Giải toán tích phân bằng nhiều cách

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 1 (MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH) Gửi tặng: www.MATHVN.com Bỉm sơn. 13.03.2011 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 2 GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH (Một phương pháp nhằm phát triển tư duy) I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: 3 3 2 0 1 xI dx x   Giải: Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt  2tan 1 tanx t dx t dt    Đổi cận 3 3 0 0 tx x t         Khi đó     3 3 3 3 3 2 2 0 0 0 0 tan tan tan 1 1 tan tan 1 tanI tdt t t dt t t dt tdt                   23 3 0 0 cos tan 3tan tan ln cos ln 23 cos 2 20 d t ttd t t t                Nhận xét: Đối với tích phân dạng    2 2, ,I R u u a du u u x      thì ta có thể đặt tanu a t Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần Đặt   2 2 2 2 ln 1 1 2 du xdxu x xxdxdv vx            Khi đó         3 3 2 2 2 2 2 0 0 1 13ln 1 ln 1 3ln 2 ln 1 1 2 20 J I x x x x dx x d x          Tính     3 2 2 0 ln 1 1J x d x   Đặt      22 2 2 2 1ln 1 1 1 1 d xu x du x dv d x v x              www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 3 Khi đó       3 2 2 2 0 1 333ln 2 1 ln 1 1 ln 2 2 20 I x x d x                Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng           ' n n P x f x Q x I dx dx Q x Q x    thì Đặt       ' n u f x du Q x vdv dx Q x         Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số Nhận xét: Ta có 3 2 .x x x và  '2 1 2x x  từ đó ta định hướng giải như sau Phân tích 3 33 2 2 2 0 01 1 x x xI dx dx x x      Đặt 2 2 1 1 2 x t t x dtxdx          Đổi cận 43 10 tx tx       Khi đó     4 4 1 1 1 41 1 1 1 31 ln ln 2 12 2 2 2 t I dt dt t t t t              Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân               23 3 32 2 2 2 2 2 2 0 0 0 23 3 2 2 2 2 0 0 1 11 1 1 11 1 1 1 2 2 21 1 1 11 33 31 ln 1 2 ln 2 2 2 21 0 0 xxI d x d x d x x x x d x xd x x x                               Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn     23 3 33 2 2 2 2 2 0 0 0 11 3 1 33 3ln 1 ln 2 2 2 2 2 21 1 10 0 d xx x xI dx x dx x x x x                  Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức) Ta có  3 2 1x x x x   Khi đó     23 3 33 2 2 2 2 2 0 0 0 11 3 1 33 3ln 1 ln 2 2 2 2 2 21 1 10 0 d xx x xI dx x dx x x x x                  www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 4 Bài 2: Tính tích phân bất định:    3 3 2 3 3 1 23 2 x xI dx dx x xx x       Giải: Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức Phân tích      3 2 23 2 3 3 2 7 1 1x x x x x x x         Khi đó      2 23 2 2 3 2 3 3 2 7 1 13 3 2 3 2 x x x x x xxI dx dx x x x x                      27 1 13 3 7 ln 2 2 1 2 2 1 2 xx dx x x dx x x x x x                     2 2 3 7 ln 2 ln 2 ln 1 3 8ln 2 ln 1 2 2 x xx x x x C x x x C                Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu” Phân tích        3 2 3 2 3 1 1 2 3x x x x x x x                        2 23 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 2 9 1 2 3x x x x x x x x x x x x x                     Khi đó        23 2 2 3 2 3 1 2 3 2 33 3 2 3 2 x x x x x xxI dx dx x x x x                 2 2 2 9 2 33 3 9 ln 2 ln 3 2 2 3 2 2 x xx dx dx x x x x C x x x                   Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức Phân tích    3 2 23 2 3 3 2 7 6x x x x x x x        Khi đó    2 23 2 2 3 2 3 3 2 7 63 3 2 3 2 x x x x x xxI dx dx x x x x                 2 12 7 63 3 3 2 2 x xx dx dx x I x x           . Tính 1I bằng phương pháp đồng nhất thức…. Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn   1 3 2 2 2 3 9 8 9 83 3 3 2 3 2 3 2 I x x xI dx x dx x dx dx x x x x x x                    Tính 1I bằng phương pháp đồng nhất thức…. Bài 3: Tìm nguyên hàm sau:   3 3 22 2 1 1 x xI dx dx x x x       Giải: Cách 1: Phương pháp đổi biến số www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 5 Đặt 1 1 du dx u x x u        Khi đó   3 3 2 2 2 2 2 1 3 3 1 3 1 13 3 3ln 2 u u u u uI du du u du u u C u u u u u                      với 1u x  Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức Phân tích      3 2 22 1 2 2 1 3 1 1x x x x x x x         Khi đó      2 23 2 2 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 1 x x x x x xxI dx dx x x x x                  2 2 3 1 12 2 3ln 1 1 2 11 xx dx x x C x xx                   Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tầng lầu Phân tích      3 2 2 32 1 2 2 1 1 2 2 2 x x x x x x x         Khi đó      2 23 2 2 32 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 x x x x x xxI dx dx x x x x                2 2 2 1 3 2 2 32 2 ln 1 ln 2 1 1 2 2 1 2 2 x xx dx dx x x x x C x x x                   Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức Phân tích    3 2 22 1 2 2 1 3 2x x x x x x x        Khi đó    2 23 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 1 x x x x x xxI dx dx x x x x                 2 12 3 22 2 2 1 2 x xx dx dx x I x x           . Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản     3 3 2 2 2 2 3 12 12 1 1 1 12 3ln 1 2 1 x xI dx dx x dx xx x x x x x x C x                          Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt   3 2 2 3 1 1 1 u x du x dx dxdv v x x             Khi đó www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 6 3 2 3 2 3 3 2 1 13 3 1 1 1 1 13 1 3 ln 1 1 1 1 2 x x x xI dx dx x x x x x x xx dx x x C x x x                                     Bài 4: Tìm nguyên hàm:   2 391 x dxI x    Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Phân tích      2 22 1 1 1 2 1 1x x x x                      22 39 39 37 38 39 1 2(1 ) 1 1 2 1 1 1 1 1 1 x xx x x x x x                          37 38 39 36 37 38 1 1 1 1 1 2 1 1 12 36 37 381 1 1 1 1 1 I dx dx dx C x x x x x x                 Cách 2: Đặt 1 1t x x t dx dt         2 39 39 38 37 38 37 36 1 1 1 1 1 1 2 1 1 12 38 37 36 t dt I dt dt dt C t t t t t t t                Nhận xét: Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt     2 3839 2 1 38 11 du xdxu x dx vdv xx            Khi đó     2 38 38 1 1 1938 1 1 xI x dx x x      …. đến đây các bạn có thể tự làm rồi Bài 5: Tìm nguyên hàm: 3 10( 1) x dxI x   Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Sử dụng đồng nhất thức:        3 3 23 1 1 1 3 1 3 1 1x x x x x            3 10 7 8 9 10 1 3 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x           Khi đó 7 8 9 10 6 7 8 9 3 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 3 1 3 1 1 1 6 7 8 9( 1) ( 1) ( 1) ( 1) dx dx dx dxI x x x x C x x x x                        www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 7 Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt 1t x  ta có: 1x t  nên dx dt  3 3 2 7 8 9 10 10 10 1 ( 3 3 1) 3 3 t dt t t t dtA t dt t dt t dt t dt t t                  6 7 8 9 1 1 3 1 3 1 1 1 6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1) C x x x x           Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt     3 2 10 9 3 1 1 9 1 u x du x dx dxdv v x x             Khi đó     1 2 3 9 9 1 1 ... 39 1 1 I xI x dx x x        đến đây rùi ta có thể tính 1I bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc phân tích      2 2 1 1 1 1 1x x x x       Nhận xét : - Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải không, chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh về đích nhất Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý - Đối với tích phân hàm phân thức có dạng    n P x I dx x a    thì đặt t x a  là một phương pháp hiệu quả nhất - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng           ' n n P x f x Q x I dx dx Q x Q x    thì ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của  x a là 1, 2n  Đặt:       ' n u f x du Q x vdv dx Q x         Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau:   3 3 3 2 0 0 1 dx dxI x x x x      HD: Cách 1: Biến đổi số Nhân cả tử và mẫu cho 2x     3 3 3 3 2 2 2 0 0 01 1 dx dx xdxI x x x x x x         www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 8 Đặt 2 2 1 1 2 x t t x dtxdx          Cách 3: Biến đổi số Đặt tanx u … Bạn đọc tự giải Cách 4: Đưa vào vi phân Phân tích tử  2 21 1 –x x  Khi đó  23 3 2 2 00 0 0 3 3 2 1 13 3ln ln 1 21 1 6ln 2 0 21 0 dx x dxI dx d x x x xx xx              Bài 12: Tính tích phân sau: 2 5 3 1 dxI x x   Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Phân tích: 2 21 1x x     2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 23 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 11 x x x x x xx x x x x x x x x xx x                  Khi đó 2 2 3 2 2 2 2 1 1 1 21 1 1 1 1ln 3 1 5ln 2 ln 8 ln 1 212 221 xI dx dx dx x x xx x x                 Cách 1.2: Phân tích:   4 4 4 2 21 1 1 1x x x x x            4 2 24 4 2 3 3 2 3 2 2 3 23 2 1 11 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 11 x x xx x x x x x xx x x x x x xx x                   ... tự làm nhé Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số Phân tích     2 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1. 1 1 I dx dx xx x x x      Đặt 2 1 1 1 x tt x dx dt t          Đổi cận 12 2 1 1 x t x t         www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 9 Khi đó 1 1 32 2 2 2 2 11 2 1 1 1 11 ...ttI t dt dx t t t           đến đây lại trở thành bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biển số     2 2 3 2 4 2 1 1 1 1 1 xI dx dx x x x x      Đặt 2 1 2 dtt x xdx    Đổi cận 2 5 1 2 x t x t         Khi đó     5 5 2 2 2 2 51 1 1 1 1 1 3 1 5ln ln 2 ln 22 1 2 1 1 8 2 21 1 dt tI dt t t t tt t t                           Hoặc các bạn có thể đặt 1u t  hoặc phân tích  1 1t t   hoặc đồng nhất thức Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân                     2 2 2 2 3 2 4 2 4 2 1 1 1 2 22 2 2 2 2 2 44 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 11 1 1 1 11 1 1 2 2 21 1 xI dx d x x x x x x x x x d x d x d x xx x x x                            2 2 3 2 1 1 1 1 ... 1 dx dx x x x     ôi đến đây lại thành cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui… Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức   3 2 23 2 1 11 A B C Dx E xx x xx x       đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm , , , ,I A B C D E tuy nhiên việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu quả nhất Cách 6: Đặt  2tan tan 1x u dx dt    … bạn đọc tự làm Bài 14: Tính tích phân sau: 1 3 0 1 dxI x   Giải: Nhận xét:    3 21 1 1x x x x     Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức:     2 2 21 1 1 1x x x x x       Khi đó 1 12 1 23 2 0 0 1 1 1 x xI dx dx I I x x x          www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 10 Tính 1I bằng cách đặt 3 1t x  hoặc  31 1 3 0 11 3 1 d x I x    Tính 2I phân tích   1 11 2 1 2 2 x x    (kĩ thuật nhảy tầng lầu) Ta có 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 1 1 2 21 1 1 3 2 4 x x dxI dx dx x x x x x                   Cách 2: Đồng nhất thức Xét      23 2 1 1 1 1 11 1 A Bx C A x x Bx C x xx x x              Đến đây ta có thể đồng nhất hệ số giải hệ tìm A, B, C hoặc cho một số giá trị riêng là 1 2 11 ; 0 ; 1 3 3 3 x A x C x B           …Bạn tự giải tiếp nhé Kết quả ta được 1 ln 2 3 3 3 I   Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu”            1 1 1 3 22 0 0 0 1 1 1 1 1 1 3 1 3 dx dx d xI x x x x x x x                   Đặt 1x t dx dt    Đổi cận 0 1 1 2 x t x t                 2 2 2 22 2 22 2 1 1 1 1 dt 1 3 3 3 1 dt 3dt 3 3 3 33 3 3 3 t t t t t dt t t tt t t t t t                           2 2 22 2 2 1 1 1 2 2 1 dt 1 3 3 3 dt 33 2 23 3 3 2 4 21 1 2 3 1ln 3 arctan ln 2 13 2 33 3 3 3 3 d t t t t t t t t t t                             Bài 15: Tính tích phân bất định:   4 3 50 3 5 7 8 2 x x xI dx x       . Giải : Cách 1: Biến đổi số Đặt 2 2 x t x t dx dt        Khi đó        4 34 3 50 50 3 2 5 2 7 2 83 5 7 8 2 t t tx x xI dx dt tx              Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 11 Phân tích        4 3 24 33 5 7 8 2 2 2 2x x x a x b x c x d x e            … đồng nhất để tìm a, b, c, d, e … Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo) Đặt   4 34 3 5 7 8P x x x x    Áp dụng khai triển taylor ta có                         3 4 2 3 44 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1! 2! 3! 4! P P P PP x P x x x x                         2 3 44 66 149 2 48 2 29 2 3 2P x x x x x                                        2 3 4 50 50 49 48 47 46 49 48 47 46 45 66 149 2 48 2 29 2 3 2 2 66 2 149 2 48 2 29 2 3 2 66 149 48 29 3 49 2 48 2 47 2 46 2 45 2 x x x xI dx x x x x x x dx C x x x x x                                           Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: 1 5 22 4 2 1 1 1 xI dx x x      Giải: Ta có 1 5 1 5 1 5 22 2 2 22 4 2 2 21 1 1 2 11 111 11 11 1 x xxdx dx dx x x x xx x                        Đặt 2 1 11t x dt dx x x          . Đổi cận 1 0 1 5 1 2 x t tx       Khi đó 1 2 0 1 dtI t   . Đặt   2tan 1 tant u dt u du    . Đổi cận 00 1 4 ut t u         Khi đó 1 24 4 2 2 0 0 0 1 tan .4 41 1 tan 0 dt uI du du u t u              Cách khác: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 12 Ta có thể gộp hai lần đặt là  22 1 1tan 1 1 tanx u dx u du x x           … bạn đọc tự giải Bài 17: Tính tích phân: I 2 2 4 1 1 1 x dx x    Giải: Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho 2 0x  ta được Biến đổi 2 22 2 2 21 1 2 1 11 1 1 1 2 x xI dx dx x xx x              Đặt 2 1 11u x du dx x x          Khi đó I 5 2 2 2 1 2ln 2 2 2 2 du u u u      5/ 2 2 1 (5 2 2)(2 2)ln 2 2 6 2     Cách 2: Phân tích     24 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1x x x x x x x         và sử dụng đồng nhất thức 2 4 2 2 1 1 2 1 2 1 x Ax B Cx D x x x x x           … đồng nhất hệ số tìm A, B, C và D nhưng cách này dài và rất phức tạp nên không đưa ra Nhận xét: - Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật chia thực sự rất hiệu quả trong việc chuyển tích phân ban đầu thành tích phân đơn giản hơn - Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là một đa thức bậc hai   2 1P x x  còn mẫu là một đa thức bậc 4:   4 3 2Q x ax bx cx dx e     sao cho hệ số 1a e  - Tích phân trên đưa về dạng 2 1 11I f x dx x x           đặt 2 1 11t x dt dx x x           Tương tự ta có thể giải bài toán này 1. Tính tích phân sau I 2 2 4 1 1 1 x dx x    2 22 2 2 21 1 2 1 11 1 1 1 2 x xI dx dx x xx x              . Đặt 2 1 11u x du dx x x          2. (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498 13    2 2 22 2 1 1 5 1ln 8 3 15 1 3 1 x x xI dx C x xx x x x             Bài 18: Tính tích phân sau:   1 43 4 0 1I x x dx  Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt 4 3 31 4 4 dtt x dt x dx x dx      Đổi cận 1 2 0 1 x t x t         Khi đó   1 2 43 4 4 5 0 1 21 1 311 . 14 20 20 I x x dx t dt t          Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt 4 3 4 dtt x x dx   Đổi cận 1 1 0 0 x t x t         Khi đó     1 1 5 4 2 3 4 2 3 4 0 0 11 1 1 311 1 4 6 4 2 2 04 4 4 5 20 tI t dt t t t t dt t t t t                     Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân         541 1 4 43 4 4 4 0 0 1 11 1 311 1 1 . 04 4 5 20 x I x x dx x d x          Cách 4: Sử dụng phương pháp phân tích Phân tích      43 4 3 16 12 8 4 19 15 11 7 31 4 6 4 1 4 6 4x x x x x x x x x x x x           Khi đó     1 1 20 16 12 8 443 4 19 15 11 7 3 0 0 1 311 4 6 4 020 4 2 2 4 20 x x x x xI x x dx x x x x x dx                     Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi