Hạt Yang-Mills trong thế chuẩn không-Abel SU(2) đối xứng cầu

1434 HẠT YANG-MILLS TRONG THẾ CHUẨN KHÔNG-ABEL SU(2) ĐỐI XỨNG CẦU Nguyễn Văn Thuận Viện Kỹ thuật, trƣờng Đại học Công nghệ TP. Hồ Chí Minh (HUTECH) TÓM TẮT Bài toán khảo sát chuyển động của hạt Yang-Mills trong thế chu n không-Abel SU(2) đối xứng cầu Witten đƣợc đƣa về bài toán chuển động của hạt mang điện tích đơn vị trong trƣờng điện từ hiệu dụng. Chúng tôi đã nhận đƣợc các phƣơng trình động lực học dạng tổng quát đặc trƣng cho chuyển động của hạt. Hai trƣờng hợp riêng đã đƣợc khảo sát. Khi thỏa mãn một số điều kiện nào đó của bài toán thì hạt hoặc là chuyển động nhƣ một hạt mang điện tích hiệu dụng trên bề mặt của một mặt nón, hoặc là chuyển động xuyên tâm tuyến tính trong thế một chiều. Từ khóa: Đối xứng cầu, hạt Yang-Mills, nhóm SU(2), trƣờng Yang-Mills, thế chu n không-Abel. 1. MỞ ĐẦU Nghiên cứu nghiệm của các phƣơng trình Yang-Mills theo hình thức luận điện từ cổ điển đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Dựa trên các nghiệm này, dùng các phƣơng pháp phân tích bán cổ điển ngƣời ta có thể giải thích đƣợc một số hiện tƣợng trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử [1-2]. Ch ng hạn nhƣ các hiện tƣợng về hiệu ứng màn chắn, vấn đề tai biến hồng ngoại hay sự giam giữ (quark). Bài toán chuyển động của hạt Yang-Mills (hạt mang tích màu) cũng đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [3-6]. Một trong những kết quả hấp dẫn của bài toán này là dựa vào các phƣơng trình chuyển động của hạt, ngƣời ta có thể tìm đƣợc xác suất sinh cặp của sự phân rã chân không theo phƣơng pháp thời gian ảo. Hệ các phƣơng trình mô tả sự tƣơng tác giữa trƣờng Yang-Mills và các hạt Yang-Mills trong giới hạn cổ điển đã đƣợc Wong đƣa ra từ các phƣơng trình lƣợng tử [7]. Hệ các phƣơng trình này có dạng:    2 2/ va am x gF T      (1)    / va abc b cT g W T        (2) ở đây: , 0,1,2,3   là các chỉ số không-thời gian, , , 1,2,3a b c  là các chỉ số của nhóm SU(2). Trong các phƣơng trình (1), (2) thế vectơ aW  và tenxơ cƣờng độ trƣờng :aF  a a a abc b c F W W g W W          (3) xác định cấu hình trƣờng ngoài; hạt có khối lƣợng m, đƣợc xác định bởi vectơ bán kính bốn chiều   ,x  vận tốc bốn chiều v /dx d   và tích màu đƣợc đặc trƣng bởi vectơ màu  aT  trong không gian nhóm SU(2). Phƣơng trình (1) tƣơng tự nhƣ phƣơng trình tƣơng ứng của điện động lực học cổ điển, tuy nhiên sự có mặt của các bậc tự do màu  aT  có thể ảnh hƣởng đến tính chất chuyển động của hạt. Phƣơng trình (2) diễn tả sự tiến động của vectơ màu  aT  trong không gian nhóm SU(2). Một trong những thế chu n không-Abel đối xứng cầu đã đƣợc đƣa ra bởi Witten [8], có dạng: 1435  0 0 a agW W r r        1a a i j ai a i i aij a r b r gW r r W r r r r r r                     (4) ở đây        0 , , ,W r W r a r b r là các hàm của bán kính r, ar  là vectơ bán kính đơn vị. Trong phần 2 của bài báo này, chúng tôi nghiên cứu các phƣơng trình chuyển động của hạt trong thế chu n không-Abel đối xứng cầu (4). Phần 3 khảo sát một số trƣờng hợp riêng. Cuối cùng phần kết luận, chúng tôi đƣa ra một vài nhận xét về kết quả. 2. CÁC PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA HẠT YANG-MILLS TRONG CẤU HÌNH TRƢỜNG WITTEN Trong trƣờng hợp phi tƣơng đối tính, các phƣơng trình (1), (2) đƣa về dạng: v va a a d m g E B T dt          r r (5) 2v v 2 a ad m g E T dt            r (6) 0 v a abc b c cdT g T W W dt            r (7) Trong các phƣơng trình (5), (6) các cƣờng độ điện trƣờng màu và cƣờng độ từ trƣờng màu đƣợc xác định bởi các phƣơng trình: 0 j 1 , 2 a a a a i i i i k jkE F B F   (8) Với thế (4), chúng tôi nhận đƣợc dạng tƣờng minh của cƣờng độ điện từ trƣờng màu và định luật bảo toàn năng lƣợng, dƣới dạng: ' 0 0 0 1a a i ai a i aij j i W a W b E r r W r r r g r r                    (9) 2 2 ' ' 2 1 1a a i ai a i aij j i a b a Wb b Wa B r r r r r g r r r                           (10)   2 0 v 2 m W r T r H        ur (11) ở đây số hạng  0W r T r       ur trong (11) đồng nhất với thế năng của hạt Yang-Mills. Trong các phƣơng trình (9), (10) các dấu phảy có nghĩa là đạo hàm theo r. Bài toán chuyển động của hạt Yang-Mills trong trƣờng chu n không-Abel có thể đƣa về bài toán chuyển động của hạt mang điện tích đơn vị trong trƣờng điện từ hiệu dụng, nghĩa là: 1436 * *v v d m E B dt      r (12) trong đó * *,E B   là cƣờng độ điện trƣờng và cƣờng độ từ trƣờng hiệu dụng, có dạng: * ' 0 0 0 W a W b E W T r r T T r r T r r r                                   ur ur ur ur (13) 2 2 ' ' * 2 1a b a Wb b Wa B T r r T T r r T r r r r                                        ur ur ur ur (14) Sự tiến động của vectơ màu trong thế đối xứng cầu (4) có dạng:     0 v v v 1 v v dT b W T r r W T r T dt r r b W T r T r T r r r                                                      ur ur r ur ur r r ur ur r ur r (15) Nhân vectơ cả hai vế của phƣơng trình (12) với vectơ r r và chú ý đến các phƣơng trình (13), (14), chúng tôi nhận đƣợc phƣơng trình động lực học cho momen quỹ đạo của hạt:   ' 0 0 2 2 ' v 1 v v v v d L W a T r W b T T r r a r T T r r dt a b T r r r r Wb T T r r r r Wa b T r                                                                                                         ur ur ur ur r ur ur ur r r r ur ur r ur (16) Trong phƣơng trình (16), vL r m  ur r r là momen quỹ đạo. Các phƣơng trình (12), (15), (16) là các phƣơng trình động lực học dạng tổng quát, xác định đầy đủ các đặc tính về chuyển động của hạt Yang-Mills trong cấu hình trƣờng đối xứng cầu (4). Việc khảo sát các phƣơng trình này trong trƣờng hợp các hàm trƣờng        0 , , ,W r W r a r b r tùy ý là rất phức tạp. Vì vậy, dƣới đây chúng tôi xét một vài trƣờng hợp riêng. 3. MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT YANG-MILLS TRONG MỘT SỐ TRƢỜNG HỢP RIÊNG . Trƣờng hợp các hàm trƣờng a(r) = b(r) = 0 Trong trƣờng hợp này các phƣơng trình (9), (10) đƣa về dạng: ' 0 2 1 1 ,a a i a a ii iE r r W B r r g gr        (17) Từ trƣờng màu có dạng của một đơn cực từ. Chúng tôi khảo sát chuyển động của hạt Yang-Mills trƣờng điện từ màu (17). Ta có thể viết phƣơng trình (15) dƣới dạng: 1437    v v vd a bT r T r T r T r dt r r                         ur ur r r ur ur r (18) Khi các hàm a(r) = b(r) = 0 thì const.T r       ur Phƣơng trình (16) trở thành: 1 v v d L T r r r dt r                   ur ur r r (19) Bởi vì constT r       ur và 1 v v ,r r r r              r r phƣơng trình (19) đƣa tới tích phân chuyển động sau: constL T r r J          ur ur ur (20) Từ (20) dễ dàng thấy rằng: 2const, constJ r T r L                 ur ur (21) Kết quả (20), (21) cho thấy hạt Yang-Mills chuyển động trên bề mặt của một mặt nón, có trục song song với vectơ momen góc toàn phần J ur và góc  hợp bởi giữa đƣờng sinh của mặt nón với trục này là: cos /T r J        ur ur (22) Phƣơng trình chuyển động của hạt Yang-Mills đƣa về dạng:  '0 2 v 1 v d m T r W r r r dt r                r ur r (23) Chúng tôi thấy rằng, chuyển động của hạt Yang-Mills thì tƣơng tự chuyển động của hạt mang điện tích hiệu dụng T r       ur trong từ trƣờng của đơn cực từ 2/B r r   ur và trong điện trƣờng xuyên tâm  '0 .E W r r    ur Bây giờ ta khảo sát chuyển động theo bán kính của hạt Yang-Mils. Sử dụng định luật bảo toàn năng lƣợng (11) và biểu thức 2 2 2 2 2v v const,L m r r            r chúng tôi nhận đƣợc:  0 0 2 r r dr t t H V r m       (24) ở đây:      2 20 / 2V r T r W r L mr        ur (25) Chuyển động của hạt theo bán kính là chuyển động một chiều cho bởi thế (25). .2 Trƣờng hợp vectơ màu không đổi 1438 Chúng tôi khảo sát chuyển động của hạt Yang-Mills khi vectơ màu T ur không đổi. Điều này xảy ra khi các hàm trƣờng        0 0, 1.W r W r b r a r    Tuy nhiên đây là trƣờng hợp tầm thƣờng, bởi vì trong trƣờng hợp này các thế    0 0, 0,W r W r  ta có các nghiệm chân không và hạt Yang-Mills chuyển động tự do. Một khả năng không tầm thƣờng là hạt chuyển động xuyên tâm tuyến tính. Trong trƣờng hợp này, theo (15) điều kiện constT  ur đòi hỏi T ur phải song song với vectơ đơn vị .r  Các phƣơng trình (12) - (14) lúc này cho thấy không có thành phần lực trực giao với hƣớng chuyển động của hạt. Phƣơng trình chuyển động của hạt Yang-Mills trở thành:  '0 2 v 1 v d m T r W r r dt              r ur (26) Phƣơng trình (26) đồng nhất với phƣơng trình cho chuyển động của một hạt mang điện tích hiệu dụng T r       ur trong điện trƣờng xuyên tâm  '0 .E W r r    ur Nhƣ vậy, khi T r ur P chuyển động xuyên tâm tuyến tính có thể xảy ra, và ta có thể mô tả nhƣ chuyển động một chiều trong thế năng    0 .U r W r T r        ur 4. KẾT LUẬN Bài toán chuyển động của hạt Yang-Mills trong thế chu n không-Abel SU(2) đối xứng cầu Witten đƣa về bài toán chuyển động của hạt mang điện tích đơn vị trong điện trƣờng và từ trƣờng hiệu dụng. Chúng tôi đã nhận đƣợc các phƣơng trình động lực học dƣới dạng tổng quát đặc trƣng cho chuyển động của hạt. Năng lƣợng của hạt đƣợc bảo toàn. Trong trƣờng hợp nếu các hàm trƣờng    0, 0,a r b r  hạt chuyển động trên bề mặt của một mặt nón, có trục song song với momen góc toàn phần của hạt; còn trƣờng hợp vectơ màu không đổi, hạt hoặc là chuyển động tự do khi các hàm trƣờng        01, 0,a r W r W r b r    hoặc là có thể có chuyển động xuyên tâm tuyến tính khi vectơ màu song song với vectơ bán kính đơn vị. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Singleton D (1995) Exact Schwarzschild-like solution for Yang-Mills theories. Physical Review D14: 5911-5914. [2] Actor A (1979) Classical solutions of SU(2) Yang-Mills theories. Review Modern of Physics 51 (3): 461-525. [3] Stern A (2009) Particle classification and dynamics in GL(2,C) gravity. Physical Review D79: 105017-1-16. [4] Azizi A (2002) Planar trajectories in a monopole field. Journal of Mathematical Physics 43: 299- 317. [5] Nguyen Vien Thọ, Nguyen Van Thuan (2000) Motion of color charge in Schwarzschild gauge field, Communications in Physics, Vol 10, No. 2 (2000) 65-71. [6] Nguyen Vien Tho, Nguyen Quoc Hoan (2012) A test for the local intrinsic Lorentz symmetry. Journal of Physical Science and Application, 2 (8): 328-334. 1439 [7] Wong SK (1970) Field and particle equations for classical Yang-Mills field and particales with isotopic spin. Nuovo Cimento, A 65: 689-694. [8] Witten E (1977) Some exact multipseudoparticle solution of classical Yang-Mills theory. Physical Review Letter 19 (21): 121-124.