Luận văn Điều kiện đủ cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––––––– NGUYỄN HUY HÙNG ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2 CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP 2 Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN – 2011  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ............................................................................................... 2 Chương 1. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP ............................................. 5 1.1. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ ........................................................... 5 1.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU ............................................................ 7 1.3. BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC ............................. 17 Chương 2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC ..... 23 2.1. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2.................................................... 23 2.2. SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CỦA A. D. IOFFE .. 40 2.3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM LAGRANGE.................................................................................... 45 KẾT LUẬN.......................................................................................... 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 MỞ ĐẦU Lý thuyết các bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng trong kinh tế và nhiều ngành kỹ thuật. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta nhận được các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp 2. Các điều kiện tối ưu cấp 2 cổ điển thường được thiết lập dưới ngôn ngữ các gradient và Hessian của hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc của bài toán. Với bài toán tối ưu mà dữ liệu là các hàm Lipschitz địa phương, người ta thường dùng gradient suy rộng và Jacobian suy rộng Clarke thay thế vai trò của gradient và Hessian. R.W. Chaney [7] đã thiết lập các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke cho bài toán với ràng buộc trong không gian Euclide n-chiều. Ở đây hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương, ràng buộc là một tập đóng trong Rn. Phương pháp chứng minh phản chứng cùng với các điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Clarke [3] đã được tác giả sử dụng để dẫn đến các điều kiện đủ tối ưu cấp 2. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cùng được thiết lập. Trong [6] R.W. Chaney đã dẫn các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán với hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức Lipschitz địa phương. Ở đây các điều kiện đủ cấp 2 được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm được xây dựng kiểu hàm “quy gọn” của Ioffe [9] (“quy gọn” bài toán xuất phát có ràng buộc hàm thành bài toán không ràng buộc với hàm mục tiêu “quy gọn”). Luận văn trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 của Chaney [6,7] cho các bài toán với ràng buộc tập và bài toán với hữu hạn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 ràng buộc hàm, trong đó dữ liệu của các bài toán là các hàm Lipschitz địa phương. Các điều kiện đủ cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của hàm bổ trợ cho hàm mục tiêu, và hàm quy gọn kiểu Ioffe. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong luận văn. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập, trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương, còn ràng buộc là một tập đóng trong Rn. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong chương này là của R.W. Chaney [7] dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này. Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu có hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong chương này là của R.W. Chaney [6] được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm H và M được xây dựng theo kiểu hàm quy gọn của Ioffe [9]. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa học, xin chân thành cảm ơn gia Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 đình, bạn bè đồng nghiệp và các học viên lớp Cao học Toán K17 đã luôn quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 NGUYỄN HUY HÙNG Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Chương 1. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập, trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương và ràng buộc là một tập đóng trong Rn. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke. Trường hợp bài toán với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này. Các kết quả được trình bày trong chương này là của R.W.Chaney [7]. 1.1. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ Gradient suy rộng Cho W là một tập mở trong Rn. Giả sử f là một hàm giá trị thực xác định trên W. Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên W nếu với mỗi điểm x thuộc W tồn tại một lân cận  xV và một số  xK sao cho: ( ) ( ) ( )f z f y K x z y   với mọi z và y thuộc  xV . Trong đó z y là chuẩn Euclide của z y Định nghĩa 1.1 Giả sử f là Lipschitz địa phương trên W. Theo Định lý Rademacher [12], f là khả vi hầu khắp nơi trên W. Ký hiệu f là gradient của f tại x (khi nó tồn tại). Gọi E là tập hợp tất cả các điểm z trong W mà f là khả vi tại z. Giả sử x thuộc W. Gradient suy rộng của f Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 tại x, ký hiệu là )(xf , là bao lồi của tập của tất cả các điểm giới hạn của dãy hội tụ  ( )kf x , trong đó  1kkx là một dãy trong E hội tụ đến x. Đạo hàm theo phương suy rộng của f tại x theo phương d được định nghĩa bởi t vxftdvxfdxf tv )()(suplim),( 00 0   . Ta có (xem [1]):  non RuuxfuRxf  ),;(,:)(  Nhận xét 1.1 Ta liệt kê một số sự kiện về các gradient suy rộng mà ta sẽ sử dụng sau này (xem [1]). Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x với hằng số k. Khi đó, (a) Hàm .);(xf o hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính trên nR và vkvxf o );( . (b) ),( vyf o nửa liên tục trên theo .);();,( xfvy o Lipschitz (theo v) với hằng số k trên nR . (c) 0)(  xf , lồi, compact và  ( )k f x    (d)  )(:.max);(0 xfvdvdxf  ,với mọi x thuộc W và d thuộc nR . Nói cách khác, ;.)(0 xf là hàm tựa của tập lồi )(xf . (e) Cho x thuộc W, hàm ;.)(0 xf lồi trên nR . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 (f) Hàm đa trị ( )x f x là nửa liên tục trên W;. Do đó, nếu  kx và  kv hội tụ tương ứng với xW và v nR và nếu kv  )(xf với mỗi k, thì v )(xf . (g) Định lý giá trị trung bình của Lebourg. Giả sử x và yW. Giả sử đoạn thẳng L nối x và y nằm trong W. Khi đó tồn tại z  L và v  )(zf sao cho xz  , yz  và ).()()( yxvyfxf  với v nào đó thuộc Rn và với mọi d  nR ta có 0 ( ) ( ). limsup d t f x t f xv d t    thì v  )(xf . 1.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU Giả sử S là một tập hợp con đóng của không gian n–chiều nR và W là một tập mở trong nR . Giả sử điểm *x  S W và f là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W . Ta xét bài toán (P) : min ( ) x S W f x   Nhắc lại [5], tập S là chính quy tiếp tuyến tại x* nếu nón tiếp liên ( , *)K S x và nón tiếp tuyến Clarke ( , *)T S x trùng nhau. Nón tiếp tuyến Clarke ( , *)T S x của S tại x* bao gồm tất cả các y  nR sao cho với mọi dãy  kt 0 và  kx hội tụ tới x* với mỗi xk  S, thì tồn tại dãy  ky hội tụ đến y sao cho k k kx t y S với mọi k. Nón tiếp liên K(S, x*) của S tại x* bao gồm tất cả các y  nR nên tồn tại các dãy  kt các số Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 dương và  kx hội tụ tới x* với mỗi kx  S và   * /k kx x t hội tụ đến y. Hai nón K(S, x*) và T(S, x*) là đều đóng nhưng chỉ T(S, x*) lồi. Hơn nữa, T (S, x*)  K(S, x*). Ta đưa vào một số ký hiệu. Nếu x và y  nR và nếu 0  thì x là chuẩn Euclide của x , x .y là tích vô hướng thông thường của x và y, B(x,) là tập hợp  xzRz n , . Nếu C là một tập đóng lồi trong nR và nếu x C, ta ký hiệu N(C, x) các nón pháp tuyến của C tại x . Nếu C chỉ là một tập đóng, thì nón pháp tuyến của C tại x được cho bởi N(C, x) = N(T (C, x), 0). Định nghĩa 1.2 Cho  kx là một dãy trong nR hội tụ đến x và cho d là một vectơ đơn vị trong nR . Khi đó  kx hội tụ tới x theo phương d nếu dãy {(xk – x) / | xk – x |} hội tụ đến d. Định nghĩa 1.3 Cho x  W và d là một vectơ đơn vị trong nR . Ta định nghĩa ( )d f x là tập hợp tất cả các v  nR sao cho tồn tại các dãy  kx trong W và  kv trong nR mà: (a)  kx hội tụ tới x theo phương d; (b)  kv hội tụ đến v; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 (c) kv  f(xk) với mỗi k. Ta định nghĩa L(f, x*) là tập của tất cả các điểm td, trong đó , | | 1, 0nd R d t   , và 0. 0v d  với v0 nào đó trong ( *)d f x . Tập L(f, x*) là một nón đóng. Định lý 1.1 Giả sử S, W, x*, f như trên, g là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W mà g(x*) = f(x*) và g(x)  f(x) với mỗi x WS  . Giả sử rằng, với mỗi vectơ đơn vị d* thuộc tập hợp K(S, x*)  L(f, x*), có tương ứng với một nón lồi đóng C(d*) mà d*C(x*). Ta cũng giả sử rằng: (a) ta có 0. dw khi d là vectơ đơn vị bất kỳ trong C(d*) với d* nào đó thuộc K(S, x*)  L(f, x*) và w là gradient suy rộng thuộc ( *)d g x . (b) tồn tại 0*m sao cho 2limsup .( *)/ | * | *k k kw x x x x m   với mọi dãy  kx và  kw và các vectơ đơn vị d, d* thỏa mãn: (i)  kx hội tụ tới x* theo phương d, (ii) d*  K(S, x*)  L(f, x*) và d*C(x*), (iii) *)(xgwk  với mỗi k, (iv)  kw hội tụ đến w trong – N(C(d*) + x*, x*). Khi đó, tồn tại 0  sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10   2( ) ( *) * /2 *f x f x m x x   với mọi x  ( *, )B x S  . Chứng minh Giả sử kết luận là sai và chọn một dãy  k các số dương giảm đến 0 với 1 1  . Với k cho trước, tồn tại kz trong B(x*, k ) ∩ S sao cho   2( ) ( *) * /2 *k kf z f x m z x   . Đặt   2( ) ( ) * /2 *h x g x m x x   . Chú ý rằng kz ≠ z với mỗi k. Ta có   2( ) ( ) * /2 *k k kh z g z m z x   ≤ 2( ) ( * /2) * ( *) ( *)k kf z m z x f x h x    . Đặt ek = (zk – x*) /|zk – x*|, ta có thể giả sử  ke hội tụ đến một vectơ đơn vị d* trong K(S, x*). Theo Định lý giá trị trung bình Lebourg [5], ta có f(zk) – f(x*) = vk* (zk – x*), trong đó v*k thuộc f(θkzk + (1 – θk) x*) với 0 < θk <1. Ta có thể giả sử  *kv hội tụ đến v trong d*f(x*) và ta có v d* = lim v*kek ≤ 0. Do đó, d*  L(ƒ, x*). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Với mỗi k, ta xác định ánh xạ tuyến tính Tk từ nR vào nR bằng cách đặt Tk(x) = x + (x d*) (ek – d*). Với I là ánh xạ đồng nhất, ta có || Tk – I || ≤ |ek – d*|. Ta có thể giả sử |ek – d*| < 0.5 với mọi k. Vì vậy do Bổ đề nhiễu mà Tk là khả nghịch với mọi k và dãy  1kT  là bị chặn. Đặt Ak = Tk(C(d*)) với mọi k. Khi đó, Ak là một nón lồi đóng chứa ek. Ta có zk thuộc B(x*, δk)  (Ak+ *x ). Vì vậy, h đạt được giá trị cực tiểu trên B(x*, δk) (Ak + {x*}) tại điểm xk nào đó khác x*. Do đó, theo [3], tồn tại vk  h(xk) sao cho –vk là vectơ pháp tuyến của tập lồi B(x*, δk)(Ak+{x*}) tại xk. Với mỗi k, đặt tk = | xk – x* |> 0 và dk = (xk – x*) / tk. Theo [14], tồn tại ck ≥ 0 và vectơ pháp tuyến uk của tập Ak + {x*} tại xk sao cho vk + ckdk + uk = 0 với mọi k. Do đó, tồn tại wk trong g(xk) sao cho vk = wk – m* (xk – x*) với mọi k và như vậy wk – m* (xk – x*) + ck dk + uk = 0, k ≥ 1 (1.1) Bởi vì xk thuộc Ak + {x*}, ta có dk thuộc Ak. Từ đó suy ra xk ± tkdk xk thuộc Ak + {x*}, và do đó uk. dk = 0. Từ (1.1), ta nhận được wk.dk + ck = m* tk, k ≥ 1. (1.2) Ta có thể giả sử {dk} hội tụ đến một vectơ đơn vị d trong nR . Ta có thể giả sử {wk} hội tụ đến wdg(x*), và vì vậy (1.2) kéo theo {ck} hội tụ đến một số không âm c. Do đó, theo (1.1), {uk} hội tụ đến vectơ u. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Bây giờ ta muốn chỉ ra rằng d  C(d*). Với mỗi k, tồn tại d*k trong C(d*) sao cho dk = Tk(dk*). Bởi vì | dk | = 1 với mọi k và Tk–1 bị chặn đều, ta suy ra {d*k} bị chặn và vì vậy ta có thể giả sử nó hội tụ đến d~ trong C(d*). Bởi vì |dk* – Tk(dk*)| ≤ |ek – d* | | dk* |, ta có d ~ – d = lim (dk* – Tk(dk*)) = 0 Do đó, d  C(d*). Từ giả thiết (a) ta khẳng định rằng w.d ≥ 0. Từ (1.2), ta nhận được wd + c = 0, và vì vậy, do c ≥ 0, ta có c = wd = 0. Từ (1.1), ta nhận được w + u = 0. Để thấy rằng u thuộc N(C(d*) + x*, x*), ta giả sử e thuộc C(d*). Khi đó, với k cho trước, Tk(e) thuộc Ak , và như vậy (Tk(e) + x* – xk). uk ≤ 0. Bởi vì {Tk(e)} hội tụ đến e, ta suy ra e.u ≤ 0, và do đó u không thuộc N(C(d*) + x*, x*). Bởi vì các điều kiện (i) – (iv) thỏa mãn, ta phải có limsup wk.dk /tk > m*. Nhưng, từ (1.2), ta có wk.dk ≤ m*.tk với mọi k. Vì vậy ta đã đi đến một mâu thuẫn và chứng minh là hoàn tất. □ Nhận xét 1.2 Để áp dụng Định lý 1.1, cần lựa chọn nón C(d*). Các lựa chọn khác nhau có thể làm và ta sẽ mô tả một vài cách chọn. Trước hết ta chú ý rằng ta có thể chọn C(d*) = nR với mỗi d* K(S, x*) L(f, x*). Cách lựa chọn này là tự nhiên cho trường hợp không có ràng buộc (tức là, khi S là một lân cận của x*). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Ta có thể chọn  ( *) *: 0C d td t  với mỗi d* K(S, x*) L(f, x*) Bây giờ, ta trở về hai cách lựa chọn cho C(d*) mà dẫn đến kết quả mới. Hệ quả 1.1.1 Cho S, W, x*, f như trong trên. Giả sử g là hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W mà g(x*) = f(x*) và g(x) ≤ f(x) với mọi x trong S ∩ W, S là chính quy tiếp tuyến tại x*. Giả sử rằng: (a) w.d ≥ 0 khi d là vectơ đơn vị trong K(S, x*) và w ∂dg(x*); (b) tồn tại m* ≥ 0 sao cho limsupwk. (xk – x*) / | xk – x*|2 > m* với mọi dãy {xk} và {wk} mà trong đó {xk} hội tụ tới x* theo phương d  K(S, x*), wk  ∂ g(xk) với mỗi k, và {wk} hội tụ đến một điểm trong –N(S, x*). Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) │x – x*│2 . với mọi x thuộc B(x*, δ) ∩ S. Chứng minh Nón K(S, x*) = T (S, x*) là lồi và vì vậy ta có thể chọn C(d*) = K(S, x*) với mỗi d* trong Định lý 1.1. □ Nhắc lại [5], hàm Lipschitz địa phương f giá trị thực trên W là chính quy dưới vi phân tại x trong W nếu đạo hàm theo phương f '(x; d) tồn tại với mọi d trong nR và f 0(x;d) = f '(x; d) với mọi d. Hàm f được gọi là bán trơn tại x trong W nếu {vk.d} luôn hội tụ khi {xk} và {vk} là các dãy sao cho {xk} hội tụ tới x theo phương đơn vị d và vk  ∂f(xk) với mỗi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 k. Mifflin đã chỉ ra rằng, nếu f là bán trơn tại x, thì với mỗi vectơ đơn vị d, đạo hàm theo phương f’(x; d) tồn tại và bằng limvk .d, trong đó {vk} là dãy được như trong định nghĩa vừa nêu. Bây giờ giả sử f là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Khi đó L(f, x*) = {d nR : f 0 (x, d) ≤ 0} theo [8]; vì thế, nón L(f, x*) lồi. Do đó, nếu S là chính quy tiếp tuyến tại x*, nón K(S,x*) ∩ L(f,x*) lồi. Điều này dẫn đến hệ quả sau đây. Hệ quả 1.1.2 Giả sử f là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Giả sử tất cả các giả thiết của Hệ quả 1.1.1 đúng, trong (a) và (b) ta thay thế K(s, x*) bởi K(s, x*) ∩ L(f, x*) và trong (b ) ta thay thế – N(S, x*) bởi –N(K(S, x*) ∩ L(f, x*), 0). Khi đó tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(x*) + (m*/2) | x – x* |2 , với mọi x thuộc B(x*, δ) ∩ S. (Hơn nữa, nếu g cũng bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*, thì ta có thể thay thế giả thiết (a) bằng giả thiết: tập g(x*) ∩ –N(K(S, x*) ∩ L(f , x*), 0) khác rỗng.) Chứng minh Ta chọn C(d*) = K(S, x*) ∩ L(f, x*) với mỗi d*. Với cách lựa chọn đó, ta dùng Định lý 1.1. Chỉ cần xem xét phát biểu cuối cùng. Như vậy, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 giả sử v*  ∂g(x*) ∩ –N(K(S, x*) ∩ L(f, x*), 0). Ta phải chứng minh rằng (a) đúng. Như vậy, nếu d  K(S, x*) ∩ L(f, x*) và w  ∂dg(x*), ta có w. d = g'(x*; d) = g0 (x*; d) ≥ v *. d ≥ 0. □ Ví dụ 1.1 Trong Định lý 1.1, ta chọn C(d*) = {td*: t ≥ 0} với mỗi d*. Ta muốn chỉ ra cách lựa chọn khác có thể được, ngay cả khi S không phải là chính quy tiếp tuyến tại x*. Cho S là tập của tất cả các điểm trong R2 mà tồn tại tọa độ cực (r, ) với –0.75π ≤  ≤ 0.75π và 0 ≤ r ≤ 2 2cos . Như vậy, S là tập hợp bị chặn. Với x* = (0, 0), ta có T(S, x*) = {(u, v)  R2: u ≥ | v |} K(S, x*) = {(u, v)  R2: u ≥ – |v |} Do đó, S không là chính quy tiếp tuyến tại x*. Với d* = (v*, u*)  K(S, x*), ta chọn C(d*) = {(u, v)  R2: u ≥ v} khi u* ≥ v*, và C(d*) = {(u, v)  R2: u + v ≥ 0} khi u* < v*. Với cách lựa chọn đó, mỗi nón pháp tuyến N(C(d*) + x*, x*) chỉ gồm một tia. Ví dụ 1.2 Ta chỉ ra rằng Định lý 1.1 là sai nếu (b) (i) được thay thế bằng "{xk} hội tụ tới x* theo phương d với xk  S với mỗi k". Cho S = {(x, y)  R2: –1 ≤ x ≤ 1 và x4 – x2 ≤ y ≤ 1}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Cho f(x, y) = 3x2 + (2y+1)2 và lấy g = f. Lấy x* = (0, 0). Ta thấy rằng K(S, x*) = {(c, d)  R2: d ≥ 0}. Ta chọn C(d*) là K(S, x*). Vì f lớp C1, ta có ∂f(x, y) = {(6x, 8y + 4)}. Nếu d ≥ 0 thì (c, d). (0, 4) = 4d ≥ 0, và vì vậy (a) của Định lý 1.1 đúng. Bây giờ ta giả sử {(xk, yk)} và {wk} thỏa mãn (i) – (iv) của (b) và giả sử mỗi (xk, yk) thuộc S. Khi đó, với zk = (xk, yk) và chú ý wk = (6xk, 8yk + 4), ta có wk. (zk – x*) / | zk – x* |2 = 6 + (2yk2 + 4 yk) / (xk2 + yk2). Do yk ≥ xk4 – xk2, ta có limsup wk. (zk – x*) / (xk2 + yk2) ≥ 4. Tuy nhiên, x* = (0, 0) là cực tiểu địa phương của f trên S. Thật vậy, lấy (x, y) với x nhỏ và dương và y = x4 – x2. Khi đó, f(x, y) = 3x2 + (2x4 – 2x2 + 1)2 = 1 – x2{1 – 8x2 + 8x4 – 4x6} <1 = f(0, 0), nếu x đủ gần 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 1.3. BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC Nhận xét 1.3 Ta sẽ xét bài toán P ở đây với S = S1 ∩ S2, mà S2 là một tập đóng và (3) S1 = 1 m i  {x  Rn: gi (x) ≤ 0} ∩ 1 q i m   {x  Rn: gi (x) = 0}, (1.3) ở đây mỗi hàm gi là Lipschitz địa phương trên W. Điều kiện cần để x* là cực tiểu địa phương của bài toán này đã xét trong [14]. Theo [14], nếu bài toán P là yên tĩnh (calm) tại x* thì tồn tại các nhân tử a1, ..., aq sao cho ai ≥ 0 với i = 1, ..., m, (1.4) aigi (x*) = 0, với i = 1, ..., m, (1.5) 0 {f + a1g1 + a2g2 + ... + aqgq + 2} (x*). (1.6) Trong (1.6), 2 là hàm chỉ của tập S2, ta có 2(x) = 0 nếu x  S2 và 2 (x) = + nếu 2x S . Nếu các nhân tử a1, ..., aq thỏa mãn (1.4) – (1.6) tồn tại, ta xác định hàm Lagrange L bởi L = f + a1g1 + ... aqgq và chú ý rằng ta có thể lấy hàm bổ trợ g trong Định lý 1.1 là L. Ta phát biểu một Định lý mà các hàm là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Định lý 1.2 Giả sử các hàm f, g1, ..., gm là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x* và các hà