Giáo trình Đại số tuyến tính (Phần 2)

39 Chương 3 KHÔNG GIAN VECTƠ 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Định nghĩa Cho tập hợp V ≠ ∅ trên đó có hai phép toán; một phép toán trong mà ta gọi là phép cộng và một phép toán ngoài mà ta gọi là phép nhân với số thực, ( ) : V V V u, v u v + × → +6 ( ) : V V k,u k u ku × × → ⋅ ≡ \ 6 Tập V cùng với hai phép toán trên được gọi là một không gian vectơ trên \ nếu các phép toán trên V thỏa các tính chất sau, với mọi u, v,w V∈ , h,k ∈ \ , i) u v v u+ = + , (tính giao hoán) ii) ( ) ( )u v w u v w+ + = + + , tính kết hợp) iii) tồn tại duy nhất phần tử của V, ký hiệu 0 , sao cho u u+ =0 (0 được gọi là phần tử trung hòa của phép cộng, đọc là vectơ không), iv) ứng với mỗi u V∈ , tồn tại duy nhất phần tử của V, ký hiệu u− , sao cho ( )u u 0+ − = (phần tử u− được gọi là phần tử đối hay vectơ đối của u), v) ( ) ( )h ku hk u= , vi) ( )h u v hu hv+ = + , vii) ( )h k u hu ku+ = + , viii) 1 u u⋅ = . Không gian vectơ V còn được ký hiệu đầy đủ là ( )V, ,+ ⋅ . Ví dụ 1. i) Tập các ma trận vuông cấp 2, ( )2 a bV M a,b,c,dc d ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ \ \ với hai phép toán, cộng hai ma trận và nhân một số thực với một ma trận, là một không gian vectơ. ii) Tập ( ){ }3 x, y,z : x, y,z= ∈\ \ với hai phép toán, ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3x , x , x y , y , y x y , x y , x y+ = + + + , ( ) ( )1 2 3 1 2 3k x , x , x kx ,kx ,kx= , thỏa các điều kiện để trở thành một không gian vectơ. 40 Tổng quát : Tập ( ){ }n 1 2 n ix , x ,..., x x , i 1,2,...,n= ∈ =\ \ , với hai phép toán ( ) ( ) ( )1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nx , x ,..., x y , y ,..., y x y , x y ,..., x y+ = + + + , ( ) ( )1 2 n 1 2 nk x , x ,..., x kx ,kx ,..., kx= , là một không gian vectơ. 1.2. Định nghĩa. Cho ( )V, ,+ ⋅ là một không gian vectơ và 1 2 nu ,u ,...,u V∈ . Với mỗi dãy số 1 2 nk ,k ,..., k ∈ \ , ta gọi 1 1 2 2 n nk u k u ... k u+ + + là một tổ hợp tuyến tính các vectơ 1 2 nu ,u ,..., u . Ví dụ 2. i) Cho ( )2V M= \ . Với 1 1 0u 1 0 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ , 2 0 1u 0 1 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ , 3 1 1u 0 0 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ , 4 0 0u V 1 1 ⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ , và 1 2 3 4k ,k ,k ,k ∈ \ , ta có một tổ hợp tuyến tính của 1 2 3 4u ,u ,u ,u là 1 3 2 31 1 2 2 3 3 4 4 1 4 2 4 k k k k k u k u k u k u V k k k k ⎛ ⎞+ ++ + + = ∈⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ii) Với 3V = \ , ( )1u 1,1,0= , ( )2u 0,1,1= , ( )3u 1,0,1= , ta có các tổ hợp tuyến tính của 1 2 3u ,u ,u là ( )1 1 2 2 3 3 1 3 1 2 2 3k u k u k u = k k ,k k ,k k+ + + + + , với 1 2 3k ,k ,k ∈ \ . 1.3. Định nghĩa. Cho V là một không gian vectơ, W V, W⊂ ≠ ∅ . Nếu với mỗi u, v W∈ , k ∈ \ , ta đều có u v, ku W+ ∈ , ta nói W là một không gian vectơ con hay vắn tắt là không gian con của V , ký hiệu W V≤ . Ví dụ 3. i) Với 2V = \ và ( ){ }1W x,0 : x= ∈ \ , ta có 1W V⊂ , 1W ≠ ∅ và với mọi ( )x,0 , ( ) 1y,0 W∈ , k ∈ \ , ( ) ( ) ( ) 1x,0 y,0 x y,0 W+ = + ∈ , ( ) ( ) 1k x,0 kx,0 W= ∈ . Do đó 1W V≤ . Với ( ){ }2W m,2m : m= ∈ \ , ta có 2W V⊂ , 2W ≠ ∅ và với mọi ( )m,2m , ( ) 2n,2n W∈ , k ∈ \ , ( ) ( ) ( )( ) 2m, 2m n, 2n m n, 2 m n W+ = + + ∈ , 41 ( ) ( ) 2k m,2m km, 2km W= ∈ . Vậy 2W cũng là một không gian vectơ con của V . ii) Xét không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2, ( )2V M= \ , và W là tập hợp các ma trận chéo cấp 2, a 0W a, b V 0 b ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈ ⊂⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ \ . Do W ≠ ∅ , tổng của hai ma trận chéo cũng là một ma trận chéo và tích của một ma trận chéo với một số thực cũng là một ma trận chéo. Nói khác đi, tổng hai phần tử của W là một phần tử của W , tích của phần tử thuộc W với một số cũng là phần tử của W nên tập hợp tất cả các ma trận chéo cấp 2 là một không gian vectơ con của không gian các ma trận vuông cấp hai. iii) Xét 3V = \ và ( ){ }W m n,m n,n m,n= + − ∈ \ . Ta có W là một tập con không rỗng của V và với mọi k ∈ \ , ( )1 1 1 1 1 1u m n ,m n ,n= + − , ( )2 2 2 2 2 2u m n ,m n ,n W= + − ∈ , ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2u u m m n n , m m n n ,n n W+ = + + + + − + + ∈ , ( )1 1 1 1 1 1ku km kn ,km kn ,kn W= + − ∈ . Do đó 3W V≤ = \ . 1.4. Định lý. Cho V là một không gian vectơ và hệ các vectơ { }1 2 nS u ,u ,...,u V= ⊂ . Tập W các tổ hợp tuyến tính của 1 2 nu ,u ,..., u là một không gian vectơ con của V , { }1 1 2 2 n n 1 2 nW k u k u ... k u : k ,k ,..., k V= + + + ∈ ≤\ . Ta nói W là không gian vectơ con sinh bởi S , hay S sinh ra W , ký hiệu 1 2 nW S u ,u ,...,u= = . Ví dụ 4. Với V và W cho trong ví dụ 3, phần iii), ta có ( ){ } ( ) ( ){ }W m n,m n,n m,n m,m,0 n, n,n m,n= + − ∈ = + − ∈\ \ ( ) ( ){ }m 1,1,0 n 1, 1,1 m,n= + − ∈ \ nên ( ) ( )W 1,1,0 , 1, 1,1= − và do đó nó là một không gian vectơ con của V. Xuất phát từ nhận xét rằng tập nghiệm W của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo n ẩn số là một tập con không rỗng của n\ và tổng hai nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất cũng như tích một nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với một hằng số cũng là nghiệm của hệ phương trình đó, ta được 42 Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo n ẩn số là một không gian vectơ con của n\ . Hơn nữa, bằng phương pháp Gauss, ta còn tìm được một tập sinh của không gian nghiệm một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Ví dụ 5. Cho hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x 2x 4x 3x 0 3x 5x 6x 4x 0 4x 5x 2x 3x 0 3x 8x 24x 19x 0 ⎧ + + − =⎪ + + − =⎪⎨ + − + =⎪⎪ + + − =⎩ Giải hệ phương trình trên, ta nhận được nghiệm ( )8m 7n, 6m 5n,m,n ; m,n− − + ∈ \ . Vậy tập nghiệm của hệ này là ( ){ } ( ) ( ) 4W 8m 7n, 6m 5n,m,n m,n 8, 6,1,0 , 7,5,0,1= − − + ∈ = − − ≤\ \ . Đặc biệt, khi S V= , ta nói S sinh ra V . Khi đó, mọi vectơ của V đều là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S , nghĩa là ứng với mỗi vectơ v V∈ , ta tìm được 1 2 nk ,k ,..., k ∈ \ sao cho 1 1 2 2 n nv k v k v ... k v= + + + . Ví dụ 6. Xét 3V = \ và { } 31 2 3S e ,e ,e= ⊂ \ , với ( )1e 1,1,0= , ( )2e 1,0,1= , ( )3e 0,1,1= . a) Với ( ) 3v 2,4,6= ∈ \ và 1 2 3k ,k ,k ∈ \ , ta có 1 1 2 2 3 3v k e k e k e= + + ( ) ( ) ( ) ( )1 2 32,4,6 k 1,1,0 k 1,0,1 k 0,1,1⇔ = + + 1 2 1 3 2 3 k k 2 k k 4 k k 6 ⎧ + =⎪⇔ + =⎨⎪ + =⎩ (3.1) Chú ý rằng, nếu hệ (3.1) có nghiệm, nghĩa là tồn tại 1 2 3k ,k ,k ∈ \ sao cho 1 1 2 2 3 3v k e k e k e= + + , thì v là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S . Nếu hệ (3.1) vô nghiệm, nghĩa là không tồn tại 1 2 3k ,k ,k sao cho 1 1 2 2 3 3v k e k e k e= + + , thì v không là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S . 43 Do hệ (3.1) có nghiệm 1 2 3 k 0 k 2 k 4 ⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩ nghĩa là 1 2 3v 0e 2e 4e= + + nên v là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S . b) Nếu mọi vectơ 3v ∈ \ đều là một tổ hợp tuyến tính các vectơ của S thì S sinh ra 3\ . Ngược lại, nếu tồn tại vectơ 3v ∈ \ sao cho v không là một tổ hợp tuyến tính của S thì S không sinh ra 3\ . Do đó, để kiểm tra xem S có sinh ra 3\ hay không, ta xét vectơ bất kỳ ( ) 3v a, b, c= ∈ \ . Do v là một tổ hợp tuyến tính các vectơ của S ⇔ tồn tại 1 2 3k ,k ,k ∈ \ sao cho 1 1 2 2 3 3v k e k e k e= + + 1 2 1 3 2 3 k k a k k b k k c ⎧ + =⎪⇔ + =⎨⎪ + =⎩ , có nghiệm. Hệ phương trình nêu trên là hệ Cramer nên nó luôn luôn có nghiệm bất chấp các tham số a, b,c . Do đó mọi vectơ 3v ∈ \ đều là tổ hợp tuyến tính các phần tử của S . Vậy S sinh ra 3\ . 1.5. Định nghĩa. Cho V là một không gian vectơ và hệ các vectơ { }1 2 nS e ,e ,..., e V= ⊂ . Ta nói S là độc lập tuyến tính khi với mọi 1 2 nk ,k ,..., k ∈ \ , nếu 1 1 2 2 n nk e k e ... k e+ + + = 0 thì 1 2 nk k ... k 0= = = = . Khi S không độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là tồn tại 1 2 nk ,k ,..., k ∈ \ không đồng thời bằng 0 (có ít nhất một ik 0≠ ) sao cho 1 1 2 2 n nk e k e ... k e+ + + = 0 . Ví dụ 7. Cho 3V = \ và { } 31 2 3S e ,e ,e= ⊂ \ với ( )1e 1,1,0= , ( )2e 1,0,1= , ( )3e 0,1,1= . Với 1 2 3k ,k ,k ∈ \ bất kỳ, ta có 1 1 2 2 3 3k e k e k e+ + = 0 1 2 1 3 2 3 k k 0 k k 0 k k 0 ⎧ + =⎪⇔ + =⎨⎪ + =⎩ (3.2) Ta nhận được một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo các ẩn 1 2 3k ,k ,k . Nếu hệ phương trình này chỉ có nghiệm tầm thường 1 2 3k k k 0= = = , thì S độc lập tuyến tính. Ngược lại, nếu hệ này có ít nhất một nghiệm tầm thường, 44 nghĩa là có 1 2 3k ,k ,k không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1 2 2 3 3k e k e k e+ + = 0 , thì S phụ thuộc tuyến tính. Trong ví dụ này, hệ thuần nhất (3.2) chỉ có nghiệm tầm thường 1 2 3k k k 0= = = . Vậy S độc lập tuyến tính. Ví dụ 8. Cho 3V = \ và { } 31 2 3S u ,u ,u= ⊂ \ với ( ) ( ) ( )1 2 3u 1, 2,1 , u 2,1, 1 , u 7, 4,1= − = − = − . Với 1 2 3k ,k ,k ∈ \ bất kỳ, ta có 1 1 2 2 3 3k u k u k u+ + = 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 k 2k 7k 0 2k k 4k 0 k k k 0 ⎧ + + =⎪⇔ − + − =⎨⎪ − + =⎩ (3.3) Hệ (3.3) có ít nhất một nghiệm không tầm thường nên ta kết luận S phụ thuộc tuyến tính. Cụ thể, giải hệ (3) bằng phương pháp Gauss, ta nhận được nghiệm tổng quát của hệ là ( )3m, 2m,m , m− − ∈ \ . Với m 1= − , ta được một nghiệm không tầm thường 1 2 3 k 3 k 2 k 1 ⎧ =⎪ =⎨⎪ = −⎩ . Điều này có nghĩa là 1 2 33u 2u u+ − = 0 và do đó S phụ thuộc tuyến tính. 2. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA MỘT KHÔNG GIAN VECTƠ 2.1. Định nghĩa. Cho V là một không gian vectơ và { }1 2 nS e ,e ,..., e V= ⊂ . Ta nói S là một cơ sở của V nếu i) S V= , nghĩa là S sinh ra V, và ii) S độc lập tuyến tính. Khi đó, ta nói V là một không gian vectơ hữu hạn chiều. Người ta chứng minh được rằng bất cứ một cơ sở nào khác của V cũng phải có đúng n vectơ và giá trị n duy nhất này được gọi là số chiều của V , ký hiệu dim V n= . Khi đó, ứng với mỗi vectơ v V∈ , tồn tại duy nhất 1 2 nk ,k ,..., k ∈ \ sao cho 1 1 2 2 n nv k v k v ... k v= + + + . Bấy giờ, 1 2 nk ,k ,..., k được gọi là các tọa độ của v đối với cơ sở S , ký hiệu 1 2 S n k k v k ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ # . 45 Ví dụ 9. i) Cho 2V = \ . Ta có { }S i, j= G G , với ( ) ( )i 1,0 , j 0,1= =G G là một cơ sở của V và với mọi vectơ ( ) 2v a, b= ∈ \ , ta có v ai bj= +G G và do đó ta được S av b ⎛ ⎞⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ . S được gọi là cơ sở chính tắc của 2\ . Tọa độ của một bộ thứ tự trong cơ sở chính tắc này chính là các thành phần của bộ thứ tự đó. Hệ các vectơ { } 21 2S e ,e′ ′ ′= ⊂ \ , với ( )1e 1,1′ = , ( )2e 1,1′ = − , cũng là một cơ sở của 2\ và vì với mọi vectơ ( ) 2v a, b= ∈ \ , ta có 1 1 2 2v k e k e= + 1 2 1 2 k k a k k b ⎧ − =⎪⇔ ⎨ + =⎪⎩ a b 1 2 b a 2 2 k k + − ⎧ =⎪⇔ ⎨ =⎪⎩ . Do đó, a b 2 S b a 2 v + ′ − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ Tổng quát. Xét ( ){ }n 1 2 n ix , x ,..., x x , i 1,n= ∈ ∀ =\ \ . Ta có { }1 2 ne ,e ,..., e=B , với ( ) ( ) ( ) 1 2 n e 1,0,...,0 e 0,1,...,0 ... e 0,0,...,1 ⎧ =⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎩ là một cơ sở của n\ , gọi là cơ sở chính tắc. Khi đó, với mọi vectơ ( ) n1 2 nv x , x ,..., x= ∈ \ , do 1 1 2 2 n nv x e x e ... x e= + + + ta suy ra 1 2 n x x v x ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ #B Ví dụ 10. Xét 3V = \ và { }1 2 3e ,e ,e=B là cơ sở chính tắc của 3\ , ( ) ( ) ( )1 2 3e 1,0,0 , e 0,1,0 , e 0,0,1= = = . 46 Với ( ) 3v 1,2,3= ∈ \ , ta có 1 v 2 3 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ B . Lấy { }1 2 3f , f , f′ =B , với ( )1f 1,1,0= , ( )2f 1,0,1= , ( )3f 0,1,1= , là một cơ sở khác của 3\ . Ta có 1 2 3 x v x x ′ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ B 1 1 2 2 3 3 v x f x f x f⇔ = + + 1 2 1 3 2 3 x x 1 x x 2 x x 3 ⎧ + =⎪⇔ + =⎨⎪ + =⎩ 1 2 3 x 0 x 1 x 2 ⎧ =⎪⇔ =⎨⎪ =⎩ . Vậy 0 v 1 2 ′ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ B . 2.2. Định lý. Cho { }1 2 ne ,e ,..., e=B , { }1 2 nf , f , ..., f′ =B là hai cơ sở của một không gian vectơ V . Khi đó, với mọi v V∈ ta có v A v ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦B B , trong đó ( )1 2 nA f f f⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦"B B B . Ma trận A được gọi là ma trận đổi cơ sở từ B qua ′B , ký hiệu P ′→B B . Ví dụ 11. Với hai cơ sở B và ′B trong ví dụ 10, ta được ma trận đổi cơ sở từ B qua ′B là ( )1 2 3 1 1 0P f f f 1 0 1 0 1 1 ′→ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ B B B B B và tọa độ của ( ) 3v 1,2,3= ∈ \ đối với hai cơ sở này liên hệ với nhau qua đẳng thức 1 1 1 0 0 v P v 2 1 0 1 1 3 0 1 1 2 ′→ ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B BB B . Từ định lý 2.2, ta suy ra rằng với hai cơ sở B và ′B cho trước của một không gian vectơ, nếu ta biết ma trận đổi cơ sở từ cơ sở này qua cơ sở kia và tọa độ của một vectơ bất kỳ trong một cơ sở thì ta suy ra tọa độ của nó trong cơ sở còn lại, v P v′→ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦B BB B , v P v′→′⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦B BB B . 47 Hơn nữa, ta có các tính chất sau 2.3. Tính chất. Với ba cơ sở B , ′B và ′′B của một không gian vectơ V , ta có i) ( ) 1P P −′ ′→ →=B B B B , ii) P P .P′′ ′ ′ ′′→ → →=B B B B B B Ví dụ 12. Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua ′B cho trong ví dụ 11. Cách 1. Dùng tính chất 2.3, với 1 1 0 P 1 0 1 0 1 1 ′→ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ B B ta suy ra ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1P P 1 1 1 2 1 1 1 − ′ ′→ → ⎛ ⎞− ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠ B B B B . Cách 2. Dùng định nghĩa của ma trận đổi cơ sở : ( ) ( ) 1 1 1 2 2 21 1 1 1 1 2 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2 P e e e − ′→ ′ ′ ′ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ B B B B B . Khi đó, với ( )v 4, 2,0= − , tọa độ của v đối với cơ sở B là 4 v 2 0 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤ = −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ B và do đó tọa độ của v đối với cơ sở ′B là 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 4 1 v P v 2 3 0 3 ′→′ ⎛ ⎞− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ B BB B . Ví dụ 13. Ngoài các cơ sở B qua ′B cho trong ví dụ 11, xét cơ sở ( ) ( ) ( ){ }1 2 3g 1,0,0 ,g 1,1,0 ,g 1,1,1′′ = = = =B . Tìm ma trận đổi cơ sở P ′ ′′→B B . Dùng tính chất 2.3, với 48 1 1 0 P 1 0 1 0 1 1 ′→ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ B B và 1 1 1 P 0 1 1 0 0 1 ′′→ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ B B , ta được ( ) 1P P .P P .P 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 11 1 1 0 1 1 1 0 1 2 2 1 1 1 0 0 1 1 0 1 − ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′→ → → → →= = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B B B B B B B B B B 3. HẠNG CỦA MỘT HỆ VECTƠ 3.1. Định nghĩa. Cho V là một không gian vectơ và { }1 2 nS v , v ,..., v= là một hệ các vectơ của V . Khi đó, số chiều của không gian con sinh bởi S được gọi là hạng của hệ vectơ S , ký hiệu rankS . Đặt W S V= ≤ . Nếu S độc lập tuyến tính thì S trở thành một cơ sở cho W và do đó dim W n rankS= = . Nếu S không độc lập tuyến tính, nghĩa là tồn tại 1 2 nk ,k ,..., k ∈ \ không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1 2 2 n nk v k v ... k v+ + + = 0 . Không mất tính tổng quát, giả sử 1k 0≠ . Bấy giờ do 1 2 nv v ,..., v∈ nên nếu bỏ bớt vectơ 1v khỏi S, ta nhận được một hệ S′ gồm n 1− vectơ sinh ra W . Nếu hệ S′ độc lập tuyến tính thì nó trở thành một cơ sở của W và khi đó dim W rankS n 1= = − , ... Vì vậy, hạng của hệ S chính là số vectơ độc lập tuyến tính tối đại trong S , nghĩa là nếu rankS r= thì S có r vectơ độc lập tuyến tính và bất kỳ hệ con nào của S có nhiều hơn r vectơ đều phụ thuộc tuyến tính. Nhận xét rằng với S là một hệ các vectơ trong một không gian vectơ V , nếu ta thay đổi các vectơ của S bằng cách - đổi chỗ (hoán vị) hai vectơ, - nhân một vectơ của S với một số khác 0, - thay một vectơ của S bằng vectơ đó cộng một hằng số nhân với vectơ khác của S, thì ta nhận được một hệ các vectơ mới S′ với S S′= . Từ đó, ta có giải thuật tìm hạng của một hệ vectơ như sau 3.2. Giải thuật tìm hạng của một hệ vectơ Cho V là một không gian vectơ với một cơ sở B và một hệ các vectơ { }1 2 nS v , v ,..., v V= ⊂ . Đăt W S= . Ta có giải thuật tìm hạng của hệ vectơ S 49 • Lập ma trận A , với T 1 T 2 T n v vA ... v ⎛ ⎞⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤⎜ ⎟⎣ ⎦= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤⎣ ⎦⎝ ⎠ B B B . • Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến A thành ma trận bậc thang theo dòng, ta nhận được hệ mới sinh ra cùng không gian con W. Loại trừ các vectơ sinh bởi các hàng không, các vectơ còn lại tạo thành một hệ các vectơ độc lập tuyến tính sinh ra W và do đó số các vectơ này chính là số chiều của của W và cũng là hạng của hệ S. Ví dụ 13. Trong 3\ xét họ { }1 2 3S v , v , v= , với ( )1v 1,3,0= , ( )2v 0,2,4= , ( )3v 1,5,4= , ( )4v 1,1, 4= − . Tìm rankS . Với B là cơ sở chính tắc của 3\ , ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T 1 T 3 : 3 1 3 : 3 22 4 : 4 1 4 : 4 2T 3 T 4 u 1 3 0 1 3 0 1 3 0 u 0 2 4 0 2 4 0 2 4A 1 5 4 0 2 4 0 0 0u 1 1 4 0 2 4 0 0 0 u = − = − = − = − ⎛ ⎞⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤⎣ ⎦⎝ ⎠ B B B B Vậy ( ) ( )1 2W S v 1,3,0 , v 0,2,4= = = = . Do 1 2v , v độc lập tuyến tính nên rankS dim W 2= = . Tiếp theo, ta xác định một cơ sở cũng như số chiều của một số không gian vectơ con nhận được khi khảo sát các hệ phương trình tuyến tính. 3.3. Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, ta tìm được tập nghiệm, từ đó suy ra hệ vectơ sinh ra tập nghiệm. Khảo sát hệ này, ta nhận được cơ sở và số chiều của không gian nghiệm. Ví dụ 14. Xét không gian nghiệm W của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 50 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 2x x 3x 4x 0 2x 4x 2x 7x 5x 0 2x 4x 2x 4x 2x 0 ⎧ + − + − =⎪ + − + + =⎨⎪ + − + − =⎩ Giải hệ trên bằng phương pháp Gauss, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 : 2 2 1 3 : 3 2 1 3 : 3 2 2 1 2 1 3 4 1 2 1 3 4 A 2 4 2 7 5 0 0 0 1 13 2 4 2 4 2 0 0 0 2 6 1 2 1 3 4 0 0 0 1 13 0 0 0 0 32 = − = − = + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ Chọn 1 4 5x , x , x làm ẩn cơ sở; 2 3x , x là ẩn tự do và cho 2 3x m, x n= = , ta nhận được hệ phương trình theo các ẩn cơ sở 1 4 5 4 5 5 x 3x 4x 2m n x 13x 0 32x 0 ⎧ + − = − +⎪ + =⎨⎪ =⎩ Từ đó, ta được nghiệm tổng quát của hệ là ( )2m n, m, n, 0, 0− + , với m,n∈ \ . Suy ra ( ){ } ( ) ( ){ } 1 2 W 2m n,m,n,0,0 m,n m 2,1,0,0,0 n 1,0,1,0,0 m,n u ,u = − + ∈ = − + ∈ = \ \ với ( ) ( )1 2u 2,1,0,0,0 , u 1,0,1,0,0= − = . Do 1 2u , u độc lập tuyến tính nên chúng tạo thành một cơ sở của W và do đó, dim W 2.= 3.4. Cơ sở và số chiều của không gian các số hạng tự do để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm Với một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số cho trước viết dưới dạng ma trận AX B= , (3.4) trong đó m nA M ×∈ là ma trận các hệ số, m 1B M ×∈ là ma trận cột các hệ số tự do và n 1X M ×∈ là ma trận