Luận văn Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— NGUYỄN SỸ ĐÔNG ĐA THỨC VÀ HỆ SỐ HILBERT TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: GS. NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên 08/11/2011 Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Ngày 08 tháng 10 năm 2011 Có thể tìm hiểu tại Thư viện Đại học Thái Nguyên Mục lục Lời cảm ơn 2 Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Vành, môđun Artin và Noether . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Định lý Artin-Rees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether 16 2.1 Đa thức Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Chiều của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Chiều của vành địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Hệ tham số và số bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 1 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành với một phần nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Tự Cường, Viện Toán học. Tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn. Với tinh thần làm việc nghiêm túc, thầy đã tận tình giúp tôi có được phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, hiệu quả trong suốt quá trình xây dựng đề cương cũng như hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT Lạng Sơn và trường THPT Chi Lăng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin trân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành bản luận văn cũng như khóa học của mình. 2 Mở đầu Cho A là một vành Artin, R = A[x1, ..., xm] là vành đa thức m biến với hệ số trong A. Khi đó R là một vành phân bậc. NếuM = ⊕ n≥0 Mn là một R- môđun phân bậc hữu hạn sinh thìMn là một A-môđun và `A(Mn) < +∞. Hơn nữa, với n đủ lớn thì `A(Mn) là một đa thức với hệ số hữu tỉ. Kết quả này là nội dung của Định lí đa thức Hilbert. Đa thức Hilbert đóng một vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số; nó cho phép chúng ta nghiên cứu độ lớn, cấu trúc của môđun M thông qua những đại lượng số cụ thể như bậc của đa thức, hệ số của đa thức,.... Từ khi Định lí đa thức Hilbert được chứng minh đã có nhiều nhóm nghiên cứu về vấn đề này. Đa thức Hilbert trở thành một công cụ được nhiều nhà nghiên cứu Đại số giao hoán và Hình học đại số quan tâm. Với lí do đó, dưới sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Tự Cường, tác giả luận văn chọn đề tài "Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether" làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ toán học của mình. Nội dung chính của luận văn là trình bày Định lí đa thức Hilbert trên vành địa phương Noether cùng với một số tính chất của nó về bậc đa thức, hệ số cao nhất của đa thức (thông qua số bội). Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm hai chương. Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương này trình bày về vành và môđun Noether, Artin; vành và môđun phân bậc; Định lí Artin-Rees. Đây là những kiến thức cơ sở cho các chứng minh trong Chương 2, chương chính của luận 3 văn. Chương 2. Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether. Chương này trình bày về Định lí đa thức Hilbert; chiều của môđun và vành địa phương; hệ tham số và số bội. Nội dung của chương là hệ thống một số kết quả quan trọng về đa thức Hilbert trên vành địa phương Noether. Các nội dung được trình bày trong luận văn dựa trên bài giảng của GS. Nguyễn Tự Cường và tham khảo thêm trong hai cuốn sách Commutative Algebra và Commutative Ring Theory của tác giả H.Matsumura. Bên cạnh đó, tác giả luận văn có chứng minh chi tiết một số vấn đề được trình bày vắn tắt trong các tài liệu trên. Một số ví dụ và bài tập minh họa cũng được tác giả luận văn đưa vào để làm sáng tỏ cho những nội dung được trình bày. Với mong muốn hệ thống lại một số nội dung quan trọng về đa thức Hilbert, tác giả luận văn đã dành nhiều thời gian nghiên cứu những kết quả này. Tuy nhiên, do năng lực bản thân còn hạn chế, thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên khó tránh khỏi những thiếu sót trong luận văn. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và ý kiến góp ý của các bạn học viên cùng độc giả quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011 Tác giả NGUYỄN SỸ ĐÔNG 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong toàn bộ luận văn này ta luôn xét các vành là giao hoán có đơn vị. 1.1 Vành, môđun Artin và Noether Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành, M là R-môđun. i) M được gọi là R-môđun Noether nếu với mọi dãy tăng các R-môđun con của M : M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆ Mn ⊆ ... đều dừng, nghĩa là ∃n0 ∈ N sao cho Mi =Mi+1,∀i ≥ n0. ii) M được gọi là R-môđun Artin nếu với mọi dãy giảm các R-môđun con của M : M1 ⊇ M2 ⊇ ... ⊇ Mn ⊇ ... đều dừng, nghĩa là ∃n0 ∈ N sao cho Mi =Mi+1,∀i ≥ n0. Nếu xét vành R như môđun trên chính nó thì R được gọi là vành Noether (Artin) khiR làR-môđun Noether (Artin). Khi đó, tập các môđun con của R-môđun R trùng với tập các iđêan của vành R. Định lý 1.1.2. Cho R là một vành. Khi đó M là R-môđun Noether khi và chỉ khi mọi R-môđun con của M là hữu hạn sinh. Chứng minh. (=⇒): Lấy N là môđun con bất kỳ của M . Đặt ∑ là tập 5 tất cả các R-môđun con hữu hạn sinh của M chứa trong N . Ta thấy∑ 6= φ vì 0 ∈∑, và mọi xích tăng các phần tử của∑ đều có chặn trên (doM là Noether) nên ∑ có phần tử tối đại làN0. Suy raN0 ∈ ∑ vàN0 là hữu hạn sinh. Nếu N0 6= N thì ∃x ∈ N\N0, do đó R-môđun N1 = N0+(x) là hữa hạn sinh và N ⊇ N1 ⊃ N0, mâu thuẫn. Vậy N0 = N . (⇐=): Giả sử∑ là tập khác φ các môđun con của R-môđun M . Lấy một xích tăng tùy ý trong ∑ , chẳng hạn M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆ Mn ⊆ ... (*). Đặt N = ∞⋃ i=1 Mi. Khi đó, N là môđun con của M suy ra N là hữu hạn sinh, sinh bởi các phần tử x1, ..., xk, xi ∈ N, ∀i = 1, k. Suy ra tồn tại n0 sao cho x1, ..., xk ∈ Mn0, do đó N ⊆ Mn0 và Mt = Mn0,∀t ≥ n0, từ đó suy ra (*) dừng. Vậy M là R-môđun Noether. Định lý 1.1.3. (Định lý cơ sở Hilbert) Cho R là vành Noether. Khi đó vành đa thức n biến R[x1, ..., xn] cũng là vành Noether. Chứng minh. Vì R[x1, ..., xn] = R[x1, ..., xn−1][xn] nên ta chỉ cần chứng minh cho vành R[x] là vành Noether. Lấy tùy ý một iđêan I của R[x]. Ta chứng minh I là hữu hạn sinh. Đặt J = {a ∈ R|∃f(x) ∈ I, f(x) có hệ số cao nhất là a}. Suy ra J là iđêan của R. Vì R là vành Noether nên J là hữu hạn sinh, sinh bởi {a1, ..., an}. Với mỗi ai ∈ {a1, ..., an} tồn tại fi(x) ∈ I sao cho fi(x) = aixni + hi(x), với deghi(x) < ni,∀i = 1, n. Đặt I ′ = (f1(x), ..., fn(x)) là iđêan của R[x] và r = Max{ni|i = 1, n}. Xét R-môđun con M = R+ xR+ ...+ xrR của R[x]. Khi đó M là hữu hạn sinh và có một tập sinh là {1, x, ..., xr}, suy ra M là R-môđun Noether (do R là Noether, M là hữu hạn sinh trên R).Ta sẽ chứng minh I = I ′ +M ∩ I. Hiển nhiên ta có I ′ +M ∩ I ⊆ I . Mặt khác, lấy f(x) ∈ I, giả sử f(x) = axh + g(x), với degg(x) < h. Khi đó a ∈ J = (a1, ..., an), suy ra a = b1a1+, ...,+bnan, bi ∈ R, ∀i = 1, n. 6 Nếu deg f(x) = h > n thì f(x) = ( n∑ i=1 aibi)x h + g(x). Xét hiệu f(x)− n∑ i=1 bix h−nifi(x) = g(x) ∈ I, deg g(x) < h. Sau hữu hạn bước như trên ta được đa thức h(x) có deg h(x) < r hoặc h(x) = 0 sao cho f(x) = f(x) + h(x), f(x) ∈ I ′ ⊆ I. Từ h(x) ∈ M và h(x) ∈ I suy ra h(x) ∈M∩I . Vậy I = I ′+M∩I và I là hữu hạn sinh, do đó R[x] là vành Noether. Từ đó suy ra R[x1, ..., xn] là vành Noether. Định nghĩa 1.1.4. Cho R là một vành. Một R-môđun M được gọi là có độ dài hữu hạn nếu M có ít nhất một dãy hợp thành. Khi đó độ dài của M , kí hiệu là `(M), chính là độ dài của một dãy hợp thành nào đó của M . Hệ quả 1.1.5. Giả sử N là một môđun con của một R-môđun M . Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và M/N là những R-môđun có độ dài hữu hạn. Hơn nữa, trong trường hợp này ta có `(M) = `(N) + `(M/N). Chứng minh. (=⇒): Khi N = 0 hoặc N =M thì hiển nhiên kết luận của hệ quả là đúng. Giả sử M là môđun có độ dài hữu hạn và 0 ⊂ N ⊂M là một xích của M , xích này có thể làm mịn thành một dãy hợp thành của M A : 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ... ⊂ Ak = N ⊂ Ak+1 ⊂ ... ⊂ An =M. Khi đó xích 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ... ⊂ Ak = N là một dãy hợp thành củaN , suy ra N có độ dài hữu hạn. Vậy 0 = Ak/N ⊂ Ak+1/N ⊂ ...An/N =M/N (*) là dãy hợp thành củaM/N do (Ak+i+1/N)/(Ak+i/N) ∼= Ak+i+1/Ak+i,∀i = 0, n− k − 1 là những môđun đơn. Từ chứng minh trên suy ra `(M) = `(N) + `(M/N). 7 (⇐=): Giả sử 0 = A0 ⊆ A1 ⊆ ... ⊆ Ak = N và 0 = B′0 ⊆ B′1 ⊆ ... ⊆ B′l =M/N lần lượt là hai dãy hợp thành của N và M/N . Gọi pi : M ↪→ M/N là phép chiếu chính tắc và đặt Bj = pi −1(B′j), j = 1, l. Rõ ràng khi đó ta có pi(Bj) = B ′ j và N ⊆ B0 ⊆ B1 ⊆ ... ⊆ Bl = M vì B′j+1/B′j là môđun đơn nên từ đẳng cấu (Bj+1/N)/(Bj/N) ∼= Bj+1/Bj suy ra Bj+1/Bj,j = 1, l là những môđun đơn. Vậy xích N ⊆ A0 ⊆ A1 ⊆ ... ⊆ Ak = N ⊆ B′0 ⊆ B′1 ⊆ ... ⊆ B′l =M là một dãy hợp thành có độ dài hữu hạn và `(M) = `(N) + `(M/N). Từ hệ quả trên ta có kết quả sau. Hệ quả 1.1.6. Cho T: 0 −−→ M1 f1−−→ M1 f2−−→ ... fn−1−−→ Mn −−→ 0 là một dãy khớp các R-môđun có độ dài hữu hạn Mi. Khi đó n∑ i=1 (−1)i`(Mi) = 0. Chứng minh. Theo Hệ quả 1.1.5 ta có `(Mi) = `(Ker fi) + `(Mi/Ker fi),∀i = 1, n− 1 Mặt khác, ta biết rằng Mi/Ker fi ∼= Im fi, do đó `(Mi) = `(Ker fi) + `(Im fi),∀i = 1, n− 1. Suy ra n∑ i=1 (−1)i`(Mi) = n−1∑ i=1 (−1)i(l(Ker fi) + l(Im fi)) + (−1)n`(Mn). 8 Do T là dãy khớp nên ta có Im fi = Ker fi+1,∀i = 1, n− 2. Vậy n∑ i=1 (−1)i`(Mi) = −`(Ker f1) + (−1)n−1`(Im fn−1) + (−1)n`(Mn) (*). Vì f1 là đơn ánh, fn−1 là toàn ánh nên Ker f1 = 0 và Im fn−1 =Mn. Thay vào (*) ta có n∑ i=1 (−1)i`(Mi) = 0. 1.2 Vành và môđun phân bậc Định nghĩa 1.2.1. Cho R là một vành. i) R gọi là vành phân bậc nếu R có phân tích R = ∞⊕ n=0 Rn, trong đó Rn là các nhóm abel với phép cộng (tức là (Rn,+) là các nhóm con của (R,+)) và thỏa mãn tính chất RiRj ⊆ Ri+j,∀i, j = 0, n. Một phần tử x ∈ R sao cho x ∈ Ri được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, Ri được gọi là thành phần bậc i của R. ii) Một môđun M trên vành phân bậc R = ∞⊕ n=0 Rn được gọi là R− môđun phân bậc nếu M có phân tích M = ∞⊕ n=0 Mn, trong đó Mn là các môđun con của M và RiMj ⊆Mi+j,∀i, j = 0, n. Một phần tử x ∈ M sao cho x ∈ Mi được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, Mi được gọi là thành phần bậc i của M . iii) Cho M là R-môđun phân bậc, N là môđun con của M . N được gọi là môđun con phân bậc của M nếu N = ∞⊕ n=0 (N ∩Mn). Ta cũng gọi N là môđun con thuần nhất của M . Nếu R là vành phân bậc thì R cũng là R-môđun phân bậc. Khi đó I là một iđêan con phân bậc của R nếu I là một iđêan của R thỏa mãn I = ∞⊕ n=0 (I ∩Rn). I còn được gọi là iđêan thuần nhất. 9 Mệnh đề 1.2.2. Cho N là môđun con của môđun phân bậc M trên vành phân bậc R. Khi đó, N là môđun con phân bậc khi và chỉ khi ∀x ∈ N thì các phần tử thuần nhất của x cũng thuộc N . Chứng minh. (=⇒): Giả sử N là môđun con thuần nhất của M , khi đó N = ∞⊕ n=0 (N ∩Mi) (*). Lấy tùy ý x ∈ N , từ (*) suy ra x = xi + ...+ xi+s, xi′ ∈ (N ∩Mi′),∀i′ = i, i+ s. Vậy xi′ ∈ N,∀i′ = i, i+ s. (⇐=): Giả sử ∀x ∈ N đều có tính chất, nếu x = xi+ ...+xi+s với xj ∈ Mj,∀j = i, i+ s thì xj ∈ N,∀j = i, i+ s. Ta chứng minh N thuần nhất, tức là chứng minh N = ∞⊕ j=0 (N ∩Mj). Thật vậy, ta có ∞⊕ j=0 (N ∩Mj) ⊆ N . Ngược lại lấy x ∈ N thì x ∈ M suy ra x = xi + ... + xi+s, xj ∈ Mj,∀j = i, i+ s. Theo trên xj ∈ N , do đó xj ∈ N ∩Mj. Vậy x ∈ ∞⊕ n=0 (N ∩Mn) hay ∞⊕ n=0 (N ∩Mn) = N . Ví dụ 1.2.3. . (1) Một vành R là vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ∞⊕ n=0 Rn, R0 = R,Rn = 0,∀n > 0. (2) Một R−môđun M luôn là R−môđun phân bậc với phân bậc tầm thường M = ∞⊕ n=0 Mn, M0 =M,Mn = 0,∀n > 0 (R là vành phân bậc tầm thường). (3) Xét vành đa thức R = k[x1, .., xn], k là một trường. Khi đó R có phân bậc R = ∞⊕ n=0 Rn, với R0 = k, Rn là tập các đa thức thuần nhất bậc n của R. (4) Cho I là một iđêan của R. Khi đó i) R(I) = ⊕ n≥0 In là vành phân bậc (vì ImIn ⊆ Im+n). Vành R(I) được gọi là vành Rees của R đối bậc với I. ii) GR(I) = ⊕ n≥0 In/In+1 là vành phân bậc (vì (Im/Im+1)/(In/In+1) ⊆ Im+n/Im+n+1). Vành phân bậc GR(I) được gọi là vành phân bậc liên kết của R đối với I. 10 (5) Cho M là R-môđun. Khi đó i) RM(I) = ⊕ n≥0 InM là một môđun phân bậc và được gọi là môđun Rees. ii) GI(M) = ⊕ n≥0 InM/In+1M là một môđun phân bậc và được gọi là môđun phân bậc liên kết của M đối với I. Định lý 1.2.4. Cho R = ⊕ n≥0 Rn là một vành phân bậc. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: i) R là vành Noether. ii) R0 là vành Noether và tồn tại a1, ..., an là các phần tử thuần nhất của R sao cho R = R0[a1, ..., an] = {f(a1, ..., an)|f ∈ R0[x1, ..., xn]}. Chứng minh. (i =⇒ ii): Ký hiệu R+ = ⊕ n≥0 Rn là iđêan thuần nhất của R. Vì R là Noether nên R+ hữu hạn sinh suy ra tồn tại a1, ..., an ∈ R sao cho R+ = (a1, ..., an). Mặt khác, R+ là các iđêan thuần nhất nên ta có thể giả thiết được là ai thuần nhất có bậc là ni > 0. Đặt R ′ là vành con của R sinh bởi a1, ..., an trên R0, R ′ = R0[a1, ..., an], ta sẽ chứng minh Rn ⊆ R′, ∀n ≥ 0 (*) bằng quy nạp. Nếu n = 0 thì hiển nhiên (*) đúng. Giả sử Ri ⊆ R′, với n ≥ i, n > 0. Ta chứng minh Rn+1 ⊆ R′. Lấy x ∈ Rn+1 ⊆ R+, ta có x = n∑ i=1 aibi, trong đó bi ∈ Rn+1−ni,∀i = 1, n. Mà ni > 0,∀i nên n + 1 − ni ≤ n,∀i = 1, n. Theo giả thiết quy nạp thì bi ∈ R′,∀i = 1, n do đó Rn+1 ⊆ R′, suy ra (*) đúng. Hơn nữa R0 ∼= R/R+. Vậy R0 là Noether. (ii =⇒ i): Từ điều kiện ii) suy ra R có dạng R = R0[a1, ..., an], ai ∈ R, ∀i = 1, n. Khi đó tồn tại toàn cấu vành ϕ : R0[x1, ..., xn] −→ R0[a1, ..., an] f(x1, ..., xn) 7−→ f(a1, ..., an). 11 Theo định cơ sở Hilbert thì R0[x1, ..., xn] là vành Noether (do R0 là vành Noether). Mà R0[a1, ..., an] ∼= R0[x1, ..., xn]/Kerϕ là vành Noether suy ra R0[a1, ..., an] là vành Noether. Vậy R là vành Noether. Định lý 1.2.5. Cho R là vành Noether và I là iđêan của R. Khi đó i) R(I) và GI(R) là các vành phân bậc Noether. ii) Với M là R-môđun Noether thì RM(I) là R(I)-môđun Noether, GI(M) là GI(R)-môđun Noether. Chứng minh. i) R(I) là vành Noether. Từ R(I) = ⊕ n≥0 In, ImIn ⊆ Im+n suy ra R(I) là vành phân bậc. Ta có (R(I))0 = I 0 = R là vành Noether do R là vành Noether theo giả thiết. Vì I là iđêan của R nên I là hữu hạn sinh, suy ra I = (a1, ..., an), trong đó ai ∈ I,∀i = 1, n. Ta thấy a1, ..., an là các phần tử thuần nhất bậc 1 và R(I) = R[a1, ..., an] theo định nghĩa, trong đó R[a1, ..., an] = {f(x1, ..., xn)|f(x1, ..., xn) ∈ R(x1, ..., xn)}. Xét đồng cấu ϕ : R[x1, ..., xn] −→ R[a1, ..., an] f(x1, ..., xn) 7−→ f(a1, ..., an). Vì ϕ là một toàn cấu vành nên R[a1, ..., an] ∼= R[x1, ..., xn]/Kerϕ. Theo Định lý cơ sở Hilbert thì R[x1, ..., xn] là vành Noether, từ đây suy ra R[x1, ..., xn]/Kerϕ là vành Noether. Vậy R[a1, ..., an] = R(I) là vành Noether. GI(R) là vành Noether. Ta có (GI(R))0 = I 0/I = R/I là vành Noether, vì R là vành Noether. Do I là iđêan của R nên I hữu hạn sinh suy ra I = (a1, ..., an), trong đó ai ∈ I,∀i = 1, n. Ta thấy ai = ai+ I2 là các phần tử thuần nhất cấp 1 12 của GI(R),∀i = 1, n. Mặt khác ta lại có GI(R) = (R/I)[a1, ..., an]. Xét đồng cấu vành ϕ : (R/I)[x1, ..., xn] −→ (R/I)[a1, ..., an] f(x1, ..., xn) 7−→ f(a1, ..., an). Vì ϕ là toàn cấu nên (R/I)[a1, ..., an] ∼= (R/I)[x1, ..., xn]/Kerϕ là vành Noether, do (R/I)[x1, ..., xn] là vành Noether theo định lí cở sở Hilbert. Vậy GI(R) = là vành Noether. Từ GI(R) = ⊕ n≥0 In/In+1 và (Im/Im+1)/(In/In+1) ⊆ Im+n/Im+n+1, suy ra GI(R) là vành phân bậc. ii) RM(I) = ⊕ n≥0 InM là R(I)-môđun Noether. Từ RM(I) = ⊕ n≥0 InM và In(ImM) ⊆ In+mM suy ra RM(I) là môđun phân bậc. VìM là môđun Noether nênM là hữu hạn sinh, suy ra tồn tại x1, ..., xn ∈ M sao cho M = Rx1 + ... + Rxn. Khi đó RM(I) = (x1, ..., xn) suy ra RM(I) là R(I)-môđun hữu hạn sinh. Mà R(I) là vành Noether nên RM(I) là R(I)-môđun Noether. Tương tự trên, ta có GI(M) = (x1, ..., xn) với xi = xi + IM,∀i = 1, n suy ra GI(M) là GI(R)-môđun hữu hạn sinh. Theo trên GI(R) là vành Noether nên GI(M) là môđun Noether. 1.3 Định lý Artin-Rees Định nghĩa 1.3.1. i) Cho R là một vành. Một dãy giảm các iđêan {In}n≥0 của R được gọi là một lọc các iđêan nếu InIm ⊆ In+m,∀m,n ≥ 0. Đặc biệt, nếu I là iđêan của R thì dãy {In}n≥0 là một lọc, gọi là lọc I-adic. ii) Cho M là một R-môđun. Một lọc các môđun con của M là một dãy giảm các môđun con {Mn}n≥0 của M . 13 Với {In}n≥0 là một lọc các iđêan thì lọc {Mn}n≥0 gọi là tương thích với lọc iđêan {In}n≥0 nếu InMm ⊆Mn+m,∀n,m ≥ 0. Đặc biệt khi lọc iđêan là lọc I-adic thì lọc {Mn}n≥0 gọi là I-lọc tốt nếu {Mn}n≥0 là tương thích với lọc {In}n≥0, và tồn tại m0 sao cho InMm ⊆ Mn+m,∀m ≥ m0,∀n ≥ 0. Chú ý 1.3.2. Cho {In}n≥0 là một lọc các iđêan của R. Khi đó T = ⊕ n≥0 In và G = ⊕ n≥0 In/In+1 là những vành phân bậc. Hơn nữa, nếu {Mn}n≥0 là lọc các môdun con và là I-lọc tốt thì ⊕ n≥0 Mn là môđun phân bậc trên vành phân bậc R(I) = ⊕ n≥0 In và ⊕ n≥0 Mn/Mn+1 là môđun phân bậc trên vành phân bậc GI(R) = ⊕ n≥0 In/In+1. Định lý 1.3.3. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R, {Mn}n≥0 là lọc của M . Khi đó các mệnh đề sau tương đương. i) ⊕ n≥0 Mn là R(I)-môđun phân bậc, hữu hạn sinh. ii) {Mn}n≥0 là I-lọc tốt . Chứng minh. ĐặtM ∗ = ⊕ n≥0 Mn,Qn = n⊕ i=1 Mi,M ∗ n = Qn⊕IMn⊕I2Mn⊕... Suy ra M ∗n =M0 ⊕M1 ⊕ ...⊕Mn ⊕ IMn ⊕ I2Mn ⊕ .... Ta thấy M ∗n ⊆ M ∗. Mặt khác Mi hữu hạn sinh với mọi i nên Qn là hữu hạn sinh. Giả sử Qn = (y1, ..,k ) suy ra Qn = y1R + ... + ykR. Do đó M ∗n là môđun hữu hạn sinh của M ∗ trên vành R(I), cụ thể hơn M ∗n = y1R(I) + ...+ ykR(I). Ta thấy ... ⊆M ∗n ⊆M ∗n+1 ⊆M ∗n+2... (*) là một dãy tăng dần các môđun con của M , hơn nữa ∞∪ n=0 M ∗n = M ∗. Vậy M ∗ là R(I)-môđun Noether khi và chỉ khi ra dãy (*) dừng (do ∞∪ n=0 M ∗n = M ∗) hay tồn tại n0 sao cho M ∗n0 =M ∗ n0+1 = ..., đây chính là điều kiện cần và đủ để {Mn}n≥0 là I-lọc tốt. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 14 Hệ quả 1.3.4. (Định lý Artin-Rees) Cho R là một vành Noether, I là một iđêan của R. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và N là môđun con của M . Khi đó ∃r > 0 sao cho InM ∩N = In−r(IrM ∩N),∀n ≥ r . Chứng minh. Vì ⊕ n≥0 (InM ∩ N) là môđun con của môđun ⊕ n≥0 InM = RM(I), RM(I) là R(I)-môđun phân bậc Noether, nên ⊕ n≥0 (InM ∩ N) là R(I)- môđun phân bậc hữu hạn sinh khi và chỉ khi lọc {(InM ∩N)}n≥0 là I-lọc tốt. Từ đó suy ra tồn tại r > 0 sao cho InM ∩N = In−r(IrM ∩N), ∀n ≥ r. Hệ quả 1.3.5. (Định lý giao) Cho R là một vành Noether, I là một iđêan của R. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và N là môđun con của M . Đặt N = ⋂ n≥o InM . Khi đó IN = N . Chứng minh. Do N = InM ∩ N nên theo định lý Artin-Rees thì tồn tại r > 0 sao cho N = InM ∩N = In−r(IrM ∩N),∀n > r, suy ra In−r ⊆ I và N ⊆ IN . Hơn nữa IN ⊆ N . Vậy N = IN. Hệ quả 1.3.6. (Định lý giao Krull) Cho R là một vành Noether, I là một iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh, N