Khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán nhiễu theo một tham số bé

44 Chương 4 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN NHIỄU THEO MỘT THAM SỐ BÉ Từ bài toán ( ) ( )2.1 2.4− , ta xét bài toán nhiễu theo tham số bé ε , với 1ε ≤ , trong ñó các số hàm phi tuyến ,fµ lần lượt bị nhiễu bởi 1 1, f fµ + εµ + ε . Chúng tôi sẽ ñánh giá các sai số giữa nghiệm yếu của bài toán nhiễu với nghiệm yếu của bài toán ( ) ( )2.1 2.4− và với nghiệm tiệm cận với nó. Trong chương này ta giả sử 0 1, , ,µɶ ɶu u f thỏa mãn các ñiều kiện ( ) ( )1 3−H H . Ngoài ra, ta giả sử rằng: ( )5H ( )11 R +µ ∈C với ( )1 0, 0,z zµ ≥ ∀ ≥ ( )6H 1f thỏa mãn ñiều kiện ( )3H . Với M > 0, T > 0, ta kí hiệu: ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }2 20 0 1 1, sup : 0 , , sup : 0µ = µ ξ ≤ ξ ≤ µ = µ ξ ≤ ξ ≤ɶ ɶK M M K M M , ( ) ( )2 211 1 1, sup : 0 , , sup : 0K M M K M M   ∂µ ∂µµ = ≤ ξ ≤ µ = ≤ ξ ≤   ∂ξ ∂ξ    ɶ ɶ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * 0 0 1 1 , , , , , sup , , , , sup , , ∈ ∈ = = r t u A r t u A K M f f r t u K M f f r t u , ( ) ( ) ( ) * 1 , , , sup , , , ∈   ∂ ∂ = +  ∂ ∂  r t u A f fK M f r t u r u ( )1 1,K M f ( ) ( )* 1 1 , , sup , , , ∈   ∂ ∂ = +  ∂ ∂  r t u A f f r t u r u trong ñó: ( ) ( )* 1, , , : 0 1,0 , 2 2   = = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ +    A A M T r t u r t T u M . 45 Ta xét bài toán nhiễu với ε là tham số nhỏ, 1ε ≤ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 2 2 1 10 0 1 , , , 0 1, 0 . lim , , 1, 1, 0, ,0 , ,0 , , , , , , , , . tt rr r r r r t r r u t u u F r t u r t T r ru r t u t hu tP u r u r u r u r F r t u f r t u f r t u t u u + ε ε ε ε ε ε →ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε    − µ + = < < < <     < ∞ + =   = =   = + ε µ = µ + εµ ɶ ɶ Với mỗi ε , từ ñịnh lí 2.1 ta suy ra rằng có dãy quy nạp tuyến tính { }muε thỏa ( ) ( )2.1 2.4− , với , , 1f fε εµ = µ = ε ≤ , và: ( )1 , .mu W M Tε ∈ (4.1) Trong ñó, các hằng số M, T không phụ thuộc vào ε . Do ñó, từ ñịnh lí 2.2 ta có thể chọn ñược 0, 0M T> > sao cho giới hạn εu của dãy { }muε trong ( )1 ,W M T là nghiệm yếu của bài toán ( )εP , và nó thỏa mãn: ( )1 ,ε ∈u W M T . (4.2) Ta có thể chứng minh, tương tự ñịnh lí 2.2, rằng giới hạn 0u trong ( )1 ,W M T khi 0ε → là nghiệm yếu duy nhất của bài toán ( )0P tương ứng với 0ε = , và thỏa mãn: ( )0 1 , .∈u W M T (4.3) ● ðánh giá sai số giữa nghiệm yếu bài toán nhiễu ( )Pε với nghiệm yếu bài toán (2.1) – (2.4) theo ε : ðịnh lí 4.1. Giả sử 0 1 1 1, , , , ,u u f fµ µɶ ɶ thỏa các giả thiết ( ) ( ) ( ) ( )1 3 5 6H H , H , H− . Khi ñó, tồn tại các hằng số M >0, T > 0 sao cho với mỗi 1ε ≤ , bài toán ( )εP có nghiệm yếu duy nhất ( )1 ,ε ∈u W M T thõa mãn: ( ) ( )1 00 00, ; 0, ; .∞ ∞ε ε− + − ≤ εɺ ɺL T V L T Vu u u u C (4.4) Với C chỉ phụ thuộc vào 0 ,µ , , ,h T M ( ) ( ) ( )1 1 0 1, , , , , ,µɶK M f K M K M f ( )0 1, .µɶK M 46 Chứng minh. ðặt 0ε= −v u u . Khi ñó, v thỏa mãn bài toán: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 ˆ ˆ, , , , ˆ ˆ, , , , 0 0 0. v t w t a v t w F t w t Au w f t w t Au w w V v v ε ε ε  + µ = − µ   +ε − µ ∀ ∈  = =  ɺɺ ɺ (4.5) Với ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 0 1 1 00 0 0 2 2 2 2 0 1 1 00 0 0 0 0 1 1 0 ˆ ˆ, , , , , ˆ , ˆ , , , , , , , , . r r r r r r r t u t u t t u t f t f r t u t u t u t u t u t F t f r t u f r t u f r t u f r t u ε ε ε ε ε ε ε ε ε µ = µ + εµ µ = µ =    µ = µ − µ + ε µ − µ      = − + ε −  (4.6) Từ ( )4.5 , thay = ɺw v , rồi lấy tích phân hai vế theo t ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )20 0 , ,ε ε ′+ µ = µ∫ɺ t v t t a v t v t s a v s v s ds ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 ˆ ˆ2 , 2 ,ε ε+ − µ∫ ∫ɺ ɺ t t F s v s ds s Au s v s ds ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 0 ˆ ˆ2 , 2 , t t f s v s ds s Au s v s ds+ ε − ε µ∫ ∫ɺ ɺ * * * * * 1 2 3 4 5 .J J J J J= + + + + (4.7) * ðánh giá *1J . Ta có: ( ) ( ) ( )( )2 1 1 12 , ,s M K M K Mε′µ ≤ µ + ε µɶ ɶ ( ) ( )( )2 1 1 12 , ,M K M K M≤ µ + µɶ ɶ , nên ( ) ( )( ) ( ) 2* 21 1 1 1 1 1 0 2 , , .≤ µ + µ ∫ɶ ɶ t J C M K M K M v s ds (4.8) * ðánh giá *2J . Ta có ñánh giá: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 1, , , , , , ,ε ε− ≤ −f r t u s f r t u s K M T f u s u s 47 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 1 1 0, , , , , , .ε ε− ≤ −f r t u s f r t u s K M T f u s u s Do ñó ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 21 1 1 10ˆ , , .ε ≤ +F s K M f K M f v s Suy ra, ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2*2 1 1 1 0 1 0 , , .≤ + +∫ ɺ t J K M f K M f v s v s ds (4.9) * ðánh giá *3J . Vì ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 21 1 1 00 0ˆ , ,ε εµ ≤ µ + ε µ −ɶ ɶ rs K M K M u s u s ( ) ( )( ) ( )1 1 1 02 , , ,≤ µ + ε µɶ ɶM K M K M v s nên ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2* 23 1 1 1 0 1 0 2 , , .≤ µ + µ +∫ɶ ɶ ɺ t J M K M K M v s v s ds (4.10) • ðánh giá *4J . Ta có: ( ) ( ) 1 * 4 0 1 0 0 2 , t J K M f r v s dr ds ≤ ε     ∫ ∫ ɺ ( ) ( ) 0 22 2 0 1 0 , . t TK M f v s ds≤ ε + ∫ ɺ (4.11) *ðánh giá *5J . Vì ( ) ( )1 0 1ˆ ,µ ≤ µɶs K M , nên ( ) ( )*5 0 1 0 0 2 , t J MK M v s ds≤ ε µ ∫ɶ ɺ ( ) ( ) 22 2 20 1 0 0 , . t TM K M v s ds≤ ε µ + ∫ɶ ɺ (4.12) Từ ( ) ( )4.7 4.12− , với ε nhỏ thích hợp ta suy ra: 48 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 20 00 1 0 ,v s C v s v s s a v s v sε+ µ ≤ + µɺ ɺ ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]2 21 22 0 0 0 , 0, ,≤ ε δ + δ + ∀ ∈∫ ɺ t M MT v s v s ds t T (4.13) với ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 21 0 1 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 , , , , 1 , , , , 2 1 , , . δ = + µ  δ = + +  + + µ + µ  ɶ ɶ ɶ M M K M T f MK M K M T f K M T f C M K M K M (4.14) Từ ( )4.13 áp dụng bổ ñề Gronwall, ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 2 1 220 1 0 0 0 0 1 11 exp 1 , 0, .M Mv s v s T T t TC C       + ≤ + ε δ + δ ∀ ∈    µ µ      ɺ Chọn ( ) ( )1 2 0 0 0 0 1 1 12 1 exp 1 , 2       = + δ + δ    µ µ      M MC T TC C thì ( ) ( )1 00 00, ; 0, ; .∞ ∞ε ε− + − ≤ εɺ ɺL T V L T Vu u u u C ■ ●Sau ñây, ta sẽ ñánh giá sai số giữa nghiệm yếu bài toán nhiễu với nghiệm tiệm cận bậc n+1 theo ε . Ta kí hiệu: [ ] ( ) [ ] ( )( ) ( )2 30, , , , , , .iir if d df u f r t u u u t D f u d d∂ µ µ′= µ = µ = µ = µ =∂ ξ ξ Bây giờ ta giả thiết thêm rằng: ( )7H ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 1, , , 0, 0,N NC C+ + +µ ∈ µ ∈ µ ξ ≥ µ µ ξ ≥ ∀ξ ≥ℝ ℝ ( )8H ( ) ( )1 1, .N Nf C f C+ + +∈ Ω× × ∈ Ω× ×ℝ ℝ ℝ ℝ Gọi ( )0 1 ,∈u W M T là nghiệm yếu của bài toán ( )0P tương ứng với 0ε = . Ta ñặt 20 1 2 ...= + ε + ε + + ε N NU u u u u , với ( )1 2 1, ,... ,∈Nu u u W M T sẽ ñược chọn sau. 49 Bổ ñề 4.2. Giả sử ( ) ( )7 8H , H ñúng. Khi ñó, với mỗi i 1,...,N= ta có: [ ]( ) [ ]( ) ( )1 1 3 0 . − − − − = ∂ ∂ ∂ = ∂ε ∂ε ∂ε∑ i k i ki k ii k i k k f U C D f U U (4.15) [ ]( ) [ ]( ) ( )1 21 0 0 . i k i ki k i ri k i k k U C U U − − − − = ∂ ∂ ∂ ′µ = µ ∂ε ∂ε ∂ε∑ (4.16) Chứng minh. Với i=1 ta có: [ ]( ) [ ] ( ). .∂ ∂ ∂=∂ε ∂ ∂ε ff U U U u Giả sử, ( )4.15 ñúng với 2≥n , tức là: [ ]( ) [ ]( ) ( )1 1 3 0 . − − − − = ∂ ∂ ∂ = ∂ε ∂ε ∂ε∑ n k n kn k nn k n k k f U C D f U U thì [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) ( )1 1 1 31 0 + − − −+ − =    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =   ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε    ∑ n n k n kn k nn n k n k k f U f U C D f U U [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( )1 11 1 3 31 1 0 + − + − − − + − + − =  ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε  ∑ k n k k n kn k n k n k k n k k C D f U U D f U U [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( )0 10 3 30 1 + + ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε n n n n nn n C D f U U C D f U U ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( )1 11 11 1 3 31 1 1 0 + − + − − − − − + − + − = = ∂ ∂ ∂ ∂ + + = ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε∑ ∑ k n k k n kn n k k k n n nk n k k n k k k C C D f U U C D f U U . Do ñó, ( )4.15 ñúng với mọi 1;N=i . Tương tự, ta chứng minh ñược (4.16). ■ Chú ý: a) Các công thức (4.15),(4.16) cũng lần lượt ñúng cho 1 1f ,µ với i 1,..., N 1.= − b) 0 ! , 0 . i ii U i u i Nε= ∂ = ≤ ≤ ∂ε (4.17) c) ( ) ( ) ( )12 10 0 2 , ,1 . m j m jm j r m r rm j m j j U C U U m N − − − − = ∂ ∂ ∂ = ≤ ≤ ∂ε ∂ε ∂ε∑ (4.18) Ta ñặt: 50 [ ] [ ]( ) 0 1 , 0 , ! i i if f U i Ni εpi ε = ∂ = ≤ ≤ ∂ [ ] [ ]( ) 0 1 , 0 , ! i i i U i Ni ε= ∂ρ µ = µ ≤ ≤ ∂ε thì từ ( ) ( )4.15 4.18− ta suy ra: [ ] [ ]1 3 0 ,1 , − − = − = ≤ ≤∑ i i k i k k i kf D f u i N i pi pi (4.19) ( ) [ ] ( ) ( )1 1 0 0 2 , . i i k i k j i k jr r k j i k j u u i ρ ρ µ − − − − − = = ′= − −∑∑ (4.20) Từ khai triển Maclaurin các hàm [ ] [ ] [ ] [ ]1 1, , ,f U f U U Uµ µ quanh 0ε = , ta ñược [ ] [ ] [ ]1 1 1 0 , , , N i N i N i f U f R f+ + = = pi ε + ε ε θ∑ (4.21) [ ] [ ] [ ]11 1 1 2 0 , , , N i N i N i f U f R f − = = pi ε + ε ε θ∑ (4.22) [ ] [ ] [ ]1 1 3 0 , , , N i N i N i U R+ + = µ = ρ µ ε + ε µ ε θ∑ ɶ (4.23) [ ] [ ] [ ]11 1 1 4 0 , , , N i N i N i U R − = µ = ρ µ ε + ε µ ε θ∑ ɶ (4.24) với [ ] ( ) [ ]( ) 1 1 1 1 1 : 1 , , , 1 ! N N NR f f UN + + + ε =θ ε ∂ ε θ = + ∂ε (4.25) [ ] [ ]( ) 2 1 2 : 1 , , , ! N N NR f f UN ε =θ ε ∂ ε θ = ∂ε (4.26) [ ] ( ) [ ]( ) 3 1 1 3 1 : 1 , , , 1 ! N N NR UN + + + ε =θ ε ∂µ ε θ = µ + ∂ε ɶ (4.27) [ ] [ ]( ) 4 1 4 1 : 1 , , . ! N N NR UN ε =θ ε ∂µ ε θ = µ ∂ε ɶ (4.28) 51 Ta muốn xấp xỉ nghiệm yếu εu của bài toán ( )εP bằng 0= = ε∑ N i i i U u . Từ khai triển Maclaurin của hàm [ ] [ ],F U Uε εµ dẫn tới việc chọn 1 2, ,u u ( )1..., ,Nu W M T∈ lần lượt là nghiệm yếu của các bài toán: ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( )( ) [ ] [ ] 1 0 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 3 1 2 0 0 0 1 0 0 10 ,0 1,0 , lim , , 1, 1, 0, ,0 ,0 0, , , , , , , 2 , , +→  + µ = < < < <   < ∞ + =   = =  = pi + pi − ρ µ + ρ µ  pi = ≡ pi = pi  ′ρ µ = µ ≡ µ ∇ ρ µ = ρ µ ɶɺɺ ɺ ɶ r r r r r u u Au F u r t T ru r t u t hu t u r u r Q F u f f Au f f u f r t u f D f u u u t u u với 2 ,≤ ≤i N ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) 0 0 1 1 1 1 1 ,0 1,0 , lim , , 1, 1, 0, ,0 ,0 0, . +→ − − − =  + µ = < < < <   < ∞ + =   = =  = pi + pi − ρ µ + ρ µ  ∑ ɶɺɺ ɺ ɶ i i i i ir ir i r i i i i i i i i k k i k k u u Au F u r t T ru r t u t hu t Q u r u r F u f f Au ðặt ,v u Uε= − thì v là nghiệm yếu bài toán: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , 0 1, 0 , lim , , 1, 1, 0, ,0 ,0 0, + ε ε ε ε ε ε →  + µ + = + − − µ + − µ  + < < < <  < ∞ + =  = = tt r r r t v v U Av F v U F U v U U AU E r t r t T rv r t v t hv t v r v r (4.29) với ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]0 0 1 , .ε ε ε = = − − µ − µ − ε∑ ɶ N i i i i E r t F U f u U u AU F u (4.30) * ðánh giá ( ),εE r t . Ta kí hiệu: 52 ( ) ( ) ( ) 20 , sup , 1,2,..., 1,ii M K M i N ≤ξ≤ µ = µ ξ = +ɶ ( ) ( ) ( ) 2 1 1 0 , sup , 1,2,..., ,ii M K M i N ≤ξ≤ µ = µ ξ =ɶ ( ) ( )1 21 3, sup , , , 1,2,..., 1,iK M f D D f r t u i Nβ β β = = +∑ ( ) ( )1 21 1 3 1, sup , , , 1,2,..., ,iK M f D D f r t u i Nβ β β = =∑ với ( )1 2 1 210 1, 1 , , , .2r u M i≤ ≤ ≤ + β = β β β = β + β = Bổ ñề 4.3. Giả sử ( ) ( ) ( )1 2 7H , H , H và ( )8H ñúng. Khi ñó, tồn tại một hằng số C phụ thuộc vào M, N, T sao cho: ( )0 1 0, ; .∞ + ε ≤ ε N L T V E C (4.31) Chứng minh. Từ ( ) ( )4.21 4.24− ta có: [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )10 1 1 1 1 1 2 1 , , , , , + ε − + = − = pi + pi ε + ε ε θ + ε θ∑ N i N i i N N i F U f u f f R f R f (4.32) [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )10 1 1 1 3 1 4 1 , , , , . + ε − + = µ − µ = ρ µ + ρ µ ε + ε µ ε θ + µ ε θ∑ ɶ ɶ N i N i i N N i U u R R (4.33) Từ ( ) ( ) ( )4.30 , 4.32 , 4.33 ta ñược: ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )(1 1 1 1 2 1 3 1 4, , , , , , , , ,+ε + += ε ε θ + ε θ − µ ε θ + µ ε θɶ ɶN N N N NE r t R f R f R R AU [ ] [ ]( )1 1 1 1 . N i N i N k N k N i k i k Au −+ − − − + = =   − ρ µ + ρ µ ε      ∑ ∑ (4.34) Từ ( ) ( )4.19 , 4.20 , ( ) ( )4.25 4.28− , ( )4.34 và tính bị chặn của các hàm iu ,∇ iu , ,iuɺ 0,1,2,...,i N= trong ( )10, ;∞L T V , ta ñược (4.31) với C là hằng số phụ thuộc M, N, T, và các hằng số ( ) ( ), , , , 1, 1i iK M K M f i Nµ = +ɶ , ( ) ( )1 1, , , ,i iK M K M fµɶ 1,i = 2,...,N . ■ * ðánh giá dãy nghiệm yếu quy nạp { }mv của bài toán: 53 ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 0 0, , , lim , , 1, 1, 0, ,0 ,0 0. m m m m m m mr mr m r m m v v v U Av F w U F U w U U AU R E r t rv r t v t hv t v r v r ε ε ε ε ε ε µ µ µ + − − − →  =  + + = + − − + −   +  < +∞ + =   = = ɺɺ ɺ Tương tự chương 2, sự tồn tại của dãy { } ( )1 ,mv W M T⊂ thỏa yếu ( )mR là ñúng. Với 1m = , ta có bài toán ( )1R : [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 10 1 1 , , 0 1,0 , lim , , 1, 1, 0 ,0 ,0 0. r r r v U Av E r t r t T rv r t v t hv t v r v r ε εµ +→  + = < < < <   < +∞ + =  = = ɺɺ ɺ Nhân hai vế ( )1 1R với 1rvɺ rồi lấy tích phân theo biến r trên Ω , ta ñược: ( ) [ ] ( )( )21 1 10( ) ( ), ( )d dv t U a v t v tdt dt ε+ µɺ ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( )( )1 1 12 , , , .dE r t v t U a v t v tdtε ε= + µɺ (4.35) Từ (4.35) lấy tích phân hai vế theo t, ta ñược: ( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )021 1 1 10, ;0 0 0 , 2 t L T V v t U a v t v t E v s dsε εµ ∞+ ≤ ∫ɺ ɺ [ ]( ) ( ) ( )( )1 1 0 , t d U a v s v s ds dt ε µ+∫ ( ) [ ]( ) ( ) ( )( )01 1 1 10, ; 0 2 , t N L T V dCT v U a v s v s ds dt ε ε µ ∞ + ′≤ + ∫ɺ . (4.36) Ta lại có: [ ]( ) [ ] [ ]( ) ( ) ( )12 ,r rd U U U U t U tdt εµ µ εµ′ ′= + ɺ ( ) ( ) ( )( )2 1 1 12 1 , ,N K M K Mµ µ≤ + +ɶ ɶ , 54 nên [ ] ( ) ( )( )1 1 0 , t U a v s v s dsεµ′∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) 221 1 1 1 1 1 0 2 1 , , t C N K M K M v s dsµ µ≤ + + ∫ɶ ɶ . (4.37) Từ (4.36), (4.37), với ε nhỏ thích hợp ta ñược: ( ) ( ) ( )0 2 2 1 1 0 0 1 1 0, ;0 1 2 N L T Vv t C v t CT v ∞ + + ≤ɺ ɺµ ε ( ) ( ) ( )( ) ( ) 221 1 1 1 1 1 0 2 1 , , .+ + + ∫ɶ ɶ t C N K M K M v s dsµ µ (4.38) Từ (4.38) áp dụng bổ ñề Gronwall, ta có: ( ) ( ) ( ) ( )0 11 10, ; 0, ;L T V L T Vv t v t∞ ∞+ɺ ( ) ( ) ( )( )1 2 21 1 1 0 00 0 1 22 1 exp 1 , ,NCT C N M T K M K M CC +   ≤ + + +        ɶ ɶε µ µ µµ . Với 1m ≥ , ta sẽ chứng minh rằng tồn tại hằng số TC không phụ thuộc vào m và ε sao cho: ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 0, ; 0, ; , ∞ ∞ + + ≤ ∀ɺ Nm m TL T V L T Vv t v t C mε (4.39) Thật vậy, từ ( )1mR ta ñược: ( ) [ ] ( )( )2 10( ) ( ), ( )m m m md dv t v U a v t v tdt dt ε −+ µ +ɺ [ ]( ) ( ) ( )( )1 ,m m md v U a v t v tdt ε −= µ + [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]( ) ( )1 12 , 2 ,m m m mF v U F U v t v U U AU v tε − ε ε − ε+ + − − µ + − µɺ ɺ ( ) ( )2 , , .mE r t v tε+ ɺ (4.40) Từ (4.40) lấy tích phân theo t ñược: 55 ( ) [ ] ( ) ( )( )2 10 ,m m m mv t v U a v t v t−+ +ɺ εµ [ ]( ) ( ) ( )( )1 0 , t m m m d v U a v s v s ds dt − ≤ +∫ εµ [ ] [ ] ( )1 00 0 2 . t m mF v U F U v s ds−+ + −∫ ɺε ε [ ] [ ] ( )1 0 0 0 2 . t m mv U U AU v s ds−+ + −∫ ɺε εµ µ ( )1 0 0 2 . t N mC v s dsε + + ∫ ɺ (4.41) Ta có: [ ]( ) ( )11m Md v U qdt µ − + ≤ , (4.42) với ( ) ( ) ( ) ( )( )21 2 1 1 12 2 , , ,= + +ɶ ɶMq N M K M K Mµ µ [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1 00 , , ,m mF v U F U K M f K M f v sε ε− −+ − ≤ + (4.43) [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1 02 , , ,m mv U U M K M K M v sε − ε −µ + − µ ≤ µ + µɶ ɶ (4.44) thì từ (4.41) – (4.44) ta ñược: ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 222 2( 1)0 0 10 1 0 0 T N m m M mv s C v s C T q v s ds + − + ≤ + ∫ɺ µ ε ( ) ( ) ( )( )2 23 0 00 1 0 .+ +∫ ɺ t M m mq v s C v s dsµ (4.45) Trong ñó, ( ) ( )( )0 22 21* 1* 0, ;4 ,M L T Vq K MK AU ∞= + ɶ ( ) ( )3 1 0 0 13 ,M Mq qC = + µ ( ) ( )1* 1 1 1, , ,K K M f K M f= + 56 ( ) ( )1* 1 1 2, , .= +ɶ ɶ ɶK K M K Mµ µ Từ (4.45) áp dụng bổ ñề Gronwall, ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }12 2 22 32 2( 1)0 0 10 1 exp .Nm m M m MW Tv s b C v s C T q T v Tqε + −+ ≤ +ɺ (4.46) ðặt ( ) ( ) ( ) 12 3 3 0 0 0 0 1 1 1 11 exp , 1 exp 2 2 N M M Mq T Tq C T TqC C +       = + = +              σ δ ε µ µ thì từ ( )4.46 ta suy ra: ( ) ( )1 11 , 1.m mW T W Tv v mσ δ−≤ + ∀ ≥ (4.47) ðịnh lí 4.4. Giả sử các ñiều kiện ( ) ( ) ( ) ( )1 3 7 8H H , H , H− ñúng. Khi ñó, tồn tại các hằng số dương thích hợp M, T sao cho với mọi , 1,ε ε ≤ bài toán ( )Pε có duy nhất nghiệm yếu ( )1 ,u W M Tε ∈ thỏa ñánh giá tiệm cận ñến cấp 1N + , tức là: ( ) ( )0 1 1 0 00, ; 0, ; . N N Ni i i i T i iL T V L T V u u u u Cε εε ε ε ∞ ∞ + = = − + − ≤∑ ∑ɺ ɺ (4.48) Trong ñó, các hàm 0 1, ,..., Nu u u lần lượt là nghiệm yếu của các bài toán ( ) ( ) ( )0 1, ,..., .NP Q Q Chứng minh. Chọn T > 0 ñủ nhỏ thì σ trong (4.47) nhỏ hơn 1. Từ (4.47) và bổ ñề 1.9 thì : ( ) ( )0 1 1 0, ; 0, ; ,1 N m m TL T V L T V v v Cδ ε σ ∞ ∞ + + ≤ = − ɺ với ( )3 0 0 1 11 exp 2 1 M T C T Tq b C C σ     +       = − . Tương tự như phần qua giới hạn trong chương 2, cho m → +∞ , ta ñược mv hội tụ mạnh về v trong ( )1W T , với v là nghiệm yếu của bài toán (4.29) và, ( ) ( )0 1 1 0, ; 0, ; . N TL T V L T Vv v C ε∞ ∞ + + ≤ɺ ■