Luận văn Dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm GL(2,R)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THU HOÀI DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU VÀ BIỂU DIỄN NHÓM GL(2,R) LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp Thái Nguyên - 2011 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. LÝ THUYẾT DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU TRÊN GL(2,R) . . . . . . 4 1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Đại số Lie và đại số phổ dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Bài toán phổ cho thương compact của nửa mặt phẳng trên . . . . . 9 1.4.1. Lý thuyết phổ của các dạng tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2. Xác định phổ của toán tử đối xứng không bị chặn trên L2(Γ\H,χ,k) . . . . . . . 11 1.4.3. Khai triển không gian Hilbert L2(Γ\G,χ) thành các không gian con bất khả qui . 12 Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM GL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Dạng tự đẳng cấu trên GL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2. Các dạng tự đẳng cấu trên Γ\H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Biểu diễn của các nhóm compact địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Biểu diễn của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4. Phân loại các (g,K)-module bất khả quy của G= GL(2,R)+ . . 25 Chương 3. MỘT SỐ TÍNH TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỞ ĐẦU Dạng tự đẳng cấu là khái niệm lần đầu được đưa vào bởi Poincaré: hàm số trên không gian đối xứng G/K, G là nhóm Lie, K là nhóm con compact cực đại, biến đổi theo một công thức đơn giản với tác động của một nhóm con số học. G. Gelfand nhìn dạng tự đẳng cấu theo góc độ của các biểu diễn tự đẳng cấu, một bộ phận của lý thuyết biểu diễn vô hạn chiều và nghiên cứu phổ, giá trị riêng của toán tử Hecke... Mục đích của luận văn này là tìm hiểu lý thuyết dạng tự đẳng cấu và biểu diễn trong trường hợp nhóm GL(2,R). Ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ giữa lý thuyết biểu diễn nhóm GL(2,R) và các dạng tự đẳng cấu trên nửa mặt phẳng trên Poincaré. Ta sẽ tập trung vào lý thuyết phổ trong trường hợp thương compact. Luận văn với đề tài “Dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm GL(2,R)” gồm 3 chương: • Chương 1: Lý thuyết dạng tự đẳng cấu trên GL(2,R). • Chương 2: Biểu diễn nhóm GL(2,R). • Chương 3: Một số tính toán. Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số khái niệm liên quan đến lý thuyết dạng tự đẳng cấu trên nhóm GL(2,R), nhắc lại một số khái niệm về toán tử trong không gian Hilbert, sơ lược về nhóm Lie, đại số Lie và xây dựng đại số phổ dụng của nó. Đặc biệt, trọng tâm của chương này chính mối liên hệ giữa bài toán phổ với thương compact của nửa mặt phẳng Poincaré. Trong chương 2, từ lý thuyết của các dạng tự đẳng cấu, chúng tôi trình bày một số biểu diễn, chẳng hạn biểu diễn của nhóm compact địa phương, 2 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên biểu diễn của đại số Lie và một kết quả quan trọng là sự phân loại các (g,K)-module bất khả quy của nhóm G= GL(2,R)+. Trong chương 3 chúng tôi trình bày một số kết quả liên quan đến biểu diễn của nhóm GL(2,R). Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng Công nghiệp Nam Định, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 3 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 1 LÝ THUYẾT DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU TRÊN GL(2,R) Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lý thuyết phổ của các dạng tự đẳng cấu. Trong trường hợp Γ\H, phổ của toán tử Laplace-Beltrami là rời rạc. Ngoài ra không gian Hilbert L2(Γ\G,χ) khai triển thành các không gian bất khả qui. 1.1. Một số khái niệm cơ bản Cho H là nửa mặt phẳng Poincaré: H = {x+ iy ∈ C|y> 0}. Đặt G = GL(2,R)+ là nhóm các ma trận thực cấp 2 với định thức dương. Khi đó G tác động trên H bởi phép biến đổi phân thức tuyến tính. Nghĩa là nếu g ∈ GL(2,R)+ và z = x+ iy ∈H, y > 0 thì tác động của g tại z cho bởi: g(z) = az+bcz+d . Cho Γ là nhóm con rời rạc của G, sao cho Γ\H là compact, hoặc ít nhất có diện tích hữu hạn. Giả thiết rằng −I ∈ Γ, bởi vì nếu −I /∈ Γ, thay Γ bởi nhóm sinh bởi Γ và –I. (I là ma trận đơn vị cấp 2). Mặt khác, không mất tính tổng quát, giả thiết rằng Γ⊂ SL(2,R) (nhóm các ma trận cấp 2 với hệ số thực và định thức bằng 1). Định nghĩa 1.1.1. Cho H là một nhóm, đặc trưng của H là một đồng cấu χ : H→ C×. Đặc trưng unitary là một đặc trưng thoả mãn |χ(γ)|= 1 với 4 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên mọi γ . Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Γ là nhóm con đồng dư, P1(Q) = Q∪{∞} là đường xạ ảnh trênQ.. Do SL(2,Z) tác động bắc cầu trên P1(Q), nên nhóm con chỉ số hữu hạn chỉ có thể có quỹ đạo hữu hạn trên tập này. Một quỹ đạo của Γ trong P1(Q) được gọi là điểm nhọn của Γ. Tổng quát hơn, nếu Γ không giả thiết là nhóm con đồng dư, mà chỉ là một nhóm rời rạc tác động trênH với Γ\H có diện tích hữu hạn, thuật ngữ điểm nhọn được dùng để chỉ là một trong hai trường hợp: - Điểm a ∈ P1(R) = R∪{∞} sao cho Γ chứa một phần tử parabolic γ 6= I với γ(a) = a. - Quỹ đạo của các điểm nói trên dưới tác động của Γ. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử k là "trọng", nó có thể là số nguyên dương hoặc nguyên âm. Xem z = x+ iy và z¯ = x− iy là các biến phức độc lập, ta có các đạo hàm riêng tương ứng ∂ ∂ z = 1 2 ( ∂ ∂x − i ∂ ∂y ) , ∂ ∂ z¯ = 1 2 ( ∂ ∂x + i ∂ ∂y ) . Ta định nghĩa các toán tử vi phân Maass trên C∞(H), không gian các hàm trơn củaH Rk = iy ∂ ∂x + y ∂ ∂y + k 2 = (z− z¯) ∂ ∂ z + k 2 , Lk =−iy ∂∂x+ y ∂ ∂y − k 2 =−(z− z¯) ∂ ∂ z − k 2 và toán tử Laplace suy rộng ∆k =−y2 ( ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 ) + iky ∂ ∂x . Dễ dàng chứng minh được ∆k =−Lk+2Rk− k2 ( 1+ k 2 ) =−Rk−2Lk+ k2 ( 1− k 2 ) . 5 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Với mỗi k, định nghĩa tác động của G = GL(2,R)+ trên C∞(H) bởi công thức: f |kg= ( cz¯+d |cz+d| )k f ( az+b cz+d ) , g= ( a b c d ) . Bổ đề 1.1.4. Nếu f ∈C∞(H), g ∈ G, thì (Rk f )|k+2g= Rk ( f |kg) , (Lk f )|k−2g= Lk ( f |kg) , và (∆k f )|kg= ∆k ( f |kg). 1.2. Toán tử trong không gian Hilbert Nhắc lại một số khái niệm cơ bản sau: Định nghĩa 1.2.1. Giả sử H là không gian Hilbert. Toán tử trên H được định nghĩa là biến đổi tuyến tính trên tập con trù mật, tức là một cặp có thứ tự (T,DT ), trong đó DT là không gian con tuyến tính trù mật của H, được gọi là miền xác định của T, và T : DT → H là phép biến đổi tuyến tính. + Toán tử T được gọi là đóng nếu đồ thị của nó {( f ,T f )| f ∈ DT} là không gian con đóng của H×H. + Toán tử T được gọi là không bị chặn nếu nó không liên tục khi DT được xem như một không gian con topo của H. + Toán tử T được gọi là đối xứng nếu 〈T f ,g〉= 〈 f ,Tg〉 với f ,g ∈ DT , trong đó 〈 ,〉 là tích vô hướng trong không gian Hilbert H. + Toán tử T được gọi là tự liên hợp nếu DT = DT∗ và T = T ∗, trong đó T ∗ là liên hợp của T, DT∗ là không gian của ∀g ∈ H sao cho f 7→ 〈T f ,g〉 là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên DT . Toán tử (T ∗,DT∗) được gọi là liên hợp của T. 6 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nếu H là không gian Hilbert tách được thì: + Toán tử tuyến tính T : H→ H được gọi là bị chặn nếu miền xác định của nó là toàn bộ H, và nếu tồn tại hằng số C sao cho |Tx| ≤ C |x| với ∀x ∈ H. Hằng số C nhỏ nhất như vậy được gọi là chuẩn toán tử của T, và kí hiệu là |T |. + Toán tử T :H→H được gọi là compact, hoặc hoàn toàn liên tục, nếu T chuyển các tập bị chặn thành các tập compact. Do H là tách, tập con của H là compact nếu và chỉ nếu nó là compact dãy. Vì vậy T là compact nếu và chỉ nếu với mỗi dãy xn ⊂H của các vectơ đơn vị, tồn tại dãy con yn sao cho T (yn) là hội tụ. Định nghĩa 1.2.2. Giả sử L2(H) là không gian Hilbert các hàm đo được trênH có bình phương khả tích tương ứng với độ đo G-bất biến y−2dx∧dy. Khi đó ∆k được xác định trên không gian con trù mật C∞c (H) của L2(H). (Nếu M là một đa tạp khả vi, thì C∞(M) là không gian các hàm trơn trên M và C∞c (M) là không gian con các hàm giá compact. Nếu X là không gian tôpô, Cc(X) là không gian các hàm liên tục giá compact trên X). Cho ∆e = ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 là toán tử Laplace. Kí hiệu d là đạo hàm ngoài, đưa 1-dạng vi phân thành 2-dạng vi phân. Giả sử f và g là các hàm trơn xác định trong lân cận của một miền bị chặn Ω ⊂ C, mà biên là đường cong trơn (hoặc hợp của các đường cong trơn) ∂Ω. Ta có đồng nhất thức d ( g ( ∂ f ∂xdy− ∂ f∂ydx ) − f ( ∂g ∂xdy− ∂g∂ydx )) = (g∆e f − f∆eg)dx∧dy. Theo định lý Stokes, ta có∫ Ω (g∆e f − f∆eg)dx∧dy = ∫ ∂Ω ( g ( ∂ f ∂xdy− ∂ f∂ydx ) − f ( ∂g ∂xdy− ∂g∂ydx )) . 7 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hướng của đường lấy tích phân là (biên ∂Ω) lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Đồng nhất thức này được biết đến như công thức Green. Mệnh đề 1.2.3. Laplace ∆k là toán tử đối xứng trên L2(H) với miền xác địnhC∞c (H). 1.3. Đại số Lie và đại số phổ dụng Định nghĩa 1.3.1. Nhóm Lie là một nhóm, đồng thời là một đa tạp khả vi hữu hạn chiều, trong đó các phép toán nhân và phép nghịch đảo là các ánh xạ trơn. Định nghĩa 1.3.2. Đại số Lie là không gian vec tơ (thực hoặc phức) g được trang bị phép toán song tuyến tính, được gọi là móc Lie, thỏa mãn một số tiên đề sau: Phép toán móc, biểu diễn bởi X ,Y 7→ [X ,Y ] với X ,Y ∈ g, được giả thiết thỏa mãn [X ,Y ] =− [Y,X ] , [X ,X ] = 0, và “đồng nhất Jacobi” [[X ,Y ] ,Z]+ [[Y,Z] ,X ]+ [Z, [X ,Y ]] = 0. Trong trường hợp đại số Lie liên kết với đại số kết hợp A, phép toán móc Lie được định nghĩa bởi [X ,Y ] = XY −YX, trong đó phép nhân ở vế phải là phép nhân trong đại số A. Định nghĩa 1.3.3. Hàm tử [X ,Y ] = XY −YX, ứng một đại số kết hợp A với đại số Lie Lie(A). Ta cũng tương ứng một đại số Lie g với một đại số kết hợp U(g), được gọi là đại số bao phổ dụng của g. Nói chung, dù g là hữu hạn chiều, U(g) sẽ là vô hạn chiều. Để xây dựng U(g), ta bắt đầu với đại số tenxơ ⊗g, ∞⊕ k=0 ⊗kg, ⊗kg= g⊗ ...⊗g︸ ︷︷ ︸ k , 8 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên trong đó phép nhân ⊗kg×⊗lg = ⊗k+lg là tích tenxơ (⊗ = ⊗R hoặc ⊗C tùy thuộc g là đại số Lie thực hoặc phức). Định nghĩa 1.3.4. Giả sử V là không gian vectơ thực, U(g) là đại số bao phổ dụng của g. Phức hóa của U(g) là VC = C⊗RV , tức là không gian vectơ phức, với luật nhân C×VC→VC, thỏa mãn a(b⊗ v) = (ab)⊗ v, a,b ∈ C, v ∈V. Số chiều phức của VC bằng số chiều thực của V. Cho g là đại số Lie thực, phức hóa gC của g là đại số Lie phức. Cho ρ : g→ End(V ) là biểu diễn của đại số Lie thực, trong đó V là không gian vectơ phức. Khi đó ta có thể mở rộng ρ thành biểu diễn gC→ End(V ) như sau: Nếu X ∈ gC, viết X = X1+ iX2. Khi đó, đặt ρ(X) = ρ(X1)+ iρ(X2). 1.4. Bài toán phổ cho thương compact của nửa mặt phẳng trên 1.4.1. Lý thuyết phổ của các dạng tự đẳng cấu Cho χ là đặc trưng của Γ, C∞(Γ\H,χ,k) là không gian của các hàm trơn trênH sao cho χ(γ) f (z) = ( cz¯+d |cz+d| )k f ( az+b cz+d ) , γ = ( a b c d ) ∈ Γ. Nếu f ,g ∈ C∞(Γ\H,χ,k), thì f g¯ là bất biến theo Γ, vì vậy ta có thể định nghĩa 〈 f ,g〉= ∫ Γ\H f (z)g(z) dxdy y2 . L2(Γ\H,χ,k) là không gian Hilbert đầy đủ, f ,g∈C∞(Γ\H,χ,k) tương ứng với tích trong trên. 9 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Bổ đề 1.4.1. Giả sử ω là 1-dạng vi phân trơn sao cho γ(ω) = ω với mọi γ ∈ Γ. Khi đó ∫ Γ\H dω = 0. Chứng minh. NếuM là một đa tạp đóng định hướng n chiều, thì theo định lý Stokes, khi ω là (n -1)-dạng, ta có∫ M dω = ∫ ∂M ω = 0, vì ∂M là tập rỗng. Đặc biệt, giả sử M = Γ\H. Tính chất tuần hoàn của ω có nghĩa là có thể coi ω như là một dạng vi phân trên M, vậy ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.4.2. Các toán tử Rk và Lk là ánh xạ từ C∞(Γ\H,χ,k) vào các không gian C∞(Γ\H,χ,k+ 2) và C∞(Γ\H,χ,k− 2) tương ứng. Không gianC∞(Γ\H,χ,k) là bất biến theo ∆k. Mệnh đề 1.4.3. Nếu f ∈C∞(Γ\H,χ,k) và g ∈C∞(Γ\H,χ,k+2), thì 〈Rk f ,g〉= 〈 f ,−Lk+2g〉 . Chứng minh. Đặt ω = y−1 f (z)g(z)dz¯, trong đó dz¯ = dx− idy. Ta sẽ thấy rằng γ(ω) = ω với mọi γ ∈ Γ. Thật vậy, đặt ω = u+ iv= γ(z). Cho γ = ( a b c d ) , mà ad - bc = 1 do Γ⊂ SL(2,R). Ta có f (z)g(z) = ( cz+d cz¯+d ) f (ω)g(ω), v= |cz+d|−2y, dω = (cz+d)−2dz, dω = (cz¯+d)−2dz¯. Do đó v−1 f (ω)g(ω)dω¯ = y−1 f (z)g(z)dz¯. 10 11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Từ Bổ đề 1.4.1 ta có 0= ∫ Γ\H d(y−1 f (z)g(z)dz¯) = ∫ Γ\H [ − ∂∂y(y−1 f g¯)− i ∂∂x(y−1 f g¯) ] dx∧dy =− ∫ Γ\H [( iy∂ f∂x + y ∂ f ∂y ) g¯− ( iy∂g∂x + y ∂g ∂y ) f − f g¯ ] dx∧dy y2 =− ∫ Γ\H [ (Rk f )g¯+ f (Lk+2g) ] dx∧dy y2 , từ đó ta có 〈Rk f ,g〉= 〈 f ,−Lk+2g〉. Mệnh đề 1.4.4. ∆k là toán tử đối xứng (không bị chặn) trên không gian Hilbert L2(Γ\H,χ,k). 1.4.2. Xác định phổ của toán tử đối xứng không bị chặn trên L2(Γ\H,χ,k) Nếu Γ\H là compact, thì tồn tại một dãy đếm được các giá trị riêng 0 = λ0,λ1,λ2, ... ứng với các véc tơ riêng 1 = φ0,φ1,φ2, ... tạo thành một cơ sở trực giao của L2(Γ\H,χ,k). Hơn nữa, các giá trị riêng λi→ ∞, và do đó không có điểm tụ trong C. Trong trường hợp này, toán tử Laplace có phổ rời rạc. Định nghĩa 1.4.5. Độ đo Haar bất biến trái trên nhóm compact địa phương G là độ đo Borel dLg bất biến theo tác động trái của G vào chính nó. Tức là ∫ G f (xg)dLg= ∫ G f (g)dLg với mọi x ∈ G và hàm khả tích f. Tương tự tồn tại độ đo Haar bất biến phải dRg. Các độ đo này có thể hoặc không trùng nhau. Nếu độ đo Haar trái và độ đo Haar phải bằng nhau thì nhóm G được gọi là unimodular và độ đo Haar được gọi là bất biến hai phía. Định lý 1.4.6. (Định lý phổ của toán tử compact) Cho T là toán tử compact tự liên hợp trên không gian Hilbert tách được H. Khi đó H có một cơ sở trực giao φi(i= 1,2,3, ...) gồm các vectơ riêng của T, để Tφi = λiφi. Các giá trị riêng λi→ 0 khi i→ ∞. 11 12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Bổ đề sau là kết quả quen biết trong Giải tích hàm. Bổ đề 1.4.7. Cho T là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H. Giả thiết rằng với mỗi ε > 0 tồn tại toán tử compact Tε sao cho |T −Tε | < ε . Khi đó T là compact. 1.4.3. Khai triển không gian Hilbert L2(Γ\G,χ) thành các không gian con bất khả qui Ta sẽ xét khai triển tổng trực tiếp không gian Hilbert L2(Γ\G,χ) = ⊕ k∈Z L2(Γ\G,χ,k), trong đó L2(Γ\G,χ,k) là không gian con của L2(Γ\G,χ) bao gồm các hàm sao cho với κθ = ( cos(θ) sin(θ) −sin(θ) cos(θ) ) , ta có ρ(κθ )F = eikθF, đó là F(gκθ ) = eikθF(g). Mệnh đề 1.4.8. Các không gian Hilbert L2(Γ\G,χ,k) và L2(Γ\H,χ,k) là đẳng cấu. Đặc biệt, có một đẳng cấu giữa các không gian Hilbert. σk : L2(Γ\H,χ,k)→ L2(Γ\G,χ,k) cho bởi (σk f )(g) = ( f |kg)(i),g ∈ G, với f ∈ L2(Γ\H,χ,k). Cho G= GL(2,R)+. Ta biết rằng mỗi phần tử của G có một biểu diễn dạng g= ( u u )( y1/2 xy−1/2 y−1/2 ) κθ ,κθ = ( cos(θ) sin(θ) −sin(θ) cos(θ) ) , (1.1) với x,y,u,θ ∈ R,u,y > 0. Biểu diễn (1.1) là duy nhất, trừ θ chỉ xác định theo modulo 2pi . 12 13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Sử dụng x, y, u và κθ trong biểu diễn (1.1). Nếu F là một phần tử của C∞(Γ,χ,k), từ phương trình F(gκθ ) = eikθF(g) ta có ∂F ∂θ = ikF . Định nghĩa 1.4.9. Các toán tử vi phân trên G R= e2iθ ( iy ∂ ∂x + y ∂ ∂y + 1 2i ∂ ∂θ ) , L= e−2iθ ( −iy ∂ ∂x + y ∂ ∂y − 1 2i ∂ ∂θ ) , và toán tử Laplace - Beltrami ∆=−y2 ( ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 ) + y ∂ 2 ∂x∂θ . Định lý 1.4.10. Không gian L2(Γ\G,χ) phân tích được thành tổng trực tiếp Hilbert của các không gian con bất biến và bất khả qui theo biểu diễn chính qui phải ρ . Chứng minh. Cho Σ là tập tất cả các tập S của các không gian con bất biến bất khả qui của L2(Γ\G,χ) sao cho các phần tử của S là trực giao với nhau. Sử dụng bổ đề Zorn, Σ có phần tử cực đại S. Cho H là phần bù trực giao của bao đóng của tổng trực tiếp các phần tử của S. Ta có H= 0. Nếu H 6= 0, ta có thể chọn 0 6= f ∈ H. Tồn tại một không gian con bất biến của H, điều này mâu thuẫn với tính cực đại của Σ. Chọn φ để ρ(φ) là tự liên hợp, và ρ(φ) 6= 0. ρ(φ) là toán tử tự liên hợp khác không trên H, và do đó có giá trị riêng khác không λ . Cho L⊂H là không gian riêng của ρ(φ). L là không gian vectơ hữu hạn chiều. Cho L0 là không gian con khác không nhỏ nhất của L. Sự tồn tại của L0 do L là hữu hạn chiều. Cho V là giao của tất cả các không gian con bất biến đóng của W của 13 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên H sao cho L0 = L∩W. Ta có V là bất khả quy. Nếu V không bất khả quy thì V =V1⊕V2, trong đó V1,V2 là các không gian con bất biến nhỏ hơn. Cho 0 6= f0 ∈ L0. Đặt f0 = f1+ f2, trong đó fi ∈Vi(i= 1,2). Từ định nghĩa của của ρ(φ), bất kỳ không gian con đóng nào của V là bất biến theo tác động của G là bất biến theo ρ(φ). Đặc biệt, V1,V2 là bất biến theo ρ(φ). Do đó ρ(φ) fi−λ fi ∈V (i= 1,2). Vì fi ∈Vi (ρ(φ) f1−λ f1)+(ρ(φ) f2−λ f2) = (ρ(φ) f0−λ f0) = 0. Nên fi là các hàm riêng của ρ(φ) với giá trị riêng λ . Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng f1 6= 0. Khi đó f1 ∈ L∩V1 ⊆ L0, vì L0 là không gian con nhỏ nhất của L do đó L∩V1 = L0. Mà V là giao của tất cả các không gian con bất biếnW của H sao cho L0 = L∩W, nhưng V1 là không gian con thật sự của V. Điều này là mâu thuẫn. Hệ quả 1.4.11. L2(Γ\G,χ) = ⊕ k∈Z L2(Γ\G,χ,k), trong đó L2(Γ\G,χ,k) là không gian con của L2(Γ\G,χ) bất biến dưới tác động của biểu diễn ρ. Chứng minh. Thật vậy, L2(Γ\G,χ) = ⊕ λ∈I Vλ (theo Định lý 1.4.10, với Vλ bao gồm các f sao cho ρ(φ) f = λ f . Vì biểu diễn ρ là unitary và nhóm K = SO(2) là compact nên ta có λ = k. 14 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 2 BIỂU DIỄN NHÓM GL(2,R) Trong chương này, chúng tôi xét một số biểu diễn, biểu diễn của các nhóm compact địa phương, biểu diễn của đại số Lie. Từ đó cho một số kết quả từ lý thuyết biểu diễn và giới thiệu (g,K)-module, trong đó có sự phân loại các (g,K)-module bất khả quy chấp nhận được của nhóm G= GL(2,R). 2.1. Dạng tự đẳng cấu trên GL(2,R) 2.1.1. Định nghĩa Giả sử G là nhóm reductive, A× là xuyến xòe của G, ω là một đặc trưng của xuyến xòe. Cho A(Γ\G,χ,ω) là không gian của các hàm trơn φ : G→ C sao cho 1. φ   z1 . . . zn g = ω(z)φ(g), z= (z1, ...,zn) ∈ A×, 2. φ(γg) = φ(g), γ ∈ GL(n,A), 3. φ là K hữu hạn, φ là Z hữu hạn, trong đó K là nhóm con compact cực đại, Z là tâm của đại số bao phổ dụng. 15 16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên + K-hữu hạn có nghĩa là các tịnh tiến bởi k ∈ K sinh ra không gian con hữu hạn chiều. + Z- hữu hạn có nghĩa là các tác động của Z là φ sinh ra không gian con hữu hạn chiều. 4. φ có tăng vừa phải tức là |φ(g)| ≤C‖g‖N, g ∈ G,C ∈ R+,N ∈ N. Hàm φ như vậy được gọi là dạng tự đẳng cấu. 2.1.2. Các dạng tự đẳng cấu trên