Khoảng cách giữa tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn Apollonius

KHOẢNG CÁCH GIỮA TÂM ĐƯỜNG TRÒNEULER VÀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN APOLLONIUS Trịnh Xuân Minh – Macau TÓM TẮT Như tiêu đề đã nêu, phần này giới thiệu với bạn đọc về hệ thức liên hệ giữa tâm hai đường tròn tiếp xúc trong và ngoài với ba đường tròn bàng tiếp của một tam giác. Cách chứng minh của tác giả đã lâu (2009) và tương đối cồng kềnh nên hy vọng sau bài viết này có thể có một lời giải hình học đơn giản hơn dành cho nó. Để cho ngắn gọn và đỡ phức tạp, những điều đã biết hoặc cơ bản xin không chứng minh ở đây, thay vào đó người viết sẽ chú thích nguồn để bạn đọc tiện tham khảo. Cho4ABC và những ký hiệu tương ứng sau:  S là diện tích4ABC  p là nửa chu vi4ABC  R là bán kính đường tròn ngoại tiếp4ABC  r là bán kính đường tròn nội tiếp4ABC  M.˛M ; ˇM ; M / nếu ˛M!MAC ˇM!MB C M!MC D E0 Trước tiên chúng ta nhắc lại một số định lý và hệ thức cơ bản sau: Định lý Euler. Trong một tam giác, chân ba đường cao, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm, tất cả chín điểm này cùng nằm trên một đường tròn gọi là đường tròn 9 điểm hay đường tròn Euler. Hình 1. Đường tròn Euler 75 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Đường tròn Euler có bán kính là R 2 và trong hệ thống các tâm Kimberling, tâm của nó là X5 với ˛X5 D a cos.B C/: Định lý Feuerbach. Trong một tam giác, đường tròn Euler tiếp xúc đồng thời với đường tròn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp. Hình 2. Định lý Feuerbach Định lý trên được công bố năm 1822 bởi nhà hình học người Đức, Karl Wihelm Feuerbach (1800-1834). Đường tròn Apollonius. Đường tròn tiếp xúc trong với cả ba đường tròn bàng tiếp của một tam giác gọi là đường tròn Apollonius của tam giác đó 76 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Hình 3. Đường tròn Apollonius Đường tròn Apollonius có bán kính là p2 C r2 4r và có tâm Kimberling X970 với ˛.X970/ D R.p2 r2/a cosA a2S: Một số hệ thức cơ bản 4:1/ S D abc 4R D pr D .p a/ra 4:2/ a2 C b2 C c2 D 2p2 2r2 8Rr 4:3/ a cosAC b cosB C c cosC D 2S R 4:4/ cos2AC cos2B C cos2 C D 3 a 2 C b2 C c2 4R2 D 3 p 2 r2 4Rr 2R2 4:5/ ab cosC C bc cosAC ca cosB D .a 2 C b2 C c2/ 2 D p2 r2 4Rr 4:6/ a cosB cosC C b cosC cosAC c cosA cosB D S R 4:7/ MA2 D .ˇM c/ 2 C . Mb/2 C 2bcˇM M cosA .˛M C ˇM C M /2 4:8/ .˛M C ˇM C M /MS2 D ˛MAS2 C ˇMBS2 C MCS2 ˛MˇM c 2 C ˇM Ma2 C M˛Mb2 ˛M C ˇM C M Đường tròn Euler và đường tròn Apollonius gây sự chú ý đặc biệt với bản thân tôi bởi tính chất tiếp xúc của chúng với ba đường tròn bàng tiếp trong một tam giác. Cũng vì đó mà tôi từng nghĩ đến sự tồn tại của một hệ thức đẹp liên hệ giữa chúng, và quả đúng như vậy Định lý. Gọi .E;RE / và .E 0; RE 0/ lần lượt là đường tròn Euler và đường tròn Apollonius của 4ABC . Khi đó EE 02 D .RE CRE 0/2  1 r RE  Chứng minh. Ta có ˛E 0 D R p2 r2
a cosA a2S . Áp dụng 4.2 và 4.3X cyclic ˛E 0 D R p2 r2

X cyclic a cosA S
X cyclic a2 D Rp2 r2

2S R S
2p2 2r2 8Rr
D 8RrS .1/ 77 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Áp dụng hệ thức 4.7 vớiM  E và ˛E D a cos.B C/ thu được 4AE2 D R2 C 2bc cosA. Kết quả trên cũng có được một cách gián tiếp thông qua việc xét quan hệ vị trí giữa E với các điểm đặc biệt khác trên đường thẳng Euler (trọng tâm, trực tâm, tâm đường đường tròn ngoại tiếp...). Như vậy, 4˛E 0
AE2 D R2 C 2bc cosA
Rp2 r2
a cosA a2S D R3p2 r2
8RS2a cosAC 8R2Sp2 r2
cos2A R2S
a2 Áp dụng 4.2, 4.3 và 4.4 ta có 4 X cyclic ˛E 0
AE2 D  R3 p2 r2
8RS2
X cyclic a cosA C8R2Sp2 r2

X cyclic cos2A R2S
X cyclic a2 D R3p2 r2
8RS22S R C 8R2Sp2 r2
3 p2 r2 4Rr 2R2  R2S2p2 2r2 8Rr
D 26R2Sp2 r2
16S3 2Sp2 r2 4Rr
2p2 r2
CR2 D 26R2Sp2 r2
16S3 4Sp2 r2
2 2Sp2 r2
R2 8Rr
C 8R3rS D 4Sp2 r2
2 C 8RS.3RC 2r/p2 r2
16S3 C 8R3rS Suy ra,X cyclic ˛E 0
AE2 D S p2 r2
2 C 2RS.3RC 2r/p2 r2
4S3 C 2R3rS .2/ Lại có ˛E 0ˇE 0c 2 D c2Rp2 r2
a cosA a2SRp2 r2
b cosB b2S D 4R3Sp2 r2
2c cosA cosB 4R2S2p2 r2
.bc cosAC ca cosB/C 16R2S4 Áp dụng 4.5 và 4.6X cyclic ˛0Eˇ 0 Ec 2 D 4R3S.p2 r2/2
X cyclic c cosA cosB 8R2S2.p2 r2/
X cyclic ab cosC C 48R2S4 D 4R3S.p2 r2/2
S R 8R2S2.p2 r2/.p2 r2 4Rr/C 48R2S4 D 4R2S2p2 r2
2 C 32R3rS2p2 r2
C 48R2S4 .3/ Sau cùng ta áp dụng (1), (2) và (3) vào 4.8 vớiM  E 0 và S  E ta thu được 8RrS
EE 02 D Sp2 r2
2 C 2RS.3RC 2r/p2 r2
4S3 C 2R3rSC 4R2S2 p2 r2
2 32R3rS2p2 r2
48R2S4 8RrS D Sp2 r2
2 C 2RS.3RC 2r/p2 r2
4S3 C 2R3rSC pR h p2 r2
2 8Rrp2 r2
12S2i 2 Suy ra, 78 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 EE 02 D .R 2r/ p2 r2
2 16Rr2 C 4RS.RC 2r/ p2 r2
16RrS C 4Sr R3 3p2R 2p2r
16RrS D .R 2r/ p2 r2
2 C 4Rr.RC 2r/p2 r2
16Rr2 C R 3 3p2R 2p2r 4R D R 2 4 Rr 2 C Rr 4 C p 2R 4r 4p 2 8 C p 2 8 8r 2 16 C r 2 16 C p 4 16r2 p 4 8Rr p 2r 4R r 3 8R D R 2 4  1 2r R  CR p2 C r2
4r p 2 C r2 2 C  p2 C r2 4r 2 p2 C r2
2 8Rr D " R 2 C p2 C r2
4r #2 1 2r R  D .RE CRE 0/2  1 r RE  điều phải chứng minh
: Tài liệu tham khảo [1] [2] 79 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 80