Luận văn Các dạng hội tụ của dãy hàm đo được

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 1 - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 2 - LỜI NÓI ĐẦU Các dạng hội tụ của dãy hàm đo được là một phần nhỏ trong lĩnh vực Độ đo và tích phân Lebesgue. Đây là một trong các mảng giải tích được ứng dụng nhiều trong thực tế, và đặc biệt là nền tảng cho giải tích hiện đại. Do đó, việc nghiên cứu về nó là rất cần thiết. Vì thời gian để hoàn thành luận văn này tương đối ngắn nên không thể nghiên cứu sâu hơn, và chắc còn nhiều sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và quý bạn đọc. Em xin chân thành cám ơn Bộ môn Toán đã tạo điều kiện cho em nghiên cứu. Xin cám ơn cô Trần Thị Thanh Thúy đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp em sửa chữa kịp thời các sai sót trong luận văn này. Sinh viên thực hiện Huỳnh Việt Khánh LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 3 - NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... Cần Thơ, ngày…… tháng……năm 2008 Trần Thị Thanh Thúy LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 4 - NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... Cần Thơ, ngày….. tháng….. năm 2008 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 5 - MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 7 1. Lý do chọn đề tài.............................................................................................. 7 2. Giới hạn của đề tài............................................................................................ 7 3. Mục tiêu đề tài.................................................................................................. 7 NỘI DUNG ............................................................................................................. 9 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ........................................................................ 9 1.1 ĐỘ ĐO.......................................................................................................... 9 1.1.1 Đại số tập hợp.......................................................................................... 9 1.1.2. σ- Đại số ................................................................................................. 9 1.1.3. σ- Đại số Borel...................................................................................... 10 1.1.4. Độ đo trên một đại số tập hợp ............................................................... 11 1.1.5 Mở rộng độ đo ....................................................................................... 13 1.1.6 Độ đo trên r ......................................................................................... 15 1.2- HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC .................................................................................. 17 1.2.1 Định nghĩa ............................................................................................. 17 1.2.2 Một số tính chất của hàm số đo được ..................................................... 18 1.2.3 Các phép toán trên các hàm số đo được.................................................. 20 1.3- TÍCH PHÂN LEBESGUE .......................................................................... 23 1.3.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm ................................................. 23 1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm ................................................... 24 1.3.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ......................................................... 26 1.3.4 Tính chất................................................................................................ 26 1.3.5 Giới hạn qua dấu tích phân..................................................................... 27 Chương 2: SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC ............................................. 30 2.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC.................................... 30 2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi (converges almost everywhere) .............................. 30 2.1.2 Hội tụ đều (converges uniformly) ........................................................... 31 2.1.3 Hội tụ đều hầu khắp nơi (converges uniformly almost everywhere)........ 32 2.1.4 Hội tụ theo độ đo (converges in measure) .............................................. 32 2.1.5 Hội tụ trung bình (converges in the mean) ............................................. 34 2.1.6 Hội tụ hầu như đều (converges almost uniformly) .................................. 35 2.2 CÁC DẠNG DÃY CƠ BẢN ........................................................................ 36 2.2.1 Dãy cơ bản hầu khắp nơi (Cauchy almost everywhere, hoặc fundamental almost everywhere) ......................................................................................... 36 2.2.2 Dãy cơ bản đều ( uniformly Cauchy)..................................................... 37 2.2.3 Dãy cơ bản hầu như đều (almost uniformly Cauchy)............................. 37 2.2.4 Dãy hàm cơ bản trung bình (Cauchy in the mean hoặc mean fundamental) ....................................................................................................................... 37 2.2.5 Dãy cơ bản trong độ đo (Cauchy in measure, hoặc fundamental in measure). ........................................................................................................ 37 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 6 - 2.3 SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC... 38 2.3.1 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo độ đo ................................ 38 2.3.2 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ hầu khắp nơi ........................... 39 2.3.3 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi ............................ 40 2.3.4 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ đều........................................... 43 2.3.5 Liên hệ giữa hội tụ hầu như đều và hội tụ hầu khắp nơi ......................... 43 2.3.6 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu như đều ............................. 45 2.3.8 Liên hệ giữa hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ đều....................................... 48 2.3.9 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và cơ bản trung bình............................... 49 2.3.10 Liên hệ giữa cơ bản trung bình và cơ bản theo độ đo........................... 50 2.3.11 Liên hệ giữa cơ bản trung bình và hội tụ hầu như đều.......................... 50 2.3.12 Liên hệ giữa cơ bản hầu như đều và hội tụ hầu như đều....................... 50 2.3.13 Liên hệ giữa cơ bản theo độ đo và cơ bản hầu như đều........................ 52 2.3.14 Liên hệ giữa cơ bản theo độ đo và hội tụ theo độ đo ............................ 53 2.3.15 Lược đồ thể hiện mối liên hệ giữa các dạng hội tụ................................ 54 Chương 4: BÀI TẬP............................................................................................... 56 KẾT LUẬN ........................................................................................................... 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................ 73 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 7 - MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Độ đo và tích phân Lebesgue là nền tảng của giải tích hiện đại. Việc nghiên cứu nó là cần thiết, giúp cho em nắm vững hơn kiến thức về phần này. Ngoài ra, em còn có điều kiện nghiên cứu sâu hơn các mảng giải tích có liên quan. Đây là lý do chính để em chọn đề tài này. 2. Giới hạn của đề tài Độ đo và tích phân Lebesgue là mảng giải tích hiện đại khá rộng. Trong khuông khổ một luận văn tốt nghiệp, đề tài không thể khai thác mọi vấn đề. Do vậy, luận văn tập trung khai thác về một số dạng hội tụ của dãy hàm đo được. Bên cạnh đó, còn xét về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ này. 3. Mục tiêu đề tài Trong phạm vi giới hạn của đề tài, mục tiêu hướng tới của luận văn là nghiên cứu một số dạng hội tụ của dãy hàm đo được. Cụ thể hơn, bên cạnh các dạng hội tụ quen thuộc như hội tụ theo độ đo, hội tụ hầu khắp nơi, đề tài còn nghiên cứu một số dạng hội tụ khác như hội tụ hầu như đều, hội tụ đều hầu khắp nơi, hội tụ trung bình,… Tuy nhiên, để hiểu sâu hơn về các dạng hội tụ, đề tài còn tập trung nghiên cứu về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ này. Ví dụ, như ta đã biết, trong không gian độ đo hữu hạn và độ đo được xét là độ đo đủ thì mọi dãy hàm đo được hội tụ hầu khắp nơi thì hội tụ theo độ đo. Vấn đề đặt ra là đối với các dạng hội tụ khác thì có mối liên hệ với nhau như thế nào? Và các mối liên hệ này có thay đổi hay không khi LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 8 - ta xét chúng trong không gian độ đo hữu hạn? Đề tài sẽ tập trung làm rõ các vấn đề này. Để thuận tiện trong quá trình nghiên cứu, luận văn còn đề cập đến một số khái niệm mới như dãy cơ bản theo độ đo, dãy cơ bản trung bình,…Và không ngoại lệ, luận văn cũng đề cập đến mối liên hệ giữa các khái niệm này. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 9 - NỘI DUNG Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. 1.1 ĐỘ ĐO 1.1.1 Đại số tập hợp § Định nghĩa Một đại số (hay trường) là một lớp những tập chứa X , Æ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn các tập hợp, phép hiệu và hiệu đối xứng hai tập hợp). § Định lý 1 Một lớp tập hợp là một đại số khi và chỉ khi C thỏa mãn các điều kiện sau: a. C ¹ Ø ; b. ÎA C Þ ÎCA C; c. ÎBA, C ÎÈÞ BA C. 1.1.2. σ- Đại số § Định nghĩa Một σ- đại số (hay σ- trường) là một lớp tập hợp chứa ,A Ø và kín đối với mọi phép toán đếm được hay hữu hạn về tập hợp. § Định lý 2 Một lớp tập hợp F là một s -đại số khi và chỉ khi F thỏa mãn các điều kiện sau: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 10 - a. F ¹ Æ ; b. ÎA F Þ ÎCA F ; c. ÎnA F 1 n n A ¥ = Þ ÎU F . § Nhận xét Một σ- đại số hiển nhiên là một đại số. § Định lý 3 Cho M là một họ không rỗng các tập con của X . a. Luôn tồn tại duy nhất một đại số ( )C M bao hàm M và chứa trong tất cả các đại số khác bao hàm M Đại số ( )C M gọi là đại số sinh bởi M . b. Luôn tồn tại duy nhất một σ- đại số ( )F M bao hàm M và chứa trong tất cả các σ- đại số khác bao hàm M σ- đại số ( )F M được gọi là σ- đại số sinh bởi M . 1.1.3. σ- Đại số Borel § Định nghĩa Cho không gian tôpô ,(X τ ) . σ- đại số sinh bởi họ tất cả các tập mở trong X được gọi là σ- đại số borel. Ký hiệu: ( )XB . § Nhận xét Ÿ Các tập mở, tập đóng là các tập Borel. Ÿ Nếu , 1, 2,...nA n = là các tập Borel thì 1 n n A ¥ = U và 1 n n A ¥ = I , theo thứ tự là LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 11 - các tập kiểu F ,Gs ¶ cũng là những tập Borel. Ÿ σ- đại số Borel trong một không gian tôpô X cũng là σ- đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập đóng. 1.1.4. Độ đo trên một đại số tập hợp § Định nghĩa Cho C là một đại số trên X . Hàm tập hơp m : C ® R là một độ đo trên C nếu: a. ( ) 0³Am , Î"A C. b. ( )Ø 0;m = c. =÷÷ ø ö çç è æ ¥ = U 1n nAm ( ) 1 n n Am ¥ = å , với ( ) , , .n m nA A m n A nÇ = Æ ¹ Î "C Độ đo m được gọi là hữu hạn nếu ( ) +¥<Xm . Độ đo m được gọi là σ- hữu hạn nếu tồn tại { } NiiA Î , ÎiA C, thỏa: U ¥ = = 1i iAX , và ( ) +¥<iAm , .i" Điều kiện ( ) 0Ø =m Î$Û A C: ( ) +¥<Am . § Các ví dụ Å Cho X ¹ Æ . Xét ( )X=C P Khi đó, Ÿ ( ) 0,A Am = " ÎC là độ đo. Ÿ ( ) 0Am = nếu A = Æ , và ( )Am = +¥ nếu A ¹ Æ là độ đo. Các độ đo ngày được gọi là độ đo tầm thường. Å Hàm ( ): Xm ®P R được xác định bởi: ( )A nm = khi A có n phần tử, và ( )Am = +¥ khi A có vô hạn phần tử là một độ đo và được gọi là độ đo đếm. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 12 - § Các tính chất của độ đo Å Định lý 4 Cho m là độ đo trên đại số C. a. ÎBA, C, ( ) ( )B A B Am mÌ Þ £ ; b. ÎBA, C, ( ) +¥<Ì BAB m, Þ ( ) ( ) ( )BAA mmm -=B\ ; c. { }i i NA Î Ì C , AÎC , và U ¥ = Ì 1i iAA Þ ( ) ( )å ¥ = £ 1i iAA mm ; Đặc biệt: { }i i NA Î Ì C , 1 i i A ¥ = ÎU C Þ ( )å ¥ = ¥ = £÷÷ ø ö çç è æ 11 i i i i AA mm U ; d. { }i i NA Î Ì C, ( )jiØ ¹=Ç ji AA , AÎC , AA i i Ì ¥ = U 1 thì ( ) ( ). 1 AA i i mm £å ¥ = Hệ quả a. Nếu độ đo m là hữu hạn thì: A" ÎC, { }i i NA Î$ ÌC: 1 i i A A ¥ = = U , và fghfdhfdhf ( )iAm < +¥ . b. Nếu độ đo m là σ- hữu hạn, khi đó: Ÿ , 1 U ¥ = = i iXX ÎiX C, ( )i jX X i jÇ = Æ ¹ , và ( ) +¥<iXm . Ÿ Nếu AÎC thì , 1 U ¥ = = i iAA ÎiA C, ( )i jA A i jÇ = Æ ¹ , và ( ) +¥<iAm . Chú ý: Tập con đo được của một tập có độ đo không hiển nhiên là một tập có độ đo không. Tuy nhiên, tập con của một tập có độ đo không chưa hẳn là tập đo được. Å Định nghĩa Độ đo m được gọi là độ đo đủ nếu mọi tập con của một tập có độ đo không đều là tập đo được. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 13 - Å Định lý 5 Cho m là độ đo trên đại số C. a. Nếu ( ) ,0=iAm 1 i i A ¥ = ÎU C thì .0 1 =÷÷ ø ö çç è æ ¥ = U i iAm b. Nếu AÎC , ( ) 0=Bm thì ( ) ( ) ( )\BA B A Am m mÈ = = . Å Định lý 6 Cho m là độ đo trên đại số C. a. Nếu nA ÎC ( ),n" ....,21 ÌÌ AA 1 n n A ¥ = ÎU C thì ( ) 1 lim .n nnn A Am m ¥ ®¥ = æ ö =ç ÷ è ø U b. Nếu nA ÎC ( ),n" ....,21 ÉÉ AA ( ) ,1 +¥<Am 1 i n A ¥ = ÎI C thì: ( ) 1 lim .i nn n A Am m ¥ ®¥ = æ ö =ç ÷ è ø I Å Định lý 7 (đảo của định lý 6) Cho m là hàm tập hợp không âm, cộng tính trên một đại số C sao cho ( ) 0m Æ = . Khi đó, m sẽ là độ đo nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: a. Nếu nA ÎC ( ) ,n" 1 2 ....,A AÌ Ì 1 n n A ¥ = ÎU C thì ( ) 1 lim .i nn n A Am m ¥ ®¥ = æ ö =ç ÷ è ø U b. Nếu nA ÎC ( ) ,n" 1 2 ....,A AÉ É 1 n n A ¥ = = ÆI thì ( )lim 0.nn Am®¥ = 1.1.5 Mở rộng độ đo Å Độ đo ngoài Hàm tập hợp * :m ( )XP ® ¡ được gọi là một độ đo ngoài nếu: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 14 - a. ( )* 0, ;A A Xm ³ " Ì b. ( )* 0;m Æ = c. 1 n n A A ¥ = Ì U Þ ( ) ( )* * 1 n n A Am m ¥ = £ å (tính chất σ- bán cộng tính). Å Định lý 8 (định lý Carathéodory) Cho *m là một độ đo ngoài trên ,X L là lớp các tập con A của X sao cho: ( ) ( ) ( )* * * \ ,E E A E A E Xm m m= Ç + " Ì ( )1 Khi đó: a. L là một σ- đại số. b. *m m= | L là một độ đo trên L . Độ đo này được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài *m . Tập A thỏa ( )1 được gọi là *m -đo được. Å Định lý 9 Cho m là một độ đo trên một đại số C những tập con của X . Nếu với mỗi A XÌ đặt: ( )* infAm = ( ) 1 1 , ,i i i i i m P P A P ¥¥ = = ì ü É Îí ý î þ å U C ( )2 Khi đó: a. *m là độ đo ngoài; b. *m | L m= ; c. C Ì ( )F C Ì .L Å Định lý 10 Nếu m là cảm sinh bởi độ đo ngoài *m thì: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 15 - a. Họ các tập có độ đo m bằng 0 trùng với họ tập có độ đo ngoài *m bằng 0. b. m là độ đo đủ. Å Định lý 11 (mở rộng độ đo) Cho m là độ đo trên một đại số L Khi đó, tồn tại một độ đo m trên σ- đại số L É ( )F C É C, sao cho: a. ( ) ( );A m Am = b. m là hữu hạn (σ- hữu hạn) nếu m là hữu hạn (σ- hữu hạn); c. m là độ đo đủ; d. AÎ L khi và chỉ khi A biểu diễn được dưới dạng: \A B N= hoặc A B N= È Trong đó B Î ( )F C , N EÌ Î ( )F C , ( ) ( )* 0E Em m= = và *m là độ đo ngoài xác định từ m bởi công thức ( )2 . Nhận xét L sai khác ( )F C một bộ phận các tập có độ đo không, tức là σ- đại số L các tập đo được có thể thu được từ ( )F C bằng cách thêm hay bớt một bộ phận của một tập có độ đo không. 1.1.6 Độ đo trên r Ta gọi gian trên đường thẳng ¡ là một tập hợp có một trong các dạng sau:[ ] ( )( ] [ ) ( ) ( ) ( ) ( ] [ ), , , , , , , , , , , , , , , ,a b a b a b a b a a a a-¥ +¥ -¥ +¥ -¥ +¥ . Å Xây dựng đại số Gọi C là lớp tất cả các tập con của ¡ có thể biểu diễn thành hợp của một số hữu hạn các gian đôi một rời nhau, tức là: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 16 - ( ) 1 : , , n i i i i P P i j n = ì ü Ì = Ç = Æ ¹ Îí ý î þ ¥UC r= r r r . Khi đó, C là một đại số. Nếu P ÎCvà ( ) 1 , , n i i j i P i j = = Ç = Æ ¹Ur r r đặt ( ) 1 n i i m P = = år . Khi đó, m là độ đo trên C và m là độ đo σ- hữu hạn. Å Mở rộng độ đo Với ,A Ì R độ đo ngoài được xác định bởi: ( ) ( )* 1 1 inf , ,i i i i i A m P P A Pm ¥¥ = = ì ü = É Îí ý î þ å U C Điều này có thể thay bằng: ( )* 1 1 inf , ,k k k k i A Am ¥¥ = = ì ü = Éí ý î þ å Ur r r Gọi L là tập tất cả các tập con A của ¡ sao cho: ( ) ( ) ( )* * * ,E E A E A Em m m= Ç + " Ì ¡\ . Độ đo mở