Giáo trình Toán cao cấp B2 - Nguyễn Thị Minh Thư

BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP B2 PHẦN ĐẠI SỐ KHỐI KINH TẾ (LƯU HÀNH NỘI BỘ ) TP HỒ CHÍ MINH 2013 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 2 Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 3 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn Toán trong trường, Bộ môn Toán Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM đã tổ chức biên soạn và ấn hành cuốn TOÁN CAO CẤP B2 dành cho sinh viên khối ngành kinh tế. Cuốn sách do các giảng viên thuộc bộ môn Toán biên soạn, trên cơ sở đề cương môn học theo tín chỉ đã được Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt. Nội dung cuốn sách phần là Đại số tuyến tính và các bài toán ứng dụng trong kinh tế.Cuốn sách giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của môn học, giúp sinh viên có nền tảng về toán để tiếp cận các môn học khác trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh tế. Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng là sinh viên hệ cao đẳng. Ngoài ra, còn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau mỗi chương đều có bài tập để sinh viên rèn luyện. Đây là tài liệu được sử dụng chính thức trong trường giúp sinh viên học tập và thi kết thúc học phần có hiệu quả tốt theo chương trình đào tạo tín chỉ. Trong quá trình giảng dạy, giáo trình sẽ được cập nhật, chỉnh lý để ngày càng hoàn thiện và đầy đủ hơn. Do khả năng có hạn, thời gian ngắn và cũng là lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín chỉ nên giáo trình không tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên bộ môn Toán rất mong nhận được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc trong và ngoài trường. Các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc xin gửi về chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng bộ môn TOÁN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM. Địa chỉ minhthu15916@gmail.com Xin chân thành cảm ơn. BỘ MÔN TOÁN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 4 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 5 MỤC LỤC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 7 1. 1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN 7 I. Định nghĩa ma trận II. Phân loại ma trận III. Các phép toán về ma trận IV. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 1. 2 ĐỊNH THỨC 14 I. Định nghĩa định thức của ma trận vuông II. Tính chất của định thức III. Khai triển định thức theo một hàng hoặc cột IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp 21 1. 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I. Định nghĩa II. Các định lý III. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 1. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 26 I. Định nghĩa II. Phương pháp tìm hạng của ma trận BÀI TẬP CHƯƠNG I 29 CHƯƠNG II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 33 2.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 33 I. Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính II. Định lí tồn tại nghiệm Kronecker-Capelli 2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 37 I. Phương pháp Cramer II. Phuơng pháp Gauss-Jordan III. Hệ thuần nhất TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 6 2.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN 45 BÀI TẬP CHƯƠNG II 49 CHƯƠNG III CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ 52 3.1 Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA ĐẠO HÀM 52 I. Biên tế II. Hệ số co giãn 3.2 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN TRONG KINH TẾ 63 I. Bài toán tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa II. Bài toán xác định mức thuế doanh thu III. Bài toán định mức thuế nhập khẩu IV. Bài toán định mức thuế xuất khẩu 3.3 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN TRONG KINH TẾ 73 I. Bài toán tìm mức sản lượngtrong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo II. Bài toán tìm mức sản lượng trong điều kiện sản xuất độc quyền III. Bài toán lựa chọn đầu vào cho sản xuất 3.4 TÌM ĐIỂM CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG 80 I Mô hình điểm cân bằng thị trường II. Tìm điểm cân bằng thị trường 3.5 MÔ HÌNH INPUT-OUPUT 85 I. Mô hình input – ouput mở II. Mô hình input – ouput đóng BÀI TẬP CHƯƠNG III 90 ĐỀ THI THAM KHẢO 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO 95 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 7 CHƯƠNG I MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1.1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I. Định nghĩa về ma trận Ma trận cấp m×n là một bảng số hình chữ nhật có m hàng n cột. Ký hiệu: A, B, C,... ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 11 11 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n i i ij in m m mj mn a a a a a a a a A a a a a a a a a aij là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A Có thể viết gọn ma trận ở dạng A = (aij)mxn hoặc A=[aij]mxn Tập tất cả các ma trận cấp m n× , có các phần tử là số thực thì ký hiệu là: ( ) ( ) { |mxn ij ijmxna a ∈\ \ M A= = } II. Phân loại ma trận 1. Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không, kí hiệu θ . 2. Ma trận hàng là ma trận có dạng 1 hàng và n cột (còn gọi là véctơ hàng). ( ) ( )11 12 1 1n ij nA a a a a ×= = 3. Ma trận cột là ma trận có dạng m hàng và 1 cột (còn gọi là véctơ cột) TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 8 ( ) × ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ # 11 21 1 1 ij m m a a A a a 4. Ma trận vuông cấp n là ma trận cấp n có số dòng bằng số cột. ( ) × ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 11 11 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n ij n n i i ij in n n nj nn a a a a a a a a A a a a a a a a a a Các phần tử a11, a22, a33, .aii,... ann được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Các phần tử an1, an-1 2, an-2 3, .aii,.. a1n. được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. 5. Ma trận đường chéo (ma trận chéo) là ma trận vuông cấp n, trong đó aij = 0; ∀ ≠i j 0 , tức là các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng không. ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 11 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ii nn a a A a a TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 9 6. Ma trận đơn vị là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1. Kí hiệu: I; E ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I 7. Ma trận tam giác trên, tam giác dưới a) Ma trận tam giác trên là ma trận vuông, trong đó = 0ija ∀ > = ____; , 1,i j i j n ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 11 11 1 1 22 2 20 0 0 0 0 0 j n j n ii in nn a a a a a a a A a a a b) Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông, trong đó = 0ija ∀ < = ____; , 1,i j i j n ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 11 21 22 1 2 1 2 0 0 0 0 0i i ii n n nj nn a a a A a a a a a a a 0 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 10 8. Ma trận bằng nhau Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử cùng vị trí phải bằng nhau. Tức là: cho ( )ij m nA a ×= và ( )ij m nB b ×= thì A B= nếu và chỉ nếu ija b= ij ,i j∀ ; 1,i m= ; 1,j n= . 9. Ma trận chuyển vị (transposition = sự chuyển vị, sự đảo ngược Cho ma trận ( )ij m nA a ×= , ta đổi hàng thành cột và cột thành hàng thì được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A. Ký hiệu: AT, Ac, A' ; ( )T ji n mA a ×= VÍ DỤ 1 Cho thì 1 2 3 4 5 6 A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 4 2 5 3 6 TA ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ VÍ DỤ 2 Cho ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 -2 3 -1 4 -2 2 5 4 -7 3 5 -1 2 6 -1 4 2 -3 8 4 -7 6 8 1 A thì . Khi đó ta nói ma trận A là ma trận đối xứng. TA=A 10. Ma trận bậc thang và bậc thang chính tắc a) Ma trận bậc thang là ma trận luôn thoả mãn hai tính chất i) Các hàng khác không luôn ở trên các hàng bằng không ii) Phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của hàng trên. Chú ý: hàng khác không là hàng có ít nhất một phần tử khác không. VÍ DỤ 3 Các ma trận sau là ma trận bậc thang: TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 11 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 0 -1 3 0 1 3 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 A ; ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 0 -2 4 0 -2 9 1 B = 0 0 6 5 0 0 0 0 b) Ma trận bậc thang chính tắc là ma trận bậc thang có các phần tử khác không đầu tiên của mỗi hàng đều bằng 1, phần tử này gọi là phần tử chính, mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác sẽ bằng không. VÍ DỤ 4 Các ma trận sau là ma trận bậc thang chính tắc ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 0 0 0 5 0 1 0 0 6 0 0 1 0 -4 0 0 0 1 7 C ; ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 0 4 0 5 0 1 3 0 6 0 0 0 1 -4 0 0 0 0 0 D II. Các phép toán về ma trận 1. Phép cộng hai ma trận a) Định nghĩa: cho ( )ij m nA a ×= và ( )ij m nB b ×= . Khi đó, ma trận ( )ij m nA B C c ×± = = trong đó , ij ij ijc a b= ± ,i j∀ ; 1,i m= ; 1,j n= . VÍ DỤ 5 1 2 5 6 1 5 2 6 6 8 3 4 8 7 3 8 4 7 11 11 + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ ⎞⎟⎠ VÍ DỤ 6 1 2 5 6 1 5 2 6 4 4 3 4 8 7 3 8 4 7 5 3 − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ b) Tính chất A +B = B + A A + θ = θ + A = A Nếu gọi - A = (-aij)mxn thì A + (-A) = θ (A + B) + C = A + (B + C) TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 12 2. Phép nhân ma trận với một số thực a) Định nghĩa: cho ma trận A = (aij)mxn và số thực k ma trận ( )ij m nkA B b ×= = trong đó .ij ijb k a= , ; ,i j∀ 1,i m= ; 1,j n= . Ví DỤ 7 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 86 42 43 21 2 b) Tính chất: k(A +B) = kA + kB; k R∈ (k + h)A = kA + hA; k, h R∈ k(hA) = khA; k,h R∈ 3. Phép nhân hai ma trận a) Điều kiện để thực hiện phép nhân ma trận A với ma trận B là số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. b) Định nghĩa: cho ( )ij m pA a ×= và ( )ij p nB b ×= . Khi đó, ma trận tích ( ). ij m nA B C c ×= = trong đó 1 1 2 2 1 n ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b = = + + + =∑ , 1,i m∀ = ; 1,j n= Nghĩa là lấy các phần tử ở hàng i của ma trận A nhân tương ứng với các phần tử ở cột j của ma trận B rồi cộng lại. VÍ DỤ 8 + + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= =⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − + − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 3 2.1 3.2 2.3 3.( 5) 8 9 . 1 4 2 5 ( 1).1 4.2 ( 1).3 4.( 5) 7 23 ⎛⎜ ⎞2 3 ⎞⎟− ⎠ VÍ DỤ 9 −⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎟−⎛ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 1 3 1 3 . 3 4 6 4 4 0 2 1 0 1 2 −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠ 11 14 13 8 28 28 Vì =(-1).1+2.3+3.2=11; =4.1+(-4).3+0.2=-8 11c 21c TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 13 =(-1).3+2.(-4)+3.(-1)=-14; =4.3+(-4).(-4)+0.(-1)12c 22c =28 c) Tín =(-1).(-1)+2.6+3.0=13; =4.(-1)+(-4).6+0.0=-28 13c 23c h chất B là 2 ma trận vuông cùng cấp thì A.B Cho A, ≠ B.A kB) ; A(B + C) = AB + AC (B + C) A = BA + CA k (AB) = (kA) B = A( k R∈ (AB) = B A T T T AI=IA=A IV ổi sơ c. Các phép biến đ ấp trên ma trận đối với ma trận Có 3 phép biến đổi sơ cấp cho hàng (hoặc cột) 1. Nhân 1 hàng với 1 số 0.k ≠ a . 2. Đổi chỗ 2 hàng cho nh u 3. Nhân 1 hàng với 1 số 0k ≠ rồi cộng vào hàng khác. i trên VÍ DỤ 11 VÍ DỤ 12 ⎞⎟ Nhận xét: Giống như biến đổ hệ phương trình VÍ DỤ 10 12 1 2 3 2 4 6h⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 5 6 4 5 6⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 1 2 3 4 5 6 4 5 6 1 2 3 h h↔⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 24 1 2 3 1 2 3 4 5 6 0 3 6 h h− +⎛ ⎞ ⎛⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ VÍ DỤ 13 ⎞⎟1 331 2 3 1 2 04 5 6 4 5 6 − +⎛ ⎞ ⎛⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ −⎝ ⎠ ⎝ c c ⎠ TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 14 1.2. ĐỊNH THỨC a trận vuông I. Định nghĩa định thức của m 1. Ma trận con của ma trận vuông Cho ma trận ( ) × ⎛⎜ 11 11a a ⎞a a ⎟ Xét phần tử aij, ma trận thu được khi bỏ dòng i cột j được gọi ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n ij n n i i ij in n n nj nn a a a a A a a a a a a a a a là ma trận con cấp (n-1)× (n-1) tương ứng với phần tử aij. Ký hiệu: Mij Định thức ủa ma trận A vuông là một số, 2. Định thức c ký hiệu det(A) hoặc |A|, được định nghĩa như sau: a) Định thức cấp 1: ( )11A a= 11det A a⇒ = VÍ DỤ 1 ( )5A = − et d 5A⇒ = − c cấp 2: b) Định thứ ⎛ ⎞= ⇒11 12 deta a = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 11 22 21 1221 22 A A a a a a a a VÍ DỤ 2 2 1 2 A det A 1.4 2.3 3 4 ⎛ ⎞= ⇒ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠ − c) Định thức cấp 3: Cho thì ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a = + + − − −11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 22 13 21 12 33 23 32 11det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 15 VÍ DỤ 3 − = − = − + − − − 3 4 6 det 2 2 3 0 12 60 12 45 9 1 5 0 A = − Cách nhớ: dùng hình sao hoặc các đường thẳng song song ủa một định thức cho nhau thì II. Tính chất của định thức T1. Tính chất 1: det detA A= Đổi chỗ 2 hàng c2. Tính chất 2: định thức đổi dấu. 3. Tính chất 3: Định thức có 1 hàng là số 0 thì định thức bằng không. 4. Tính chất 4: Định thức có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng không. 5. Tính chất 5: Định thức có 2 hàng tỷ lệ (phụ thuộc tuyến tính) thì bằng không = − 11 12 13a a a 21 22 23 31 32 33 a a a a a a 21 22 23 11 12 13 31 32 33 a a a a a a a a a ; = 11 12 13 11 12 13 31 32 33 0 a a a ka ka ka a a a 6. Tính chất 6: Định thức có 1 hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì bằng không. − − − = 13 11 31 12 32 13 33 31 32 33 0ka ta ka ta ka ta a a a 7. Tính chất 7: Khi nhân tất cả các phần tử của 1 hàng với số k 11 12a a a thì định thức đó được nhân lên k lần. = 11 12 13 11 12a a a a a 13 21 22 23 21 22 23 31 32 3331 32 33 a ka ka ka k a a a a a aa a a TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 16 8. Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của 1 hàng của 1 định thức có dạng tổng của 2 số hạng thì có thể phân tích thành 2 định thức. + = ++21 22 22 21 22 21 22' '' ' ''a a a a a a a 9. Tính chất 9: Khi ta nhân một hàng với một số k khác không rồi cộng và 11 12 12 11 12 11 12' '' ' ''a a a a a a a o hàng khác thì định thức không thay đổi = + + + 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 11 22 12 23 13 31 32 33 31 32 33a a a a a a 10. Tính chất 10: Ma trận có dạng tam giác thì định a a a a a a a a a a ka a ka a ka thức bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính = = # % # # % # " "10 nn m mna a a III. Khai triển định thức theo hàng hoặc theo c 11 1 11 11 22 11 22 0 ... ; ... n nn nn a a a a a a a a a ột 1. Khai triển định thức theo hàng thứ nhất ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 11 11 12 12 1 1 1 det 1 det 1 det 1 detn n n A a M a M a M + + + = − + − + + − 2. Khai triển định thức theo hàng thứ i ( ) ( )1 2det 1 det 1i iA a M a+ += − + − ( ) 1 1 2 2det 1 det i i i i i n in in M a M+ + + − 3. Khai triển định thức theo cột thứ j TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 17 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2det 1 det 1 det 1 det j j j j j j n j nj nj A a M a M a M + + + = − + − + + − Chú ý: ( )1 detij iji jA M= − được gọi là ph hần tử + ija . ần phụ đại số của VÍ DỤ 4 Tính định thức của ma trận sau bằng cách khai triển àng một: BÀI GIẢI p theo h 2 1 3 0 2 3 1 2 2 A ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜= ⎜ ⎟−⎜ ⎟ 0 0 3 ⎟ 0 2 1 4−⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )+ + + − − = − − + − − + − − − − 1 1 1 2 1 3 0 0 3 2 0 3 2 0 3 1 2 1 2 2 1 1 3 2 2 1 3 3 1 2 2 1 4 0 1 4 0 2 4 A + 0 = - 3 Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính định thức thì ta chọn khai triển theo hàng 2 vì hàng 2 có nhiều số không nhất. IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp Cơ sở Biến đổi sơ cấp Tác dụng Chú ý: Lý thuyết Tính chất 7 Nhân một hàng với số k≠ 0 lần Định thức nhân lên k Tính chất 2 Đổi chỗ 2 hàng cho nhau Định thức đổi dấu Tí 9 Nhân rồi cộng Định t i nh chất hàng r với số k vào hàng s hức không đổ TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 18 Chú ý: Dựa vào ĩa và tính chất trên thì thông thường để tính định thức ta có những cách sau: i ó i t ặ Í DỤ 5 Tính định ngh 1. Nên biến đổi về dạng đường chéo rồ tính định thức của n 2. Biến đổ nhất rồi khai cho một hàng hoặc một c riển định thức theo hàng ho định thức sau ột có nhiều số không c cột đó. V 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 BÀI GIẢI 1 2 12 ; 32 3 4 1 h h h− + − 3 1 44 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 2 7 3 4 1 2 0 2 8 10 4 1 2 3 0 7 10 13 h h h + − + − − − − − − − − − ZZXZZ ZZZZZZYZZZZZ ( ) ( ) − + − +ZZZZZZZZZXYZZZZZZZZZ2 32 4 2 7 1 2 3 4 1 2 3 4 0 -1 -2 -7 0 -1 -8 -10 = 0 0 -4 4 0 0 -4 0 0 4 36 h h h h 4 0 0 0 40 =160. VÍ DỤ 6 Tính định thức sau bằng cách khai triển theo hàng thứ 3 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 a b c d − − − − − − BÀI GIẢI TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 19 ( ) ( )3 11 a b c d + 3 2 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 a b+ − − − − − −− − − − + − − −− − = − − ( ) ( )3 3 3 4 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 3 2 1 1 0 1 1 1 c d a+ + − − + − − + − − − = − + + − − − − b c d VÍ DỤ 7 Tính định thức sau 5 2 2 2 2 5 2 2 2 2 5 2 2 2 2 5 BÀI GIẢI ZZZZYZZZcaùc haøng vaø 2 2 5 2 coänZZZZXZZZZ taát caûo haøng 1 5 2 2 2 11 11 11 11 2 5 2 2 2 5 2 2 2 2 5 2 2 2 2 5 2 2 g 2 5 ( ) += ZZZZZZZZZXYZZZZZZZZ1-1 laàn löôït vaøo caùc haøng coøn laïi 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 0 3 0 011 11 22 5 2 0 0 3 0 2 2 2 5 0 h 2 2 0 0 3 = =311.2.3 297 2 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 20 VÍ DỤ 8 Tính định thức sau 1 0 1 1 0 1 1 2 1 2 5 1 1 1 0 − − − − − − 1 BÀI GIẢI 1 3 1 42 1 2 5 0+− YZZZZh h 2 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 3 1 1 1 0 0 1 0 1 − + − − − − − − − − − ZZZZZXh h ( )1 1 1 1 1 + − − 1 1 1 0 3 4 1 0 1 = − = − VÍ DỤ 9 Tính định thức sau 2 1 3 0 2 0 0 3 3 1 2 2 0 2 1 4 − − − BÀI GIẢI 2 1 3 0 2 1 3 0 2 0 0 3 2 0 0 3 3 1 2 2 1 0 1 2 0 2 1 4 4 0 7 4 − −=− − − − − − 1 21( 1) 1 1+ 2 0 3 2 3 4 7 4 − = − − − = − − − TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 21 1.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I. Định nghĩa ma trận nghịch đảo 1. Định nghĩa 1 Ma trận suy biến là ma trận có định thức bằng không 2. Định nghĩa 2 Xét ma trận vuông không suy biến A cấp n×n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n×n sao cho AB BA= = I thì ta nói A khả nghịch (khả đảo) và gọi B là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu: 1A− .Vậy 1 1AA A A− − I= = VÍ DỤ 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜-1 1 3 71 khi ñoù AA ⎞ = ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 7 3- - 3 8 8 -8 -5 1 5 1 ⎝ ⎠ 5 7 ⎜ ⎟⎝ ⎠ -8 8 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ -1 - 1 3 1 08 8thaät vaäy AA 5 7 5 1 0 1 - ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 7 3 8 8 nh lý 1. Định lý 1 Nếu A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo II. Các đị 1A− tồn tại và duy nhất. hứng minh Thật vậy C ( )∈ ⎧ = =⎪⎨ = =⎪⎩ = = = = = \ -1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) . ( mxn n n n n ) Laáy A M khaû ñaûo thì toàn taïi A theo ÑN Giaû söû A coù hai ma traän nghòch ñaûo laø B vaø B AB B A I khi ñoù AB B A I maø B B I B AB B A B I B B ñfcm TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 22 2. Định lý 2 (Điều kiện để ma trận vuông khả nghịch) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( )−−≠ = 11 1det( ) 0 vaø ta coù det A hay det A .det 1 det A A A = lý 3 Giả sử A, B 3. Định ∈Mnxn khả nghịch khi đó ma trận tích AB cũng khả nghịch và (AB) = B-1 A-1 Chứng minh ật vậy ( )\ -1 Th ( )( )1 1 1 1 1 1( ) n nAB B A A BB A AI A AA I− − − − − −= = = = Và ( )( ) ( )1 1 1 1B A AB B A A B− − − − 1 1n nB I B B B I− −= = = = 4. Định lý 4 Giả sử A khả nghịch. Khi đó -1 cũng khả nghịch và a) A ( ) 11A −− = A hịch b) Am cũng khả ng và ( ) ( )1 1 mmA A− −= ; m N∈ c) kA cũng khả nghịch và ( ) 1kA − = 11 A k − ; k R∈ III. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 1. Phương pháp 1 ìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp phần phụ đ ố T ại s ( ) ( )i+j ij-1 det M laø phaàn phuï ñaïi soá cuûa phaàn töû aij ij A =Goïi ( )⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ≠⎢ * 12 22 2Ñaët A = .......................... n ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1 2 vaø neáu det A 0 . . . .n n nnA A A 11 21 1 . . . n A A A A . . .A A TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 23 ( )=-1 * A A -1 eo co thöù 1 VÍ DỤ 2 Cho ma trận . Tìm ñaûo A th âng cThì ma traän nghòch det A ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 801 852 321 A 1A− ? Vì Nên A có ma trận nghịch đảo 40 0 16 15 0 32 9 0detA = + + − − − = ≠ 1A− = ⎡ ⎤⎢ ⎥∗ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 11 21 31 12 22 32 13 23 33 A 1 1 det det A A A A A A A A A A A 11 5 8 40 0 8 = =A ; 12 2 8 81 8= − =A − ; 13 2 5 5 1 0 = = −A 21 2 3 16 0 8 = − = −A ; 22 1 3 51 8= =A ;