Khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán nhiễu theo một tham số bé

Từ bài toán ( ) ( ) 2.1 2.4 − , ta xét bài toán nhiễu theo tham số bé ε , với 1 ε ≤ , trong đó các số hàm phi tuyến ,f µ lần lượt bị nhiễu bởi 1 1, f f µ + εµ + ε . Chúng tôi sẽ đánh giá các sai số giữa nghiệm yếu của bài toán nhiễu với nghiệm yếu của bài toán ( ) ( ) 2.1 2.4 − và với nghiệm tiệm cận với nó

pdf13 trang | Chia sẻ: vietpd | Lượt xem: 1381 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán nhiễu theo một tham số bé, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
44 Chương 4 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN NHIỄU THEO MỘT THAM SỐ BÉ Từ bài toán ( ) ( )2.1 2.4− , ta xét bài toán nhiễu theo tham số bé ε , với 1ε ≤ , trong ñó các số hàm phi tuyến ,fµ lần lượt bị nhiễu bởi 1 1, f fµ + εµ + ε . Chúng tôi sẽ ñánh giá các sai số giữa nghiệm yếu của bài toán nhiễu với nghiệm yếu của bài toán ( ) ( )2.1 2.4− và với nghiệm tiệm cận với nó. Trong chương này ta giả sử 0 1, , ,µɶ ɶu u f thỏa mãn các ñiều kiện ( ) ( )1 3−H H . Ngoài ra, ta giả sử rằng: ( )5H ( )11 R +µ ∈C với ( )1 0, 0,z zµ ≥ ∀ ≥ ( )6H 1f thỏa mãn ñiều kiện ( )3H . Với M > 0, T > 0, ta kí hiệu: ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }2 20 0 1 1, sup : 0 , , sup : 0µ = µ ξ ≤ ξ ≤ µ = µ ξ ≤ ξ ≤ɶ ɶK M M K M M , ( ) ( )2 211 1 1, sup : 0 , , sup : 0K M M K M M   ∂µ ∂µµ = ≤ ξ ≤ µ = ≤ ξ ≤   ∂ξ ∂ξ    ɶ ɶ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * 0 0 1 1 , , , , , sup , , , , sup , , ∈ ∈ = = r t u A r t u A K M f f r t u K M f f r t u , ( ) ( ) ( ) * 1 , , , sup , , , ∈   ∂ ∂ = +  ∂ ∂  r t u A f fK M f r t u r u ( )1 1,K M f ( ) ( )* 1 1 , , sup , , , ∈   ∂ ∂ = +  ∂ ∂  r t u A f f r t u r u trong ñó: ( ) ( )* 1, , , : 0 1,0 , 2 2   = = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ +    A A M T r t u r t T u M . 45 Ta xét bài toán nhiễu với ε là tham số nhỏ, 1ε ≤ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 2 2 1 10 0 1 , , , 0 1, 0 . lim , , 1, 1, 0, ,0 , ,0 , , , , , , , , . tt rr r r r r t r r u t u u F r t u r t T r ru r t u t hu tP u r u r u r u r F r t u f r t u f r t u t u u + ε ε ε ε ε ε →ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε    − µ + = < < < <     < ∞ + =   = =   = + ε µ = µ + εµ ɶ ɶ Với mỗi ε , từ ñịnh lí 2.1 ta suy ra rằng có dãy quy nạp tuyến tính { }muε thỏa ( ) ( )2.1 2.4− , với , , 1f fε εµ = µ = ε ≤ , và: ( )1 , .mu W M Tε ∈ (4.1) Trong ñó, các hằng số M, T không phụ thuộc vào ε . Do ñó, từ ñịnh lí 2.2 ta có thể chọn ñược 0, 0M T> > sao cho giới hạn εu của dãy { }muε trong ( )1 ,W M T là nghiệm yếu của bài toán ( )εP , và nó thỏa mãn: ( )1 ,ε ∈u W M T . (4.2) Ta có thể chứng minh, tương tự ñịnh lí 2.2, rằng giới hạn 0u trong ( )1 ,W M T khi 0ε → là nghiệm yếu duy nhất của bài toán ( )0P tương ứng với 0ε = , và thỏa mãn: ( )0 1 , .∈u W M T (4.3) ● ðánh giá sai số giữa nghiệm yếu bài toán nhiễu ( )Pε với nghiệm yếu bài toán (2.1) – (2.4) theo ε : ðịnh lí 4.1. Giả sử 0 1 1 1, , , , ,u u f fµ µɶ ɶ thỏa các giả thiết ( ) ( ) ( ) ( )1 3 5 6H H , H , H− . Khi ñó, tồn tại các hằng số M >0, T > 0 sao cho với mỗi 1ε ≤ , bài toán ( )εP có nghiệm yếu duy nhất ( )1 ,ε ∈u W M T thõa mãn: ( ) ( )1 00 00, ; 0, ; .∞ ∞ε ε− + − ≤ εɺ ɺL T V L T Vu u u u C (4.4) Với C chỉ phụ thuộc vào 0 ,µ , , ,h T M ( ) ( ) ( )1 1 0 1, , , , , ,µɶK M f K M K M f ( )0 1, .µɶK M 46 Chứng minh. ðặt 0ε= −v u u . Khi ñó, v thỏa mãn bài toán: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 ˆ ˆ, , , , ˆ ˆ, , , , 0 0 0. v t w t a v t w F t w t Au w f t w t Au w w V v v ε ε ε  + µ = − µ   +ε − µ ∀ ∈  = =  ɺɺ ɺ (4.5) Với ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 0 1 1 00 0 0 2 2 2 2 0 1 1 00 0 0 0 0 1 1 0 ˆ ˆ, , , , , ˆ , ˆ , , , , , , , , . r r r r r r r t u t u t t u t f t f r t u t u t u t u t u t F t f r t u f r t u f r t u f r t u ε ε ε ε ε ε ε ε ε µ = µ + εµ µ = µ =    µ = µ − µ + ε µ − µ      = − + ε −  (4.6) Từ ( )4.5 , thay = ɺw v , rồi lấy tích phân hai vế theo t ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )20 0 , ,ε ε ′+ µ = µ∫ɺ t v t t a v t v t s a v s v s ds ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 ˆ ˆ2 , 2 ,ε ε+ − µ∫ ∫ɺ ɺ t t F s v s ds s Au s v s ds ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 0 ˆ ˆ2 , 2 , t t f s v s ds s Au s v s ds+ ε − ε µ∫ ∫ɺ ɺ * * * * * 1 2 3 4 5 .J J J J J= + + + + (4.7) * ðánh giá *1J . Ta có: ( ) ( ) ( )( )2 1 1 12 , ,s M K M K Mε′µ ≤ µ + ε µɶ ɶ ( ) ( )( )2 1 1 12 , ,M K M K M≤ µ + µɶ ɶ , nên ( ) ( )( ) ( ) 2* 21 1 1 1 1 1 0 2 , , .≤ µ + µ ∫ɶ ɶ t J C M K M K M v s ds (4.8) * ðánh giá *2J . Ta có ñánh giá: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 1, , , , , , ,ε ε− ≤ −f r t u s f r t u s K M T f u s u s 47 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 1 1 0, , , , , , .ε ε− ≤ −f r t u s f r t u s K M T f u s u s Do ñó ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 21 1 1 10ˆ , , .ε ≤ +F s K M f K M f v s Suy ra, ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2*2 1 1 1 0 1 0 , , .≤ + +∫ ɺ t J K M f K M f v s v s ds (4.9) * ðánh giá *3J . Vì ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 21 1 1 00 0ˆ , ,ε εµ ≤ µ + ε µ −ɶ ɶ rs K M K M u s u s ( ) ( )( ) ( )1 1 1 02 , , ,≤ µ + ε µɶ ɶM K M K M v s nên ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2* 23 1 1 1 0 1 0 2 , , .≤ µ + µ +∫ɶ ɶ ɺ t J M K M K M v s v s ds (4.10) • ðánh giá *4J . Ta có: ( ) ( ) 1 * 4 0 1 0 0 2 , t J K M f r v s dr ds ≤ ε     ∫ ∫ ɺ ( ) ( ) 0 22 2 0 1 0 , . t TK M f v s ds≤ ε + ∫ ɺ (4.11) *ðánh giá *5J . Vì ( ) ( )1 0 1ˆ ,µ ≤ µɶs K M , nên ( ) ( )*5 0 1 0 0 2 , t J MK M v s ds≤ ε µ ∫ɶ ɺ ( ) ( ) 22 2 20 1 0 0 , . t TM K M v s ds≤ ε µ + ∫ɶ ɺ (4.12) Từ ( ) ( )4.7 4.12− , với ε nhỏ thích hợp ta suy ra: 48 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 20 00 1 0 ,v s C v s v s s a v s v sε+ µ ≤ + µɺ ɺ ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]2 21 22 0 0 0 , 0, ,≤ ε δ + δ + ∀ ∈∫ ɺ t M MT v s v s ds t T (4.13) với ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 21 0 1 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 , , , , 1 , , , , 2 1 , , . δ = + µ  δ = + +  + + µ + µ  ɶ ɶ ɶ M M K M T f MK M K M T f K M T f C M K M K M (4.14) Từ ( )4.13 áp dụng bổ ñề Gronwall, ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 2 1 220 1 0 0 0 0 1 11 exp 1 , 0, .M Mv s v s T T t TC C       + ≤ + ε δ + δ ∀ ∈    µ µ      ɺ Chọn ( ) ( )1 2 0 0 0 0 1 1 12 1 exp 1 , 2       = + δ + δ    µ µ      M MC T TC C thì ( ) ( )1 00 00, ; 0, ; .∞ ∞ε ε− + − ≤ εɺ ɺL T V L T Vu u u u C ■ ●Sau ñây, ta sẽ ñánh giá sai số giữa nghiệm yếu bài toán nhiễu với nghiệm tiệm cận bậc n+1 theo ε . Ta kí hiệu: [ ] ( ) [ ] ( )( ) ( )2 30, , , , , , .iir if d df u f r t u u u t D f u d d∂ µ µ′= µ = µ = µ = µ =∂ ξ ξ Bây giờ ta giả thiết thêm rằng: ( )7H ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 1, , , 0, 0,N NC C+ + +µ ∈ µ ∈ µ ξ ≥ µ µ ξ ≥ ∀ξ ≥ℝ ℝ ( )8H ( ) ( )1 1, .N Nf C f C+ + +∈ Ω× × ∈ Ω× ×ℝ ℝ ℝ ℝ Gọi ( )0 1 ,∈u W M T là nghiệm yếu của bài toán ( )0P tương ứng với 0ε = . Ta ñặt 20 1 2 ...= + ε + ε + + ε N NU u u u u , với ( )1 2 1, ,... ,∈Nu u u W M T sẽ ñược chọn sau. 49 Bổ ñề 4.2. Giả sử ( ) ( )7 8H , H ñúng. Khi ñó, với mỗi i 1,...,N= ta có: [ ]( ) [ ]( ) ( )1 1 3 0 . − − − − = ∂ ∂ ∂ = ∂ε ∂ε ∂ε∑ i k i ki k ii k i k k f U C D f U U (4.15) [ ]( ) [ ]( ) ( )1 21 0 0 . i k i ki k i ri k i k k U C U U − − − − = ∂ ∂ ∂ ′µ = µ ∂ε ∂ε ∂ε∑ (4.16) Chứng minh. Với i=1 ta có: [ ]( ) [ ] ( ). .∂ ∂ ∂=∂ε ∂ ∂ε ff U U U u Giả sử, ( )4.15 ñúng với 2≥n , tức là: [ ]( ) [ ]( ) ( )1 1 3 0 . − − − − = ∂ ∂ ∂ = ∂ε ∂ε ∂ε∑ n k n kn k nn k n k k f U C D f U U thì [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) ( )1 1 1 31 0 + − − −+ − =    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =   ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε    ∑ n n k n kn k nn n k n k k f U f U C D f U U [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( )1 11 1 3 31 1 0 + − + − − − + − + − =  ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε  ∑ k n k k n kn k n k n k k n k k C D f U U D f U U [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( )0 10 3 30 1 + + ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε n n n n nn n C D f U U C D f U U ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( )1 11 11 1 3 31 1 1 0 + − + − − − − − + − + − = = ∂ ∂ ∂ ∂ + + = ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε∑ ∑ k n k k n kn n k k k n n nk n k k n k k k C C D f U U C D f U U . Do ñó, ( )4.15 ñúng với mọi 1;N=i . Tương tự, ta chứng minh ñược (4.16). ■ Chú ý: a) Các công thức (4.15),(4.16) cũng lần lượt ñúng cho 1 1f ,µ với i 1,..., N 1.= − b) 0 ! , 0 . i ii U i u i Nε= ∂ = ≤ ≤ ∂ε (4.17) c) ( ) ( ) ( )12 10 0 2 , ,1 . m j m jm j r m r rm j m j j U C U U m N − − − − = ∂ ∂ ∂ = ≤ ≤ ∂ε ∂ε ∂ε∑ (4.18) Ta ñặt: 50 [ ] [ ]( ) 0 1 , 0 , ! i i if f U i Ni εpi ε = ∂ = ≤ ≤ ∂ [ ] [ ]( ) 0 1 , 0 , ! i i i U i Ni ε= ∂ρ µ = µ ≤ ≤ ∂ε thì từ ( ) ( )4.15 4.18− ta suy ra: [ ] [ ]1 3 0 ,1 , − − = − = ≤ ≤∑ i i k i k k i kf D f u i N i pi pi (4.19) ( ) [ ] ( ) ( )1 1 0 0 2 , . i i k i k j i k jr r k j i k j u u i ρ ρ µ − − − − − = = ′= − −∑∑ (4.20) Từ khai triển Maclaurin các hàm [ ] [ ] [ ] [ ]1 1, , ,f U f U U Uµ µ quanh 0ε = , ta ñược [ ] [ ] [ ]1 1 1 0 , , , N i N i N i f U f R f+ + = = pi ε + ε ε θ∑ (4.21) [ ] [ ] [ ]11 1 1 2 0 , , , N i N i N i f U f R f − = = pi ε + ε ε θ∑ (4.22) [ ] [ ] [ ]1 1 3 0 , , , N i N i N i U R+ + = µ = ρ µ ε + ε µ ε θ∑ ɶ (4.23) [ ] [ ] [ ]11 1 1 4 0 , , , N i N i N i U R − = µ = ρ µ ε + ε µ ε θ∑ ɶ (4.24) với [ ] ( ) [ ]( ) 1 1 1 1 1 : 1 , , , 1 ! N N NR f f UN + + + ε =θ ε ∂ ε θ = + ∂ε (4.25) [ ] [ ]( ) 2 1 2 : 1 , , , ! N N NR f f UN ε =θ ε ∂ ε θ = ∂ε (4.26) [ ] ( ) [ ]( ) 3 1 1 3 1 : 1 , , , 1 ! N N NR UN + + + ε =θ ε ∂µ ε θ = µ + ∂ε ɶ (4.27) [ ] [ ]( ) 4 1 4 1 : 1 , , . ! N N NR UN ε =θ ε ∂µ ε θ = µ ∂ε ɶ (4.28) 51 Ta muốn xấp xỉ nghiệm yếu εu của bài toán ( )εP bằng 0= = ε∑ N i i i U u . Từ khai triển Maclaurin của hàm [ ] [ ],F U Uε εµ dẫn tới việc chọn 1 2, ,u u ( )1..., ,Nu W M T∈ lần lượt là nghiệm yếu của các bài toán: ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( )( ) [ ] [ ] 1 0 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 3 1 2 0 0 0 1 0 0 10 ,0 1,0 , lim , , 1, 1, 0, ,0 ,0 0, , , , , , , 2 , , +→  + µ = < < < <   < ∞ + =   = =  = pi + pi − ρ µ + ρ µ  pi = ≡ pi = pi  ′ρ µ = µ ≡ µ ∇ ρ µ = ρ µ ɶɺɺ ɺ ɶ r r r r r u u Au F u r t T ru r t u t hu t u r u r Q F u f f Au f f u f r t u f D f u u u t u u với 2 ,≤ ≤i N ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) 0 0 1 1 1 1 1 ,0 1,0 , lim , , 1, 1, 0, ,0 ,0 0, . +→ − − − =  + µ = < < < <   < ∞ + =   = =  = pi + pi − ρ µ + ρ µ  ∑ ɶɺɺ ɺ ɶ i i i i ir ir i r i i i i i i i i k k i k k u u Au F u r t T ru r t u t hu t Q u r u r F u f f Au ðặt ,v u Uε= − thì v là nghiệm yếu bài toán: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , 0 1, 0 , lim , , 1, 1, 0, ,0 ,0 0, + ε ε ε ε ε ε →  + µ + = + − − µ + − µ  + < < < <  < ∞ + =  = = tt r r r t v v U Av F v U F U v U U AU E r t r t T rv r t v t hv t v r v r (4.29) với ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]0 0 1 , .ε ε ε = = − − µ − µ − ε∑ ɶ N i i i i E r t F U f u U u AU F u (4.30) * ðánh giá ( ),εE r t . Ta kí hiệu: 52 ( ) ( ) ( ) 20 , sup , 1,2,..., 1,ii M K M i N ≤ξ≤ µ = µ ξ = +ɶ ( ) ( ) ( ) 2 1 1 0 , sup , 1,2,..., ,ii M K M i N ≤ξ≤ µ = µ ξ =ɶ ( ) ( )1 21 3, sup , , , 1,2,..., 1,iK M f D D f r t u i Nβ β β = = +∑ ( ) ( )1 21 1 3 1, sup , , , 1,2,..., ,iK M f D D f r t u i Nβ β β = =∑ với ( )1 2 1 210 1, 1 , , , .2r u M i≤ ≤ ≤ + β = β β β = β + β = Bổ ñề 4.3. Giả sử ( ) ( ) ( )1 2 7H , H , H và ( )8H ñúng. Khi ñó, tồn tại một hằng số C phụ thuộc vào M, N, T sao cho: ( )0 1 0, ; .∞ + ε ≤ ε N L T V E C (4.31) Chứng minh. Từ ( ) ( )4.21 4.24− ta có: [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )10 1 1 1 1 1 2 1 , , , , , + ε − + = − = pi + pi ε + ε ε θ + ε θ∑ N i N i i N N i F U f u f f R f R f (4.32) [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )10 1 1 1 3 1 4 1 , , , , . + ε − + = µ − µ = ρ µ + ρ µ ε + ε µ ε θ + µ ε θ∑ ɶ ɶ N i N i i N N i U u R R (4.33) Từ ( ) ( ) ( )4.30 , 4.32 , 4.33 ta ñược: ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )(1 1 1 1 2 1 3 1 4, , , , , , , , ,+ε + += ε ε θ + ε θ − µ ε θ + µ ε θɶ ɶN N N N NE r t R f R f R R AU [ ] [ ]( )1 1 1 1 . N i N i N k N k N i k i k Au −+ − − − + = =   − ρ µ + ρ µ ε      ∑ ∑ (4.34) Từ ( ) ( )4.19 , 4.20 , ( ) ( )4.25 4.28− , ( )4.34 và tính bị chặn của các hàm iu ,∇ iu , ,iuɺ 0,1,2,...,i N= trong ( )10, ;∞L T V , ta ñược (4.31) với C là hằng số phụ thuộc M, N, T, và các hằng số ( ) ( ), , , , 1, 1i iK M K M f i Nµ = +ɶ , ( ) ( )1 1, , , ,i iK M K M fµɶ 1,i = 2,...,N . ■ * ðánh giá dãy nghiệm yếu quy nạp { }mv của bài toán: 53 ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 0 0, , , lim , , 1, 1, 0, ,0 ,0 0. m m m m m m mr mr m r m m v v v U Av F w U F U w U U AU R E r t rv r t v t hv t v r v r ε ε ε ε ε ε µ µ µ + − − − →  =  + + = + − − + −   +  < +∞ + =   = = ɺɺ ɺ Tương tự chương 2, sự tồn tại của dãy { } ( )1 ,mv W M T⊂ thỏa yếu ( )mR là ñúng. Với 1m = , ta có bài toán ( )1R : [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 10 1 1 , , 0 1,0 , lim , , 1, 1, 0 ,0 ,0 0. r r r v U Av E r t r t T rv r t v t hv t v r v r ε εµ +→  + = < < < <   < +∞ + =  = = ɺɺ ɺ Nhân hai vế ( )1 1R với 1rvɺ rồi lấy tích phân theo biến r trên Ω , ta ñược: ( ) [ ] ( )( )21 1 10( ) ( ), ( )d dv t U a v t v tdt dt ε+ µɺ ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( )( )1 1 12 , , , .dE r t v t U a v t v tdtε ε= + µɺ (4.35) Từ (4.35) lấy tích phân hai vế theo t, ta ñược: ( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )021 1 1 10, ;0 0 0 , 2 t L T V v t U a v t v t E v s dsε εµ ∞+ ≤ ∫ɺ ɺ [ ]( ) ( ) ( )( )1 1 0 , t d U a v s v s ds dt ε µ+∫ ( ) [ ]( ) ( ) ( )( )01 1 1 10, ; 0 2 , t N L T V dCT v U a v s v s ds dt ε ε µ ∞ + ′≤ + ∫ɺ . (4.36) Ta lại có: [ ]( ) [ ] [ ]( ) ( ) ( )12 ,r rd U U U U t U tdt εµ µ εµ′ ′= + ɺ ( ) ( ) ( )( )2 1 1 12 1 , ,N K M K Mµ µ≤ + +ɶ ɶ , 54 nên [ ] ( ) ( )( )1 1 0 , t U a v s v s dsεµ′∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) 221 1 1 1 1 1 0 2 1 , , t C N K M K M v s dsµ µ≤ + + ∫ɶ ɶ . (4.37) Từ (4.36), (4.37), với ε nhỏ thích hợp ta ñược: ( ) ( ) ( )0 2 2 1 1 0 0 1 1 0, ;0 1 2 N L T Vv t C v t CT v ∞ + + ≤ɺ ɺµ ε ( ) ( ) ( )( ) ( ) 221 1 1 1 1 1 0 2 1 , , .+ + + ∫ɶ ɶ t C N K M K M v s dsµ µ (4.38) Từ (4.38) áp dụng bổ ñề Gronwall, ta có: ( ) ( ) ( ) ( )0 11 10, ; 0, ;L T V L T Vv t v t∞ ∞+ɺ ( ) ( ) ( )( )1 2 21 1 1 0 00 0 1 22 1 exp 1 , ,NCT C N M T K M K M CC +   ≤ + + +        ɶ ɶε µ µ µµ . Với 1m ≥ , ta sẽ chứng minh rằng tồn tại hằng số TC không phụ thuộc vào m và ε sao cho: ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 0, ; 0, ; , ∞ ∞ + + ≤ ∀ɺ Nm m TL T V L T Vv t v t C mε (4.39) Thật vậy, từ ( )1mR ta ñược: ( ) [ ] ( )( )2 10( ) ( ), ( )m m m md dv t v U a v t v tdt dt ε −+ µ +ɺ [ ]( ) ( ) ( )( )1 ,m m md v U a v t v tdt ε −= µ + [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]( ) ( )1 12 , 2 ,m m m mF v U F U v t v U U AU v tε − ε ε − ε+ + − − µ + − µɺ ɺ ( ) ( )2 , , .mE r t v tε+ ɺ (4.40) Từ (4.40) lấy tích phân theo t ñược: 55 ( ) [ ] ( ) ( )( )2 10 ,m m m mv t v U a v t v t−+ +ɺ εµ [ ]( ) ( ) ( )( )1 0 , t m m m d v U a v s v s ds dt − ≤ +∫ εµ [ ] [ ] ( )1 00 0 2 . t m mF v U F U v s ds−+ + −∫ ɺε ε [ ] [ ] ( )1 0 0 0 2 . t m mv U U AU v s ds−+ + −∫ ɺε εµ µ ( )1 0 0 2 . t N mC v s dsε + + ∫ ɺ (4.41) Ta có: [ ]( ) ( )11m Md v U qdt µ − + ≤ , (4.42) với ( ) ( ) ( ) ( )( )21 2 1 1 12 2 , , ,= + +ɶ ɶMq N M K M K Mµ µ [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1 00 , , ,m mF v U F U K M f K M f v sε ε− −+ − ≤ + (4.43) [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1 02 , , ,m mv U U M K M K M v sε − ε −µ + − µ ≤ µ + µɶ ɶ (4.44) thì từ (4.41) – (4.44) ta ñược: ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 222 2( 1)0 0 10 1 0 0 T N m m M mv s C v s C T q v s ds + − + ≤ + ∫ɺ µ ε ( ) ( ) ( )( )2 23 0 00 1 0 .+ +∫ ɺ t M m mq v s C v s dsµ (4.45) Trong ñó, ( ) ( )( )0 22 21* 1* 0, ;4 ,M L T Vq K MK AU ∞= + ɶ ( ) ( )3 1 0 0 13 ,M Mq qC = + µ ( ) ( )1* 1 1 1, , ,K K M f K M f= + 56 ( ) ( )1* 1 1 2, , .= +ɶ ɶ ɶK K M K Mµ µ Từ (4.45) áp dụng bổ ñề Gronwall, ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }12 2 22 32 2( 1)0 0 10 1 exp .Nm m M m MW Tv s b C v s C T q T v Tqε + −+ ≤ +ɺ (4.46) ðặt ( ) ( ) ( ) 12 3 3 0 0 0 0 1 1 1 11 exp , 1 exp 2 2 N M M Mq T Tq C T TqC C +       = + = +              σ δ ε µ µ thì từ ( )4.46 ta suy ra: ( ) ( )1 11 , 1.m mW T W Tv v mσ δ−≤ + ∀ ≥ (4.47) ðịnh lí 4.4. Giả sử các ñiều kiện ( ) ( ) ( ) ( )1 3 7 8H H , H , H− ñúng. Khi ñó, tồn tại các hằng số dương thích hợp M, T sao cho với mọi , 1,ε ε ≤ bài toán ( )Pε có duy nhất nghiệm yếu ( )1 ,u W M Tε ∈ thỏa ñánh giá tiệm cận ñến cấp 1N + , tức là: ( ) ( )0 1 1 0 00, ; 0, ; . N N Ni i i i T i iL T V L T V u u u u Cε εε ε ε ∞ ∞ + = = − + − ≤∑ ∑ɺ ɺ (4.48) Trong ñó, các hàm 0 1, ,..., Nu u u lần lượt là nghiệm yếu của các bài toán ( ) ( ) ( )0 1, ,..., .NP Q Q Chứng minh. Chọn T > 0 ñủ nhỏ thì σ trong (4.47) nhỏ hơn 1. Từ (4.47) và bổ ñề 1.9 thì : ( ) ( )0 1 1 0, ; 0, ; ,1 N m m TL T V L T V v v Cδ ε σ ∞ ∞ + + ≤ = − ɺ với ( )3 0 0 1 11 exp 2 1 M T C T Tq b C C σ     +       = − . Tương tự như phần qua giới hạn trong chương 2, cho m → +∞ , ta ñược mv hội tụ mạnh về v trong ( )1W T , với v là nghiệm yếu của bài toán (4.29) và, ( ) ( )0 1 1 0, ; 0, ; . N TL T V L T Vv v C ε∞ ∞ + + ≤ɺ ■