Lọc ảnh bất biến tỷ lệ với đối xứng điểm và đối xứng đường

A. Giới thiệu Trong lĩnh vực của xử lý tín hiệu số nói chung và đặc biệt trong xử lý ảnh, người ta ngày càng quan tâm đối với những vấn đề ứng dụng mà không thể giải quyết được bằng những phương thức xử lý bất biến tịnh tiến tuyến tính kinh điển, những phương thức xử lý đã nổi tiếng bởi những kỹ thuật đã được phát triển, cùng với những thuật toán có hiệu quả cao. Tiểu luận này xem xét và nghiên cứu một lớp đặc biệt của những vấn đề ứng dụng như vậy với yêu cầu ảnh sau khi được xử lý không bị biến dạng khi có thay đổi kích cở của ảnh đầu vào. Trong phạm vi lớp các hệ thống tuyến tính, không tồn tại một xử lý bất biến tịnh tiến nào mà có một đặc tính như thế. Ta gọi phương thức xử lý có đặc tính như vậy là bất biến tỷ lệ (scale-invariance hoặc form-invariance). Xử lý bất biến tỷ lệ quan tâm chủ yếu trong lọc ảnh mỗi khi một ảnh có kích cở chưa biết trước. Đầu tiên phải được tiền xử lý để giảm nhiễu hoặc tăng cường biên, sau đó được nhận dạng bởi những kỹ thuật có sẵn để phát hiện những độc lập tỷ lệ. Tài liệu “Linear shift-variant filtering for form-invariant procesing of linearly scaled signals, signal processing 4 (1982) 209-214” đã chỉ ra rằng trong lớp của hệ thống biến đổi tịnh tiến tuyến tính, tồn tại họ đầy đủ những lọc bất biến tỷ lệ. Việc đưa ra lõi (kernel) biểu thị một số lớp con của một xử lý mô tả đa dạng của những vấn đề vật lý trong lĩnh vực của xử lý ảnh là rất quan trọng. Chẳng hạn như mô hình của những hệ thống khôi phục suy giảm quang học, dựng lại ảnh từ tích phân đường, và mô hình của hệ thống thị giác ngoại biên trong con người. Nội dung tiểu luận được trình bày qua 3 phần. Phần 1: Giới thiệu về lớp tổng quát nhất của lọc bất biến tỷ lệ và thảo luận về một số khía cạnh liên quan. Phần 2: Phân tích lớp những bộ lọc được quan tâm trong những ứng dụng đã đề cập ở trên và thảo luận khả năng khai thác những thuộc tính đối xứng của chúng để giảm độ phức tạp trong tính toán. Đặc biệt, nó đã chỉ ra rằng có thể dùng một phép chuyển tọa độ thích hợp để chuyển xử lý biến đổi tịnh tiến tuyến tính dựa trên kernels mà bất biến tịnh tiến đối với tọa độ góc thành một lọc bất biến tịnh tiến. Kernel như vậy bao gồm những bộ lọc đối xứng điểm và đối xứng đường. Phần 3: Trình bày một số ví dụ xử lý nhằm minh hoạ ảnh hưởng của hai bộ lọc bất biến tỷ lệ với những đối xứng đường khác nhau trên ảnh đầu vào. B. Nội dung I/ Xử lý ảnh bất biến tỷ lệ Một hệ thống tuyến tính hai chiều được gọi là bất biến tỷ lệ (hoặc bất biến dạng) nếu đối với bất kỳ một cặp tín hiệu vào f(x,y) và tín hiệu ra g(x,y), tín hiệu ra Ag(b1x,b2y) được tạo ra bởi tỷ lệ f(a1x,a2y) của tín hiệu vào. Trong đó: A, b1, và b2 là những hàm thực của những số thực a1 và a2 . Cho w(u,v;x,y) là hàm trọng số biến đổi tịnh tiến biểu thị đặc điểm của hệ thống tuyến tính, ràng buộc bất biến tỷ lệ có thể được kết hợp với mối quan hệ tín hiệu vào-ra để thu được một phương trình mà w() là hàm chưa được xác định. g(x,y)= (1) Dựa trên cơ sở của kết quả thu được từ trường hợp một chiều, ta thu được lớp nghiệm tổng quát nhất của phương trình này là: w(u,v;x,y)=p(u,v,x,y)w0 (2) Trong đó p() biểu diễn tích của những lũy thừa tuỳ ý của những đối số của nó, s1 và s2 là những số thực tuỳ ý, và w0 là một hàm chính quy của các biến số của nó. Giá trị của s1 và s2 xác định những hệ số tỷ lệ đầu ra, mà b1=a11/s1 và b2=a21/s2 và tham số z xác định thông qua điều kiện b1=b2z. Những giá trị của số mũ xuất hiện trong p() ảnh hưởng hệ số biên độ A. Rõ ràng sự biểu diễn của những bộ lọc biến đổi tịnh tiến đã định nghĩa trong phương trình (1) với những kernel tổng quát của phương trình (2) chỉ có thể được thực hiện trong miền không gian bởi một kiểu riêng biệt của phương trình (1). Như vậy, nói chung với một ảnh vào có kích thước N*N thì độ phức tạp trong tính toán là N4. Tuy nhiên, ta có thể tìm được các lớp con của bộ lọc bất biến tỷ lệ mà biểu thị phạm vi ứng dụng quan trọng và cho những kỹ thuật biểu diễn hiệu quả hơn. Xét lớp con của những hàm trọng số. w(u,v;x,y)= (3) Bằng cách đặt F(s1,s2) là khai triển Mellin của f(x,y), ta được F(s1,s2)= (4) và bằng cách lấy khai triển Mellin của hai vế của phương trình (1), ta được G(s1,s2)=F(q1+t1s1,q2+t2s2)W0(s1-d1,s2-d2) (5) với qi=1-ci-diti, i=1,2. Phương trình (5) chỉ ra rằng khai triển Mellin có thể được sử dụng để thu được một mối quan hệ đại số từ phương trình tích phân (1), với những kernel của lớp (3), như xảy ra với khai triển Fourier trong trường hợp bất biến tịnh tiến. Sự khác nhau cơ bản đó là phương trình (5) chứa nguyên nhân đầu vào (cái mà không hạn chế trong thực tế) và những biến s1 và s2 được vị tự và tịnh tiến theo những tham số của mỗi window cụ thể xác định hệ thống trong lớp (3). Một sự phụ thuộc như vậy không có trong lớp con đặc biệt (tức là qi=0,ti=1,di=0) w(u,v;x,y)=u-1v-1w0(x/u,y/v) (6) Từ đó: G(s1,s2)=F(s1,s2)W0(s1,s2) (7) Phương trình (5) và (7) đưa ra một kỹ thuật biểu diễn cho những hệ thống được định nghĩa trong phương trình (3) và (6), được dựa trên tính toán của khai triển Mellin. Một tính toán như vậy có thể được thực hiện bởi khai thác mối quan hệ giữa khai triển Mellin và Fourier. Thật ra, bằng cách đổi biến x=X y=Y (8) phương trình (4) trở thành F(s1,s2)= (9) được nhận dạng như khai triển Fourier của với s1=-j và s2=-j. Tịnh tiến và vị tự xuất hiện trong phương trình (5) được giải quyết bằng việc lấy mẫu lại một cách phù hợp f1 và tăng thêm nó bởi một chuỗi lũy thừa ở trước khai triển Fourier. Vì vậy, thuật toán biến đổi Fourier nhanh-FFT kinh điển có thể được sử dụng, với điều kiện là ánh xạ của phương trình (8), đi từ f() vào f1(), được thực hiện mà không làm suy giảm những tín hiệu được xử lý. Giả sử chỉ có độ phân giải, có thể kiểm tra được rằng nếu đưa ra so sánh độ phân giải thì cần thiết phải tăng thêm độ phức tạp trong tính toán là ln N trong số lượng vật mẫu của f1() được tính từ những mẫu của f(). Vì vậy, độ phức tạp tính toán liên quan với thủ tục này trở thành (N ln N)2 log N, cộng với những phép toán cần thiết để thực hiện ánh xạ của phương trình (8) mà có độ phức tạp là (N ln N)2. Để kết luận sự phân tích của việc bổ sung của những lớp (3) và (6), chú ý rằng thủ tục được giới thiệu ở trên, gồm có ánh xạ loga được đi kèm với tích của khai triển Fourier của tín hiệu vào và của window, có thể được hiểu như sự bổ sung một kỹ thuật bất biến tịnh tiến chập nhanh trong miền được ánh xạ (). Thực tế, phụ thuộc đặc biệt của w0 trong phương trình (3) và (6) trên tỷ số của những tọa độ output và input, đó là phép ánh xạ loga chuyển kernel biến đổi tịnh tiến thành một đáp ứng bất biến tịnh tiến, tùy thuộc vào sự khác nhau của những biến mới. Ví dụ, trong trường hợp đơn giản hơn của phương trình (6), cho m= ln x, v= ln y, m’= ln u, v’= ln v, phương trình (1) trở thành g1(m,v)= (10) với g1(m,v)=g() và h(m-m’,v-v’)=w0[exp(m-m’),exp(v-v’)]. Mặc dù không có sự tiết kiệm trong tính toán liên quan với cách tiếp cận ở trước, nhưng sự bổ sung của những kernels bất biến hình dạng bởi bất biến tịnh tiến chập giống như phương trình (10) có thể là phù hợp với hệ thống xử lý ảnh hoạt động trong miền không gian (đã ánh xạ) II/ Xử lý bất biến tỷ lệ với đối xứng điểm và đối xứng đường Hai mục tiêu để nghiên cứu những lớp con đặc biệt của hàm trọng số được định nghĩa bởi phương trình (2) đó là phân tích các lớp định hướng xử lý cho những ứng dụng có liên quan và tìm kiếm những lược đồ biểu diễn hiệu quả hơn trong những trường hợp nói chung, bằng cách lợi dụng những thuộc tính của mỗi kernel cụ thể. Trong phần này, ta xem xét bất biến dạng những hàm trọng số mà biểu thị đặc điểm một số ứng dụng xử lý ảnh quan trọng, giống như đã được đề cập trong phần giới thiệu. Để giới thiệu những lớp con của những kernel này, mà thuộc tính chung của nó là bất biến quay, ta bắt đầu từ bất biến dạng tổng quát nhất đó là những hàm đối xứng hình tròn xuất phát từ phương trình (2). Đầu tiên ta xét những hàm trọng số thuộc về một lớp mà là biến đổi tịnh tiến trong nghĩa chúng “mở rộng” với khoảng cách r=(x2+y2)1/2 của điểm hiện tại từ gốc tọa độ (0,0). Chúng được thu từ phương trình (2) bằng cách đặt z=1 để b1=b2, hoặc s1/s2=(ln a1)/(ln a2). Trong trường hợp nói chung a1a2 biểu thức đó là w(u,v;x,y)=p(u,v,r)wr (11) và “sự mở rộng” tương ứng của wr theo hai luật lũy thừa khác nhau theo hai trục u và v. Trong trường hợp đặc biệt s1=s2=1 (=-1) sự mở rộng (sự thu nhỏ) là tuyến tính với r. Hình 1: Những kết quả của ánh xạ từ hệ toạ độ Cartesian (a) vào hệ tọa độ cực (b) vào hệ tọa độ ln r- (c) của một window đối xứng điểm tuyến tính mở rộng với r. Một tập các đường bao của giá trị không đổi được phác họa trong mỗi mặt phẳng Hình 2: Kết quả ánh xạ từ hệ toạ độ Cartesian (a) vào hệ tọa độ cực (b) vào hệ tọa độ ln r- (c) của một window đối xứng xuyên tâm tuyến tính mở rộng với r. Một tập các đường bao của giá trị không đổi được phác họa trong mỗi mặt phẳng. Đặc biệt, xử lý là bất biến tịnh tiến trong (c). Điều này có nghĩa rằng xử lý của ảnh vào được thực hiện với một giải pháp mà giảm (tăng) từ gốc đến biên (periphery). Nếu thuộc tính của đối xứng tròn xung quanh điểm hiện tại được giới thiệu, lớp mới của hàm trọng số được định nghĩa w(u,v;x,y) =r-2wc{[(u-x)2+(v-y)2]/r2} (12) =r-2wc[1+r2/r2-2r cos(q-f)/r] đặt x=r cos q, y=r sin q, u=r cos f, v=r sin f và chọn p()=r-2 để thu được hệ số biên độ A bằng 1. Những đường bao (contours) của hằng số trong phương trình (12) là những đường tròn có tâm (x,y) với đường kính tỷ lệ với r (đối với bất kỳ sựa lựa chọn của điểm hiện tại (x,y)). Nói cách khác, kernel của lớp (12) có một đối xứng điểm xung quanh (x,y) và đồng dạng với nhau trên khắp cả mặt phẳng như được phác họa trong hình 1(a). Những windows đối xứng điểm của phương trình (12) thuộc về một lớp tổng quát hơn, biểu thị sự phụ thuộc trên tỷ số giữa tọa độ input, output và độ lệch của biến góc, nghĩa là với lớp r-2w1(r/r, q-f) (13) đối với mối quan hệ tín hiệu vào-ra (1) có thể được viết lại trong hệ tọa độ cực g1(r, q)= (14) về bản chất g1(r, q)=g(r cosq, r sinq) và Hàm trọng số định nghĩa trong phương trình (13) là những kernels của phương trình tích phân mô hình và dựng lại ảnh từ tích phân đường và khôi phục của một số biến đổi tịnh tiến biến dạng quang học, trong khi windows của phương trình (12) mô hình hành vi của hệ thống thị giác ngoại biên. Trong trường hợp này, hình dáng của windows được giả sử là hai hàm Gaussian khác nhau với độ lệch chuẩn khác nhau (phụ thuộc vào r). Cần chú ý rằng lớp (13) bao gồm windows r-2w2(r/r, q-f) (15) mà có một đối xứng đường riêng biệt, nghĩa là đối với những đường nối điểm hiện tại với gốc. Một phác thảo của windows đối xứng xuyên tâm (radially) như vậy được chỉ ra trong hình 2(a). Trường hợp đối xứng đường tổng quát, đối với một hướng tùy ý (giống như hướng thẳng đứng trong hình 3(a)) không được bao gồm trong lớp (13) và có thể được biểu diễn bởi phương trình (11). Quan tâm đối với xử lý ảnh đối xứng đường xuất phát từ yêu cầu nhiều khi phải thực hiện lọc dựa trên sự chọn hướng. Một ví dụ điển hình là phát hiện sườn có một hướng cụ thể: nếu một sự làm trơn nhiễu được thực hiện đầu tiên, lọc ảnh thông thấp với mặt nạ lọc được mở rộng dọc theo hướng đã chọn là thích hợp (để không làm nhẵn ngoài của biên). Hướng này sẽ trở thành một trục đối xứng của mặt nạ. Quay lại với những kỹ thuật thực hiện của phương trình (14), cần chú ý rằng phương thức biến đổi được thảo luận trong phần trước vẫn được áp dụng, sửa đổi một cách phù hợp để đem vào sự tính toán mà phương trình (14) biểu diễn một cái được gọi là chập “Mellin-type” đối với tọa độ xuyên tâm (radial coordinates), trong khi nó là một biến đổi tịnh tiến (hoặc “Fourier-type”) chập đối với tọa độ góc. Cho nên, lấy biến đổi Fourier-Mellin cả hai vế của phương trình (14) ta được: G’(s,w)=F’(s,w)W1’(2-s, w) (16) s là biến Mellin tương ứng với r và w biến Fourier tương ứng với q Phương trình (16) định nghĩa một phương thức thực hiện của phương trình (14) trên sự tính toán của biến đổi Fourier-Mellin, vì thế yêu cầu N2 ln N log N phép tính, cộng với sự tính toán của một nửa ánh xạ (8) (nghĩa là chỉ đối với r). Do biến đổi Mellin chỉ được tính theo một hướng, vì vậy đối với phương trình 5, yêu cầu một số phép toán thêm vào của phép ánh xạ từ (x,y) vào mặt (r, q) là tỷ lệ với N2. Hơn nữa, một phép ánh xạ như vậy bao hàm một truy xuất phi cấu trúc vào dữ liệu, đó là một mặt hạn chế nghiêm trọng đối với hầu hết hệ thống xử lý ảnh nói chung. Hình 1(b) và 2(b) phác họa kết quả của ánh xạ thứ nhất, từ (x,y) vào (r,q), trong trường hợp của những windows đối xứng điểm và đối xứng xuyên tâm. Trong cả hai trường hợp, cần chú ý rằng những ánh xạ windows bất biến tịnh tiến đối với bất kỳ r cố định. Kết quả của ánh xạ thứ hai, từ r vào ln r, được chỉ ra trong hình 1(c) và 2(c): xử lý ở đây là bất biến tịnh tiến trong cả hai chiều. Đối với trường hợp đối xứng đường không xuyên tâm (hình 3(a)), kết quả của hai ánh xạ được chỉ ra trong hình 3(b) và 3(c), cái mà một bất biến tịnh tiến cục bộ (partial) (đối với hằng q) đạt được trong mặt phẳng (ln r, q). Những nghiên cứu này cho thấy phương trình (14) có thể được thực hiện bởi một hệ thống xử lý bất biến tịnh tiến “kinh điển” được cung cấp một kỹ thuật hiệu quả được đưa ra để thực hiện ánh xạ. Trong trường hợp của windows của hình 3(a), kết luận tương tự đối với mỗi cột của mặt phẳng (ln r, q). Để lợi dụng bất biến tịnh tiến cục bộ của windows, một phép toán trong mặt phẳng (w’,q), w’ là biến Fourier tương ứng với ln r: kết quả độ phức tạp tính toán là N3 ln N. Hình 3: Kết quả của ánh xạ cực trên một window có đối xứng đường theo hướng không xuyên tâm. Hình 4: Xử lý bất biến tỷ lệ với đối xứng đường: (a) ảnh 512*512, 8 bít/pel; (b) dữ liệu ra của bộ lọc, tương ứng với phác họa của hình 3(a), lọc thông thấp theo trục hoành và lọc thông giải theo trục tung; (c) giống như (b) với bộ lọc quay 900 Nhiều kết luận đã chỉ ra sự thực hiện của những kernel của phương trình (13) là hợp lệ đối với windows trong đó tỷ số của tọa độ véc tơ bị đảo ngược, nghĩa là, đối với lớp: w2(r/r,q-f) (17) nhưng thể hiện những đối xứng khác nhau đối với trường hợp của phương trình (13). Ví dụ, lớp đối ngẫu của lớp (12), r-2wc[1+r2/r2-2r cos(q-f)/r] (18) có thể được gọi là một đối xứng tròn giả “pseudocircular” xung quanh điểm hiện tại. Thật ra, đối với bất kỳ r cố định, đường bao của giá trị không đổi vẫn là một họ của những đường tròn, nhưng chúng không đồng tâm xung quanh (x,y) như trong trường hợp của phương trình (12). Tất cả tâm nằm trên đường nối gốc đến (x,y), tại một khoảng cách từ gốc tỷ lệ với r, và mỗi bán kính là tỷ lệ với r: bởi vậy, kích cở của windows lại ngày càng tăng một cách tuyến tính với r. Quan tâm chính đối với lớp windows của phương trình (18) là vì mối quan hệ của chúng với những biến đổi tỷ lệ. III/ Những ví dụ xử lý Phần này giới thiệu một số ví dụ xử lý nhằm minh họa ảnh hưởng của lọc bất biến dạng khi sử dụng những bộ lọc đối xứng đường (lọc định hướng). Ta đã chọn một loại ví dụ rất đơn giản của đối xứng đường, đó là đối xứng đối với hai trục tọa độ x và y, như dưới dạng biểu đồ được biểu diễn trong hình 3(a), để kết quả xử lý (đặc biệt tăng cường biên) được chú ý một cách đặc biệt. Sự lựa chọn hàm trọng số là không bất biến tịnh tiến đối với biến góc và sự tăng kích thước của chúng tuyến tính với khoảng cách r của điểm hiện tại từ gốc. Bởi vậy, chúng thuộc vào lớp: w(u,v;x,y)=r-2w0() (19) như đã được chọn để cho đơn giản w0 có thể tách ra được thành dạng: w0()=w01(w02( (20) để miền không gian thực hiện của phương trình (1) dễ hơn ở trong trường hợp tổng quát sao cho thoản mãn cả hai yêu cầu về bộ nhớ của mặt nạ và độ phức tạp tính toán (N3). Hình 4 chứa một tập ảnh làm ví dụ, trong đó hình 4(a) là ảnh gốc. Các bức ảnh này được lấy từ màn hình được kết nối với một hệ thống xử lý ảnh VDS-701 và với một máy tính chủ PDP-11/34. Độ phân giải ảnh là 512*512 pixels, 8 bit mỗi pixel. Hình 4(b) là kết quả của sự xử lý biểu thị một tác động làm trơn dọc theo trục x và một tác động làm nhẵn biên dọc theo trục y. Một cách cụ thể hơn, w01 của phương trình (20) là một hằng, trong khi w02 là hai hàm Gaussian khác nhau có độ lệch chuẩn trong tỷ số 1:3 và một giải thông biểu thị trong miền tần số. Một chú ý trong hình 4(b) đó là xử lý tăng cường đường bao là nằm ngang hoặc gần như nằm ngang, trong khi sự làm trơn những chi tiết theo chiều thẳng đứng. Hình 5: Kết quả của cũng xử lý như hình 4 áp vào ảnh gốc mới (a). Biểu diễn trong tọa độ cực của (a) được chỉ ra trong (b), là trục hoành. (c) là kết quả của lọc đối xứng đường mà lọc thông thấp theo chiều ngang và lọc thông giải theo chiều thẳng đứng. (d) là giống như (c) với bộ lọc bị quay đi 900. Một kết quả đối ngẫu thu được nếu những mặt nạ được mô tả trên bị quay đi 90 độ, như có thể được kiểm tra trong hình 4(c). Trong cả hai trường hợp, độ phân giải của những chi tiết được tăng cường bị giảm một cách tuyến tính từ tâm đến ngoại biên. Lỗ đen trong miền trung tâm tương ứng với vùng tại đó, tùy thuộc vào những giá trị nhỏ của r, kích cở của mặt nạ là quá nhỏ đối với khoảng cách pixel, vì vậy không có xử lý thực sự nào xảy ra. Trong ảnh gốc (hình 4a), “edge content” là thô trên mọi hướng. Trong hình 5(a), nó được tập trung theo hướng gần như thẳng đứng, đó là ảnh gốc thứ hai mà đã qua cùng một xử lý đã được mô tả trước đây. Hình 5(b) chỉ ra cùng một ảnh gốc trong tọa độ cực, r là trục thẳng đứng và q là trục nằm ngang. Nếu ánh xạ loga được áp cho trục r, ảnh kết quả có thể được xử lý bởi một tập các bộ lọc (mỗi cái cho mỗi góc) mà bất biến tịnh tiến đối với tọa độ ln r, theo phác họa của hình 3(c). Hình 5(c) đưa ra kết quả xử lý nhằm để thực hiện một lọc thông thấp theo trục x và để tăng cường những biên nằm ngang. Một kết quả khác thu được bằng cách quay 90 độ của hàm trọng số: nhiều nội dung thông tin được bảo toàn, tại một độ phân giải biến thiên, giảm từ tâm về ngoại biên (hình 5(d)) C. Kết luận Trong những bộ lọc bất biến tỷ lệ bổ sung, đối xứng điểm và đối xứng đường có thể được khai thác đến một phạm vi để thu được hiệu quả. Tiểu luận đã đi vào phân tích những trường hợp ứng dụng khác nhau trong xử lý ảnh và đã thảo luận hai lược đồ thực hiện trong miền biến đổi và miền không gian. Như một bước đột phá, đó là đã đưa ra một phương pháp chuyển tọa độ nhằm chuyển lọc biến đổi tịnh tiến tuyến tính thành chập bất biến tịnh tiến. Những lược đồ hiệu quả đối với một ánh xạ như vậy hiện đang được đi sâu nghiên cứu. Lời kết: Để hoàn thành được đề tài này, ngoài sự nỗ lực và cố gắng của bản thân, tác giả đã nhận được sự giúp đỡ qúy báu của Quý Thầy, TS Ngô Văn Sỹ. Là một học viên chuyên ngành Tin học và dù rất tâm đắc với đề tài đang nghiên cứu nhưng với thời gian có hạn và khối lượng kiến thức của bản thân còn ít ỏi nên chắc chắn tiểu luận không tránh khỏi những hạn chế trong việc tiếp cận, nghiên cứu và trình bày. Tác giả xin kính trọng cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của Quý Thầy và mong được đón nhận từ Quý Thầy sự góp ý để giúp tác giả có được hiểu biết đúng hơn đối với vấn đề đang nghiên cứu đồng thời mong được sự lượng thứ cho những sơ suất trong tiểu luận này. Tài liệu tham khảo 1/ Lương Mạnh Bá, Nguyễn Thanh Thủy: Nhập môn xử lý ảnh số, NXB KH và KT-2003 2/ Anil K.Jain, Fundamentals of digital image procesing. 3/ Maher Asid-Ahmed, Image Procesing-Theory, Algorthms and Architecture 4/ C. Braccini, A. Grattarola, Scale-invariant image filtering with point and line symmetry 5/ C. Braccini, G. Gambardella, A. Grattarola, Digital image processing by mean of generalized scale-invariant filters, Proc. NATO Advanced Research Workshop on Issues in Acoustic Signal/Image Processing and Recognition, S. Miniato, 1982 6/ C. Braccini, G. Gambardella, Linear shift-variant filtering for form-invariant processing of linearly scale signals, Signal Processing 4 (1982) 7/ G. Robbins, T Huang, Inverse filtering for linear shift-variant imaging systems, Proc. IEEE 60 (1972) 8/ C. R. Carlson, R. W. Klopfenstein, C. H Anderson, Spatially inhomogeneous scaled transform for vision and patt