Luận văn Chui ngầm Ballistic và shot noise trong các cấu trúc Nano Graphene

ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Khoa Vật lý Sinh viên: Hoàng Mạnh Tiến CHUI NGẦM BALLISTIC VÀ SHOT NOISE TRONG CÁC CẤU TRÚC NANO GRAPHENE LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP HỆ ðẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Vật lý lý thuyết Hà nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Khoa Vật lý Sinh viên: Hoàng Mạnh Tiến CHUI NGẦM BALLISTIC VÀ SHOT NOISE TRONG CÁC CẤU TRÚC NANO GRAPHENE LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP HỆ ðẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Vật lý lý thuyết Hà nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 Thầy giáo hướng dẫn: GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 - 3 - Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 0 Lời cảm ơn Trước hết tôi xin ñược bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng tới thầy giáo ñã trực tiếp hướng tôi hoàn thành luận văn này, GS.TSKH Nguyễn Văn Liễn. Thầy ñã tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình học tập cũng như nghiên cứu. Hơn thế nữa, thầy ñã tạo cho tôi những ñiều kiện tốt nhất ñể làm việc và một môi trường nghiên cứu khoa học hiệu quả. Do ñó mà tôi ñược hiểu biết thêm về hoạt ñộng nghiên cứu khoa học và mối quan hệ mọi người với nhau khi làm khoa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Hải Châu, người bạn cùng lớp và cùng thực tập chung với tôi. Bạn Châu ñã nhiều lần giúp ñỡ tôi trong quá trình họa tập cũng như làm luận văn. ðể hoàn thành cuốn luận văn này tôi cũng muốn xin lời cảm ơn tới các thầy cô, những người ñã trực tiếp giảng dạy và truyền ñạt kiến thức cho tôi trong quá trình học tập, tới những người bạn ñã giúp ñỡ, ñộng viên tôi trong những lúc khó khăn. Cuối cùng tôi xin bày tỏ tấm lòng tới bố mẹ và em trai Hoàng Mạnh Hùng, những người ñã hết sức tạo ñiều kiện và ñộng viên tôi, ñặc biệt trong quá trình làm luận văn . Sv. Hoàng Mạnh Tiến Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 1 MỞ ðẦU .................................................................................................................................... 2 Chương 1. Tổng quan về Graphene ........................................................................................ 4 1.1 Giới thiệu ......................................................................................................................... 4 1.2 Cấu tạo mạng Graphene ................................................................................................ 5 1.3. Cấu trúc vùng năng lượng ............................................................................................ 6 Chương 2. Phương trình mô tả electron trong Graphene................................................... 12 và phương pháp T_matrix ..................................................................................................... 12 2.1. Từ phương trình Srodinger tới phương trình ðirac ................................................ 12 2.2 Lời giải của phương trình tựa ðirac 2 chiều .............................................................. 13 2.3 Phương pháp T_matrix ................................................................................................ 17 Chương 3. Hiện tượng truyền và shot noise trong các hệ Graphene ................................. 22 3.1 Các công thức ................................................................................................................ 22 3.2 Hệ Graphene một bờ thế (H8) ..................................................................................... 26 3.4 Quantum dot Graphene ............................................................................................... 33 Kết luận.................................................................................................................................... 40 Tài liệu tham khảo .................................................................................................................. 41 Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 2 MỞ ðẦU Graphene là một vật liệu mới, ñược chế tạo thành công lần ñầu tiên bằng thực nghiệm vào năm 2004 [4]. Ở Việt Nam, hầu như chưa có ai nghiên cứu về vật liệu mới này nên mọi người vẫn còn xa lạ khi nhắc tới Graphene. Trên thế giới, trong vòng mấy năm trở lại ñây có rất nhiều nghiên cứu cả về lý thuyết cũng như thực nghiệm. ðiều ñó ñược thể hiện bằng số lượng các bài báo trên các tạp chí lớn về Vật Lý như Applied Physics Letters, Physical Review Letters, Physical Review, Modern Physics… Tại sao các nhà khoa học trên thế giới lại thích thú trong việc nghiên cứu Graphene? Thứ nhất, Graphene có rất nhiều tính chất ñặc biệt khác biệt so với các vật liệu thông thường, trong ñó phải kể tới tính chất các electron tại các ñiểm ðirắc trong Graphene hành xử như những hạt không khối lượng mặc dù vận tốc của nó chỉ vào cỡ 1/300 vận tốc ánh sáng. Chính ñiều ñặc biệt ñó kéo theo rất nhiều tính chất lý thú của Graphene và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Thứ hai, do khả năng truyền dẫn rất tốt của Graphene (một phần do nồng ñộ electron trong ñó rất lớn 15 2 en 4.10 cm − ≈ ) , ñặc biệt là truyền spin, các nhà khoa học ñang kì vọng rằng sẽ chế tạo ñược các linh kiện ñiện tử, transitor, quantum dot bằng Graphene thay thế cho các linh kiện bán dẫn hiện nay và mở kỷ nguyên công nghệ mới: Kỷ nguyên Cacbon thay cho kỷ nguyên Silic của thế kỷ 20. ðể mô tả chuyển ñộng của electron trong Graphene (thường gọi là các electron ðirac), chúng ta không thể dùng phương trình Srodinger mà phải dùng phương trình tựu ðirắc. Bằng cách giải phương trình tựu ðirắc cho hệ 1 chiều, A. Calageracos và N.Dombey [5] ñã giải thích ñược nghịch lý Klein (Klei paradox). ðó là: khi tới với phương vuông góc với bờ thế, electron ðirac có xác suất chui ngầm bằng 1 bất chấp ñộ cao hay bề dày của bờ thế là bao nhiêu. Cũng trong năm 2006, M.I. Katsnelson [6] ñã tính hệ số truyền qua cho hệ 1 bờ thế bằng cách giải phương trình ðirắc cho hệ Graphene. Trong năm 2007, J.Miton Pereira. Js [9] ñã tính ñộ dẫn (conductance) cho Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 3 hệ 1,2 bờ thế và ông còn khảo sát sự giam cầm của electron trong giếng thế tạo bởi Graphene (Graphehe quantum well) [8]. D.Dragoman [7] ñã vẽ ñược ñường ñặc trưng Vol-Ampe cho hệ một bờ thế, từ ñó ông suy ra rằng trong Graphen, hệ 1 bờ thế ñã xuất hiện ñiện trở vi phân âm. Rui Zhu và Yong Guo [10] ñã nghiên cứu một cách kỹ lưỡng về hệ hai bờ thế ñối xứng (hệ số truyền, conductance, shot noise, hệ số fano). Ngoài ra Chunxu Bai [11] ñã nghiên cứu hệ số truyền trong trường hợp siêu mạng ñối xứng. Trong [13] K.B. Efetov ñã áp dụng ñiều kiên biên ñể tính ñộ dẫn (conductance) cho hệ quantum dot Graphene. Như trên ta ñã thấy các hệ Graphene ñã ñược nghiên cứu rất nhiều và trong luận văn này tôi cũng muốn nghiên cứu về các vấn ñề ñó. Bước ñầu tôi ñã nghiên cứu về tính chất truyền ballistics và shot noise qua các hệ Graphene như hệ 1, 2 bờ thế và quantum dot Graphene. ðây ñều là những vấn ñề thời sự ñược các nhà vật lý trên thế giới quan tâm và nghiên cứu. Nghiên cứu tính chất truyền, mà cụ thể là tính chất ñiện của Graphene sẽ cho chúng ta biết khả năng có thể dùng nó làm transitor hay các linh kiện ñiện tử ñược không? Và một ñiều nữa là tại sao chúng ta lại nghiên cứu shot noise, nó có ý nghĩa gì? Noise tức là nhiễu, noise cho ta biết thêm thông tin vào quá trình truyền của hệ. Có rất nhiều các loại noise khác nhau. Trong hệ lượng tử của ta thì noise có ảnh hưởng chủ yếu là shot noise. Noise nhiệt (những thăng giáng do chuyển ñộng nhiệt của các hạt) có thể ñược làm giảm bằng cách hạ thấp nhiệt ñộ. Noise 1/f (chủ yếu do va chạm của hạt tải với tâm tạp) không làm thay ñổi pha và năng lượng của hạt tải nên nó không cho nhiều thông tin về quá trình truyền. Trong ñó shot noise liên quan tới sự lượng tử hóa của các hạt tải nên nó sẽ ñóng một vai trò rất quan trọng trong các hệ lượng tử của ta. Thông thường chúng ta thường tính hệ số Fano, tức là chúng ta so sánh shot noise với noise Poisson (Noise Poisson là noise trong trường hợp hạt tải chuyển ñộng ballistic không có va chạm). Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 4 Chương 1. Tổng quan về Graphene 1.1 Giới thiệu Cacbon là vật liệu khởi nguồn cho sự sống trên Trái ñất và là thành phần cơ bản của tất cả các hợp chất hữu cơ. Do tính linh ñộng của các nguyên tử cácbon trong khả năng tạo thành liên kết, các hợp chất cácbon ña dạng cả về loại và tính chất. Các nguyên tử cácbon có thể liên kết với các nguyên tử khác như Hidro, Oxi hay cũng có thể liên kết trực tiếp với nhau tạo thành các mạng nguyên tử Cacbon. Trong các dạng thù hình ñó phải kể ñến Graphene, một lớp ñơn nguyên tử cácbon 2 chiều có dạng hình tổ ong (H1), ñóng một vai trò vô cùng quan trọng trong việc tạo thành các dạng thù hình khác của Cácbon. Tập hợp nhiều lớp Graphene xếp chồng lên nhau sẽ tạo ra vật liệu Graphite (than chì) 3 chiều. Một tấm Graphene mà cuộn lại sẽ tạo thành một ống nano cácbon 1 chiều hay tạo thành quả cầu cácbon không chiều (Fullerene) [3]. Hình 1. Một số dạng thù hình của Cacbon: Graphene, Graphite, nanotube, Fulerence (Quả cầu C60) Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 5 ðiều ñặc biệt là Graphene có thế dễ dàng ñược tạo ra trong khi viết hay vẽ bằng bút chì. Khi lấy bút chì vạch lên giấy, chúng ta ñã vô tình tạo ra ñược các lớp Graphene, và trong số ñó sẽ có những chỗ chỉ là một lớp Graphene riêng biệt. Mặc dù bút chì ñã ñược khám phá ra vài trăm năm trước (1600) nhưng mà mãi tới tận năm 2004, một nhà vật lý người Anh (University of Manchester) mới tách ra ñược một lớp cácbon riêng biệt, gọi là Graphene, bằng thực nghiệm ñể quan sát và nghiên cứu. Nguyên nhân nào mà mãi tới năm 2004 mới phát hiện ra Graphene? Thứ nhất, trước ñó không một ai có thể ngờ rằng một lớp ñơn nguyên tử có thế tồn tại bền vững ở trạng thái tự do trên nền ñế của một vật liệu khác. Thứ hai, trước ñó chưa có bất kì máy móc hay thiết bị nào có thể xác ñịnh sự tồn tại của một lớp ñơn nguyên tử cácbon [3]. Chính ñiều ñó mà mãi gần ñây người ta mới biết ñược sự tồn tại của Graphene và nghiên cứu ñược về nó. 1.2 Cấu tạo mạng Graphene Các bon là nguyên tử ở vị trí thứ 6 trong bảng tuần hoàn, có cấu hình vỏ nguyên tử là 2 2 21 2 2s s p . Tuy nhiên, ở ñây ñã có sự kích thích lên trạng thái 2 1 31 2 2s s p ñể lớp vỏ p ñạt tới trạng thái bán bão hòa. Tiếp ñó có sự lai hóa 2sp ñể tạo thành 3 liên kết σ bền vững và một liên kết pi . Trong ñó liên kết pi kém bền hơn và vuông góc với ba liên kết kia. Do ñó toàn bộ các electron pi ñều tham gia vào dẫn và có ảnh hưởng quyết ñịnh ñến các tính chất ñặc trưng của Graphene. Một vài thông số của mạng Graphene [4]: Hình 2. Cấu trúc mạng Graphen và vùng Bruiluin thứ nhất Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 6 Hằng số mạng : 3 2, 46 o cca a A= = Véc tơ cơ sở: 1 3 1( ; ) 2 2 a a= ; 2 3 1( ; ) 2 2 a a= − Véc tơ mạng ñảo: 1 2 1( ;1) 3 b a pi = ; 2 2 1( ; 1) 3 b a pi = − Như ñã nói tới ở trên, Graphene là một lớp ñơn nguyên tử các bon có cấu trúc mạng hình tổ ong. Ta thấy, mạng bravai này thực chất là hai mang tam giác lồng vào nhau. Do ñó vector cơ của mạng là 1 2à aa v , mỗi ô nguyên tố có 2 nguyên tử là A và B. Từ ñó ta vẽ ñược vùng Bruiluin thứ nhất như trên hình 2. Ở ñây ta chú ý tới 4 ñiểm ñối xứng là Γ , M, K và 'K trong ñó hai ñiểm K và 'K là không hoàn toàn ñối xứng.(Tuy nhiên trong các bài toán của ta thi ta có thể coi hai ñiểm này là ñối xứng, chỉ khi xét bài toán có từ trường ngoài, tương tác spin… thì mới cần phân biệt hai ñiểm này) 1.3. Cấu trúc vùng năng lượng Khi xem xét một vật liệu mới thì việc ñầu tiên cần làm là ñi tìm cấu trúc vùng năng lượng của vật liệu ñó. Từ cấu trúc vùng năng lượng chúng ta có thế biết ñược chất ñó là kim loại, bán dẫn, hay ñiện môi, ngoài ra chúng ta có thể tinh ñoán một số tính chất của nó và tính ñược một số ñại lượng như khối lượng hiệu dụng chẳng hạn. ðể tìm cấu trúc vùng năng lượng của một mạng tinh thể người ta thường dùng hai phương pháp là: 1. Phương pháp chính xác: ab-initio (hay còn gọi là first principle). Nội dung chủ yếu của phương pháp này là tính chính xác cấu trúc vùng năng lượng cho Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 7 hệ có từ vài tới vài trăm nguyên tử bằng cách mô phỏng thông qua máy tính. ðặc ñiểm của phương pháp này là sự chính xác tuyệt ñối nhưng mà nhược ñiểm của nó là không thế thực hiện ñược với hệ có nhiều nguyên tử. Mà trên thực tế một mạng ma ta nghiên cứu có rất nhiều nguyên tử nên không thể chỉ dùng phương pháp này ñược. 2. Phương pháp tính gần ñúng: Tight-binding (gần ñúng liên kết mạnh). ðây là một phương pháp cơ bản trong vật lý chất rắn. Hiện nay người ta ñã kết hợp ñồng thời cả hai phương pháp này và cho kết quả rất tốt. Tức là lúc ñầu tính bằng ab-initio cho hệ ít nguyên tử, dùng ñó là ñiều kiện ban ñầu cho phương pháp Tight-binding. Trong khuôn khổ nghiên cứu ở ñây, tôi xin trình bày phương pháp Tight-binding và so sánh kết quả với phương pháp ab-initio. Hàm sóng của electron trong gần ñúng liên kết mạnh (tight binding) ñược tìm dưới dạng [4]: A A B BC Cψ ϕ ϕ= + (1.1) Trong ñó: ik R AA z R0 ik R BB z R0 1( k ,r ) e p ( r R R ) N 1( k ,r ) e p ( r R R ) N ϕ ϕ = − − = − − ∑ ∑















(1.2) Với zp ( r )
là hàm nút nguyên tử trong vật lý chất rắn (orbital zp ( r )
của nguyên tử Carbon), 0N là số ô nguyên tố mà trên ñó ta áp dụng ñiều kiện biên tuần hoàn {Bohr-Openheimer}. Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 8 Dưới dạng ñơn giản nhất, năng lượng của trạng thái electron là trị riêng của Hamiltonian (Phương pháp LCAO-trực giao): AA AB BA BB H H H H H   =     (1.3) Trong ñó: ik( R' R ) A,R A,R' AA 0 z z R,R' ik( R' R ) A,R B,R' AB 0 z z R ,R' H 1 / N e p p H 1 / N e p p Η Η − − = = ∑ ∑













(1.4) Với A / B ,R A / Bz zp p ( r R R )= − − 



Tính toán ñối với các mạng vô hạn ( 0N → ∞ ), ta lưu ý rằng trong các biểu thức trên khi cho một trong hai chỉ số ( R,R'

) biến ñổi ta thấy tổng có tính ñối xứng ñối với tất cả các vị trí khác nhau trên mạng của chỉ số kia, do ñó có thể viết lại tổng dưới dạng: ik R' A,0 A,R' AA z z R' ik R' A,0 B,R' AB z z R' H e p p H e p p Η Η = = ∑ ∑









(1.5) Khai triển hệ thức, giữ lại ñến các lân cận gần nhất ta có: p p 1 1 2 2 6 A,0 A,0 ik R A,0 A,R AA z z z z p 1 A,0 B,0 ik .a A,0 B , a ik .a A,0 B , a AB z z z z z z H p | H | p e p | H | p H p H p e p H p e p H p = − − − − = + = + + ∑








(1.6) Trong ñó biểu thức của AAH gồm một số hạng cấp không và sáu số hạng cấp một tương ứng với năng lượng nút là sự xen phủ với sáu nguyên tử cùng loại lân cận Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 9 gần nhất, biểu thức của ABH gồm ba số hạng cấp một tương ứng với ba số hạng xen phủ của ba nguyên tử khác loại lân cận gần nhất. Ngoài ra ta có BB AAH H= , AB BAH H ∗= . Như ñã nói với phương pháp LCAO trực giao, ta không cần tính ñến các số hạng xen phủ của hàm sóng. ðặt: A,0 A,0 z zp | H | pα = , iA,0 A,Rz zp | H | pβ = 
1 2A,0 B,0 A,0 B, a A,0 A, a z z z z z zp | H | p p | H | p p | H | pγ − −= = =

Ta có: i 21 6 ik R AA BB i 1 ik a* ik a AB BA H H e H H (1 e e ) α β γ = − − = = + = = + + ∑





(1.7) Hamiltonian liên kết mạnh như vậy có thể chéo hóa dễ dàng kết quả là ta thu ñược hệ thức tán sắc dưới dạng: E ( k ) f ( k ) 3 f ( k )α β γ± = + ± +


(1.8) Trong ñó : 1 2 2 1f ( k ) 2cos( k.a ) 2cos( k.a ) 2cos[ k.( a a )]= + + −







(1.9) Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 10 Hoặc khai triển theo các tọa ñộ trực giao: y y2x k a k a3k af ( k ) 12(cos cos cos ) 2 2 2 = +
(1.10) Trong ñó α là năng lượng ion hóa của electron pi trong hệ Graphene và trong các bài toán chúng ta có thể chọn nó làm gốc tính năng lượng, tức là chọn 0α = .Các giá trị khác ñã ñược tính toán cụ thể trong [4] 0.1meVβ ≈ − , 2.8 meVγ ≈ . Chúng ta có thể so sánh kết quả của phương pháp gần ñúng liên kết mạnh với phương pháp ab- initio (H3) Ở ñây dấu trừ mô tả vùng hóa trị còn dấu cộng mô tả vùng dẫn. Ở dưới vùng hóa trị là các trạng thái bị lấp ñầy bởi các electron còn trên vùng dẫn là hoàn toàn bỏ trống. Hai vùng này tiếp xúc với nhau tại các ñiểm là ñỉnh của hình lục giác của vùng Brillouin (H4). Một vật liệu khi vùng dẫn và vùng hóa trị tiếp xúc với nhau thì vật liệu ñó sẽ là kim loại, nhưng ñiều ñặc biệt ở ñây là hai vùng này chỉ tiếp xúc với nhau tại từng ñiểm rời rạc nên người ta thường gọi nó là semimental (bán kim loại). Một ñiều ñặc biệt hơn nữa là tại lân cận những ñiểm tiếp xúc này thì gần như E (năng lượng của electron) tỉ lệ tuyến tính bậc nhất với véc tơ sóng của nó. Hệ thức này giống như là hệ thức của các hạt tương ñối tính không có khối lượng. Do ñó tại các ñiểm tiếp xúc K,K’ (gọi là các ñiểm ðirac) các electron trong Graphene hành xử như những hạt tương ñối tính có khối lượng bằng không mặc dù vận tốc của electron trong Graphene chỉ bằng cỡ 1/300 vận tốc ánh sáng. ðiều ñó giúp các nhà thực nghiệm có thể quan sát ñược một số hiệu ứng tương ñối tính mà không cần tới các máy gia tốc cực lớn. Cụ thể là nó giúp chúng ta có thể kiểm tra trực tiếp phương trình ðirắc bằng thực nghiệm, một phương trình vốn có nhiều ñiểm lạ kì. Trong phương pháp gần ñúng liên kết mạnh, chúng ta ñã bỏ qua số hạng xen phủ của hàm sóng và chỉ tính tới số hạng bậc nhất nên vùng dẫn và vùng hóa trị là hoàn toàn ñối xứng với nhau qua mặt Fermi. Tuy nhiên ñiều ñó là không hoàn toàn Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 11 trùng khớp với phương pháp ab-initio (H3). Mặc dù vậy trong các tính toán thông thường ta vẫn coi như ñối xứng và phương trình cho electron sẽ có dạng ñơn giản nhất có thể. Ngoài ra do có các ảnh hưởng nào ñó mà có thể hai vùng năng lượng này không hoàn toàn tiếp xúc với nhau mà còn có một khe năng lượng nhỏ cỡ vài chục meV mà ta có thể coi là năng lượng nghỉ của electron trong các phương trình tính toán. Hình 3. Cấu trúc vùng năng lượng tính bằng phương pháp ab-initio và phương pháp gần ñúng liên kết mạnh Hình 4. Cấu trúc vùng năng lượng của vẽ dưới dạng không gian Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 12 Chương 2. Phương trình mô tả electron trong Graphene và phương pháp T_matrix 2.1. Từ phương trình Srodinger tới phương trình ðirac Như ñã thảo luận ở trên, trong Graphen, tại những ñiểm ðirac electron hành xử như những hạt tương ñối tính có khối lượng nghỉ bằng không. Do ñó một ñiều hiển nhiên là chúng ta không thể mô tả nó bằng phương trình Srodinger như trong cơ học lượng tử ñược. Vậy một câu hỏi ñược ñặt ra là chuyển ñộng của nó tuân theo phương trình nào? Trên thực tế, khi xem xét electron tại những ñiểm gần bề mặt Fermi thì người ta thường dùng phương pháp gần ñúng khối lượng hiệu dụng. Kết quả phép gần ñúng khối lượng hiệu dụng ñối với Grphene ch