Luận văn Biến dạng Chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU HÀ BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN HARDY LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Mục lục Chương 1. HÀMCHỈNHHÌNH, CÔNGTHỨCTÍCHPHÂNCAUCHYVÀKHÔNG GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.Khái niệm về hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Công thức tích phân Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3. Định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4. Nguyên lý môđun cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3. Tính đối ngẫu của không gian H p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.4. Biến dạng biên của tích phân Poisson-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. BIẾNDẠNGCHAOTICCỦATOÁNTỬHỢPTHÀNHTRÊNKHÔNG GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2. Tiêu chuẩn hypercyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Toán tử hợp thành Chaotic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Chứng minh định lý 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Áp dụng kết quả của định lý 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỞ ĐẦU Cho đĩa đơn vị mở D := {z ∈ C : |z|< 1} , ký hiệu H2(D) là không gian Hardy của các hàm f chỉnh hình trên D với chuẩn ‖ f‖= lim r→1−  1 2pi 2pi∫ 0 ∣∣∣ f (reiθ)∣∣∣2dθ  1/2 . Giả sử ψ là tự đồng cấu chỉnh hình của D. Khi đó toán tử hợp thành Cψ : H2 (D)→ H2 (D) được định nghĩa Cψ f = f ◦ψ , là một toán tử tuyến tính bị chặn trên H2(D). Nếu ψ không có điểm cố định trong D thì ψ có một hoặc hai điểm cố định trên ∂D. Ta gọi ψ là parabolic nếu nó chỉ có một điểm biên cố định và là hyperbolic nếu nó có hai điểm biên cố định, với γ là một số phức. Luận văn trình bày kết quả sau: 1. Nếu ψ là tự đẳng cấu hyperbolic của D và λ > 1 là đạo hàm tại điểm đẩy cố định của ψ . Khi đó bội vô hướng của toán tử hợp thành γCψ là chaotic trên H2(D) khi và chỉ khi λ− 1/2 < |γ|< λ1/2 2. Nếu ψ là tự đẳng cấu parabolic của D. Khi đó γCψ là chaotic trên H2(D) khi và chỉ khi |γ|= 1. 3. Nếu ψ là tự đẳng cấu của D, nó có một điểm cố định trong D. Khi đó γCψ không là chaotic trên H2(D) với mọi γ ∈ C. Đó là kết quả trong bài báo "Chaotic behavior of composition operators on the Hardy space" của Takuya Hosokawa về việc nghiên cứu biến dạng chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy H2(D) thông qua việc phân loại điểm dính trên biên của dãy trọng lặp. Luận văn gồm 2 chương: • Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức sử dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình, 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên điều kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực đại, định lý khai triển Taylor, không gian Hardy và tính chất của nó. • Chương 2: Trình bày và làm rõ công trình nghiên cứu của Takuya Hosokawa về biến dạng chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy H2(D), như các tính chất cơ bản của toán tử hợp thành trên không gian Hardy, đặc biệt là tính hypercyclic của toán tử này, áp dụng định lý Denjoy-Wolf về phân loại các điểm dính hyperbolic, elliptic nằm trên đường tròn đơn vị để nghiên cứu chaotic của toán tử hợp thành. Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn PGS - TSKH Nguyễn Quang Diệu, người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội và các thầy cô giáo Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường trung học phổ thông Dương Tự Minh, thành phố Thái Nguyên, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 1 HÀM CHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG GIAN HARDY Trong chương trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức sử dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình, điều kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực đại, định lý khai triển Taylor, không gian Hardy H2(D) và tính chất. 1.1. Khái niệm về hàm chỉnh hình 1.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f xác định trên miền Ω ∈ C. Xét giới hạn lim ∆z→0 f (z+∆z)− f (z) ∆z , với z,z+∆z ∈Ω. Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z, ký hiệu f ′(z) hay d f dz (z). Như vậy f ′(z) = lim ∆z→0 f (z+∆z)− f (z) ∆z . Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C- khả vi tại z. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Định nghĩa 1.1.2. Hàm f xác định trong miền Ω ∈ C với giá trị trong C gọi là hàm chỉnh hình tại z0 ∈Ω nếu tồn tại r> 0 để f C-khả vi tại mọi z ∈D(z0,r)⊂ Ω. Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω. Định lý 1.1.3. Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh hình trên Ω. Khi đó 1. H(Ω) là một không gian véc tơ trên C. 2. H(Ω) là một vành. 3. Nếu f ∈ H(Ω) và f (z) 6= 0,∀z ∈Ω thì 1 f ∈ H(Ω). 4. Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi. Chứng minh. Chứng minh 4. Do f chỉ nhận giá trị thực ∂ f ∂x , ∂ f ∂y cũng chỉ nhận giá trị thực. Nhưng mặt khác ∂ f ∂x = i ∂ f ∂y , ta suy ra ∂ f ∂x = ∂ f ∂y = 0. Vậy f = const. 1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann Giả sử f (z) = u(x,y)+ iv(x,y),z= x+ iy xác định trên miền Ω ∈C. Hàm f được gọi là R2- khả vi tại z= x+ iy nếu hàm u(x,y) và v(x,y) khả vi tại (x,y) (theo định nghĩa đã biết trong giải tích thực). Định lý 1.1.4. Để hàm f C- khả vi tại z = x+ iy ∈ Ω điều kiện cần và đủ là f R2- khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thỏa mãn tại z. ∂u ∂x (x,y) = ∂v ∂y (x,y) ∂u ∂y (x,y) =−∂v ∂x (x,y) . (1.1.1) 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử f C - khả vi tại z= x+ iy ∈Ω. Khi đó tồn tại giới hạn f ′(z) = lim ∆z→0 f (z+∆z)− f (z) ∆z với ∆z= ∆x+ i∆y. Vì nếu giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến đến điểm 0 của ∆z nên nếu chọn ∆z= ∆x, ta có : f ′(z) = lim ∆z→0 u(x+∆x,y)+ iv(x+∆x,y)−u(x,y)− iv(x,y) ∆x = = lim ∆z→0 u(x+∆x,y)−u(x,y) ∆x + i lim ∆z→0 v(x+∆x,y)− v(x,y) ∆x tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x,y) và f ′(z) = ∂u ∂x (x,y)+ i ∂v ∂x (x,y). (1.1.2) Tương tự bằng cách chọn ∆z= i∆y ta có f ′(z) =−i∂u ∂y (x,y)+ ∂v ∂y (x,y). (1.1.3) So sánh (1.1.2) và (1.1.3) ta được ∂u ∂x (x,y) = ∂v ∂y (x,y) ∂u ∂y (x,y) =−∂v ∂x (x,y) . Ta còn phải chứng tỏ u(x,y) và v(x,y) khả vi tại (x,y). Vì f C- khả vi tại z nên ∆ f = f (z+∆z)− f (z) = f ′(z)∆z+o(∆z) với o(∆z) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆z, tức là lim ∆z→0 o(∆z) ∆z = 0. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Rõ ràng ∆ f = ∆u+ i∆v,∆z= ∆x+ i∆y. theo (1.1.2) ta có ∆u+ i∆v= ( ∂u ∂x + i ∂v ∂x )(∆x+ i∆y)+o(∆z)+ io(∆z). Từ đó ∆u= ∂u ∂x ∆x− ∂v ∂x ∆y+o(∆z) = ∂u ∂x ∆x+ ∂u ∂y ∆y+o(|∆z|), ∆v= ∂v ∂x ∆x+ ∂u ∂x ∆y+o(∆z) = ∂v ∂x ∆x+ ∂v ∂y ∆y+o(|∆z|). điều kiện đó nghĩa là u và v khả vi tại (x,y). Điều kiện đủ: Vì u và v khả vi tại (x,y) nên ∆u= ∂u ∂x ∆x+ ∂u ∂y ∆y+o( √ ∆x2+∆y2) và ∆v= ∂v ∂x ∆x+ ∂v ∂y ∆y+o( √ ∆x2+∆y2). Theo điều kiện (1.1.1) hai đẳng thức này có thể viết thành ∆u= ∂u ∂x ∆x− ∂v ∂x ∆y+o(|∆z|), (1.1.4) ∆v= ∂v ∂x ∆x+ ∂u ∂x ∆y+o(|∆z|). (1.1.5) Từ (1.1.4) và (1.1.5) ta có ∆ f ∆z = ∆u ∆z + i ∆v ∆z = ∂u ∂x∆x− ∂v∂x∆y+o(∆z) ∆z + i ∂u ∂x∆x+ ∂v ∂x∆y+o(∆z) ∆z = ∂u ∂x∆x+ i ∂u ∂x∆y ∆z + −∂v∂x∆y+ i∂v∂x∆x ∆z + o(∆z) ∆z = ∂u ∂x + i ∂v ∂x + o(∆z) ∆z . 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Vì vậy lim ∆z→0 ∆ f ∆z = ∂u ∂x + i ∂v ∂x tức là f C- khả vi tại z= x+ iy. Nhận xét 1.1.5. (1.) Giả sử f là R2-khả vi tại z ∈Ω⊂ C Xét vi phân d f = ∂ f ∂x dx+ ∂ f ∂y dy. (1.1.6) Vì dz= dx+ idy và dz¯= dx− idy nên dx= 1 2 (dz+dz¯),dy= 1 2i (dz−dz¯). Thế các đẳng thức này vào (1.1.6) ta có d f = 1 2 ( ∂ f ∂x − i∂ f ∂y )dz+ 1 2 ( ∂ f ∂x + i ∂ f ∂y )dz¯. Nếu đặt ∂ f ∂ z = 1 2 ( ∂ f ∂x − i∂ f ∂y ), ∂ f ∂ z¯ = 1 2 ( ∂ f ∂x + i ∂ f ∂y ) (1.1.7) thì d f = ∂ f ∂ z dz+ ∂ f ∂ z¯ dz¯. (1.1.8) Bởi vì ∂ f ∂ z¯ = 1 2 ( ∂ f ∂x + i ∂ f ∂y ) = 1 2 [( ∂u ∂x − ∂v ∂y )+ i( ∂v ∂x + ∂u ∂y )] nên f thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại z nếu và chỉ nếu ∂ f ∂ z¯ (z) = 0. Nói cách khác hàm R2-khả vi f tại z làC-khả vi nếu và chỉ nếu ∂ f ∂ z¯ (z) = 0. (2.) Từ (1.1.1) và (1.1.2) và nhận xét trên, nếu f C-khả vi tại z thì ta có ∂ f ∂ z (z) = 1 2 [ ∂u ∂x (z)+ i ∂v ∂x (z)− i∂u ∂y (z)+ ∂v ∂y (z) ] = 1 2 [ 2 ∂u ∂x (z)+2i ∂v ∂x (z) ] = ∂u ∂x (z)+ i ∂v ∂x (z) = f ′ (z) . 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1.2. Công thức tích phân Cauchy 1.2.1. Công thức tích phân Cauchy Định lý 1.2.1. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và z0 ∈ Ω. Khi đó với mọi chu tuyến γ ⊂Ωγ ⊂Ω ta có công thức tích phân Cauchy f (z0) = 1 2pii ∫ γ f (η) η− z0dη . Nếu thêm f liên tục trên Ω¯ và ∂Ω là một chu tuyến, thì với mọi z ∈Ω ta có f (z) = 1 2pii ∫ ∂Ω f (η) η− zdη . Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh z0 sao cho Ωγ ⊂ Ω. Chọn ρ > 0 đủ bé để hình tròn D(z0,ρ)⊂Ωγ . Ký hiệuCρ là biên của D(z0,ρ) và đặt Ωγ,ρ =Ωγ\D(z0,ρ) Ωγ,ρ là miền 2- liên, ta có ∫ γ∪C−ρ f (η) η− z0dη = 0. Từ đó ta có công thức ∫ γ f (η) η− z0dη = ∫ Cρ f (η) η− z0dη . Thực hiện phép biến đổi η = z0+ρeiϕ ,dη = iρeiϕdϕ ta được ∫ Cρ f (η) η− z0dη = ∫ 2pi 0 f (z0+ρeiϕ) ρeiϕ iρeiϕdϕ = i ∫ 2pi 0 f (z0+ρeiϕ)dϕ = i ∫ 2pi 0 [ f (z0+ρeiϕ)− f (z0)]dϕ+2pii f (z0). 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chú ý rằng khi ρ → 0 thì do tính liên tục của f ta có lim ρ→0 i ∫ 2pi 0 [ f (z0+ρeiϕ)− f (z0)]dϕ = 0 vì thế lim ρ→0 ∫ γ f (η) η− z0dη = 2pii f (z0). Vậy f (z0) = 1 2pii ∫ γ f (η) η− z0dη . Trong trường hợp f liên tục trên Ω¯ và chỉnh hình trên Ω có thể lấy ∂Ω thay cho γ trong chứng minh trên. Khi đó với mọi z ∈ Ω các điều kiện của trường hợp nói trên đều được thỏa mãn, vì vậy ta có : f (z) = 1 2pii ∫ ∂Ω f (η) η− zdη . 1.2.2. Bất đẳng thức Cauchy Định lý 1.2.2. Nếu f là hàm chỉnh hình trên Ω, điểm a ∈ Ω,0 < r < d(a,∂Ω) và M(a,r) = sup|z−a|=r| f (z)|. Khi đó ta có bất đẳng thức sau | f (n)(a)| ≤ n!M(a,r) rn . (1.2.1) Chứng minh. Ta có f (n)(z) = n! 2pii ∫ γ f (η) (η− z)n+1dη ,n= 0,1,2, · · · với γ = ∂D(a,r) ta có | f (n)(a)|= | n! 2pii ∫ γ f (η) (η−an+1dη | 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ≤ n! 2pi M(a,r) rn+1 |γ|= n!M(a,r) rn ,n= 0,1, · · · 1.2.3. Định lý về giá trị trung bình Định lý 1.2.3. Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và hình tròn D¯(z0,r)⊂Ω, thì f (z0) = 1 2pi ∫ 2pi 0 f (z0+ reiϕ)dϕ. Chứng minh. Theo công thức tích phân Cauchy ta có f (z0) = 1 2pii ∫ ∂D(z0,r) f (z) (z− z0)dz. Viết z= z0+ reiϕ ,z ∈ ∂D(z0,r) ta có f (z0) = 1 2pi ∫ 2pi 0 f (z0+ reiϕ)dϕ. 1.2.4. Nguyên lý môđun cực đại Định lý 1.2.4. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn trên miền Ω và liên tục trênΩ. Khi đó hoặc f = const hoặc | f (z)| chỉ đạt cực đại trên biên ∂Ω của Ω. Chứng minh. Vì f liên tục trên tập compact Ω nên tồn tại z0 ∈Ω sao cho max z∈Ω | f (z)|= | f (z0)| . Giả sử z0 ∈Ω, ta sẽ chứng minh rằng f (z) = const. Lấy r> 0 sao choD(z0,r)⊂ Ω. Theo định lý giá trị trung bình ta có | f (z0)|= 12pi 2pi∫ 0 | f (z0)|dϕ = 12pi ∣∣∣∣∣∣ 2pi∫ 0 f ( z0+ reiϕ ) dϕ ∣∣∣∣∣∣6 6 1 2pi 2pi∫ 0 ∣∣ f (z0+ reiϕ)∣∣dϕ, (1.2.2) 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên suy ra 1 2pi 2pi∫ 0 [∣∣ f (z0+ reiϕ)∣∣−| f (z0)|]dϕ > 0. (1.2.3) Trên đường tròn ∂D(z0,r) ta có∣∣ f (z0+ reiϕ)∣∣6 | f (z0)|=M và do đó 1 2pi 2pi∫ 0 [∣∣ f (z0+ reiϕ)∣∣−| f (z0)|]dϕ = 0, bởi tính liên tục suy ra ∣∣ f (z0+ reiϕ)∣∣= | f (z0)|=M, với mọi 06 ϕ 6 2pi . Tương tự có đẳng thức trên với mọi r ′ 6 r, do đó | f (z)| = M với mọi z ∈ D(z0,r). Lấy z∗ tùy ý trong Ω. Gọi L là đường cong nối z0 với z∗. Do L compact tồn tại các điểm z0,z1, . . . ,zn = z∗ trên L và r > 0 sao cho L⊂ n⋃ j=0 D(z j,r) và z j+1 ∈ D(z j,r)⊂Ω, j = 0,1, . . . ,n−1. Do | f (z)|=M trênD(z0,r) nên | f (z1)|=M. Vì vậy theo lập luận trên | f (z)|= M với mọi z∈D(z1,r) , . . . , | f (z)|=M với mọi z∈D(zn−1,r). Đặc biệt | f (z∗)|= M . Như vậy ta chứng minh được | f (z)|=M với mọi z ∈Ω. Viết f (z) = | f (z)|eiarg f (z) =Meiϕ(x,y) =M cosϕ (x,y)+ iM sinϕ (x,y) . Theo điều kiện Cauchy - Riemann −M sinϕ ∂ϕ ∂x =M cosϕ ∂ϕ ∂y −M cosϕ ∂ϕ ∂x =−M sinϕ ∂ϕ ∂y . (1.2.4) 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nhân đẳng thức thứ nhất của (1.2.4) với sinϕ và nhân đẳng thức thứ 2 với cosϕ rồi so sánh ta có Msin2ϕ ∂ϕ ∂x =−Mcos2ϕ ∂ϕ ∂x hay M ∂ϕ ∂x = 0. Nếu M = 0 thì hiển nhiên f = const. Nếu M 6= 0 thì ∂ϕ∂x = 0. Thay vào một trong hai vế của (1.2.4) ta có ∂ϕ∂y = 0. Từ đó suy ra ϕ = const trong miền Ω, vậy f = const 1.3. Công thức khai triển Taylor 1.3.1. Chuỗi Taylor Định nghĩa 1.3.1. Chuỗi hàm có dạng ∞ ∑ n=0 Cn(z− z0)n gọi là chuỗi Taylor tại z0 hay chuỗi lũy thừa của z− z0. 1.3.2. Công thức khai triển Taylor Định lý 1.3.2. Nếu hàm f chỉnh hình trên hình tròn |z− z0|< R, thì trong hình tròn này f (z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z0. Cụ thể là f (z) = ∞ ∑ n=0 Cn(z− z0)n với |z− z0|< R ở đây các hệ sốCn được xác định một cách duy nhất theo công thức Cn = f (n)(z0) n! = 1 2pii ∫ |η−z0|=r f (η) (η− z0)n+1dη với 0< r < R. Chứng minh. Lấy tùy ý z với |z− z0|< R. Chọn r > 0 sao cho |z− z0|< r < R. Theo công thức tích phân Cauchy ta có f (z) = 1 2pii ∫ γr f (η) η− zdη 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ở đây γr là đường tròn |z− z0|= r. Ta viết 1 η− z= 1 (η− z0)− (z− z0) = 1 (η− z0)(1− z− z0 η− z0) vì thế nếu η ∈ γr thì | z− z0 η− z0|< 1. Ta có 1 η− z = 1 η− z0 ∞ ∑ k=0 ( z− z0 η− z1 ) k = ∞ ∑ k=0 (z− z0)k (η− z0)k+1 và chuỗi này hội tụ đều trên γr. Theo định lý về tích phân đường (Định lý 1, §1, ch 4, [1]) ta có 1 2pii ∫ γr f (η) (η− z)dη = 1 2pii ∫ γr f (η)[ ∞ ∑ k=0 (z− z0)k (η− z0)k+1 ]dη = ∞ ∑ k=0 (z− z0)k 12pii ∫ γr f (η) (η− z0)k+1dη . Chú ý rằng Ck = 1 2pii ∫ γr f (η) (η− z0)k+1dη = f (k)(z0) k! ,k = 0,1,2, · · · không phụ thuộc vào r,0< rR. Vậy ta có f (z) = 1 2pii ∫ γr f (η) η− zdη = ∞ ∑ n=0 Cn(z− z0)n. Hệ quả 1.3.3. Hàm f (z) xác định trên miền Ω là chỉnh hình khi và chỉ khi với mọi z0 ∈ Ω hàm f có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa theo z− z0 mà nó hội tụ tới f (z) với bán kính hội tụ R≥ d(z0,∂D). 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nhận xét: Định lý Taylor không đúng trong tường hợp khả vi thực. Chẳng hạn hàm ϕ xác định trên đoạn thẳng thực bởi ϕ (x) = e −1/x2 nếu x 6= 0 0 nếu x= 0 khả vi vô hạn với ϕ(n) (0) = 0 với n = 0,1,2, . . . Điều đó có nghĩa chuỗi Taylor của ϕ tại 0 bằng 0, song ϕ không đồng nhất bằng không trong bất cứ lân cận nào của 0. 1.4. Không gian Hardy 1.4.1. Không gian Lp Ta ký hiệu T là đường tròn đơn vị phức và L 1(p = 1) là không gian tuyến tính các hàm khả tích Lebesgue trên T với phép cộng điểm và nhân vô hướng, đặt N =  f ∈L 1 : 12pi 2pi∫ 0 | f |dθ = 0  . Ký hiệu L1 là không gian thươngL / N với chuẩn ‖[ f ]‖1 = 12pi 2pi∫ 0 | f |dθ . Dễ thấy đây là một chuẩn trên L1, ta kiểm tra tính đầy đủ của nó. Thật vậy, lấy {[ fn]}∞n=1 là một dãy trong L1 thỏa mãn ∞ ∑ n=1 ‖[ fn]‖1 6M < ∞. Chọn đại diện fn của mỗi [ fn], thì dãy N ∑ n=1 | f |∞N=1 là một dãy tăng, các hàm đo được không âm có tính chất sau 1 2pi 2pi∫ 0 ( N ∑ n=1 | fn| ) dθ = N ∑ n=1 ‖[ fn]‖1 6M 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên theo bổ đề Fatou hàm h = ∞ ∑ n=1 | fn| là khả tích. Do đó dãy { ∞ ∑ n=1 fn }∞ n=1 hội tụ hầu khắp nơi tới một hàm khả tích k trongL 1. Cuối cùng ta đánh giá∥∥∥∥∥[k]− N∑n=1 [ fn] ∥∥∥∥∥ 1 = 1 2pi 2pi∫ 0 ∣∣∣∣∣ ∞∑n=1 fn− N ∑ n=1 fn ∣∣∣∣∣dθ 6 6 ∞ ∑ n=N+1 1 2pi 2pi∫ 0 | fn|dθ 6 ∞ ∑ n=N+1 ‖[ fn]‖1. Do đó ∞ ∑ n=1 [ fn] = [k]. Vậy L1 là không gian Banach. Với 1< p< ∞ ký hiệu L p =  f ∈L 1 : 12pi 2pi∫ 0 | f |pdθ < ∞  vàN p =N ∩L p. Khi đó không gian thương Lp =L p / N p là một không gian Banach với chuẩn ‖[ f ]‖p =  1 2pi 2pi∫ 0 | f |pdθ  1p . Trường hợp p= ∞ ta ký hiệuL ∞ là không gian con củaL 1 là tập hợp các hàm bị chặn cốt yếu f thỏa mãn tập hợp {x ∈ T : | f (x)|>M} có độ đo 0 với M đủ lớn và ký hiệu ‖ f‖∞ là số M nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên. Tương tư như trên, đặtN ∞ =N ∩L ∞, khi đó L∞ =L ∞/N ∞. Ta thấy với f ∈L ∞ ta có ‖ f‖∞ = 0 nếu và chỉ nếu f ∈N ∞. Do đó ‖ f‖∞ là một chuẩn trên L∞, ta sẽ