Hạt màu trong thế Yang-Mils SU(2) Abel tuyến tính

1429 HẠT MÀU TRONG THẾ YANG-MILS SU(2) ABEL TUYẾN TÍNH Nguyễn Văn Thuận Viện Kỹ thuật, trƣờng Đại học Công nghệ TP. Hồ Chí Minh (HUTECH) TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát chuyển động của hạt màu trong cấu hình trƣờng thế Yang-Mills Abel tuyến tính với nhóm chu n SU(2). Chúng tôi đã nhận đƣợc các phƣơng trình chuyển động của hạt màu trong cấu hình trƣờng này. Các kết quả thu đƣợc đã đƣợc ứng dụng để tính xác suất sinh cặp theo phƣơng pháp thời gian ảo. Một số trƣờng hợp riêng cũng đã đƣợc khảo sát. Từ khóa: Hạt màu, nhóm SU(2), Thế Yang-Mills, thời gian ảo, xác suất sinh cặp. 1. MỞ ĐẦU Nhƣ đã biết, lý thuyết trƣờng chu n Yang-Minls là một trong những lý thuyết có nhiều triển vọng để thống nhất các tƣơng tác điện từ, yếu và mạnh trong tự nhiên [1]. Bài toán chuyển động cổ điển của hạt màu ngoài ý nghĩa hoàn thiện về lý luận của lý thuyết Yang-Mills còn có các ứng dụng lƣợng tử trực tiếp, đang đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [2-5]. Một trong những ứng dụng của bài toán này là tính xác suất sinh cặp của sự phân rã chân không theo phƣơng pháp thời gian ảo. Thực chất của phƣơng pháp này là, chuyển động của hạt mang năng lƣợng âm qua hang rào thế không thể thực hiện đƣợc trong phạm vi cơ học cổ điển, tuy nhiên có thể đƣợc khảo sát một cách hình thức theo các giá trị ảo của thời gian. Ý nghĩa vật lý của phƣơng pháp này là ở chỗ xác suất của hiệu ứng đƣờng ngầm trong cơ học lƣợng tử có thể tìm đƣợc nhờ các công cụ của động lực học cố điển. Nhƣ đã biết, biểu thức cho xác suất sinh cặp của sự phân rã chân không xét trong một đơn vị thể tích và sau một đơn vị thời gian có dạng [6]:  exp 2Im 2 zs m S P        (1) trong đó S là số gia tác dụng rút gọn của hạt sau khoảng thời gian riêng   sz là các thành phần của vectơ spin s r của hạt (sz = -s, s+1,, s-1, s). Số gia tác dụng rút gọn đƣợc xác định bởi biểu thức: 0 1 2S S S S P r     uur r Ở đây S0 là tác dụng của hạt không spin:    0 / / ,a aS m d dt gW T dx dt dt    với  là thời gian riêng, aT là vectơ màu (còn gọi là vectơ spin đồng vị trong nhóm SU(2)), aW là thế vectơ của trƣờng Yang-Mills SU(2). 1S là phần tác dụng của spin:  1 / 2 v , a aS pg m F s T d      : trong đó , v ,s  p là vectơ spin, vận tốc bốn chiều và momen từ của hạt , 1 2 a aF F    : là ten xơ đối ngẫu của trƣờng đồng nhất. 1430 2S là phần tác dụng của spin đồng vị:  2 cos / ,S T d dt dt     Vectơ màu T có các thành phần T1, T2, T3 thỏa mãn: 2 2 2 2 1 2 3 const,T T T T    3cos / ,T T   2 1arctan / .T T  Dƣới đây, chúng tôi khảo sát chuyển động của hạt màu (hạt mang spin đồng vị) trong thế Yang-Mills SU(2) Abel tuyến tính và tìm xác suất sinh cặp của sự phân rã chân không theo phƣơng pháp thời gian ảo. 2. CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG THẾ YANG-MILLS SU(2) ABEL TUYẾN TÍNH Hệ phƣơng trình mô tả sự tƣơng tác của hạt màu với trƣờng Yang-Mills trong giới hạn cổ điển đã đƣợc Wong đƣa ra [7]:   2 2 va a x m gF T         (2)  va abc b c T g W T           (3) trong đó , 0,1,2,3   là các chỉ số không-thời gian; a, b, c = 1, 2, 3 là các chỉ số của nhóm SU(2). Trong các phƣơng trình (2), (3) thế vectơ và tenxơ cƣờng độ trƣờng :aF  a a a abc b cF W W g W W           (4) xác định cấu hình trƣờng ngoài, aT là vectơ spin đồng vị của nhóm SU(2). Chúng tôi khảo sát chuyển động của hạt màu trong trƣờng thế Yang-Mills SU(2) Abel tuyến tính có dạng:  0 3 3 1 2 1 ; 2 i a a a a i iW Ez W B y x        (5) Sử dụng các phƣơng trình (2), (3) cho thế (5), chúng tôi nhận đƣợc các phƣơng trình chuyển động của hạt màu và thành phần thứ ba của vectơ spin đồng vị:      3 3 cos -1sin , pp x y gT B gT B        1/2 2 2 3 3 ch ; const m p z T gT E     (6) với 2 2 2.x yp p p   Các biến số  và  liên hệ với thời gian riêng  bởi các hệ thức:    3 3 ; gT B gT E m m      (7) Từ các kết quả trong (6) chúng tôi nhận thấy rằng, chuyển động của hạt màu trong trƣờng thế (5) xét đối với nhóm SU(2) tƣơng tự nhƣ chuyển động cổ điển của hạt mang điện tích hiệu dụng (gT3) trong trƣờng điện từ không đổi trong điện động lực học cổ điển. Chuyển động theo quỹ đạo và sự tiến động của vectơ 1431 spin đồng vị diễn ra độc lập. Chuyển động theo quỹ đạo đƣợc xác định bởi điện tích hiệu dụng (gT3), còn vectơ spin đồng vị thì tiến động xung quanh trục thứ ba trong không gian đồng vị. Trong trƣờng hợp này, spin đồng vị không đóng góp gì vào việc sinh cặp, và xác suất sinh cặp chỉ phụ thuộc vào chuyển động quỹ đạo của hạt. 3. XUẤT SINH CẶP TRONG THẾ YANG-MILLS SU(2) ABEL TUYẾN TÍNH Nhƣ đã phân tích trên đây, phƣơng trình chuyển động của hạt màu trong thế Abel tuyến tính (5) tƣơng tự phƣơng trình chuyển động của hạt mang điện trong trƣờng điện từ không đổi, nên biểu thức tính xác suất sinh cặp trong trƣờng ngoài Yang-Mills đồng nhất tạo bởi thế Abel tuyến tính này có dạng tƣơng tự biểu thức xác suất sinh cặp trong hình thức luận điện từ cổ điển cho các trƣờng không đổi nhờ phƣơng pháp thời gian ảo trong công trình [6], chỉ cần thay điện tích thông thƣờng bằng điện tích hiệu dụng (gT3), nghĩa là:       2 1 3 1 2 3 , sh 2 1 sh sh 2 2 2 exp n n gT EB npB nB npB E B s n E E E nm gT E                                              (8) trong đó   1 1 n n    cho hạt boson và 1n  cho hạt fermion. Sau đây chúng tôi khảo sát một vài trƣờng hợp riêng. 3.1 Khi từ trƣờng rất lớn so với điện trƣờng Trong trƣờng hợp từ trƣờng rất lớn so với điện trƣờng   ,B E xác suất sinh cặp (8) đƣa về dạng:     2 2 3 1 3 , .exp 1n n c gT EB n m B E B n gT E B                   (9) ở đây   2 3 . 1 c m B gT ps   Sau khi khai triển (9) thành chuỗi tƣơng ứng với các hạt boson và fermion, chúng tôi nhận đƣợc kết quả:       2 3 , .ln 1 gT EB E B C    cho hạt bo son (10) và       2 3 , . ln 1 , gT EB E B C       cho hạt fermion (11) trong đó: 2 3 exp 1 . c m B C gT E B             Nhƣ vậy, việc đƣa vào từ trƣờng mạnh làm tăng hoặc giảm xác suất sinh cặp  phụ thuộc vào dấu của (ps – 1), có nghĩa là vào hệ thức giữa spin và momen từ của hạt. 1432 3.2 Trong trƣờng từ thuần túy Khi khảo sát sự sinh cặp trong trƣờng từ thuần túy bằng cách lấy giới hạn các biểu thức 10, 11 khi cho 0,E  chúng tôi thấy rằng xác suất sinh cặp   0B  với mọi giá trị bất kỳ của từ trƣờng B nếu 1;ps  còn khi 1,ps  thì có hai trƣờng hợp có thể xảy ra: một là khi cB B xác suất sinh cặp cũng bằng không, hai là khi cB B thì xác suất sinh cặp cho bởi:         2 3 1 cB gT ps B B B    (12) Nhƣ vậy trong trƣờng hợp từ trƣờng rất mạnh còn điện trƣờng bằng không thì có khả năng có sự sinh cặp khi 1.ps  3. Trong trƣờng điện thuần túy Tiếp theo, chúng tôi khảo sát xác suất sinh cặp trong điện trƣờng Yang-Mills không đổi đƣợc sinh ra từ thế Abel tuyến tính (5), còn từ trƣờng bằng không. Từ biểu thức (8) lấy giới hạn khi 0,B  ta đƣợc:       2 3 2 2 2 1 3 2 1 exp 2 n n gT m E s E n n gT E                (13) Biểu thức (13) cho thấy, xác suất sinh cặp trong trƣờng điện thuần túy không phụ thuộc vào momen từ. Trong trƣờng hợp hạt không có spin, xác suất sinh cặp là:     2 2 3 2 0 2 2 1 3 exp 2 n s n gT m E E n n gT E                (14) Theo (13), khi chỉ số n tăng, xác suất sinh cặp giảm nhanh theo hàm số mũ. Điều này cho phép giới hạn chỉ sét sự đóng góp của số hạng thứ nhất của tổng theo n, khi đó:         2 2 3 2 1 2 3 2 1 exp 2 gT m E E s E gT E              (15) Do trƣờng là tĩnh nên giữa mật độ năng lƣợng H của trƣờng và mật độ Lagrangian L liên hệ với nhau bằng hệ thức .H L  Mặt khác, ta lại có 2Im .L  Từ đây dễ dàng tìm đƣợc công thức cho mối liên hệ giữa phần ảo của mật độ năng lƣợng của trƣờng với xác suất sinh cặp của sự phân rã chân không:   1 Im 2 H E  (16) Từ (15) và (16), chúng tôi nhận đƣợc:       2 2 3 2 1 2 3 1 Im 2 1 exp 2 4 gT m H E s E gT E               (17) Nhƣ vậy, phƣơng pháp thời gian ảo cho phép xác định phần ảo của mật độ năng lƣợng của trƣờng theo xác suất sinh cặp của sự phân rã chân không. 4. KẾT LUẬN 1433 Từ các kết quả khảo sát chúng tôi nhận thấy rằng, có một sự tƣơng tự về chuyển động của hạt màu trong trƣờng thế Yang-Mills Abel tuyến tính với nhóm chu n SU(2) và chuyển động của hat mang điện tích hiệu dụng trong hình thức luận điện từ cổ điển. Điều này kh ng định vai trò quan trọng của lý thuyết Yang- Mills trong việc nghiên cứu lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Chúng tôi đã tìm đƣợc biểu thức xác suất sinh cặp trong trƣờng hợp tổng quát bằng phƣơng pháp thời gian ảo. Các biểu thức cho xác suất sinh cặp của các hạt boson và hạt fermion trong trƣờng hợp từ trƣờng lớn hơn rất nhiều điện trƣờng cũng đã đƣợc đƣa ra một cách tƣờng minh. Xác suất sinh cặp này tăng hoặc giảm thì ngoài việc phụ thuộc vào các cƣờng độ trƣờng, nó còn phụ thuộc vào spin và momen từ của hạt. Trong trƣờng hợp chỉ có điện trƣờng thì xác suất sinh cặp chỉ phụ thuộc vào cƣờng độ điện trƣờng và spin của hạt. Ngoài ra, chúng tôi còn nhận đƣợc mối liên hệ giữa phần ảo của mật độ năng lƣợng với xác suất sinh cặp trong trƣờng hợp chỉ có điện tƣờng Yang-Mills đồng nhất. Phần ảo của mật độ năng lƣợng này cũng phụ thuộc vào spin của hạt. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Yang CN, Mills RL (1954) Conservation of isotopic spin ang isotopic gauge invariance. Physical Review 96 (1): 191-195. [2] Alekseev AI (1988) Motion of a color charge in non-Abelian field. Theoretical and Mathematical Physics 77: 919-925. [3] Azizi A (2002) Planar trajectories in a monopole field. Journal of Mathematical Physics 43: 299- 317. [4] Nguyen Vien Thọ, Nguyen Van Thuan (2000) Motion of color charge in Schwarzschild gauge field, Communications in Physics, Vol 10, No. 2 (2000) 65-71. [5] Nguyen Vien Tho, Nguyen Quoc Hoan (2012) A test for the local intrinsic Lorentz symmetry. Journal of Physical Science and Application, 2 (8): 328-334. [6] Marinov MC, Popov BC (1972) Pair production in electromagnetic field, Nuclear Physics, 36 (6): 1271-1285. [7] Wong SK (1970) Field and particle equations for classical Yang-Mills field and particales with isotopic spin. Nuovo Cimento, A 65: 689-694.