Giáo trình Toán cao cấp A2

Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Cơ Bản Bộ Môn Toán GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 (Lưu hành nội bộ - Tháng 9/ 2016) TOÁN CAO CẤP A2 ..... Trang 1 Lời mở đầu Giáo trình “Toán Cao cấp A2” này được biên soạn nhằm phục vụ cho nhu cầu về tài liệu học tập của sinh viên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh. Nội dung giáo trình này gồm 5 chương: Chương 1 : Ma trận – Định thức. Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính. Chương 3: Không gian vec tơ-Không gian Euclide và hình học giải tích. Chương 4: Trị riêng, vec tơ riêng, chéo hóa ma trận, dạng toàn phương. Chương 5: Phép tính vi phân hàm nhiều biến và ứng dụng. Nội dung môn học như trên là khá phong phú. Tuy nhiên, thời lượng dành cho môn học này chỉ có 3 tín chỉ (45 tiết lên lớp) là hơi ít. Do đó, để tiếp thu tốt môn học, các bạn sinh viên cần đọc kỹ bài học trong giáo trình trước khi đến lớp. Các bạn cần làm bài tập đầy đủ để hiểu rõ nắm vững các khái niệm, nội dung, ý nghĩa các bài toán và suy nghĩ về việc ứng dụng vào đời sống. Trước mỗi chương hay mỗi bài tác giả nêu ra những nội dung, những kiến thức cơ bản mà sinh viên cần phải đạt được. Dựa vào đó mà các bạn sinh viên biết được mình sẽ phải học những gì, cần phải hiểu rõ những khái niệm nào, những nội dung nào cần phải nắm vững và những bài toán dạng nào phải làm được. Trong mỗi chương, tác giả đưa vào khá nhiều ví dụ phù hợp để minh họa làm sáng tỏ các khái niệm vừa được trình bày đồng thời chỉ ra được rất nhiều ứng dụng vào thực tế. Sau mỗi chương hay bài học có phần bài tập được chọn lọc phù hợp để sinh viên tự luyện tập nhằm đạt được sự hiểu biết sâu rộng hơn các khái niệm đã đọc qua và thấy được các ứng dụng rộng rãi của các kiến thức này vào thực tế. Mục tiêu chúng của tôi khi viết giáo trình này:  Dễ đọc, dễ hiểu, có thể tự học với sự hỗ trợ chút ít của giáo viên; TOÁN CAO CẤP A2 ..... Trang 2  Người đọc có thể nắm vững tất cả kiến thức môn học mà tốn ít thời gian nhất. Do đó, chúng tôi chọn cách trình bày hình thức đối với các khái niệm không phức tạp cho ngắn gọn đỡ mất thời gian; còn đối với các khái niệm phức tạp (chẳng hạn như không gian vectơ) chúng tôi chọn cách trình bày từ cụ thể, trực quan, trừu tượng dần để bảo đảm bạn đọc hiểu được.  Đọc giáo trình như một hành trình khám phá tri thức và khả năng ứng dụng vào cuộc sống. Người đọc cảm thấy thích thú, hạnh phúc, tư duy logic cùng trí tưởng tượng và khả năng sáng tạo tăng lê rõ rệt.  Người đọc biết ứng dụng những gì đã học làm công cụ để học tiếp các môn khác và biết ứng dụng vào thực tế. Tuy có rất nhiều cố gắng trong công tác biên soạn , nhưng chắc chắn giáo trình này vẫn còn thiếu sót. Chúng tôi xin trân trọng tiếp thu ý kiến đóng góp của các bạn sinh viên và các đồng nghiệp để giáo trình này ngày càng hoàn chỉnh hơn. Thư góp ý xin gửi về : Ngô Hữu Tâm Trường Đại học Sư Phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh Khoa Khoa học Cơ bản Bộ môn Toán Email: tamnh@hcmute.edu.vn huutamngo@yahoo.com.vn TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 3 Chương 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC Chương này gồm các nội dung sau:  Khái niệm ma trận, một số ma trận đặc biệt;  Các phép toán ma trận, tính chất;  Phép biến đổi sơ cấp hàng, ma trận tương đương hàng;  Ma trận rút gọn bậc thang, hạng ma trận.  Khái niệm và cách tính định thức;  Các tính chất định thức;  Hai cách thường sử dụng để tính định thức;  Aùp dụng định thức tìm hạng ma trận.  Khái niệm ma trận khả nghịch và ma trận đảo của một ma trận vuông;  Các tính chất ma trận khả nghịch;  Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông khả nghịch;  Hai cách cơ bản tìm ma trận đảo của một ma trận khả nghịch;  Ứng dụng ma trận đảo để giải phương trình ma trận và hệ phương trình tuyến tính. TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 4 §1. MA TRẬN Trong bài này, bạn sẽ học -----------------------------------------------------------------------------------------  Khái niệm ma trận, một số ma trận đặc biệt;  Các phép toán ma trận, tính chất;  Phép biến đổi sơ cấp hàng, ma trận tương đương hàng;  Ma trận rút gọn bậc thang, hạng ma trận; ------------------------------------------------------------------------------------------ 1- Ma trận (matrices) 1.1 -Định nghĩa và ký hiệu ( K =  là tập số thực hoặc K =  là tập số phức) Một ma trận A cấp mn (cỡ mn, kích thước mn) trên K là một bảng chữ nhật gồm mn phần tử trong K được viết thành m hàng và n cột như sau: A =           mnmm n n aaa aaa aaa     21 22221 11211 hay A =         mnmm n n aaa aaa aaa     21 22221 11211 Trong đó aij  K là phần tử (số hạng) ở vị trí hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A. Đôi khi ma trận A được ký hiệu vắn tắt là: A = [aij]mxn = ( aij)mxn= A mxn. Ký hiệu M mxn(K) là tập hợp tất cả các ma trận cấp mn trên K.  Ma trận không (zero matrix ) là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu là 0 mxn (hay 0 nếu không có sự nhầm lẫn): 0 mxn =           000 000 000     = 0  Ma trận cột (column matrix) là ma trận chỉ có một cột : A =           1 21 11 na a a   Ma trận hàng (row matrix) là ma trận chỉ có một hàng: A =  naaa 11211 ...... . TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 5  Ma trận có số hàng bằng số cột gọi là ma trận vuông (square matrix). Ma trận vuông có n hàng gọi là ma trận vuông cấp n: A =           nnnn n n aaa aaa aaa     21 22221 11211 = [aij]nxn . Các phần tử a11, a22, ., ann gọi là các phần tử chéo của ma trận vuông A. Vết ma trận vuông A, ký hiệu Tr(A), được định nghĩa như sau: Tr(A) ĐN a11 +a22 +.+ann Ký hiệu M n(K) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên K.  Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 khi i > j, tức là nó có dạng: A =           nn n n a aa aaa     00 0 222 11211  Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 khi j > i, tức là nó có dạng: A =           nnnn aaa aa a     21 2221 11 0 00  Ma trận vuông D gọi là ma trận chéo nếu D vừa là ma trận tam giác trên vừa là ma trận tam giác dưới, tức là nó có dạng : D =           nna a a     00 00 00 22 11 kýhiệu dg(a11 , a22 , , an n).  Ma trận chéo mà tất cả các phần tử chéo đều bằng 1 gọi là ma trận đơn vị, ma trận đơn vị cấp n ký hiệu là In hay I khi không có sự nhầm lẫn: In =           100 010 001     = I Ví dụ 1.1 a)       976 2543 iA là ma trận cấp 32  ; 9,,25,4,3 23131211  aiaaa  TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 6 b)             12938 612 375 i iA là ma trận vuông cấp 3 . c) C         1200 610 375 là ma trận tam giác trên;           1324 012 005 'C là ma trận tam giác dưới. d)            2000 0100 0030 0004 D = )2,1,3,4( dg là ma trận chéo cấp 4 . e)          00 00 00 0 23 ,     000 0000 32 ,     10 01 2I ,          100 010 001 3I 1.2 - Các phép toán ma trận 1.2.1- Định nghĩa -Ví dụ minh họa a) Ma trận bằng nhau: Ma trận A = [aij]mxn gọi là bằng ma trận B = [bij]mxn, ký hiệu A = B, nếu ijij ba  mi ,1 và nj ,1 . Ví dụ 1.2 Cho       32 11 tz yxA ,     46 37B . Tìm tzyx ,,, để BA  . Giải BA          43 62 31 71 t z y x         7 3 4 6 t z y x b)Phép cộng, trừ các ma trận cùng cấp: Cho A = [aij]mxn, , B = [bij]mxn Tức là khi cộng, trừ hai ma trận cùng cấp chúng ta cộng, trừ các số hạng cùng vị trí với nhau. A = B NĐ aij = bij ,  i = ,m và j = n,1 A + B ĐN [aij + bij]mxn ; A - B ĐN [aij - bij]mxn TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 7 c) Phép nhân một số với một ma trận: Cho A = [aij]mxn ,   K Tức là khi nhân một số với một ma trận chúng ta nhân số đó với tất cả các số của ma trận. Ví dụ 1.3 Cho      231 142A ,     252 136B . Tính BA  , BA 32  , BA 32  . Giải BA  =      231 142 +     252 136 =     483 078 BA 32  =      231 1422 +     252 1363 =     10218 11722 BA 32  =      231 1422     252 1363 =       294 5114 d) Phép nhân hai ma trận có cấp thích hợp:(số cột ma trận trước phải bằng số hàng ma trận sau) Cho các ma trận   nmikaA  ,   pnkjbB  Sơ đồ của phép nhân ma trận như sau: Cột j   n k kjik ba 1 . Cột j Hàng i                         ABB bbb bbb bbb A aaa aaa aaa npnjn pj pj mnmm inii n                                1 2221 1111 21 21 11211 . hàng i e) Phép lũy thừa ma trận vuông: Cho ma trận vuông A = [aij]nxn  A ĐN aijmxn AB ĐN a bik kjk n mxp .      TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 8 A0 = I , A1= A , A2= AA, , Ak = AAk 1 =  lần-k ....AA.A....... Ví dụ 1.4 Cho      31 21A ,      413 102B . Tính AB , 2A , 3A ; giải thích vì sao không tồn tại ma trận BA . Giải AB =      31 21      413 102 =       1213092 812062 =       1137 928 2A =      31 21      31 21 =       9231 6221 =       74 81 3A = 2A A=       74 81      31 21 =       1311 229 Vì B có 3 cột và A có 2 hàng nên không tồn tại BA . f) Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của A = [aij]mxn, ký hiệu TA , là ma trận xác định bởi TA ĐN [ Tjia ]nxm với Tjia = aij ; tức là AT có được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột. Ví dụ 1.5 a) Với     483 162A thì TA =         41 86 32 . b) Với            80 95 73 62 B thì      8976 0532TB . 1.2.2- Tính chất của các phép toán về ma trận Với mọi ma trận A, B, C có cấp thích hợp để thực hiện được các phép toán và với mọi số ,   K.  A + B = B + A  A + (B + C) = (A + B) + C  Amxn + 0mxn = Amxn  (A  B) = A  B ( + )A = A + A  A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC  Amxn.0nxp = 0mxp = 0mxk.Akxp  0Amxn = 0mxn , 0mxn = 0mxn  (AB)C = A(BC) = ABC  (A + B)T = AT + BT , (AB)T = BTAT (ABC)T = CTBTAT 11 ImAmxn = Amxn = AmxnIn. 12 Nếu A = [aij]nxn thì AIn = A = In A TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 9  (A) = ()A = (A) (AB) = A(B) = (A)B  Chú ý Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Ví dụ 1.6 a) Cho                23 11 02 ,223 012,416 212 CBA . Tính CBA )23(  , TT AC . b) Cho          211 102 121 A và f(x) = 3x2 + 2x - 4. Tính )(Af . Giải a) AC =             23 11 02 416 212 =     925 511 ; BC             23 11 02 223 012 =     614 13 CBA )23(  = BCAC 23  = 3     925 511 -2     614 13 =     1547 1339 TT AC = TAC)(     95 2511 b)                  211 102 121 211 102 121 2 AAA =         445 453 536 )(Af = IAA 423 2  = 3         445 453 536 +2                  100 010 001 4 211 102 121 =         121417 141113 171316 . 1.3 - Phép biến đổi sơ cấp hàng – Hạng của ma trận 1.3.1 - Định nghĩa Có 3 loại phép biến đổi sơ cấp hàng (elementary rows operations) Loại 1 Hoán vị hai hàng : hi  hj Loại 2 Nhân một số khác 0 vào một hàng : hi hi,   0 TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 10 Loại 3 Thay một hàng bởi hàng đó cộng với  lần hàng khác hi + hj  hi , ij. Kết hợp loại 2 và loại 3 ta được : hi + hj  hi ,   0, ij. 1.3.2 -Ma trận tương đương hàng Nếu từ ma trận A sơđổibiến hàngcấp  ............. B thì ma trận A gọi là tương đương hàng với ma trận B , ký hiệu A  B. Vậy : A  B NĐ A sơđổibiến hàngcấp  ............. B. Ví dụ 1.7          142 311 210 A    21 hh  B          142 210 311    13 2hh    C           560 210 311    23 6hh           1700 210 311 = D Khi đó, A  B, A  C, A  D, B  C,. 1.3.3- Ma trận rút gọn bậc thang Ma trận Ar = [aij]mxn gọi là ma trận rút gọn bậc thang nếu nó thỏa đồng thời 3 tính chất sau: - Các số phía dưới số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng đều bằng 0. - Các số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng xếp theo thứ tự bậc thang từ trên xuống dưới và từ trái sang phải.  - Các hàng zêro nằm phía dưới các hàng khác zêro (hàng zêro là hàng mà tất cả các số hạng đều bằng 0). Ví dụ 1.8 a)           0000 9700 17132 A là ma trận rút gọn bậc thang. TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 11 b)            0000 3000 3460 7905 B là ma trận rút gọn bậc thang. c)          6050 9700 8132 C không là ma trận rút gọn bậc thang vì không thỏa tính chất. 1.3.4 -Hạng ma trận Hạng ma trận A = [aij]mxn , ký hiệu là )(Ar , là một số xác định như sau Ví dụ 1.9 a) Ma trận          2030 9100 8132 A    32 hh          9100 2030 8132 = rA Suy ra 3)( Ar . b) Ma trận          12162 10031 2131 B 123 12 hh hh              8100 8100 2131    23 hh rB         0000 8100 2131 Suy ra 2)( Br . Ví dụ 1.10 Với m là tham số, hãy tìm hạng của ma trận sau: a) A =           m54 543 432 321 b)          111 11 11 2 m mm mm A Giải a) Ta có r r sơđổiBiến hàngcấp Acủazêro khác hàngsốthì thang bậcgọn rúttrậnmalàAvới .................AtrậnmaTừ         )(A r Ar TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 12           m54 543 432 321 144 133122 hh hh;hh                  1230 420 210 321 m 2 34 223 hh hh                 600 000 210 321 m    43 hh             000 600 210 321 m = rA . Suy ra r(A) =     6m khi 6m khi 3 2 . b) A 12 13 hh mhh              32 2 2 1110 110 11 mmm mmmm mm 23 hh            322 2 2 1200 110 11 mmmmm mmmm mm rA Khi 1m thì rA         0000 0000 1111 nên 1)( Ar . Khi 1m thì rA có 3 hàng khác zêro nên 3)( Ar .  Tính chất i)  )()( TArAr . Suy ra khi tìm hạng ma trận có thể biến đổi sơ cấp cột. ii) Nếu A  B thì r(A) = r(B). iii) Nếu A = [aij]mxn thì r(A)  min m,n. Ví dụ 1.12 Tìm hạng ma trận             56 97 52 21 A . Giải      5952 6721TA    12 2hh TrA    172390 6721  )()( TArAr số hàng khác zêro của TrA = 2. TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 13 §2. ĐỊNH THỨC Trong bài này, bạn sẽ học -----------------------------------------------------------------------------------------  Định nghĩa và cách tính định thức;  Các tính chất định thức;  Hai cách thường sử dụng để tính định thức;  Aùp dụng định thức tìm hạng ma trận. ----------------------------------------------------------------------------------------- 2.1-Định nghĩa - Cách tính Ký hiệu định thức của ma trận vuông A = [aij]nxn là detA hay A. * Định thức cấp 1: Với A = (a11) thì detA = a11. * Định thức cấp 2: detA = A = a bc d = ad - bc. * Định thức cấp 3: detA = a a a a a a a a a          = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) -(a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12). Quy tắc đường chéo 32 22 12 31 21 11 333231 232221 131211 a a a a a a aaa aaa aaa =(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)-(a31a22a13+a32a23a11+ a33a21a12). * Định thức cấp n (n  2) detA =      i hàngtriểnKhai ij jin j ij Ma     1 1 =      jcộttriểnKhai ij jin i ij Ma     1 1 , với Mij  là định thức cấp (n-1) có từ A bằng cách bỏ hàng i và cột j và ijji M )1( gọi là phần phụ đại số của aij. Ví dụ 1.12 Tính các định thức: a) 111 231 102  b) 4032 1110 2310 1023  Giải TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 14 a) 111 231 102  = 2)043()106(  b) Khai triển định thức theo cột 1 4032 1110 2310 1023  = 403 111 231 3  + 0 + 0 + 2 111 231 102  = )2(2)]1206()094[(3  = -39 – 4 = -43. 2.2- Tính chất của định thức  detA = detAT. Suy ra mọi tính chất của định thức nếu đã đúng với hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Do đó các tính chất tiếp theo sau đây ta chỉ cần phát biểu đối với hàng.  det(AB) = detAdetB.  Hoán vị hai hàng (cột) thì định thức đổi dấu. Tức là, nếu A    jhih B thì A = -B (hoặc viết gọn A   jhih -B) Vậy nếu định thức có hai hàng (cột) giống nhau thì định thức bằng 0.  Nếu nhân một hàng (cột) của định thức với một số 0 thì định thức tăng lên  lần. Tức là, nếu A    ihih B thì A =  1 B , 0 (hoặc viết gọn A i h  1 B, 0 ) Vậy thừa số chung của một hàng (cột) có thể đặt ra ngoài dấu định thức.  Khi thực hiện phép biến đổi sơ cấp loại 3 trên hàng hay cột thì định thức không đổi. Tức là, nếu A    ihjhih  B thì A = B (hoặc viết gọn A   jhih  B, ji  ) TOÁN CAO CẤP A2 .. Trang 15  Nếu định thức có hai hàng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0.  Nếu định thức có một hàng(cột) zero thì định thức bằng 0 (hàng zêro là hàng mà các số hạng đều bằng 0).  Nếu mỗi số hạng ở một hàng của detA là tổng của hai số thì detA bằng tổng hai định thức: Định thức thứ nhất suy từ A bằng cách thay mỗi số hạng ở hàng nói trên nói trên bởi một trong hai số hạng của nó. Định thức thứ hai có đươc bằng cách thay số hạng còn lại: a a b b c c a b