chiều của thành phần này. Định nghĩa. Phân hoạch P của một hộp đóng B xác định bởi 1 2, ,..., na a a , 1 2, ,..., nb b b là một bộ gồm n phân hoạch của các đoạn 1 1 2 2[ , ],[ , ],...,[ , ]n na b a b a b trong R (theo nghĩa thông thường). Nghĩa là, nó gồm một họ n dãy số hữu hạn 1 1 1 1 1 0 1 2 (1) 1... ka x x x x b= < < < = ; 2 2 2 2 2 0 1 2 (2) 2... ka x x x x b= < < < = ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 2 ( )... n n n n n k n na x x x x b= < < < = . Bề rộng (hay đường kính) của phân hoạch này là một số, ký hiệu là d(P), xác định như sau: 1( ) : max{ : 1,2,..., ( ), 1,2,..., } i i j jd P x x j k i i n−= − = = . Như vậy một phân hoạch P của một hộp đóng B sẽ xác định một họ các hộp đóng con ( )P B gồm có (1). (2).... ( )K k k k n= phần tử. Mỗi phần tử được xác định bởi n cạnh sinh có dạng 1[ , ] , i i j jx x − với chỉ số i nằm giữa 1 và n, còn chỉ số j nằm giữa 1 và k(i). Rõ ràng hợp của các hộp thuộc họ ( )P B sẽ đúng bằng B. Hai hộp bất kỳ trong họ ( )P B không giao nhau ở miền trong của chúng. Nếu ta tiến hành phân rã từng hộp con trong họ thành các hộp mở tương đối (theo phương pháp phân rã chuẩn tắc) thì ta có được một họ các hộp mở tương đối (với các số chiều khác nhau, từ 0 đến n), ký hiệu là ( )NP B , và được gọi là họ các hộp mở tương đối sinh bởi phân hoạch P. Có thể chỉ ra rằng mỗi tập trong họ ( )NP B có dạng { }1 2( , ,..., ) : , 1,2,...,n i ix x x x Q i n∈ = , trong đó iQ có thể là một trong các khoảng 1( , ), 1,..., ( ) i i j jx x j k i− = , hoặc là một trong các điểm { }, 0,1,..., ( )ijx j k i= . 136 Giải tích các hàm nhiều biến Thí dụ. Trong trường hợp 1n = thì hộp chính là một đoạn và phân hoạch của nó là khái niệm mà ta đã quen biết trong trường hợp hàm 1 biến. Họ các hộp mở tương đối sinh bởi phân hoạch là tập hợp bao gồm tất cả các khoảng và tất cả các điểm (đâù mút các khoảng) có trong phân hoạch. Trong trường hợp 2n = thì một hộp 2 chiều chính là một hình chữ nhật, và phân hoạch P của một hình chữ nhật J xác định bởi 1 2 1 2, , ,a a b b là một bộ gồm 2 phân hoạch của 2 cạnh sinh hộp 1 1[ , ]a b và 2 2[ , ]a b (theo nghĩa thông thường trong R). Nghĩa là, nó gồm 2 dãy số hữu hạn 1 1 1 1 1 0 1 2 (1) 1... ka x x x x b= < < < = , 2 2 2 2 2 0 1 2 (2) 2... ka x x x x b= < < < = , chia hình chữ nhật J thành các hình chữ nhật con, kiểu ABCD như trong hình vẽ sau: Họ các tập mở tương đối sinh bởi phân hoạch ( )NP B là tập hợp bao gồm tất cả các hình chữ nhật con mở (kiểu phần trong của ABCD), các “cạnh con hở” (kiểu các cạnh AB, BC, CD, DA không kể đỉnh), và các đỉnh (kiểu A, B, C, D,...) . Phân hoạch của một hộp trong không gian 3 chiều là một bộ gồm 3 phân hoạch (của 3 cạnh sinh hộp), và chúng chia hộp này thành các hình hộp con (theo phương thức tương tự như trên). Nếu như trong mỗi hộp con ( )kB P B∈ ta chọn ra một điểm nào đó 1 2( , ,..., ) k k k k n kc c c B= ∈c thì ta nói rằng ta có một phép chọn C đối với phân hoạch P. B A C D 1 1 )1( 1 1 11 1 1 01 bxxxxxa kii == + """" 1x 2 )2(2 kxb = 2x 2 02 xa = 2 jx 2 1+jx Hình 4.1 Chương 4. Tích phân bội 137 Nếu f là một hàm xác định trên hộp B thì với một phép chọn C ta định nghĩa tổng Riemann của f trên phân hoạch P là 1 ( , , ) : ( ) ( ) K k k k S f P C f V B = =∑ c , trong đó ( )kV B là thể tích của hộp kB và K là số lượng các hộp kB trong phân hoạch. Khi ta không quan tâm tới một phép chọn nào cụ thể (nghĩa là phép chọn nào cũng được) thì ta ký hiệu tổng Riemann là ( , )S f P . Định nghĩa Hàm f là khả tích trên hộp B nếu như tồn tại một số A sao cho, với mỗi số 0ε> cho trước, ta luôn tìm được số 0δ> sao cho tổng Riemann của f trên mọi phân hoạch có bề rộng nhỏ hơn δ chỉ sai khác với A một đại lượng không vượt quá ε. Khi ấy ta gọi số A là tích phân Riemann của hàm f trên hộp B và ký hiệu là B f∫ . Đôi khi người ta cũng ký hiệu nó là 1 2 1 2( , ,..., ) ...n nB f x x x dx dx dx∫ hay gọn hơn là ( ) B f x dx∫ ; đặc biệt, trong trường hợp 2, hay 3 chiều người ta thường thay ký hiệu B∫ một cách “tường minh” hơn là B∫∫ hay B∫∫∫ , hoặc B ∫∫ hay B ∫∫∫ . Như vậy, định nghĩa tích phân (Riemann) của hàm nhiều biến cũng tương tự như tích phân của hàm một biến, và khi 1n = thì chúng hoàn toàn trùng nhau. Cũng như trong trường hợp hàm 1 biến, ta sẽ luôn nói gọn tích phân Riemann là tích phân nếu như không có sự nhầm lẫn nào có thể nảy sinh. Dễ dàng thấy rằng, tương tự như trong trường hợp hàm 1 biến, tích phân của hàm nhiều biến trên một hộp là duy nhất, nếu nó tồn tại. 4.1.2. Các thí dụ Thí dụ 1. Nếu hàm f là một hằng số c trên hộp B thì nó khả tích và tích phân của nó trên hộp đó đúng bằng tích của c với thể tích của hộp (chứng minh suy trực tiếp từ định nghĩa, như đối với trường hợp hàm 1 biến). Thí dụ 2. Nếu f là hàm nhận giá trị 1 tại những điểm có các tọa độ là số hữu tỷ và nhận giá trị 0 tại các điểm còn lại thì f là hàm không khả tích trên bất kỳ hộp nào (chứng minh hoàn toàn tương tự như trường hợp hàm 1 biến). Thí dụ 3. Cho hộp đóng B xác định bởi các số 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n na a a b b b . Nếu 1 1[ , ]a bα∈ và 1 2( , ,..., )nf x x x nhận giá trị 0 tại mọi điểm nằm ngoài mặt phẳng 1x α= (tức là có tọa độ thứ nhất khác α), và 2( , ,..., )nf x xα là một hàm bị chặn (theo tất cả các biến còn lại) bởi số dương M nào đó, thì f là một hàm khả tích trên hộp B và tích phân của nó là 0. Thật vậy, lấy một phân hoạch bất kỳ P có bề 138 Giải tích các hàm nhiều biến rộng là δ thì với mọi phép chọn C ta thấy rằng ( )kf c chỉ có thể khác 0 khi tọa độ thứ nhất của nó là α và khi ấy giá trị tuyệt đối của nó không vượt quá M. Tổng thể tích của tất cả các hộp con có thể giao với mặt phẳng 1x α= không vượt quá số 2 22 ( )...( )n nb a b aδ − − . Cho nên 2 2 1 | ( , , ) | | ( ) ( ) | 2. . .( )...( ). K k k n n k S f P C f c V B M b a b aδ = = ≤ − −∑ Vì số δ có thể lấy nhỏ bao nhiêu tuỳ ý cho nên ta suy ra 0 B f =∫ . Rõ ràng khẳng định trên là đúng cho mọi hàm f chỉ khác không trên mặt phẳng ix α= nào đó (với i là tọa độ bất kỳ, mà không nhất thiết là tọa độ thứ nhất). Thí dụ 4. Cho hộp đóng B xác định bởi các số 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n na a a b b b , và một hộp con I (nằm trong hộp B) xác định bởi các số 1 2, ,..., nα α α , 1 2, ,..., nβ β β với i i i ia bα β≤ < ≤ , 1,2,...,i n= . Nếu f là hàm số nhận giá trị 1 trên hộp con I và nhận giá trị 0 tại những điểm thuộc \B I thì nó là hàm khả tích trên hộp B và tích phân của nó đúng bằng thể tích của hộp I. Thật vậy, lấy một phân hoạch P của hộp B với bề rộng là δ và một phép chọn C bất kỳ. Lưu ý rằng ( )kf c chỉ có thể khác 0 khi hộp con kB có giao khác rỗng với hộp I, và tổng thể tích các hộp này không vượt quá thể tích của hộp sinh bởi các cạnh [ , ]i iα δ β δ− + , tức là số 1 1( 2 )...( 2 )n nβ α δ β α δ− + − + . Mặt khác, ( )kf c không thể khác 1 khi hộp con kB nằm gọn trong hộp I, và tổng thể tích các hộp con này không nhỏ hơn thể tích của hộp sinh bởi các cạnh [ , ]i iα δ β δ+ − , tức là số 1 1( 2 )...( 2 )n nβ α δ β α δ− − − − . Tổng hợp lại ta suy ra 1 1 1 1( 2 )...( 2 ) ( , , ) ( 2 )...( 2 )n n n nS f P Cβ α δ β α δ β α δ β α δ− − − − ≤ ≤ − + − + . Vì hàm số 1 1( ) ( 2 )...( 2 )n ng t t tβ α β α= − + − + là liên tục cho nên với mỗi số 0ε> ta tìm được số 0δ> sao cho với | |t δ≤ thì 1 1| ( ) ( )...( ) |n ng t β α β α ε− − − < . Do ( ) ( , , ) ( )g S f P C gδ δ− ≤ ≤ cho nên ta cũng có 1 1| ( , , ) ( )...( ) |n nS f P C β α β α ε− − − < . Từ định nghĩa ta suy ra f là hàm khả tích trên hộp B và có 1 1( )...( )n nB f β α β α= − −∫ . Chương 4. Tích phân bội 139 4.1.3. Các tính chất ban đầu Do định nghĩa tích phân Riemann trong trường hợp hàm nhiều biến cũng tương tự như trong trường hợp hàm 1 biến, cho nên hàng loạt tính chất của tích phân hàm một biến cũng đúng cho tích phân hàm nhiều biến. Dưới đây ta liệt kê một số tính chất đặc trưng. Mệnh đề. Giả thiết rằng f và g là những hàm khả tích trên hộp B và α là một số thực. Khi ấy: (i) Tổng f g+ là hàm khả tích trên hộp B và ( ) B B B f g f g+ = +∫ ∫ ∫ ; (ii) fα là hàm khả tích trên hộp B và ( ) B B f fα α=∫ ∫ ; (iii) Hiệu f g− là hàm khả tích trên hộp B và ( ) B B B f g f g− = −∫ ∫ ∫ ; Chứng minh. Hoàn toàn tương tự như đối với tích phân hàm một biến. Mệnh đề. Nếu f là hàm khả tích trên hộp B và nhận giá trị không âm trên hộp này thì 0 B f ≥∫ . Chứng minh. Suy ra ngay từ định nghĩa. Hệ quả (i) Nếu f và g là những hàm khả tích trên hộp B và ( ) ( )f x g x≤ với mọi x B∈ thì B B f g≤∫ ∫ . (ii) Nếu f là hàm khả tích trên hộp B và ( )m f x M≤ ≤ với mọi x B∈ thì . ( ) . ( ) B mV B f M V B≤ ≤∫ . Chứng minh. Suy ra ngay từ mệnh đề trên. 140 Giải tích các hàm nhiều biến 4.2. Sự tồn tại tích phân. Tích phân trên tập bất kỳ 4.2.1. Hàm bậc thang và sự tồn tại của tích phân Bổ đề. Hàm số f là khả tích trên hộp B khi và chỉ khi, với mỗi số 0ε> , tồn tại số 0δ> sao cho với mọi phân hoạch 1 2,P P có bề rộng không vượt quá δ thì 1 2| ( , ) ( , ) |S f P S f P ε− ≤ . Chứng minh. Hoàn toàn tương tự như trong trường hợp hàm 1 biến. Định nghĩa. Hàm số f xác định trên hộp B được gọi là hàm bậc thang nếu như tồn tại một phân hoạch P 1 1 1 1 1 0 1 2 (1) 1... ka x x x x b= < < < = ; 2 2 2 2 2 0 1 2 (2) 2... ka x x x x b= < < < = ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 2 ( )... n n n n n k n na x x x x b= < < < = ; sao cho f nhận giá trị không đổi trên mỗi tập trong họ ( )NP B các hộp mở tương đối sinh bởi phân hoạch. Như vậy, nó là hằng trên mỗi tập có dạng { }1 2( , ,..., ) : , 1,2,...,n i ix x x x Q i n∈ = , trong đó iQ có thể là một trong các khoảng 1( , ), 1,..., ( ) i i j jx x j k i− = , hoặc là một trong các điểm đơn độc { }, 0,1,..., ( )ijx j k i= . Nhận xét. Trong trường hợp 1n = , các hộp mở tương đối chỉ có một trong 2 dạng: khoảng (mở) và điểm (biên của các khoảng), nên hàm bậc thang có cấu trúc rất đơn giản như ta đã biết trong giáo trình giải tích các hàm số 1 biến. Cụ thể là hàm f là hàm bậc thang trên đoạn [a,b] nếu có thể chia đoạn này thành những đoạn con mà f có giá trị không đổi trong phần trong của mỗi đoạn con; tại các điểm đầu mút của các đoạn con giá trị của hàm số không nhất thiết phải bằng các giá trị tại các điểm trong, vì các điểm đầu mút cũng là các hộp mở tương đối (0 chiều) trong họ sinh bởi phân hoạch. Trong không gian 2 chiều, hàm bậc thang có cấu trúc phức tạp hơn, vì các hộp mở tương đối có thể là một trong các hình chữ nhật mở kB , các khoảng mở hoặc các điểm đỉnh (nằm trên biên của kB ). Cụ thể là, hàm f là hàm bậc thang trên hình chữ nhật 1 1 2 2[ , ] [ , ]B a b a b= × , nếu có thể chia hình này thành các hình chữ nhật con (như Hình 4.1) sao cho trên mỗi hình kiểu ABCD hàm f là hằng tại miền trong Chương 4. Tích phân bội 141 của ABCD và trên từng khoảng mở AB, BC, CD, DA. Cũng như trên, giá trị của f tại các điểm đỉnh kiểu A, B, C, D không nhất thiết phải bằng giá trị bên trong hoặc trên các cạnh của hình chữ nhật con này. Lưu ý. Dễ dàng thấy rằng số các hộp mở tương đối (nói tới trong định nghĩa hàm bậc thang) là hữu hạn nên hàm bậc thang chỉ có thể nhận hữu hạn giá trị. Các hộp mở n-chiều chính là các hộp con kB của phân hoạch, các hộp mở tương đối với số chiều nhỏ hơn n thì nằm trên biên của các hộp n-chiều. Trên mỗi hộp mở kB nó chỉ nhận một giá trị. Thí dụ 3 đã cho thấy rằng việc thay đổi giá trị của hàm trên một (hay một số hữu hạn) các mặt phẳng (dạng ix α= ) không làm thay đổi tính khả tích và giá trị của tích phân, cho nên giá trị của hàm bậc thang trên những hộp mở tương đối với số chiều nhỏ hơn n không có ảnh hưởng gì tới giá trị của tích phân (do chúng nằm trên biên các hộp n chiều, và do đó nằm trong một số hữu hạn các mặt phẳng). Chính vì vậy, khi xét tích phân của hàm bậc thang, ta chỉ cần quan tâm đến các giá trị của nó trên các hộp mở có số chiều đúng bằng n, tức là các hộp con kB . Bổ đề. Hàm bậc thang trên một hộp là khả tích trên hộp đó và tích phân của nó trên hộp bằng tổ hợp tuyến tính của các giá trị hàm với thể tích của hộp con (trong phân hoạch) mà hàm nhận giá trị đó. Nghĩa là, 1 ( ) K k kB k f V Bα = =∑∫ , trong đó kB là các hộp con của phân hoạch và kα là giá trị của hàm trên hộp con kB . Chứng minh. Nếu ta định nghĩa kh là hàm nhận giá trị 1 trên hộp con kB và nhận giá trị 0 ở ngoài hộp này thì ta thấy rằng 1 K k k k f hα = −∑ là hàm bằng 0 ở miền trong tất cả các hộp con, và chỉ có thể khác 0 ở tập biên của các hộp con. Từ Thí dụ 3 ta suy ra nó là hàm khả tích và có tích phân bằng 0. Theo Thí dụ 4 và các tính chất ban đầu của tích phân thì hàm 1 K k k k hα = ∑ là khả tích và có tích phân bằng 1 ( ) K k k k V Bα = ∑ . Từ đây ta suy ra điều cần chứng minh. Mệnh đề. Hàm số f xác định trên hộp B là khả tích trên B khi và chỉ khi, với mỗi số 0ε> , tồn tại các hàm bậc thang 1 2,h h xác định trên hộp B sao cho 1 2( ) ( ) ( ) ,h x f x h x x B≤ ≤ ∀ ∈ và 2 1( )B h h ε− <∫ . 142 Giải tích các hàm nhiều biến Chứng minh. Hoàn toàn tương tự như đối trường hợp tích phân hàm 1 biến. Hệ quả. Hàm khả tích trên hộp thì bị chặn trên hộp đó. Chứng minh. Suy ngay từ mệnh đề trên, vì mọi hàm bậc thang là bị chặn. Hệ quả. Nếu 1B là một hộp nằm trong hộp 2B (tức là 1 2B B⊂ ) và f là hàm nhận giá trị 0 trên tập 2 1\B B thì 2B f∫ là tồn tại khi và chỉ khi 1B f∫ tồn tại, và trong trường hợp đó chúng bằng nhau. Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra rằng hệ quả là đúng trong trường hợp f là hàm bậc thang. Trong trường hợp tổng quát, ta giả sử rằng tích phân trên hộp 1B là tồn tại. Khi