Luận văn Đánh giá phép biến hình á bảo giác thuận và ngược miền ngoài đường tròn bị cắt những đoạn thẳng theo bán kính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH VĂN CHÍNH ĐÁNH GIÁ PHÉP BIẾN HÌNH Á BẢO GIÁC THUẬN VÀ NGƯỢC MIỀN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN BỊ CẮT NHỮNG ĐOẠN THẲNG THEO BÁN KÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. VÕ ĐĂNG THẢO ĐH. Khoa học Tự nhiên TP. HCM TP. HỒ CHÍ MINH – 2009 2 LỜI CẢM ƠN Tôi tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy PGS. TS. Võ Đăng Thảo – Người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi một cách không mệt mỏi trong quá trình làm luận văn này. Huỳnh Văn Chính 3 MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU VÀ KÍ HIỆU......................................................................... 4 1.1 Tổng quan...................................................................................... 4 1.2 Đối tượng và mục đích nghiên cứu .............................................. 5 1.3 Các kí hiệu .................................................................................... 8 1.4 Các hàm phụ ............................................................................... 12 2 CÔNG CỤ............................................................................................ 16 2.1 Định nghĩa phép biến hình bảo giác ......................................... 16 2.2 Bất đẳng thức Carleman và các hệ quả .................................... 16 2.3 Định nghĩa phép biến hình K – á bảo giác .............................. 20 2.4 Mở rộng bất đẳng thức Carleman ............................................. 21 2.5 Mở rộng bất đẳng thức ɺɺGrotzsch ............................................. 26 3 CÁC ĐÁNH GIÁ CHO LỚP H........................................................... 31 3.1 Đánh giá các diện tích bởi lớp H............................................... 31 3.2 Đánh giá ( ) ( ) ( )m R, h , M R, h , h z bởi lớp H........................... 35 3.3 Đánh giá ( ) ( )ɶɶc h , d h bởi lớp H .................................................. 38 3.4 Cận dưới đúng cho ∼c .................................................................. 39 3.4.1 Đặt vấn đề ....................................................................... 39 3.4.2 Giải quyết vấn đề ............................................................ 39 4 CÁC ĐÁNH GIÁ CHO LỚP G........................................................... 44 5 CÁC ĐÁNH GIÁ CHO LỚP F ........................................................... 49 5.1 Đánh giá lớp hàm F ................................................................... 49 5.2 Mối liên hệ giữa các miền chuẩn............................................... 52 KẾT LUẬN .............................................................................................. 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 55 4 Chương 1 MỞ ĐẦU VÀ KÍ HIỆU 1.1 Tổng quan Lý thuyết hình học hàm một biến phức là một bộ phận quan trọng của giải tích phức, đã và đang phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong các ngành khoa học kỹ thuật như: hệ phương trình eliptic, thủy động học, khí động học, nước ngầm, điện từ trường, nổ định hướng, đàn hồi, … Năm 1928, nhà toán học người Đức Grotzschɺɺ (xem [7], [8]) khởi xướng phép biến hình K – á bảo giác (viết tắt PBHKABG, xem định nghĩa ở mục 2.3) như một sự mở rộng tự nhiên phép biến hình bảo giác (viết tắt PBHBG, xem định nghĩa ở mục 2.1), xuất phát từ chỗ muốn khắc phục sự không tồn tại PBHBG hình vuông lên hình chữ nhật với các cạnh không bằng nhau, sao cho các đỉnh tương ứng với nhau, về sau nhằm giải quyết mô hình ứng dụng hàm phức có tính thực tế hơn. Việc đánh giá các đại lượng hình học qua các lớp PBHKABG giữ vai trò rất quan trọng trong lý thuyết cũng như thực hành. Người ta đã xây dựng được nhiều đánh giá tối ưu cho các PBHBG những miền đơn liên. Đối với các PBHBG và nhất là PBHKABG những miền đa liên, 5 ngoài các kết quả của Grotzschɺɺ (xem [5, chương V], [9, chương VII]) và Võ Đăng Thảo (xem [10] - [15]), các đánh giá hiện còn ít và sơ lược. Luận văn này là một đóng góp nhỏ vào khiếm khuyết đó. 1.2 Đối tượng và mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi xét miền chuẩn E là miền 1z > với p ( )1 p≤ <∞ nhát cắt ( ) ( ) ( ) ( )0 0 2 arg 1 , 1 1,2,..., .jL z z j c z d j p p pi   = = − < ≤ ≤ <∞ =     (1.1) Gọi H là lớp các PBHKABG ( ),w h z z E= ∈ có tính đối xứng quay cấp ( )1,2,...p p = , tức ( ) 2 2 , , i i p ph e z e h z z E pi pi   = ∀ ∈    (1.2) trong đó trường hợp 1p = là hiển nhiên và mỗi h H∈ biến miền E lên B là miền nằm trong 1w > sao cho ( )h ∞ =∞ , 1z = thành đường cong kín 1C ngoại tiếp đường tròn 1w = , nhát cắt jL thành jσ ( )1,2,...,j p= . Do (1.1), (1.2) và tương ứng biên trong PBHKABG miền B cũng giống như miền E có tính đối xứng quay cấp p, nghĩa là miền B trùng chính nó bởi phép quay  2 , i pw e w w B pi = ∈ . 6 Gọi A là miền nằm trong 1ξ > , chứa ξ = ∞ , giới hạn bởi đường cong kín 1C ngoại tiếp đường tròn 1ξ = và p thành phần biên jσ ( )1,2,...,j p= sao cho miền A trùng chính nó bởi phép quay 2 , i pe A pi ξ ξ ξ= ∈ɶ . Gọi G là lớp các PBHKABG ( ) 1, ,z g g h h Hξ −= = ∈ miền A lên miền E. Do (1.2), ta có ( ) 2 2 , , i i p p e g g e A g G pi pi ξ ξ ξ  = ∀ ∈ ∀ ∈   , (1.3) tức là hàm g G∈ cũng có tính đối xứng quay cấp p . Mỗi miền A như trên có thể biến bảo giác đơn diệp (một – một) bởi một hàm ( )z g ξ= lên miền chuẩn 1z > với p nhát cắt nằm trên các tia xuất phát từ 0z = sao cho ( )g ∞ =∞ và 1C tương ứng với 1z = . Các hàm ( ),z g Aξ ξ= ∈ vừa nêu chỉ sai khác nhau một phép quay (xem [9, tr.335]). Tương tự trường hợp [10, tr.109] có thể chứng minh ( )g A phải trùng với chính nó bởi phép quay một góc 2 p pi , hàm g và 1 g − đều có tính đối xứng quay cấp p . Như vậy với mỗi miền A đã nêu tồn tại duy nhất một hàm 0g đã nêu và một miền chuẩn E đã nêu sao cho ( )0g A E= trong đó jσ tương ứng với jL ( )1,2,...,j p= . Gọi F là lớp các PBHKABG ( )w f ξ= miền A lên miền B sao cho ( )f ∞ =∞ , các thành phần biên 1C , jσ của A tương ứng với thành 7 0 0 0 phần biên 1C , jσ ( )1,2,...,j p= của B trong đó 1C ngoại tiếp đường tròn 1w = và ( ) 2 2 , . i i p pf e e f A pi pi ξ ξ ξ   = ∀ ∈    (1.4) Như vậy, mỗi f F∈ có thể xem như hợp của PBHBG đơn diệp g miền A lên miền chuẩn E, tức g G∈ với 1K = , với PBHKABG h H∈ miền E lên miền B, tức là f h g=  . A ( )z g ξ= E ( )w h z= B 1 1 0c 0d 1 ξ z w ( )w f ξ= Hình 1.1: Miền đa liên A, E, B với trường hợp p = 2. Mục đích chính của luận văn này là đánh giá các đại lượng hình học của các miền ảnh bởi ,g G h H∈ ∈ và f F∈ từ các đại lượng của các miền ban đầu. Nội dung chính của luận văn bao gồm: 8 – Chương 1. Mở đầu và kí hiệu: Tổng quan, đặt vấn đề. Ở đây cũng đưa ra các kí hiệu và các hàm phụ được sử dụng trong luận văn. – Chương 2. Công cụ: Trình bày một số kiến thức cơ bản về PBHBG và PBHKABG. Ở đây, chúng tôi cũng nhắc lại một số bất đẳng thức cơ bản được sử dụng nhiều lần để đánh giá các đại lượng liên quan đến miền ảnh. – Chương 3: Các đánh giá cho lớp H các PBHKABG miền chuẩn E lên miền B. – Chương 4: Các đánh giá cho lớp G các PBHKABG miền A lên miền chuẩn E. – Chương 5: Các đánh giá cho lớp F các PBHKABG miền A lên miền B. Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo của luận văn. 1.3 Các kí hiệu Với miền A • 1s : diện tích ngoài (1) của tập đóng do biên 1C bao bọc. • js s= : diện tích ngoài của tập đóng giới hạn bởi thành phần biên jσ ( )1,2,...,j p= (1) Diện tích ngoài của tập đóng bị chặn D là cận dưới đúng của diện tích các đa giác chứa D. 9 • { }minj jc c ξ ξ σ= = ∈ ( )1,2,...,j p= • { }maxj jd d ξ ξ σ= = ∈ ( )1,2,...,j p= Với miền B •   ( )1 1s s h= : diện tích ngoài của tập đóng do biên 1C của ( )B h E= , h H∈ . •  ( )js s h=ɶ : diện tích ngoài của tập đóng giới hạn bởi thành phần biên jσ ( )1,2,...,j p= của ( )B h E= , h H∈ . • ( )  ( ) { }minj jc c h c h w w σ= = = ∈ɶ ɶ ( )1,2,...,j p= , h H∈ . • ( )  ( ) { }maxj jd d h d h w w σ= = = ∈ɶ ɶ ( )1,2,...,j p= , h H∈ . Với 1 r , ( )rγ − là thành phần biên ngoài của ( )1E r và ( )rγ + là thành phần biên trong cùng (gần gốc tọa độ nhất) của ( )2E r . Rõ ràng nếu đường tròn z r= không có điểm chung với các nhát cắt jL ( )1,2,...,j p= , tức 01 r c< < hoặc 0d r< < +∞ thì ( ) ( ) ( )r r rγ γ γ − += = và đó chính là đường tròn z r= . Gọi ( ),r hγ −∼ và ( ),r hγ +∼ là các tập điểm của mặt phẳng w lần lượt tương ứng với ( )rγ − và ( )rγ + bởi h H∈ , tức thỏa ( )h ∞ =∞ . Với h H∈ , ta kí hiệu: • ( ) ( ){ }, min ,m r h w w r hγ −= ∈ ∼ • ( ) ( ){ }, max ,M r h w w r hγ += ∈ ∼ 10 • ( ) ( ) 1 , , lim r K m r h m h r →∞ ′ ∞ = • ( ) ( ) 1 , , lim r K M r h M h r →∞ ′ ∞ = • ( ) ( )* ,, lim Kr m r h m h r→∞ ∞ = • ( ) ( )* ,, lim Kr M r h M h r→∞ ∞ = • ( ),S r h− : diện tích trong(2) của miền chứa 0w = giới hạn bởi ( ),r hγ −∼ • ( ),S r h+ : diện tích ngoài của của tập đóng giới hạn bởi ( ),r hγ +∼ • ( ) ( ) 2 , , lim r K S r h S h rpi − →∞ ′ ∞ = . Rõ ràng nếu 01 r c< < hoặc 0d r< < +∞ thì ( ) ( ), ,S r h S r h − += ( ),S r h= , h H∈ , còn nếu 0 0c r d≤ ≤ thì ( ) ( ), ,S r h S r h ps + −= + ɶ . Thay cho các hàm h H∈ các kí hiệu tương tự như trên cũng sẽ được dùng cho các hàm g G∈ và f F∈ . Hơn nữa, ( )1,r∀ ∈ +∞ và h H∈ ta luôn có bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , , , , .m r h S r h S r h M r h h Hpi pi− +≤ ≤ ≤ ∈ (1.5) Suy ra ( ) ( ) ( )2 2, , , , .m h S h M h h H′ ′ ′∞ ≤ ∞ ≤ ∞ ∈ (1.6) (2) Diện tích trong của một miền D là cận trên đúng của diện tích các đa giác nằm trong D. 11 Bổ đề 1.1 Nếu f h g=  với h H∈ thì ( ) ( ) ( ) 1 , ,KM f g M h′ ′ ′∞ = ∞ ∞ (1.7) ( ) ( ) ( ) 2 , ,KS f g S h′ ′ ′∞ = ∞ ∞ (1.8) Chứng minh. Xem [19, tr.13]. ■ Bổ đề 1.2 (Thao [15], tr.1050) Nếu ( )w h z= là PBHKABG một miền chứa z =∞ với ( )h ∞ =∞ và ( ), 0M h′ ∞ > . Nếu 1g h−= thì ( ) ( ) 1 *, , KM h m g −′ ∞ = ∞ (1.9) ( ) ( ) 1 *, , Km h M g −′ ∞ = ∞ (1.10) Chứng minh. Cho R đủ lớn, đặt { }RC z z R= = và  ( )R RC h C= . Rõ ràng tồn tại một điểm 1 Rw C∈ và một điểm 1 Rz C∈ sao cho ( ) ( )1 1,M R h w h z r= = = Đặt { }rL w w r= = và  ( )r rL g L= , chú ý là  rL nằm ngoài hoặc tiếp xúc với RC trong 1 z< <∞ , ta có: ( ) ( )1 1,m r g g w z R= = = Từ đó, vì ( ), 0M h′ ∞ > nên ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 * 1 1 , , , lim lim lim , , K K KR r r K K M R h m r gr M h m g rm r gR − − →∞ →∞ →∞  ′ ∞ = = = = ∞   Tương tự, ta cũng có (1.10). ■ 12 1.4 Các hàm phụ Các hàm số thực ( ) ( ), , , 0 1t T p r s s r= ≤ < < (1.11) ( ) ( ), , , 0 1r R p t s s t= ≤ < < (1.12) với p ∈ ℕ , được định nghĩa sao cho hình vành khăn 1r z< < tương đương bảo giác với hình vành khăn 1s w< < bị cắt p nhát theo bán kính ( ) 2 arg 1 , , 1,2,..., .j w w j s w t j p p pi   = = − < < =     ℓ r 1 bảo giác s t 1 z w Hình 1.2: Hàm phụ ( ), ,T p r s với = 2p . Do tính đơn điệu của môđun miền nhị liên (xem hệ quả 2.3) nên ta có một số tính chất về sự đơn điệu theo từng biến của ( ), ,T p r s và ( ), ,R p t s : ( ) ( ), , 1, 0 1r T p r s s r< < ≤ < < (1.13) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , 0 1T p r s T p r s s s r> ≤ < < < (1.14) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , 0 1T p r s T p r s s r r< ≤ < < < (1.15) 13 ( ) ( ) ( ), , 1, , , 0 1, 2T p r s T r s s r p< ≤ < < ≥ (1.16) ( ) ( ), , , 0 1s R p t s t s t< < ≤ < < (1.17) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , 0 1R p t s R p t s s t t< ≤ < < < (1.18) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , 0 1R p t s R p t s s s t< ≤ < < < (1.19) ( ) ( ) ( ), , 1, , , 0 1, 2R p t s R t s s t p> ≤ < < ≥ (1.20) Từ các công thức ở [9, tr.295], Thao [10, tr.101-104], tìm được biểu thức giải tích của hàm ( ), ,R p t s : ( ) ( ) ( ) ( ), , 0 exp , 0 1, 2 p p K t R p t t p pK t pi ′ − = < < ∈     ℕ (1.21) với ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 2 2 20 , 1 1 1 dx K k K k K k x k x ′= = − − − ∫ . Khi 0 1,s t p< < < ∈ ℕ , ta được ( ) ( ) ( ) , , exp 2 K u R p t s pK u pi ′−  =      (1.22) trong đó ( )1 2u h h h= + − + , với ( )( ) ( ) 4 4 2 1 1 1 1 , 4 , 1 1 pj p pj p j k ak s h k s k a s ∞ − =  − − + = =  + + ∏ ( ) ( ) 2 ln , , , i pK k t a sn b k b K k spi  = + =   ở đây, ( ),sn z k chỉ hàm sin eliptic với tham số k. Trong những trường hợp giới hạn, ta được: ( ) 1 , , 0 4 pR p t t − ≈ khi 0t → (1.23) 14 ( ) ( ) 2 1 , , 0 8 2 ln 1 R p t p p t pi − ≈ − khi 1t → (1.24) Thao [10, tr.102-105] cũng tìm được biểu thức giải tích của hàm ( ), ,T p r s : ( ) ( ) 4 1 4 4 2 1 1 , , 0 4 , 0 1, 1 pj p p pj p j r T p r r r p r ∞ − =  + = < < ∈  + ∏ ℕ (1.25) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 2 20 , , exp 2 1 1 i dx T p r s s pK k x k x pi    − =   − −    ∫ (1.26) với 0 1,s r p< < < ∈ ℕ , ( )K k và k xác định như trên, ( ) ( ) 42 4 4 2 1 11 1 , , 4 2 1 1 pj p pj p j k hm r a m h r k m h k r ∞ − =  −− + = = =  + − + ∏ Từ biểu thức ( ), , 0T p r , ta được ( ) ( ) 1 , , 0 4 , 0 1, .pT p r r r p< < < ∈ ℕ (1.27) Kết hợp với (1.13), (1.14), ta có: ( ) 1 , , 4 ,pr T p r s r< < (1.28) từ đó suy ra ( ) ( )lim , , , 0 1 . p T p r s r s r →∞ = ≤ < < (1.29) Mặt khác, từ (1.27), ta có: ( ) ( ) 1 , , 0 4 , 0 1,pR p t t t p − > < < ∈ ℕ (1.30) kết hợp (1.17), (1.19), ta được 15 ( ) 1 4 , , ,p t R p t s t − < < (1.31) từ đó suy ra ( ) ( )lim , , , 0 1 . p R p t s t s t →∞ = ≤ < < (1.32) Hơn nữa, ta nhận được từ (1.23), (1.24) ( ) 1 , , 0 4pT p r r≈ khi 0r → , (1.33) ( ) ( ) 28 1 , , 0 exp 2 1 T p r p p r pi  − − ≈   −   khi 1r → . (1.34) 16 Chương 2 CÔNG CỤ 2.1 Định nghĩa phép biến hình bảo giác Một phép biến hình một – một ( ) ( ) ( ), ,w f z u x y iv x y= = + miền A của mặt phẳng z lên miền B của mặt phẳng w được gọi là bảo giác trong A nếu tồn tại mọi điểm 0z A∈ có hai tính chất: a) Bảo toàn góc giữa hai đường cong bất kỳ qua 0z kể cả chiều quay. b) Có hệ số co giãn không đổi theo mọi hướng tại 0z , tức là lim 0 z w a z→∞ = > △ △ △ 2.2 Bất đẳng thức Carleman và các hệ quả Bổ đề 2.1 (Bất đẳng thức Carleman) Giả sử ( )w f z= biến bảo giác đơn diệp hình vành khăn ( ) ( )0 r z R< < < <∞ lên miền nhị liên D không chứa điểm ∞ với biên trong 1C và biên ngoài 2C sao cho 17 z R= tương ứng 2C . Gọi S là diện tích trong của tập mở do 2C bao bọc, s là diện tích ngoài của tâïp đóng do 1C bao bọc. Khi đó, ta có: 2 R S s r  ≥    (2.1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( )f z az b= + với a, b là hằng số và 0a ≠ . Chứng minh.Xem Carlerman [4, tr.212] hoặc Lương [17, tr.6-8]. ■ Hệ quả 2.1 (Định nghĩa môđun miền nhị liên) Giả sử 1 2,f f lần lượt biến bảo giác đơn diệp miền nhị liên D lên các hình vành khăn { }1 1 1 1 1V w r w R= < < và { }2 2 2 2 2V w r w R= < < . Khi đó 1 2 1 2 R R r r = (2.2) Tỉ số này được gọi là môđun miền nhị liên D, kí hiệu là ( )mod D . Chứng minh. PBHBG 11 2f f −  hình vành khăn 2V lên 1V . Trong khi đó, PBHBG 12 1f f −  hình vành khăn 1V lên 2V . Theo bổ đề 2.1, ta lần lượt có: 2 2 2 1 2 1 R R r r       ≥        và 2 2 1 2 1 2 R R r r       ≥        , suy ra đẳng thức (2.2). ■ 18 Hệ quả 2.2 (Tính bất biến của môđun miền nhị liên) Nếu miền nhị liên A có các thành phần biên không thoái hóa thành một điểm được biến bảo giác đơn diệp lên miền nhị liên B thì ( ) ( )mod modA B= (2.3) Chứng minh. Gọi f là PBHBG đơn diệp miền A lên miền B. Xét hai PBHBG g miền A lên hình vành khăn { }1 1 1A s r s R= < < và h miền B lên hình vành khăn { }2 2 2A t r t R= < < . Từ hệ quả 2.1, ta suy ra ( ) 1 1 mod R A r = và ( ) 2 2 mod R B r = . Gọi h fϕ =  thì ϕ là PBHBG đơn diệp miền A lên miền 2A . Khi đó, theo hệ quả 2.1, ta có 1 2 1 2 R R r r = , tức (2.3). ■ Hệ quả 2.3 (Tính đơn điệu của môđun miền nhị liên) Trong mặt phẳng z cho hai miền nhị liên 1 2,D D với môđun tương ứng là 1 1 R r và 2 2 R r . Giả sử 1 2D D⊆ và 1D ngăn cách hai thành phần biên của 2D . Khi đó 1 2 1 2 R R r r ≤ (2.4) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2D D= . 19 Chứng minh. Giả sử f là PBHBG 2D lên hình vành khăn 2 2r w R< < . Miền nhị liên 1D qua f trở thành miền nhị liên 1D với biên trong 1C và biên ngoài 2C , trong đó 1C bao quanh hoặc trùng đường tròn 2w r= , còn đường tròn 2w R= bao quanh hoặc trùng với  2C . Gọi S là diện tích trong của tập mở do 2C bao bọc và s là diện tích ngoài của tập đóng do 1C bao bọc. Từ tính bất biến của môđun miền nhị liên, ta suy ra ( ) 11 1 mod R D r = . Theo bổ đề 2.1, ta có: 2 1 1 S R s r   ≥     trong đó, theo bổ đề 2.1, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1D là hình vành khăn. Mặt khác, ta luôn có 22S Rpi≤ và 2 2s rpi≥ . Vậy, ta được 2 2 2 1 2 1 R S R r s r       ≥ ≥        . Đẳng thức ở (2.4) xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 1 2 1 R S R r s r       = =        , tức 1D chính là hình vành khăn 2 2r w R< < hay 1 2D D= . ■ 20 2.3 Định nghĩa phép biến hình K – á bảo giác PBHKABG được định nghĩa bởi nhiều cách, trong đó định nghĩa hình học dưới đây là tổng quát nhất. Một song ánh liên tục hai chiều ( )w f z= từ miền A lên miền B, bảo toàn chiều dương trên biên, được gọi là một PBHKABG nếu tồn tại một số 1K ≥ sao cho môđun m của tứ giác cong V (tức tỉ lệ giữa hai cạnh hình chữ nhật tương đương bảo giác với tứ giác cong) bất kỳ trong A và môđun m của  ( )V f V= luôn thỏa  m m Km K ≤ ≤ (2.5) hoặc Bất kỳ miền miền nhị liên D nào trong A có môđun M (tức tỉ lệ giữa bán kính lớn và bán kính nhỏ của hình vành khăn tương đương bảo giác với D) thì môđun M của  ( )D f D= thỏa  1 KK