Giáo trình Xác suất thống kê (Phần 1) - Nguyễn Đình Thi

BỘ LAO ĐỘNG THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH ======================== NGUYỄN ĐÌNH THI – TRẦN MẠNH HÂN XÁC SUẤT THỐNG KÊ NAM ĐỊNH, 2011 BỘ LAO ĐỘNG THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH ======================== Th.S NGUYỄN ĐÌNH THI – Th.S TRẦN MẠNH HÂN XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Mã số: GT 2010-04-03) NAM ĐỊNH, 2011 GIỚI THIỆU Lý thuyết Xác suất - Thống kê toán học đƣợc đƣa vào giảng dạy ở hầu hết các ngành đào tạo trong các trƣờng Đại học và Cao đẳng trên thế giới và trong nƣớc . Nó đang là một trong những ngành khoa học phát triển cả về lý thuyết cũng nhƣ ứng dụng. Nó đƣợc ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực khoa học tự nhiên , khoa học xã hội, khoa học giáo dục và các ngành kinh tế, kỹ thuật, y học, v.v... Để giúp sinh viên trƣờng Đại học SPKT Nam Định có tài liệu học tập tốt môn Xác suất thống kê, chúng tôi đã biên soạn Giáo trình Xác suất Thống kê phù hợp với chƣơng trình đào tạo của Nhà trƣờng. Giáo trình gồm 4 chƣơng: Chƣơng 1: Các khái niệm cơ bản về xác suất Chƣơng 2: Biến ngẫu nhiên Chƣơng 3: Lý thuyết ƣớc lƣợng Chƣơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê Do giáo trình đƣợc giảng dạy cho sinh viên không phải ngành Toán, nên chúng tôi không đi sâu vào viêc̣ chƣ́ng minh nhƣ̃ng lý thuyết toán hoc̣ phƣ́c tap̣ mà trình bày các kiến thức cơ bản nhƣ là công cụ giải toán và tập trung ch o viêc̣ đƣa ra các ví du ̣ minh hoạ cho các kiến thức đã học. Do giáo trình đƣợc biên soạn lần đầu nên không tránh khỏi những thiếu sót, các tác giả rất mong nhận đƣợc sự đóng góp kiến của bạn đọc để giáo trình đƣợc hoàn thiện hơn. Mọi đóng góp xin gửi về Khoa Khoa học cơ bản, trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, Phƣờng Lộc Hạ, TP Nam Định. Các tác giả xin chân thành cảm ơn! CÁC TÁC GIẢ Mục lục GIỚI THIỆU Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT ............................................. 3 1.1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP ............................................................................................ 3 1.1.1 Quy tắc đếm .................................................................................................. 3 1.1.2 Chỉnh hợp. Hoán vị ....................................................................................... 5 1.1.3 Tổ hợp ........................................................................................................... 8 1.2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ .................................................................................. 9 1.2.1. Khái niệm phép thử và biến cố ...................................................................... 9 1.2.2. Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố. ........................................ 11 1.2.3. Nhóm đầy đủ các biến cố ............................................................................ 14 1.3. XÁC SUẤT ........................................................................................................ 16 1.3.1. Khái niệm xác suất ...................................................................................... 16 1.3.2. Các định nghĩa xác suất ............................................................................... 17 1.3.3. Tính chất của xác suất ................................................................................. 20 1.3.4. Các công thức tính xác suất ......................................................................... 20 BÀI TẬP CHƢƠNG 1 .................................................................................................. 38 Chƣơng 2: BIẾN NGẪU NHIÊN ................................................................................. 52 2.1. KHÁI NIỆM VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN ........................................................... 52 2.1.1. Định nghĩa .................................................................................................. 52 2.1.2. Phân loại ..................................................................................................... 52 2.2. CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN .......................... 53 2.2.1. Bảng phân phối xác suất............................................................................. 53 2.2.2. Hàm phân phối xác suất ............................................................................. 58 2.2.3. Hàm mật độ xác suất .................................................................................. 61 2.3. CÁC ĐẶC TRƢNG SỐ CỦA BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN ................................ 65 2.3.1. Kỳ vọng (Expectation) ............................................................................... 65 2.3.2. Phƣơng sai (Variance) ................................................................................ 66 Tìm kì vọng, phƣơng sai, độ lệch của X. .............................................................. 68 2.3.3. Mod (giá trị chắc chắn nhất): ..................................................................... 72 2.3.4. Med (Trung vị): .......................................................................................... 72 2.4. CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƢỜNG DÙNG ......................................... 72 2.4.1. Phân phối nhị thức ....................................................................................... 72 2.4.2. Phân phối Poisson ....................................................................................... 74 2.4.3. Phân phối chuẩn .......................................................................................... 78 2.4.4. Phân phối “khi bình phƣơng” ..................................................................... 87 2.4.5. Phân phối Student ....................................................................................... 88 BÀI TẬP CHƢƠNG 2 .................................................................................................. 90 Chƣơng 3: LÝ THUYẾT ƢỚC LƢỢNG ...................................................................... 98 3.1. LÝ THUYẾT MẪU ........................................................................................... 98 3.1.1. Khái niệm về mẫu ngẫu nhiên, thống kê mô tả .......................................... 98 3.1.2. Các phƣơng pháp lấy mẫu ......................................................................... 100 3.1.3. Bảng phân phối thực nghiệm ..................................................................... 101 3.1.4. Các đặc trƣng mẫu ..................................................................................... 103 3.1.5. Cách tính các đặc trƣng mẫu ..................................................................... 105 3.2. KHÁI NIỆM ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM ................................................................. 109 3.2.1. Khái niệm ƣớc lƣợng ................................................................................. 109 3.2.2 Ƣớc lƣợng điểm .......................................................................................... 110 3.2.3. Các tiêu chuẩn ƣớc lƣợng .......................................................................... 110 3.3. ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG ................................................................................ 112 3.3.1. Bài toán ƣớc lƣợng khoảng ....................................................................... 112 3.3.2. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng ...................................................................... 113 3.3.3. Khoảng tin cậy cho phƣơng sai ................................................................ 123 3.3.4. Khoảng tin cậy cho tỷ lệ ............................................................................ 128 BÀI TẬP CHƢƠNG 3 ................................................................................................ 136 Ch-¬ng 4: KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª ................................................ 145 4.1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT ............................... 145 4.1.1. Bài toán kiểm định. .................................................................................... 145 4.1.2. Các loại sai lầm, mức ý nghĩa ................................................................... 146 4.2. KIỂM ĐỊNH VỀ KỲ VỌNG ........................................................................... 147 4.2.1. Bài toán 1: Phƣơng sai VX = σ2 đã biết .................................................... 147 4.2.2. Bài toán 2: Phƣơng sai VX = σ2 chƣa biết ................................................ 151 4.3. KIỂM ĐỊNH VỀ TỶ LỆ .................................................................................. 156 4.3.1. Kiểm định hai phía .................................................................................... 156 4.3.2. Kiểm định phía phải .................................................................................. 157 4.3.3. Kiểm định phía trái .................................................................................... 158 4.4. KIỂM ĐỊNH VỀ SỰ BẰNG NHAU CỦA HAI KỲ VỌNG .......................... 163 4.4.1 Bài toán 1: Trƣờng hợp đã biết VX = 21 và VY = 2 2 .............................. 163 4.4.2. Bài toán 2: Trƣờng hợp chƣa biết VX = 21 và VY = 2 2 ........................ 165 4.4. KiÓm ®Þnh vÒ sù b»ng nhau cña hai tû lÖ .................................. 169 4.4.1. Kiểm định hai phía .................................................................................... 169 4.4.2. Kiểm định phía phải .................................................................................. 170 4.4.3. Kiểm định phía trái .................................................................................... 170 BÀI TẬP CHƢƠNG 4 ................................................................................................ 173 CÁC BẢNG SỐ .......................................................................................................... 178 PHỤ LỤC 1. HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MỘT SỐ HÀM TRONG EXCEL ............ 185 PHỤ LỤC 2. HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG TÍNH TOÁN THỐNG KÊ TRÊN MÁY TÍNH ........................................................................................................................... 188 Giáo trình Xác xuất - Thống kê 3 Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP Trong thực tế, ta cần phải chia một tập hợp các phần tử thành những nhóm theo một số tính chất nào đó, và tính số nhóm tạo thành. Xét 2 nhóm có cùng số phần tử, ta nói rằng 2 nhóm đó khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc cách sắp xếp giữa các phần tử trong chúng là khác nhau. Những nhóm nhƣ vậy ta gọi là nhóm có phân biệt thứ tự (gọi tắt là nhóm có thứ tự). Xét 2 nhóm có cùng số phần tử, ta nói rằng 2 nhóm đó khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất một phần tử khác nhau, còn cách sắp xếp giữa các phần tử trong chúng có thể là khác nhau. Những nhóm nhƣ vậy ta gọi là nhóm không phân biệt thứ tự (gọi tắt là nhóm không có thứ tự). 1.1.1 Quy tắc đếm Quy tắc cộng Để hoàn thành công việc A, ta có k khả năng (KN). Trong đó: KN 1: có n1 cách hoàn thành công việc A. KN 2: có n2 cách hoàn thành công việc A. KN 3: có n3 cách hoàn thành công việc A. .................................................................. KN k: có nk cách hoàn thành công việc A. Suy ra: Số cách để hoàn thành công việc A là (n1 + n2 + n3 + . . . + nk ) cách Lƣu ý: Chỉ cần thực hiện 1 trong các khả năng trên thì công việc A đã đƣợc hoàn thành. Ví dụ 1: Một nhóm có 15 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên từ nhóm đó ra một sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? 4 Giáo trình Xác suất thống kê Giải: Công việc của ta là chọn 1 sinh viên, công việc này có 2 khả năng để hoàn thành: - KN 1: Chọn 1 sinh viên nam, có 15 cách chọn. - KN 2: Chọn 1 sinh viên nữ, có 10 cách chọn. Rõ ràng, công việc chính của ta là chọn ra 1 sinh viên, do đó chỉ cần 1 trong 2 khả năng trên xảy ra thì công việc của ta đã hoàn thành. Vậy, ta sử dụng quy tắc cộng: Số cách để hoàn thành công việc trên là: n = 15 + 10 = 25 cách Quy tắc nhân Để hoàn thành công việc A, ta phải trải qua k bƣớc ( k giai đoạn). Trong đó: Bƣớc 1: có n1 cách hoàn thành bƣớc 1. Bƣớc 2: có n2 cách hoàn thành bƣớc 2. Bƣớc 3: có n3 cách hoàn thành bƣớc 3. .................................................................. Bƣớc k: có nk cách hoàn thành bƣớc thứ k. Suy ra: Số cách để hoàn thành công việc A là (n1 . n2 . n3 . . . nk ) cách Lƣu ý: Để hoàn thành công việc A, ở đây ta phải thực hiện tất cả các bƣớc trên thì công việc A mới hoàn thành. Ví dụ 2: Để đi từ A tới C, bắt buộc ta phải đi qua B. Có 2 cách đi từ A đến B và có 3 cách đi từ B tới C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C ? Nhƣ vậy, công việc cần hoàn thành là đi từ A tới C, công việc này có thể chia làm 2 bƣớc: - Bƣớc 1: đi từ A tới B, có 2 cách đi. - Bƣớc 2: đi từ B tới C, có 3 cách đi. A B C Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 5 Rõ ràng, khi một trong 2 bƣớc trên xảy ra thì công việc chƣa hoàn thành, mà chỉ hoàn thành một phần của công việc thôi. Do đó, ta sử dụng quy tắc nhân: Số cách đi từ A đến B là n = 2 * 3 = 6 cách Ví dụ 3: Một nhóm có 15 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên từ nhóm đó ra 2 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 2 sinh viên đƣợc chọn có 1 sinh viên nam và 1 sinh viên nữ ? Giải Công việc của ta là chọn 1 sinh viên và 1 sinh viên nữ, công việc này đƣợc chia làm 2 bƣớc: - Bƣớc1: Chọn 1 sinh viên nam, có 15 cách chọn. - Bƣớc 2: Chọn 1 sinh viên nữ, có 10 cách chọn. Rõ ràng, khi một trong 2 bƣớc trên hoàn thành thì công việc của ta vẫn chƣa hoàn thành, mới chỉ hoàn thành 1 phần công việc. Do đó, ta sử dụng quy tắc nhân: Số cách để hoàn thành công việc trên là: n = 15 * 10 = 150 cách 1.1.2 Chỉnh hợp. Hoán vị a) Chỉnh hợp Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một nhóm có phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là knA : k nA = n.(n – 1).(n – 2). . .(n – k +1) = )!( ! kn n  Hàm thƣờng dùng trong MS Excel là: Akn = PERMUT(n;k) Lƣu ý: n! = n.(n-1).(n-2). . . 3.2.1 và 1! = 0! = 1 Ví dụ 4: Mỗi lớp phải học 6 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khóa biểu trong mỗi ngày. Giải: 6 Giáo trình Xác suất thống kê Vì mỗi cách xếp thời khóa biểu trong một ngày là việc ghép 2 môn trong số 6 môn học. Các cách này do ít nhất 1 môn khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp trƣớc sau giữa hai môn. Vì thế mỗi cách sắp xếp ứng với một chỉnh hợp chập 2 từ 6 phần tử. Do đó có tất cả:   2 6 6! A 30 6 2 !    cách Sử dụng hàm trong MS Excel là: A26 = PERMUT(6;2) = 30 b) Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có phân biệt thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho (trong đó có thể có một số phần tử được lặp lại nhiều lần). Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, kí hiệu là kna (hoặc là k n ~ A ): k na = k n ~ A = n k Hàm thƣờng dùng trong MS Excel là: akn = POWER(n;k) Ví dụ 5: Có 8 sinh viên vào phòng thực hành máy tính gồm 4 dãy, mỗi dãy có 8 máy tính. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách để sắp xếp các sinh viên ngồi vào các dãy máy tính. b) Có bao nhiêu cách để sắp xếp các sinh viên ngồi vào các dãy máy tính mà dãy thứ nhất có 1 sinh viên. c) Có bao nhiêu cách sắp xếp sinh viên ngồi các vị trí khác nhau trong phòng. Giải: a) Mỗi sinh viên có 4 cách sắp xếp vào 4 dãy nên số cách sắp xếp vào các dãy là chỉnh hợp lặp chập 8 của 4. Ta có: a 8 4 = 4 8 = 65536 Sử dụng hàm trong MS Excel là: a84 = POWER(4;8) = 65536 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 7 b) Dãy thứ nhất có 1 sinh viên nên có 8 cách sắp xếp, còn lại 7 sinh viên mỗi sinh viên có 3 cách sắp xếp vào 3 dãy nên số cách sắp xếp 7 sinh viên vào 3 dãy là chỉnh hợp lặp chập 7 của 3. Ta có: 8 * a 7 3 = 8 * 3 7 = 17496 Sử dụng hàm trong MS Excel là: 8 * a73 = 8 * POWER(3;7) = 17496 c) Tổng số chỗ ngồi khác nhau trong phòng là: 8 x 4 = 32, Số cách sắp xếp chỗ ngồi khác nhau là chỉnh hợp không có lặp chập 8 của 32. Ta có: A 8 32 = 32! / 24! = 424097856000 Sử dụng hàm trong MS Excel là: A832 = PERMUT(32;8) = 424097856000 Ví dụ 6: Với các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể viết đƣợc bao nhiêu số có 3 chữ số thỏa mãn: a) Các chữ số tuỳ ý b) Các chữ số khác nhau. Giải: a) Số các số có 3 chữ số tuỳ ý là chỉnh hợp lặp chập 3 của 4. Ta có: a 3 4 = 4 3 = 64 b) Số các số có 3 chữ số khác nhau là chỉnh hợp không lặp chập 3 của 4. Ta có: A 3 4 = 4! / 3! = 24 c) Hoán vị Định nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một nhóm có phân biệt thứ tự gồm n phần tử đó. Số các hoán vị của n phần tử, kí hiệu là Pn : Pn = n! = n.(n-1).(n-2). . .3.2.1 Chú ý: Một hoán vị của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Hàm thƣờng dùng trong MS Excel là: Pn = FACT(n) hoặc Pn = PERMUT(n;n) 8 Giáo trình Xác suất thống kê Ví dụ 7: Có 5 bông hoa khác nhau tặng cho 5 ngƣời, hỏi có thể có mấy cách tặng hoa. Giải: Số cách tặng hoa cho 5 ngƣời là hoán vị của 5 phần tử: P5 = 5! = 120 Sử dụng hàm trong Excel: P5 = FACT(5) = 120 hoặc P5 = PERMUT(5;5) = 120 Ví dụ 8: Một hội đồng có 7 thành viên đƣợc phân công 7 nhiệm vụ khác nhau. Hỏi có thể có bao nhiêu cách phân công ? Giải: Số cách phân công cho 7 ngƣời là hoán vị của 7 phần tử: P7 = 7! = 5040 Sử dụng hàm: P7 = FACT(7) = 5040 hoặc P7 = PERMUT(7;7) = 5040 Ví dụ 9: Có bao nhiêu số có 4 chữ số, các chữ số khác nhau và đƣợc lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3 Giải: Giả sử số có 4 chữ số là abcd . Để xếp đƣợc số abcd , chia làm 2 bƣớc: Bƣớc 1: Chọn 1 số khác không xếp ở vị trí a, có 3 cách. Bƣớc 2: Hoán vị 3 số còn lại vào các vị trí còn lại, có 3! = 6 cách Số các số có 4 chữ số là: 3 * 6 = 18 cách 1.1.3 Tổ hợp Định nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Số các tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là knC : k nC = )!kn(!k !n !k a kn   Chú ý:  0nC = n nC = 1 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 9  k nC = kn nC   1k 1nC   + k 1nC  = k nC  Hàm thƣờng dùng trong Excel là k nC = COMBIN(n,k) Ví dụ 10: Có mƣời đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn một lƣợt (tức hai đội bất kỳ trong mƣời đội bóng này phải thi đấu với nhau một trận). Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu. Giải: Ta thấy mỗi trận đấu giữa hai đội bóng là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử (vì hai đội thi đấu với nhau thì không cần phân biệt thứ tự). Do đó số trận đấu cần tổ chức là: C210 = 45 trận đấu. 1.2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.2.1. Khái niệm phép thử và biến cố Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tƣợng đều gắn liền với các điều kiện cơ bản, và các hiện tƣợng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện cơ bản gắn liền với nó đƣợc thực hiện. Do đó, khi muốn nghiên cứu một hiện tƣợng, ta cần thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản ấy. Chẳng hạn: nếu muốn quan sát việc xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa của một đồng xu, ta phải tung đồng xu xuống đất; còn để xét xem viên đạn có trúng bia hay trƣợt, ta phải bắn các viên đạn; khi muốn nghiên cứu chất lƣợng của một lô sản phẩm, ta phải lấy ngẫu nhiên một hoặc một số sản phẩm của lô sản phẩm đó . . . Việc thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó xảy ra hay không được gọi là thực hiện một phép thử, còn hiện tượng đó có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đó được gọi là biến cố (sự kiện). Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây: * Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố chắc chắn đƣợc ký hiệu là U hoặc  10 Giáo trình Xác suất thố