Luận văn Các sóng nhỏ với dải tần số bị chặn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU CÁC SÓNG NHỎ VỚI DẢI TẦN SỐ BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU CÁC SÓNG NHỎ VỚI DẢI TẦN SỐ BỊ CHẶN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Phép chiếu trực giao và cơ sở trực chuẩn . . . . . . . 7 1.1.3 Không gian L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Biến đổi Fourier trong L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 13 2.1 Khái niệm sóng nhỏ trực chuẩn trong L2(R) . . . . . . . . . 13 2.2 Tính trực chuẩn của sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Tính đầy đủ của sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Đặc trưng một vài sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 27 3.1 Điều kiện cần và đủ của sóng nhỏ với dải tần số bị chặn . . 27 3.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Mở đầu Trong những năm gần đây, lý thuyết về sóng nhỏ (wavelet) được rất nhiều các nhà khoa học đi sâu vào nghiên cứu bởi sự thú vị và tính ứng dụng lớn của nó trong thực tế. Hơn nữa nó còn là cây cầu nối với các ngành khoa học khác như: Sinh học, Vật lý, Tin học,...Người ta có thể ứng dụng lý thuyết về phép biến đổi sóng nhỏ trong xử lý ảnh, nén tín hiệu video, hay ứng dụng của sóng nhỏ vào trong kỹ thuật phân tích tín hiệu điện tim, các dịch vụ dữ liệu đa phương tiện di động,...và nhiều ứng dụng thực tế khác. Chính vì vậy việc xây dựng sóng nhỏ có vai trò rất quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng thực tế, trong đó thì sóng nhỏ có dải tần số bị chặn (band-limited wavelet) là loại được dùng nhiều hơn cả. Một hàm f ∈ L2(R) được gọi là có dải tần số bị chặn nếu giá của fˆ chứa trong một khoảng hữu hạn (biến đổi Fourier của nó có giá compact), trong đó giá của fˆ là suppfˆ={ξ; fˆ(ξ) 6= 0}. Nội dung chính dựa chủ yếu trên tài liệu [7], luận văn này sẽ trình bày một cách hệ thống các sóng nhỏ có dải tần số bị chặn trong không gian L2(R), mô tả đầy đủ các tính chất đặc trưng và phương pháp để xác định chúng. Luận văn gồm có phần Mở đầu, 3 chương tiếp theo và phần kết luận. Chương 1: Trình bày kiến thức bổ xung, hỗ trợ cho nghiên cứu nội dung chính về sóng nhỏ có dải tần số bị chặn trong chương 2 và 3, bao gồm một số khái niệm cơ bản về cơ sở trực chuẩn, phép chiếu trực giao, biến đổi Fourier trong không gian Hilbert, đặc biệt là không gian L2(R). Chương 2: Trình bày các định lý về điều kiện cần và đủ cho tính trực 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên chuẩn và tính đầy đủ của cơ sở sóng nhỏ mà được sinh ra bởi một hàm sóng mẹ bằng các phép toán dịch chuyển và co dãn. Một tính chất đặc biệt của loại sóng nhỏ này là biến đổi Fourier của nó không những có giá compact mà còn bằng không trong một lân cận nào đó của gốc tọa độ. Chương 3: Trình bày phương pháp cụ thể để xây dựng một hàm sóng nhỏ có dải tần số bị chặn. Cụ thể là những sóng nhỏ trực chuẩn mà biến đổi Fourier của nó có giá chứa trong [−83pi, 83pi] cùng với một số ví dụ điển hình. Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy về sự tận tình hướng dẫn trong suốt thời gian tác giả làm luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng và xêmina, tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu của các giáo sư trong Viện Toán học thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam cùng các thầy cô giáo trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy các cô. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô, Ban Giám hiệu Nhà trường, Ban chấp hành Đoàn, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và làm luận văn cao học. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn theo sát, động viên tác giả vượt qua những khó khăn để có được điều kiện tốt nhất khi học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã hết sức cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong được sự góp ý, chỉ bảo của các Thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các độc giả quan tâm. Xin chân thành cảm ơn! 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, 20 tháng 10 năm 2011. Tác giả Nguyễn Thị Thu 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Định nghĩa và các ví dụ Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường số K (K = R hoặc C). Định nghĩa 1.1. Một dạng song tuyến tính đối xứng dương xác định trong X là một ánh xạ ϕ : X ×X → K thoả mãn các điều kiện: a) ϕ(x+ y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z) (∀x, y, z ∈ X); b) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) (∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K); c) ϕ(y, x) = ϕ(x, y) (∀x, y ∈ X), trong đó ϕ(x, y) là số phức liên hợp của số ϕ(x, y); d) ϕ(x, x) ≥ 0 (∀x ∈ X). Khi đó ta ký hiệu ϕ(x, y) = 〈x, y〉. Nhận xét 1.1. Từ a) - d) suy ra: a’) 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉 (∀x, y ∈ X); b’) 〈x, λy〉 = λ¯〈x, y〉. Định nghĩa 1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng dương 〈., .〉 xác định trong không gian tuyến tính X được gọi là một tích vô hướng trong X, nếu nó thoả mãn thêm điều kiện: 〈x, x〉 > 0, khi x 6= 0. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nhận xét 1.2. Tích vô hướng 〈., .〉 thoả mãn các điều kiện: 1) 〈x, x〉 ≥ 0 (∀x ∈ X), 〈x, x〉 = 0⇐⇒ x = 0; 2) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 (∀x, y ∈ X); 3) 〈λx+ µy, z〉 = λ〈x, z〉+ µ〈y, z〉 (∀x, y, z ∈ X),∀λ, µ ∈ K. Định nghĩa 1.3. Không gian tuyến tính X cùng với một tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. Mệnh đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz) |〈x, y〉|2 ≤ 〈x, x〉 〈y, y〉 (∀x, y ∈ X) . (1.1) Định nghĩa sơ chuẩn Một sơ chuẩn trên không gian tuyến tính X là một ánh xạ p : X → R thỏa mãn: a) p(αx) = αp(x), (∀x ∈ X, ∀α > 0); b) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), (∀x, y ∈ X) Nhận xét: + Nếu p là sơ chuẩn, thì p(0) = 0. Định nghĩa nửa chuẩn Một nửa chuẩn trên không gian tuyến tínhX là một ánh xạ p : X → R thỏa mãn: a) p(αx) = |α|p(x), (∀x ∈ X, ∀α ∈ K); b) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), (∀x, y ∈ X) Nhận xét: 1) p là nửa chuẩn ⇒ p là sơ chuẩn. 2) Nếu p là một nửa chuẩn trên X, thì p(x) ≥ 0. Mệnh đề 1.2. Giả sử 〈x, y〉 là một dạng song tuyến tính đối xứng dương trong không gian tuyến tính X. Khi đó p(x) = 〈x, x〉1/2 là một nửa chuẩn trong X. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nhận xét 1.3. Không gian tiền Hilbert X là một không gian định chuẩn với chuẩn: ‖x‖ = 〈x, x〉1/2 (x ∈ X) (1.2) Thật vậy theo Mệnh đề 1.2 〈x, x〉1/2 là một nửa chuẩn. Vì 〈., .〉 là tích vô hướng nên 〈x, x〉 = 0⇔ x = 0. Điều này tương đương với ‖x‖ = 0⇔ x = 0. Vì vậy, ‖x‖ = 〈x, x〉1/2 là một chuẩn trong X. Do đó, lý thuyết các không gian định chuẩn áp dụng được cho không gian tiền Hilbert. Nhận xét 1.4. a) Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz trở thành: |〈x, y〉| ≤ ‖x‖ . ‖y‖ b) Ta có đẳng thức hình bình hành: ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2) Mệnh đề 1.3. Giả sử X là không gian tiền Hilbert, các dãy {xn} và {yn} hội tụ đến x và y trong X. Khi đó, lim n→∞〈xn, yn〉 = 〈x, y〉 . Nhận xét 1.5. Tích vô hướng 〈., .〉 là một hàm liên tục xác định trên X ×X. Định nghĩa 1.4. Không gian tiền Hilbert X đầy đủ được gọi là một không gian Hilbert. Chú ý rằng ở đây ta coi không gian tiền Hilbert như một không gian định chuẩn với chuẩn (1.2) và không gian định chuẩn đó là đầy đủ thì ta nhận được không gian Hilbert X. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ví dụ 1.1. Trong Rn với x = (ξ1, ..., ξn), y = (η1, ...ηn), ta đặt 〈x, y〉 = n∑ i=1 ξiηi. Khi đó, Rn là một không gian Hilbert. Ví dụ 1.2. Trong L2[a, b], ta xét tích vô hướng: 〈x, y〉 = ∫ b a x(t)y(t)dt (x(t), y(t) ∈ L2[a, b]). Khi đó, ‖x‖ = (∫ b a |x(t)|2dt )1/2 (1.3) Không gian L2[a, b] với chuẩn (1.3) là đầy đủ, do đó là không gian Hilbert. Ví dụ 1.3. Trong không gian l2, ta đưa vào tích vô hướng 〈x, y〉 = ∞∑ n=1 ξnη¯n, (x = (ξ1, ξ2....) ∈ l2, y = (η1, η2, ...) ∈ l2). Khi đó, ‖x‖ = ( ∞∑ n=1 | ξn |2 )1/2 . Không gian l2 đầy đủ đối với chuẩn đó. Vậy l2 là không gian Hilbert. 1.1.2 Phép chiếu trực giao và cơ sở trực chuẩn A: Phép chiếu trực giao Định nghĩa 1.5. Giả sử X là không gian tiền Hilbert, khi đó: a) Hai vectơ x, y ∈ X được gọi là trực giao, nếu 〈x, y〉 = 0; ký hiệu : x⊥y. b) Hệ S ⊂ X được gọi là một hệ trực giao, nếu các vectơ của S trực giao với nhau từng đôi một. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Định nghĩa 1.6. Giả sử H là không gian Hilbert. Toán tử tuyến tính liên tục p : H → H gọi là toán tử chiếu trực giao nếu i) p2 = p; ii) px⊥y − py ∀x, y ∈ H. Nhận xét: (a) Vì x = px+ (x− px), theo đẳng thức Pythagore ta có ‖px‖ 6 √ (‖px‖2 + ‖x− px‖2) = ‖x‖, ∀x ∈ H do đó ‖p‖ 6 1. Tuy nhiên p(px) = px nên ‖p‖ = 1, khi p 6= 0. (b) Giả sử pxn → x. Do p2 = p và p liên tục, ta có x = lim n→∞ pxn = limn→∞ p(pxn) = p( limn→∞ pxn) = px. Vậy imp là đóng. (c) Ta có (1H − p)2 = (1H − p)(1H − p) = 1H − p− p+ p2 = 1H − 2p+ p = 1H − p và (1H−p)(x) = x−px, x−px⊥py = (1H− (1H−p))y với mọi x, y ∈ H. Như vậy 1H − p cũng là toán tử chiếu trực giao. (d) kerp=im(1H − p) và imp=ker(1H − p). Thật vậy, giả sử x ∈kerp suy ra x = x− px = (1H − p)x ∈im(1H − p). Ngược lại, giả sử y = x− px suy ra py = px− p(px) = px− px = 0, và do đó y ∈im(1H − p). Đổi vai trò giữa p và (1H − p) ta được đẳng thức thứ hai. Định nghĩa 1.7. Giả sử M,N ⊂ H là các không gian con của H. Ta nói M trực giao với N và viết M⊥N nếu 〈x, y〉 = 0 ∀x ∈M, y ∈ N . 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Rõ ràng nếu M⊥N thì N⊥M . Với M ⊂ H tùy ý, đặt M⊥ = {x ∈ E : x⊥M} và gọi là phần bù trực giao của M . Định lí 1.1. (về sự tồn tại của phép chiếu trực giao) Giả sử G là không gian con đóng của không gian Hilbert H. Khi đó tồn tại phép chiếu trực giao từ H lên G. B: Cơ sở trực chuẩn Định nghĩa 1.8. Hệ S ⊂ X được gọi là một hệ trực chuẩn nếu S là một hệ trực giao và mọi x ∈ S có ‖x‖ = 1. Định nghĩa 1.9. Giả sử {ei}i∈I là hệ các vectơ trong không gian Hilbert H. Ta nói {ei}i∈I là hệ đầy đủ nếu x⊥ei với mọi i ∈ I thì x = 0. Định nghĩa 1.10. Hệ {ei}i∈I được gọi là cơ sở trực giao nếu nó là hệ trực giao và đầy đủ. Ngoài ra nếu ‖ei‖ = 1 với mọi i ∈ I thì cơ sở trực giao này gọi là cơ sở trực chuẩn. Định lí 1.2. (Bất đẳng thức Bessel) Giả sử {en}n>1 là hệ trực chuẩn trong H. Khi đó ∞∑ n=1 |〈x, en〉|2 ≤ ‖x‖2 ∀x ∈ H . Định lí 1.3. Cho {en}n>1 là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Khi đó các khẳng định sau là tương đương (i) {en}n>1 là cơ sở trực chuẩn. (ii) x = ∞∑ n=1 〈x, en〉 en với mọi x ∈ H. (iii) 〈x, y〉 = ∞∑ n=1 〈x, ek〉〈y, ek〉 với mọi x, y ∈ H. (iv) ‖x‖2 = n∑ n=1 |〈x, ek〉|2 với mọi x ∈ H. 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1.1.3 Không gian L2(R) Định nghĩa 1.11. Cho không gian R. Họ tất cả các hàm số đo được và bình phương khả tích trên R, tức là∫ R |f(x)|2dx < +∞, f(x) ∈ R. gọi là không gian L2 (R). Hay còn được viết dưới dạng: L2 (R) = { f(x) : |f (x)|2dx < +∞ } . Trong không gian L2(R) thì: Tích vô hướng của hai véc tơ f và g, kí hiệu 〈f, g〉, được xác định bởi 〈f, g〉 = ∫ R f (x)g (x)dx. Chuẩn của véc tơ f , kí hiệu ‖f‖L2(R) hoặc ‖f‖2, được xác định bởi ‖f‖2 = (∫ R |f(x)|2dx )1/2 . (1.4) Không gian L2 (R) với chuẩn (1.4) là không gian đầy đủ nên nó là không gian Hilbert. Ngoài ra ta có định lý sau: Định lí 1.4. Giả sử {ϕj}∞j=1 ⊂ L2(R) là hệ trực chuẩn, và f ∈ L2 thì f = ∞∑ j=1 fjϕj với fj = 〈f, ϕj〉 Khi đó i) ∞∑ j=1 |fj|2 ≤ ‖f‖2 (Bất đẳng thức Bessel). ii) Nếu {ϕj} là cơ sở trực chuẩn thì f = ∞∑ j=1 fjϕj(∗) và ‖f‖2 = ∞∑ j=1 |fj|2(∗∗) (Đẳng thức Plancherel) . 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iii) Để {ϕj} là cơ sở trực chuẩn ⇔ ∀f ta có (∗) hoặc (∗∗). 1.2 Biến đổi Fourier trong L2(R) 1.2.1 Định nghĩa Cho f(x) ∈ L2(R), phép biến đổi Fourier của hàm f(x) là hàm fˆ(ξ) được xác định bởi f̂(ξ) = +∞∫ −∞ f(x)e−iξxdx = lim N→+∞ ∫ N −N f(x)e−iξxdx, trong đó x được gọi là biến thời gian và ξ được gọi là biến tần số. Biến đổi ngược Fourier là: ∨ g(x) = 1 2pi +∞∫ −∞ g(ξ)eiξxdξ = 1 2pi lim N→+∞ ∫ N −N g(ξ)eiξxdξ. và nếu áp dụng nó cho g = f̂ , thì ta có được f ; tức là (f̂)∨ = f . 1.2.2 Một số tính chất Với các định nghĩa trên, định lý Plancherel khẳng định rằng = 1 2pi 〈f̂ , ĝ〉. (1.5) Biến đổi Fourier mở rộng đến mọi hàm f ∈ L2(R) và toán tử f 7→ 1√ 2pi f̂ là unita. Nếu f và f ′ ∈ L2 thì f̂ ′(ξ) = iξf̂(ξ). (1.6) Phép tính tích phân này có thể được chứng minh bằng những công thức +∞∫ −∞ f ′(x)g(x)dx = − +∞∫ −∞ f(x)g′(x)dx. (1.7) 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên với mọi f, g ∈ L2(R) và f ′g, fg′ ∈ L1(R). Trong trường hợp f, g, f ′, g′ ∈ L2(R), bằng cách sử dụng (1.5) và (1.6) ta cũng suy ra được điều phải chứng minh. Biến đổi Fourier là một song ánh từ L2(R) lên L2(R). Định lý (Parseval): Với f, g ∈ L2(R) ta có: i) ∫ R fˆ(x)g(x)dx = ∫ R f(ξ)gˆ(ξ)dξ. ii) ∫ R f(x)g(x)dx = 1 2pi ∫ R fˆ(ξ)gˆ(ξ)dξ. iii) ∫ R |f(x)|2dx = 1 2pi ∫ R |fˆ(ξ)|2dξ. 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 2 Sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 2.1 Khái niệm sóng nhỏ trực chuẩn trong L2(R) Định nghĩa 2.1. Một sóng nhỏ trực chuẩn trong L2(R) là một hàm ψ(x) ∈ L2(R) sao cho hệ các hàm số {ψj,k(x) : j, k ∈ Z} là cơ sở trực chuẩn của L2(R), trong đó ψj,k(x) = 2 j 2ψ(2jx− k), j, k ∈ Z. Nhận xét : Từ định nghĩa trên ta suy ra các khẳng định sau: i) ψ0,0 (x) = ψ (x) ii) Tất cả các hàm ψj,k đã được chuẩn hóa, bởi vì ‖ψj,k‖2 = ‖ψ‖2 = 1 với mọi j, k ∈ Z. Định lí 2.1. Giả sử g(x) ∈ L2(R) và gk(x) = g(x− k), k ∈ Z. Khi đó hệ {gk(x)} là hệ trực chuẩn trong L2(R) khi và chỉ khi∑ k∈Z |gˆ (ξ + 2kpi)|2 = 1 với hầu hết ξ ∈ R , trong đó gˆ(ξ) là biến đổi Fourier của hàm g(x). Chứng minh Điều này được suy ra từ phương pháp tuần hoàn hóa và Định lý 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Plancherel. Thật vậy, ta có: δk,0 = ∫ R g (x)g (x− k) = 1 2pi ∫ R |gˆ (ξ)|2eikξdξ = 1 2pi ∞∑ `=−∞ ∫ 2(k+1)lpi 2`pi |gˆ (ξ)|2eikξdξ = 1 2pi ∞∑ `=−∞ ∫ 2pi 0 |gˆ (µ+ 2`pi)|2eikµdµ = 1 2pi ∫ 2pi 0 (∑ `∈Z |gˆ (µ+ 2`pi)|2 ) eikµdµ. Điều này chỉ ra rằng hàm tuần hoàn chu kì 2pi là ∑ k∈Z |gˆ (µ+ 2kpi)|2 bằng 1 hầu khắp nơi. Thật vậy vì nó có hệ số Fourier bằng 1 tại tần số k = 0 và tất cả các hệ số khác bằng không. Chiều ngược lại dễ dàng được suy ra.  2.2 Tính trực chuẩn của sóng nhỏ Trong mục này thì giả thiết về dải tần số bị chặn của hàm ψ là chưa cần thiết. Giả sử ψ là một sóng nhỏ trực chuẩn. Khi đó {ψj,k : j, k ∈ Z} là một hệ trực chuẩn, với ψj,k(x) = 2 j 2ψ(2jx− k). Chúng ta sẽ đi khai thác mối quan hệ của tính trực chuẩn để tìm ra hai phương trình mô tả chúng. Thật vậy: {ψ0,k : k ∈ Z} là một hệ trực chuẩn. Điều này tương đương với:∑ k∈Z |ψˆ (ξ + 2kpi)|2 = 1. (2.1) Thực hiện phép đổi biến, ta có: 〈ψj,k, ψj,`〉 = 〈ψ0,k, ψ0,`〉. Suy ra hệ {ψj,k : k ∈ Z} là trực chuẩn với mỗi j cố định khi thỏa mãn (2.1). Nếu j > n thì với việc đổi biến x = 2−n (y + k), ta suy ra được: 〈ψj,k, ψn,m〉 = 〈ψ`,p, ψ0,0〉 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên với ` = j − n và p = k − 2j−nm. Đổi vai trò ta thấy tính trực giao giữa ψj,k và ψn,m (với j > n; k,m ∈ Z) có thể quy về tính trực giao giữa ψj,k và ψ (với j > 0, k ∈ Z ). Theo định lý Plancherel điều này có nghĩa là: với j > `, k ∈ Z: 0 = 〈ψ, ψj,k〉 = 1 2pi ∫ R ψˆ(ξ)2 −j 2 ψˆ(2−jξ)ei2 −jkξdξ = 1 2pi ∫ R 2 −j 2 ψˆ(2jµ)ψˆ(µ)eikµdξ. Vì vậy, 0 = ∑ `∈Z ∫ 2(`+1)pi 2`pi ψˆ ( 2jξ ) ψˆ (ξ)eikξdξ = ∫ 2pi 0 {∑ `∈Z ψˆ ( 2j (ξ + 2`pi) ) ψˆ (ξ + 2`pi) } eikξdξ. với mọi k ∈ Z khi j > 1. Điều này chỉ ra rằng:∑ k∈Z ψˆ ( 2j (ξ + 2kpi) ) ψˆ (ξ + 2kpi) = 0. (2.2) với hầu hết ξ trên R và j > 1. Vì vậy (2.1) và (2.2) là điều kiện cần và đủ để hệ {ψj,k : j, k ∈ Z} là trực chuẩn. Ta nhận thấy rằng hai chuỗi (2.1) và (2.2) là hội tụ với hầu hết ξ ∈ R. Thật vậy, nếu ta định nghĩa: ζj ≡ ∑ k∈Z ψˆ ( 2j (ξ + 2kpi) ) ψˆ (ξ + 2kpi), j ∈ Z (2.3) thì với việc đổi biến kết hợp với bất đẳng thức Schwartz ta được: ∫ T |ζj(ξ)|dξ 6 ∫ R |ψˆ(2jξ)ψˆ(ξ)|dξ 6 ∫ R ∣∣∣ψˆ (2jξ)∣∣∣2 dξ  12 ∫ R ∣∣∣ψˆ (ξ)∣∣∣2  12 = 2− j 2 ∫ R |ψˆ(ξ)|2dξ = 2− j22pi ‖ψ‖22 <∞. 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Điều này chứng tỏ rằng ζj ∈ L1(T) với mọi j ∈ Z và do đó chỉ ra được các chuỗi trong (2.1) và (2.2) là hội tụ tuyệt đối tương ứng khi j = 0 và j 6= 0. (Trong đó T là đường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức). Bây giờ chúng ta sẽ kiểm tra phép chiếu trực giao Qj từ L 2(R) vào Wj, trong đó: Wj = span {ψj,k : k ∈ Z}, j ∈ Z. Ta biết rằng {ψj,k : k ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn của Wj, do đó Qjf = ∑ k∈Z 〈f, ψj,k〉ψj,k ∀f ∈ L2(R). (2.4) Vì (ψj,k) ∧ (ξ) = 2 −j 2 ψˆ ( 2−jξ ) e−i2 −jkξ ∀j, k ∈ R. nên ta có được {γj,k : k ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn của (Wj)∧, trong đó γj,k (ξ) = 2− j 2√ 2pi e−i2 −jkξψˆ ( 2−jξ ) , j, k ∈ Z. Hệ số 1√ 2pi xuất hiện từ định lý Plancherel và nó chuẩn hóa γj,k. Do đó ta có thể viết: (Qjf) ∧ = ∑ k∈Z 〈 fˆ , γj,k 〉 γj,k với f ∈ L2(R) . Đặt gj (µ) = fˆ (µ) ψˆ (2−jµ) và Fj (ξ) = ∑ `∈Z gj ( ξ + 2j+1`pi ) . Hàm cuối cùng là tuần hoàn với chu kỳ 2j+1pi. Hàm số sau đây: E (j) k (ξ) = 2 −j 2√ 2pi e−i2 −jkξ, k ∈ Z. cũng có tính chất như vậy. Hệ {E(j)k : k ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong L2 ([ 0, 2j+1pi )) . 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tiếp tục sử dụng phương pháp tuần hoàn hóa ta được: 〈fˆ , γj,k〉 = ∫ R fˆ (ξ) 2 −j 2√ 2pi ei2 −jkξψˆ (2−jξ)dξ = ∫ 2j+1pi 0 (∑ `∈Z gj ( ξ + 2j+1`pi )) 2−j2√ 2pi ei2 −jkξdξ = 〈Fj, E(j)k 〉. (2.5) Tích cuối cùng được xét trong L2 ([ 0, 2j+1pi )) . Do đó Fj (ξ) = ∑ k∈Z 〈fˆ , γj,k〉E(j)k (ξ) với sự hội tụ trong L2 ([ 0, 2j+1pi )) . Chính xác hơn, chúng ta đã tìm được∑ `∈Z fˆ ( ξ + 2j+1`pi ) ψˆ (2−jξ + 2`pi) = ∑ k∈Z 〈fˆ , γj,k〉E(j)k (ξ) (2.6)  Từ đó ta có được kết quả sau đây: Định lí 2.2. Giả sử f ∈ L2(R). Khi đó ta có các khẳng định sau: (A) f trực giao với Wj nếu và chỉ nếu∑ k∈Z fˆ ( ξ + 2j+1kpi ) ψˆ (2−jξ + 2kpi) = 0 hầu khắp nơi trên R. (B) Với Qj là toán tử chiếu trực giao lên Wj, ta có: (Qjf) ∧ (ξ) = ψˆ ( 2−jξ )∑ k∈Z fˆ ( ξ + 2j+1kpi ) ψˆ (2−jξ + 2kpi)hầu khắp nơi trên R. Chứng minh (A) được suy ra trực tiếp từ (2.6) ; Chú ý rằng (A) đạt được bởi phép tuần hoàn hóa tương tự như khi ta có được (2.2). Để chứng minh (B), ta nhân cả hai vế của (2.6) với ψˆ ( 2−jξ ) và chú ý rằng ψˆ ( 2−jξ ) E (j) k (ξ) = γj,k (ξ). Suy ra điều phải chứng minh.  17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2.3 Tính đầy đủ của sóng nhỏ Điều kiện (2.1) và (2.2) trong mục 2.2 chưa đủ để chỉ ra được rằng hệ {ψj,k : k ∈ Z} là đầy đủ. Thật vậy, giả sử {ψj,k : k ∈ Z} là một hệ trực chuẩn. Nếu ta định nghĩa α (x) = √ 2ψ (2x), thì: αj,k (x) = ψj+1,2k (x) ∀j, k ∈ Z. Khi đó {αj,k : j, k ∈ Z} cũng là hệ trực chuẩn nhưng không đầy đủ. Trong phần này chúng ta đi nghiên cứu những điều kiện đảm bảo cho tính đầy đủ của một hệ trực chuẩn của các són