Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng

1 ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -----------------O0O----------------- Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng Mã số: GT2012-05 Chủ nhiệm đề tài: PGS. TS. Phạm Hoàng Quân Thành viên: ThS. Phan Trung Hiếu ThS. Hoàng Đức Thắng Tp. Hồ Chí Minh, 10/2014 1 ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -----------------O0O----------------- Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng Mã số: GT2012-05 Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng Chủ nhiệm đề tài Tp. Hồ Chí Minh, 10/2014 Lời nói đầu Ngày nay, Phương trình đạo hàm riêng trở thành một lĩnh vực quan trọng của Toán học. Có rất nhiều mô hình trong tự nhiên được mô tả bởi một phương trình đạo hàm riêng như: sự truyền nhiệt trong vật dẫn, sự dao động của dây, sóng âm, sóng thuỷ triều, Hơn nữa, với sự phát triển của các kỹ thuật tính toán hiện đại, môn học Phương trình đạo hàm riêng đã trở nên cần thiết không chỉ cho sinh viên ngành Toán mà còn cho những sinh viên ngành Vật lý và các ngành kỹ thuật khác. Vì vậy, chúng tôi biên soạn cuốn “Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng” nhằm phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của sinh viên về môn học này. Nội dung của cuốn giáo trình này được biên soạn theo đề cương chi tiết học phần Phương trình đạo hàm riêng đang được dùng giảng dạy trong Khoa Toán - Ứng dụng, trường Đại học Sài Gòn. Giáo trình gồm 4 chương. Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng. Chương 2, 3 và 4 trình bày về phương trình truyền nhiệt, phương trình thế vị, phương trình truyền sóng và giới thiệu một số phương pháp giải. Cuối cùng, nhằm giúp sinh viên bước đầu làm quen với lĩnh vực giải số phương trình đạo hàm riêng, chúng tôi biên soạn phần đọc thêm hướng dẫn sinh viên sử dụng phần mềm Matlab để giải số các phương trình đạo hàm riêng. Trong mỗi chương, chúng tôi trình bày đầy đủ, ngắn gọn các kiến thức cơ bản cùng với nhiều ví dụ minh hoạ cụ thể, bài tập chọn lọc nhằm giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng tính toán và vận dụng lý thuyết trong việc giải các bài toán. Mặc dù đã cố gắng nhiều trong quá trình biên soạn, nhưng giáo trình khó tránh khỏi sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để giáo trình ngày càng hoàn thiện hơn. Tp. HCM, tháng 10 năm 2014 CÁC TÁC GIẢ 3 Chương 1 KHÁI QUÁT VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Trong chương này, chúng ta sẽ khảo sát các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và đưa các phương trình này về dạng chính tắc. Chương này cũng nhắc lại phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, cấp 2 và các kết quả của khai triển Fourier, biến đổi Fourier cần thiết cho nội dung các chương về sau. I. Ôn tập phương trình vi phân Một phương trình vi phân là phương trình hàm (một biến) có chứa đạo hàm của hàm cần tìm. Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình được gọi là cấp của phương trình vi phân. Phương trình vi phân cấp n có dạng ( )( , , ,..., ) 0nF x y y y  , (1.1) trong đó x là biến độc lập, y là hàm cần tìm, ( ), ,..., ny y y là đạo hàm các cấp của y, biểu thức ( )( , , ,..., )nF x y y y thực sự chứa ( )ny . Hàm số ( )y y x được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) trên khoảng I  nếu y và các đạo hàm của nó tồn tại trên I và thỏa mãn phương trình (1.1) tại mọi điểm thuộc I. 1.1. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng ( , , ) 0F x y y  , (1.2) trong đó x là biến độc lập, y là hàm cần tìm, dyy dx   . 4 Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là biểu thức ( , )y f x C , trong đó C là hằng số tùy ý sao cho: i) Với mỗi hằng số C, hàm số ( , )y f x C là một nghiệm của (1.2). ii) Với mọi điểm 0 0( , )x y thuộc miền chứa nghiệm, khi thay vào (1.2) thì có thể giải ra được 0C C duy nhất. Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) viết dưới dạng hàm ẩn ( , )x y C  được gọi là tích phân tổng quát. Sau đây, ta nhắc lại một số loại phương trình giải được bằng phép tính tích phân. 1.1.1. Phương trình tách biến Phương trình sau đây được gọi là phương trình tách biến ( ) ( )g y y f x  . (1.3) Phương pháp giải: Lấy tích phân hai vế của (1.3), ta được ( ) ( )g y y dx f x dx   ( ) ( )g y dy f x dx  ( ) ( )G y F x C  , trong đó G là nguyên hàm của g , F là nguyên hàm của f , và C là hằng số tùy ý. Ví dụ 1.1. Giải các phương trình sau a) 45y x  . b) 2 3xy y e   . Giải a) Lấy tích phân 2 vế, ta được 45y dx x dx   45dy x dx  5  5 .y x C Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là 5y x C  , với C là hằng số tùy ý. b) Lấy tích phân 2 vế, ta được 2 ( 3)xy y dx e dx    2 ( 3)xy dy e dx   3 3 3 xy e x C   3 3 9xy e x D   , với 3D C . Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là 3 3 9xy e x D   , với D là hằng số tùy ý. Ví dụ 1.2. Giải phương trình 2 xy y e  . Giải Xét 0y  , phương trình trở thành 2 xy e y   . Lấy tích phân 2 vế, ta được 2 xy dx e dx y    2 xdy e dx y   1 xe C y    1xy e C    , với C là hằng số tùy ý. Ta thấy, 0y  cũng là một nghiệm của phương trình. 6 Ví dụ 1.3. Giải phương trình (1 ) (1 ) 0x y y xy    , 0x  . Giải Xét 0y  , phương trình trở thành (1 ) 1y y x y x     . Lấy tích phân 2 vế, ta được (1 ) 1y y xdx dx y x      1 11 1dy dx y x               ln lny y x x C     ln xy x y C   , với C là hằng số tùy ý. Ta thấy, 0y  cũng là một nghiệm của phương trình. 1.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Định lý 1.1. Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất ( ) 0y p x y   , trong đó p là hàm liên tục trên khoảng I  . Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trên khoảng I là ( )p x dx y Ce  , với C là hằng số tùy ý. Chứng minh. Nhân 2 vế của phương trình cho ( )p x dx e , ta được ( ) 0 p x dx ye       ( )p x dxye C  7 ( ) , p x dx y Ce  với C là hằng số tùy ý. ■ Định lý 1.2. Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ( ) ( )y p x y q x   , trong đó p, q là các hàm liên tục trên khoảng I  . Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trên khoảng I là ( ) ( ) ( ) p x dx p x dx y e q x e dx C         , với C là hằng số tùy ý. Chứng minh. Nhân 2 vế của phương trình cho ( )p x dx e , ta được ( ) ( ) ( ) p x dx p x dx ye q x e       ( ) ( )( ) p x dx p x dx ye q x e dx   + C ( ) ( )( ) p x dx p x dx y e q x e dx C         , với C là hằng số tùy ý. ■ Ví dụ 1.4. Tìm nghiệm của bài toán sau 2 , (0) 0. y y x y      Giải Ta có 2y y x   . Nhân 2 vế cho 2 2dx xe e  , ta được  2 2x xye xe  2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 4 2 4 x x x x x xy e xe dx e xe e C x Ce             , với C là hằng số tùy ý. 8 Vì (0) 0y  nên 1 0 4 C   , suy ra 1 4 C  . Vậy, nghiệm của bài toán là 21 1 1 2 4 4 xy x e   . 1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất trên  với hệ số hằng 0ay by cy    , (1.4) trong đó a, b, c là các hằng số và 0a  . Phương trình đặc trưng của (1.4) là phương trình bậc 2 theo ẩn k như sau 2 0ak bk c   . (1.5) Nếu (1.5) có 2 nghiệm thực phân biệt 1k và 2k thì (1.4) có nghiệm tổng quát là 1 2 ,k x k xy Ae Be  với A, B là các hằng số tùy ý. Nếu (1.5) có nghiệm kép 0k thì (1.4) có nghiệm tổng quát là 0( ) ,k xy Ax B e  với A, B là các hằng số tùy ý. Nếu (1.5) có 2 nghiệm phức liên hợp i  thì (1.4) có nghiệm tổng quát là ( cos sin )xy e A x B x    , với A, B là các hằng số tùy ý. Ví dụ 1.5. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau a) 4 3 0y y y    . b) 4 4 0y y y    . c) 0y y y    . Giải a) Phương trình đặc trưng là 2 4 3 0k k   , suy ra 1, 3. k k      9 Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là 3 ,x xy Ae Be   với A, B là các hằng số tùy ý. b) Phương trình đặc trưng là 2 4 4 0k k   , suy ra 2k  . Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là 2( ) xy Ax B e  , với A, B là các hằng số tùy ý. c) Phương trình đặc trưng là 2 1 0k k   , suy ra 1 3 2 2 k i  . Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là 2 3 3cos sin 2 2 x y e A x B x         , với A, B là các hằng số tùy ý. 1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng Xét phương trình sau đây trên  ( )ay by cy f x    . (1.6) Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của (1.6) bằng hai phương pháp: hệ số bất định và biến thiên hệ số Lagrange. 1.3.1. Phương pháp hệ số bất định Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát 0y của phương trình thuần nhất (1.4) tương ứng với (1.6). Bước 2: Nếu ( )f x có dạng đặc biệt thì ta có thể tìm một nghiệm đặc biệt py của phương trình không thuần nhất (1.6) bằng phương pháp hệ số bất định, sẽ được trình bày sau đây. Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) là 0 .py y y  10 Cách tìm nghiệm đặc biệt: xét phương trình đặc trưng 2 0ak bk c   . Dạng 1: ( ) ( )x nf x e P x  , trong đó  ; ( )nP x là đa thức bậc n. Trường hợp Dạng nghiệm đặc biệt  không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng ( )xp ny e Q x   trùng với một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng ( )xp ny xe Q x   trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng 2 ( )xp ny x e Q x  trong đó 0 1( ) ... n n nQ x A A x A x    là một đa thức cùng bậc với ( )nP x . Các hệ số , 0,iA i n được tìm bằng cách tính py  , py  , sau đó thay tất cả vào phương trình ban đầu (1.6), đồng nhất các hệ số tương ứng, ta được hệ phương trình để xác định chúng. Dạng 2:  ( ) ( )cos ( )sinx m nf x e P x x Q x x    , trong đó ,   ; ( )mP x , ( )nQ x là các đa thức bậc m, n tương ứng. Trường hợp Dạng nghiệm đặc biệt i  không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng  ( )cos ( )sinxp l ly e R x x S x x    i  trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng  ( )cos ( )sinxp l ly xe R x x S x x    trong đó 0 1( ) ... l l lR x A A x A x    , 0 1( ) ... l l lS x B B x B x    , là hai đa thức có cùng bậc l max{ , }m n . Các hệ số , , 0,i iA B i l được tìm tương tự như Dạng 1. Ví dụ 1.6. Giải phương trình 4 3 ( 2)xy y y e x     . Giải 11 Xét phương trình thuần nhất 4 3 0y y y    . Phương trình đặc trưng là 2 4 3 0k k   , suy ra 1, 3. k k    Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là 3 0 1 2 x xy C e C e  , với 1C , 2C là các hằng số tùy ý. Nhận xét rằng, ( ) ( 2)xf x e x  suy ra 1  trùng với một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng và 1( ) 2P x x  là đa thức bậc nhất. Do đó, ta tìm nghiệm đặc biệt dưới dạng 2( ) ( )x xpy xe Ax B e Ax Bx    , suy ra 2 ( 2 )xpy e Ax B A x B       , 2 ( 4 ) 2 2xpy e Ax B A x A B        , thay vào phương trình ban đầu ta có    4 2 2 2x xe Ax A B e x     . Đồng nhất các hệ số tương ứng, ta được 4 1, 2 2 2 A A B      1, 4 5 . 4 A B        Suy ra 2 5 4 x p x xy e         . Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là 2 3 0 1 2 5 4 x x x p x xy y y C e C e e            , 12 với 1C , 2C là các hằng số tùy ý. Ví dụ 1.7. Tìm nghiệm của bài toán sau 3 2 2sin , (0) 0, (0) 1. y y y x y y        Giải Xét phương trình thuần nhất 3 2 0y y y    . Phương trình đặc trưng là 2 3 2 0k k   , suy ra 1, 2. k k    Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là 2 0 1 2 x xy C e C e  , với 1C , 2C là các hằng số tùy ý. Nhận xét rằng, 0( ) 2sin (0.cos 2sin )xf x x e x x   , suy ra 0  , 1  và i i    không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng. Hơn nữa 0 ( ) 0P x  , 0( ) 2Q x  , suy ra l max{0,0} 0  . Do đó, ta tìm nghiệm đặc biệt của phương trình không thuần nhất ban đầu dưới dạng cos sinpy A x B x  , suy ra sin cos ,py A x B x    cos sinpy A x B x    , thay vào phương trình ban đầu ta có ( 3 )cos (3 )sin 2sinA B x A B x x    . Đồng nhất các hệ số tương ứng, ta được 3 ,3 0, 5 3 2 1 . 5 AA B A B B            13 Suy ra 3 1cos sin 5 5p y x x  . Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là 2 0 1 2 3 1cos sin 5 5 x x py y y C e C e x x      , với 1C , 2C là các hằng số tùy ý. Từ đó, suy ra 2 1 2 3 12 sin cos 5 5 x xy C e C e x x     , mà (0) 0, (0) 1, y y               1 2 1 2 3 , 5 42 . 5 C C C C Giải hệ trên, ta được       1 2 2, 7 . 5 C C Vậy, nghiệm của bài toán ban đầu là 27 3 12 cos sin 5 5 5 x xy e e x x     . 1.3.2. Phương pháp biến thiên hệ số Lagrange Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát 0y của phương trình thuần nhất (1.4) tương ứng với (1.6). Giả sử nghiệm tổng quát của (1.4) là 0 1 1 2 2y C y C y  , trong đó 1C , 2C là hai hằng số tùy ý; 1 1( )y y x và 2 2 ( )y y x . 14 Bước 2: Tìm nghiệm đặc biệt của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1.6) dưới dạng 1 1 2 2( ) ( )py C x y C x y  , trong đó 1( )C x , 2( )C x thỏa hệ 1 1 2 2 1 1 2 2 0, ( ). C y C y C y C y f x          Giải hệ trên, ta được 1 2 1 1 1 ( )1 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) , ( ), ( ) ( ) . x x C x dx k C x C x C x dx k                         Chọn 1 2 0k k  , ta được 1 1 2 2( ) ( )py x y x y   . Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1.6) là 0 py y y  . Ví dụ 1.8. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 2 15 6 1 x y y y e      . Giải Xét phương trình thuần nhất 5 6 0y y y    . Phương trình đặc trưng là 2 5 6 0k k   , suy ra 2, 3. k k      Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là 2 3 0 1 2 x xy C e C e   . Ta tìm nghiệm đặc biệt dưới dạng 2 3 1 2( ) ( ) x x py C x e C x e    , trong đó 1( )C x , 2( )C x thỏa hệ                2 3 1 2 2 3 1 2 2 0, 12 3 . 1 x x x x x C e C e C e C e e 15 Giải hệ trên, ta được 2 1 2 3 2 2 , 1 , 1 x x x x eC e eC e           suy ra 2 2 1 12 3 2 22 1( ) ln(1 ) , 1 2 ( ) arctan( ) . 1 x x x x x x x eC x dx e k e eC x dx e e k e                   Chọn 1 2 0k k  , ta được 2 2 2 31 ln(1 ) arctan( ) 2 x x x x x py e e e e e       . Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là            2 3 2 2 2 31 2 1 ln(1 ) arctan( ), 2 x x x x x x x o py y y C e C e e e e e e với 1C , 2C là các hằng số tùy ý. Định lý 1.3 (Nguyên lý chồng chất nghiệm) Xét phương trình 1 2( ) ( )ay by cy f x f x     trên  . Khi đó, nghiệm đặc biệt py của phương trình trên được tìm dưới dạng * * 1 2py y y  , trong đó *1y là một nghiệm đặc biệt của phương trình 1( )ay by cy f x    , còn *2y là một nghiệm đặc biệt của phương trình 2( )ay by cy f x    . Ví dụ 1.9. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 23 2 3 2sinxy y y e x     . Giải 16 Xét phương trình thuần nhất 3 2 0y y y    . Phương trình đặc trưng là 2 3 2 0k k   , suy ra 1, 2. k k    Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là 2 0 1 2 x xy C e C e  , với 1C , 2C là các hằng số tùy ý. Ta tìm nghiệm đặc biệt của phương trình 23 2 3 xy y y e    dưới dạng * 2 1 xy xe A , tương tự ví dụ 1.6, ta được 3A  , suy ra * 21 3 xy xe . Tiếp theo, theo ví dụ 1.7, nghiệm đặc biệt của phương trình 3 2 2siny y y x    là * 2 3 1cos sin 5 5 y x x  . Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là * * 2 2 0 1 2 1 2 3 13 cos sin 5 5 x x xy y y y C e C e xe x x        , với 1C , 2C là các hằng số tùy ý. 1.4. Phương trình Euler Phương trình Euler thuần nhất trên \ {0}I   là phương trình vi phân có dạng 2 0ax y bxy cy    , (1.7) trong đó a, b và c là các hằng số. Phương trình đặc trưng của (1.7) là phương trình bậc 2 theo ẩn k như sau 2 ( ) 0ak b a k c    . (1.8) Nếu (1.8) có 2 nghiệm thực phân biệt 1k và 2k thì (1.7) có nghiệm tổng quát là 17 1 2 ,k ky Ax Bx  với A, B là các hằng số tùy ý. Nếu (1.8) có nghiệm kép 0k thì (1.7) có nghiệm tổng quát là 0( ln ) ,ky A x B x  với A, B là các hằng số tùy ý. Nếu (1.8) có 2 nghiệm phức liên hợp i  thì (1.7) có nghiệm tổng quát là cos( ln ) sin( ln )y x A x B x       , với A, B là các hằng số tùy ý. Ví dụ 1.10. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau 2 3 4 0x y xy y    , 0x  . Giải Phương trình đặc trưng là 2 4 4 0k k   , suy ra 2.k  Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là 2( ln ) ,y A x B x  với A, B là các hằng số tùy ý. II. Một số khái niệm về phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 2.1. Một phương trình đạo hàm riêng là một phương trình có chứa hàm nhiều biến chưa biết và một số đạo hàm riêng của nó. Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của hàm chưa biết xuất hiện trong phương trình được gọi là cấp của phương trình. Tổng quát, phương trình đạo hàm riêng cấp m là phương trình có dạng 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ; ; ,..., ; , ,..., 0 ... n m kk n n u u u u uF x u x x x x x x x                , (1.9) 18 trong đó F là hàm nhiều biến, x  1 2( , ,..., )nx x x n , ( )u x  1( ,..., )nu x x là hàm phải tìm, 1 2 ... nk k k m    , laàn ... .j j j k k x x xk j u u x     Ví dụ 2.1. Các phương trình sau đây là phương trình đạo hàm riêng 0,t xu u  (1.10) 0,x yu yu  (1.11) 0,x yu uu  (1.12) 3 0,tt xxu u u   (1.13) 22 3 4 ,xxx xy yyu u x u e   (1.14)  2 0,x xx yu u u  (1.15)  2 0,xx yy xu u xu yu    (1.16) 0,t x xxxu uu u   (1.17) 0.tt xxxxu u  (1.18) Ví dụ 2.2. Trong ví dụ 2.1, phương trình (1.10), (1.11), (1.12) là phương trình cấp 1; (1.13), (1.14), (1.15), (1.16) là phương trình cấp 2; (1.17) là phương trình cấp 3; (1.18) là phương trình cấp 4. Phương trình (1.9) có thể được viết lại dưới dạng ( ) 0L u  trong đó L là một toán tử, nghĩa là, nếu u là một hàm thì L(u) sẽ là một hàm mới. Ở đây, ( )L u là vế trái của (1.9). Ví dụ 2.3. Trong phương trình (1.11), toán tử L y x y       , khi đó ( ) u uL u y x y       . Định nghĩa 2.2. Phương trình đạo hàm riêng ( ) 0L u  được gọi là tuyến tính nếu L là một toán tử tuyến tính giữa các không gian vectơ, nghĩa là với mọi hàm u, v, 19    ( ) ( ) ( )L u v L u L v , với   . Nói cách khác, phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm và các đạo hàm riêng của nó đều chỉ xuất hiện với lũy thừa một và không có tích của chúng với nhau. Ví dụ 2.4. Trong ví dụ 2.1, các phương trình tuyến tính là (1.10), (1.11), (1.14), (1.18). Các phương trình còn lại là phương trình không tuyến tính. Định nghĩa 2.3. Phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính được gọi là tựa tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với tất cả đạo hàm riêng cấp cao nhất của hàm phải tìm. Ví dụ 2.5. Trong ví dụ 2.1, phương trình (1.12), (1.13), (1.15), (1.17) là phương trình tựa tuyến tính, phương trình (1.16) không phải phương trình tựa tuyến tính. Định nghĩa 2.4. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là thuần nhất nếu mọi số hạng của phương trình đều có chứa hàm phải tìm hoặc đạo hàm của nó. Ngược lại, nếu có số hạng không chứa hàm phải tìm và cũng không chứa đạo hàm của nó thì ta gọi là phương trình không