Luận văn Định lý cơ bản của đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN ĐẠI HỌC KHOA HỌC Lấ THỊ KIM LIấN ĐỊNH Lí CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyờn ngành: Phương phỏp toỏn sơ cấp Thỏi Nguyờn, năm 2012 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Đa thức trên một tr−ờng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Lịch sử Định lí cơ bản của Đại số 11 2.1 Một số đóng góp ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Đóng góp của Jean le Rond D’Alembert . . . . . . . . . 14 2.3 Đóng góp của Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Joseph-Louis Lagrange và Pierre Simon Laplace . . . . . 20 2.5 Đóng góp của Carl Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . 21 3 Một số chứng minh Định lí cơ bản của Đại số 26 3.1 Chứng minh dùng công cụ đại số . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Chứng minh dùng công cụ giải tích phức . . . . . . . . . 31 3.3 Chứng minh dùng công cụ tôpô . . . . . . . . . . . . . . 35 Phần phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 2Lời cảm ơn Sau quá trình nhận đề tài và nghiên cứu d−ới sự h−ớng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, luận văn “Định lí cơ bản của Đại số” của tôi đã đ−ợc hoàn thành. Có đ−ợc kết quả này, đó là nhờ sự dạy bảo hết sức tận tình và nghiêm khắc của Cô. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô và gia đình! Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo-Khoa học-Quan hệ quốc tế và Khoa Toán-Tin của Tr−ờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình học tập tại tr−ờng cũng nh− thời gian tôi hoàn thành đề tài này. Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của các cán bộ thuộc Phòng Đào tạo và Khoa Toán-Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn t−ợng hết sức tốt đẹp. Tôi xin cảm ơn Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Thủy Nguyên - thành phố Hải Phòng và Tr−ờng trung học cơ sở D−ơng Quan - nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học này. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K4B (Khóa 2010-2012) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 3Lời nói đầu Định lí cơ bản của Đại số phát biểu rằng mỗi đa thức một biến khác hằng với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức. Đôi khi, Định lí cơ bản của Đại số đ−ợc phát biểu d−ới dạng: Mỗi đa thức một biến khác 0 với hệ số phức có số nghiệm phức (mỗi nghiệm tính với số bội của nó) đúng bằng bậc của đa thức đó. Mặc dù tên của định lí là “Định lí cơ bản của Đại số” nh−ng không có một chứng minh thuần túy đại số nào cho định lí này. Tất cả các chứng minh cho Định lí đều cần đến tính đầy đủ của tập các số thực, hoặc một dạng t−ơng đ−ơng về tính đầy đủ, mà tính đầy đủ lại không là khái niệm đại số. Hơn nữa, Định lí cơ bản của Đại số không phải là nền tảng của Đại số hiện đại. Tên của định lí này đ−ợc đặt ra vào thời điểm khi mà việc nghiên cứu đại số chủ yếu là để giải ph−ơng trình đa thức. Peter Roth là ng−ời đầu tiên phát biểu gợi mở “Định lí cơ bản của Đại số” trong cuốn sách “Arithmetica Phylosophica” công bố năm 1608: “Một đa thức bậc n với hệ số thực có không quá n nghiệm”. Tiếp đến là khẳng định của Albert Giard (1595-1632) trong cuốn sách “L’invention nouvelle en l’Alge`bre” xuất bản năm 1629: “Ph−ơng trình đa thức bậc n có n nghiệm, trừ khi ph−ơng trình bị khuyết”. Nhiều nhà toán học đã tin Định lí là đúng, và do đó họ tin rằng mọi đa thức với hệ số thực khác hằng đều viết d−ới dạng tích của các đa thức với hệ số thực bậc một hoặc hai. Bên cạnh đó lại có những ng−ời (Gottfried Wilhelm Leibniz, Nikolaus II Bernoulli) cố tìm ra những đa thức bậc 4 với hệ số thực không là tích của các đa thức bậc 1 hoặc 2. Tuy nhiên, các phản ví dụ của họ đều đ−ợc Leonhard Euler phản bác, điều này càng làm cho các nhà toán học thời đó tin t−ởng tính đúng đắn của Định lí. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 4Chứng minh đầu tiên cho Định lí thuộc về D’Alembert vào năm 1746, nh−ng chứng minh này không hoàn chỉnh. Euler 1749 có một chứng minh đúng cho Định lí trong tr−ờng hợp bậc của đa thức
6. Các chứng minh khác đ−ợc thực hiện bởi Euler 1749, De Foncenex 1759, Lagrange 1772 và Laplace 1795 đều có ít nhiều chỗ ch−a chặt chẽ. Kể cả chứng minh đầu tiên của Gauss năm 1799 cũng không đầy đủ. Mãi đến năm 1816, Gauss mới đ−a ra một chứng minh chính xác cho Định lí. Mục tiêu của luận văn là giới thiệu lịch sử Định lí cơ bản của Đại số, trong đó nhấn mạnh những đóng góp quan trọng của D’Alembert, Euler và Gauss, đồng thời trình bày một số chứng minh sau này cho Định lí bằng cách sử dụng các công cụ đại số, giải tích phức và tôpô. Các kết quả và thông tin trong luận văn đ−ợc viết dựa vào bài báo [Ba] của Baltus trên “Historia Mathematica” 2004, bài báo [Ca] của J. Carrera trên “Publicions Matematiques” 1992, cuốn sách [MF] của Miller-File 2003, và đặc biệt là bài báo [Du] của Dunham 1991. Dunham đã đ−ợc Hội Toán học Mỹ trao giải th−ởng Polya năm 1992 vì bài báo này. Luận văn gồm 3 ch−ơng. Ch−ơng 1 trình bày kiến thức chuẩn bị về đa thức. Ch−ơng 2 giới thiệu lịch sử Định lí cơ bản của Đại số với những đóng góp tiêu biểu của một số nhà toán học. Ch−ơng 3 đ−a ra một số chứng minh cho Định lí bằng cách sử dụng các công cụ Đại số, Giải tích phức và Tôpô. Ngoài ra, luận văn còn có Phần phụ lục trình bày kiến thức về số phức, mở rộng tr−ờng, tr−ờng phân rã cũng nh− hình ảnh của một số nhà toán học có đóng góp quan trọng cho Định lí. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn Ch−ơng 1 Kiến thức chuẩn bị Mục đích của ch−ơng này là nhắc lại một số khái niệm và kết quả liên quan đến đa thức trên một tr−ờng nh− phép chia với d−, nghiệm của đa thức để phục vụ việc trình bày các kết quả của các ch−ơng sau. 1.1 Đa thức trên một tr−ờng 1.1.1. Định nghĩa. Một tập K cùng với hai phép toán cộng và nhân đ−ợc gọi là tr−ờng nếu: (a) Kết hợp: a+(b+c) = (a+b)+c và (ab)c = a(bc) với mọi a, b, c ∈ K. (b) Giao hoán: a + b = b + a và ab = ba với mọi a, b ∈ K. (c) Phân phối: a(b + c) = ab + ac với mọi a, b, c ∈ K. (d) Tồn tại đơn vị 1 ∈ K sao cho a1 = 1a = a với mọi a ∈ K. (e) Tồn tại phần tử 0 ∈ K sao cho a + 0 = 0 + a = a với mọi a ∈ K. (g) Mỗi a ∈ K, tồn tại phần tử đối −a ∈ K sao cho a + (−a) = 0. (h) Mỗi 0 = a ∈ K, tồn tại phần tử khả nghịch a−1 ∈ K sao cho aa−1 = 1 = a−1a. Chẳng hạn, Q, R, C là các tr−ờng. Tập Q[ √ 7] = {a+b√7 | a, b ∈ Q} là một tr−ờng. Q[ √ p] = {a + b√p | a, b ∈ Q} là một tr−ờng nếu p là số nguyên tố. 5 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 6Từ nay cho đến hết ch−ơng này, luôn giả thiết K là một tr−ờng. 1.1.2. Định nghĩa. Một biểu thức dạng f(x) = anxn + . . .+ a0 trong đó ai ∈ K với mọi i đ−ợc gọi là một đa thức của ẩn x (hay biến x) với hệ số trong K . Nếu an = 0 thì an đ−ợc gọi là hệ số cao nhất của f(x) và số tự nhiên n đ−ợc gọi là bậc của f(x), kí hiệu là deg f(x). Chú ý rằng hai đa thức f(x) = ∑ aix i và g(x) = ∑ bix i là bằng nhau nếu và chỉ nếu ai = bi với mọi i. Ta chỉ định nghĩa bậc cho những đa thức khác 0, còn ta quy −ớc đa thức 0 là không có bậc. Kí hiệu K[x] là tập các đa thức ẩn x với hệ số trong K . Với f(x) = ∑ aix i và g(x) = ∑ bix i, định nghĩa f(x) + g(x) = ∑ (aibi)x i và f(x)g(x) = ∑ ckx k, trong đó ck = ∑ i+j=k aibj. Ta dễ dàng kiểm tra đ−ợc tính chất sau đối với bậc của các đa thức. 1.1.3. Bổ đề. Với f(x), g(x) ∈ K[x] ta luôn có deg(f(x) + g(x))
max{deg f(x),deg g(x)} deg(f(x).g(x)) = deg f(x) + deg g(x). Định lí sau đây, gọi là Định lí phép chia với d−, đóng một vai trò rất quan trọng trong lí thuyết đa thức. 1.1.4. Định lý. Cho f(x), g(x) ∈ K[x], trong đó g(x) = 0. Khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức q(x), r(x) ∈ K[x] sao cho f(x) = g(x)q(x) + r(x), với r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x). Chứng minh. Tr−ớc hết ta chứng minh tính duy nhất. Giả sử f(x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q1(x) + r1(x), trong đó r(x), r1(x) bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của g(x). Khi đó g(x)(q(x)− q1(x)) = r1(x)− r(x). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 7Nếu r(x) = r1(x) thì deg(r − r1) = deg ( g(q − q1) ) = deg g + deg(q − q1). Điều này mâu thuẫn vì deg(r − r1)
max{deg r,deg r1} < deg g
deg g + deg(q − q1). Do vậy, r1(x) = r(x). Suy ra g(x)(q(x)− q1(x)) = 0. Vì g(x) = 0 nên q(x)− q1(x) = 0, tức là q(x) = q1(x). Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại. Nếu deg f(x) < deg g(x) thì ta chọn q(x) = 0 và r(x) = f(x). Giả sử deg f(x) ≥ deg g(x). Viết f(x) = amx m + . . . + a0 và g(x) = bnxn + . . . + b0 với am, bn = 0 và n
m. Chọn h(x) = am bn xm−n. Đặt f1(x) = f(x) − g(x)h(x). Khi đó f1(x) = 0 hoặc f1(x) có bậc thực sự bé hơn bậc của f(x). Trong tr−ờng hợp f1(x) = 0, ta tìm đ−ợc d− của phép chia f(x) cho g(x) là r(x) = 0 và th−ơng là q(x) = h(x). Nếu f1(x) = 0 thì ta tiếp tục làm t−ơng tự với f1(x) và ta đ−ợc đa thức f2(x). Cứ tiếp tục quá trình trên ta đ−ợc dãy đa thức f1(x), f2(x), . . . , nếu chúng đều khác 0 thì chúng có bậc giảm dần. Vì thế sau hữu hạn b−ớc ta đ−ợc một đa thức có bậc bé hơn bậc của g(x) và đó chính là đa thức d− r(x). Nếu một đa thức của dãy bằng 0 thì d− r(x) = 0. Thế vào rồi nhóm lại ta tìm đ−ợc q(x). Trong định lý trên, q(x) đ−ợc gọi là th−ơng và r(x) đ−ợc gọi là d− của phép chia f(x) cho g(x). Nếu d− của phép chia f(x) cho g(x) là 0 thì tồn tại q(x) ∈ K[x] sao cho f(x) = g(x)q(x). Trong tr−ờng hợp này ta nói rằng f(x) chia hết cho g(x) hay g(x) là −ớc của f(x). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 81.2 Nghiệm của đa thức 1.2.1. Định nghĩa. Với mỗi f(x) = anxn + . . .+ a1x+ a0 ∈ K[x] và α là phần tử trong một tr−ờng chứa K, ta đặt f(α) = anαn+ . . .+a1α+a0. Nếu f(α) = 0 thì ta nói α là nghiệm của f(x). Chẳng hạn, số √ 2 ∈ R là nghiệm của đa thức x2 − 2 ∈ Q[x]. 1.2.2. Hệ quả. Phần tử a ∈ K là nghiệm của đa thức f(x) ∈ K[x] nếu và chỉ nếu tồn tại đa thức g(x) ∈ K[x] sao cho f(x) = (x− a)g(x). Chứng minh. Chia f(x) cho x− a, d− hoặc bằng 0 hoặc là một đa thức bậc 0 vì bậc của (x−a) bằng 1. Vì vậy, d− là một phần tử r ∈ K. Ta có f(x) = (x−a)q(x)+r. Thay x = a vào đẳng thức ta đ−ợc r = f(a). Cho k > 0 là một số nguyên. Một phần tử a ∈ K đ−ợc gọi là một nghiệm bội k của đa thức f(x) ∈ K[x] nếu f(x) chia hết cho (x − a)k nh−ng không chia hết cho (x−a)k+1. Nếu k = 1 thì a đ−ợc gọi là nghiệm đơn. Nếu k = 2 thì a đ−ợc gọi là nghiệm kép. 1.2.3. Hệ quả. Phần tử a ∈ K là nghiệm bội k của f(x) ∈ K[x] nếu và chỉ nếu f(x) = (x− a)kg(x) với g(x) ∈ K[x] và g(a) = 0. Chứng minh. Giả sử a là nghiệm bội k của f(x). Vì f(x) chia hết cho (x − a)k nên f(x) = (x − a)kg(x) với g(x) ∈ K[x]. Nếu g(a) = 0 thì theo Hệ quả 1.2.2 ta có g(x) = (x − a)h(x) với h(x) ∈ K[x] và do đó f(x) chia hết cho (x − a)k+1, vô lí. Vậy g(a) = 0. Ng−ợc lại, vì f(x) = (x− a)kg(x) nên f(x) chia hết cho (x− a)k. Nếu f(x) chia hết cho (x− a)k+1 thì f(x) = (x− a)k+1h(x) với h(x) ∈ K[x]. Do đó (x− a)kg(x) = (x− a)k+1h(x). Do K là tr−ờng nên g(x) = (x−a)h(x). Suy ra g(a) = 0, mâu thuẫn. Vậy f(x) không chia hết cho (x− a)k+1. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 91.2.4. Hệ quả. Cho a1, a2, . . . , ar ∈ K là những nghiệm phân biệt của f(x) ∈ K[x]. Giả sử ai là nghiệm bội ki của f(x) với i = 1, 2, . . . , r. Khi đó f(x) = (x− a1)k1(x− a2)k2 . . . (x− ar)kru(x), trong đó u(x) ∈ K[x] và u(ai) = 0 với mọi i = 1, . . . , r. Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo r. Tr−ờng hợp r = 1 đ−ợc suy ra từ Hệ quả 1.2.3. Cho r > 1. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại h(x) ∈ K[x] sao cho f(x) = (x− a1)k1(x− a2)k2 . . . (x− ar−1)kr−1h(x), trong đó h(x) ∈ K[x] và h(ai) = 0 với mọi i = 1, . . . , r − 1. Vì ar là nghiệm của f(x) nên ta có 0 = f(ar) = (ar − a1)k1(ar − a2)k2 . . . (ar − ar−1)kr−1h(ar). Do ar = ai với mọi i = 1, . . . , r − 1 nên h(ar) = 0. Giả sử h(x) = (x − ar)tu(x) trong đó u(x) ∈ K[x], u(ar) = 0 và t > 0 là một số nguyên. Vì h(ai) = 0 nên u(ai) = 0 với mọi i = 1, . . . , r − 1. Do ar là nghiệm bội kr của f(x) nên t
kr. Hơn nữa, f(x) có sự phân tích f(x) = (x− ar)krv(x), trong đó v(x) ∈ K[x] và v(ar) = 0. Vì thế ta có f(x) = (x− ar)krv(x) = (x− a1)k1 . . . (x− ar−1)kr−1(x− ar)tu(x). Chú ý rằng K là tr−ờng, vì thế giản −ớc cả hai vế cho (x− ar)t ta đ−ợc (x− ar)kr−tv(x) = (x− a1)k1 . . . (x− ar−1)kr−1u(x). Nếu t < kr thì khi thay x = ar vào đẳng thức trên ta có vế trái bằng 0, còn vế phải khác 0, điều này là vô lý. Vậy t = kr. Vì thế f có phân tích f(x) = (x− a1)k1 . . . (x− ar−1)kr−1(x− ar)kru(x) trong đó u(ai) = 0 với mọi i = 1, . . . , r. 1.2.5. Hệ quả. Cho 0 = f(x) ∈ K[x] là đa thức. Khi đó số nghiệm của f(x), mỗi nghiệm tính với số bội của nó, không v−ợt quá bậc của f(x). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 10 Chứng minh. Giả sử a1, . . . , ar là các nghiệm của f(x) với số bội lần l−ợt là k1, . . . , kr. Theo Hệ quả 1.2.4, tồn tại g(x) ∈ K[x] sao cho f(x) = (x− a1)k1(x− a2)k2 . . . (x− ar)krg(x). Vì thế deg f(x) = deg g(x) + r∑ i=1 ki ≥ r∑ i=1 ki, điều cần chứng minh. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn Ch−ơng 2 Lịch sử Định lí cơ bản của Đại số Mục tiêu của ch−ơng này là trình bày sơ l−ợc lịch sử Định lí cơ bản của Đại số, trong đó nhấn mạnh những đóng góp tiêu biểu của một số nhà toán học, đó là Jean le Rond D’Alembert (có công bố đầu tiên một chứng minh cho Định lí, nh−ng không chặt chẽ), Leonhard Euler (công bố một chứng minh đúng cho Định lí trong tr−ờng hợp bậc nhỏ hơn hoặc bằng 6), Pierre Simon Laplace (công bố chứng minh cho Định lí bằng công cụ đại số, nh−ng ch−a đầy đủ), và Carl Friedrich Gauss (ng−ời đầu tiên công bố một chứng minh hoàn chỉnh cho Định lí). 2.1 Một số đóng góp ban đầu Trong tiết này, chúng tôi trình bày một số mốc ban đầu trong việc phát biểu Định lí cơ bản của Đại số. 2.1.1. Đóng góp của Peter Roth. Cho đến nay, khó có thể biết đ−ợc chính xác Định lí cơ bản bắt đầu từ đâu. Ng−ời ta cho rằng Peter Roth (1580-1617) là ng−ời đầu tiên phát biểu gợi mở Định lí, đ−ợc viết trong cuốn sách “Arithmetica Phylosophica” công bố năm 1608: “Một đa thức bậc n với hệ số thực có không quá n nghiệm”. Roth sống và làm việc ở Đức và mất năm 1617, nh−ng không ai biết chính xác ngày mất và 11 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 12 nơi mất của Ông. Đóng góp của Roth cũng không mấy ng−ời biết đến. Trong lịch sử Toán học Anh, rất ít tác giả nhắc đến Roth, ng−ời ta chỉ tìm thấy một cuốn sách của David Eugene Smith trong đó có những chú thích về Roth (cuốn sách này đã không còn bản gốc). Tuy nhiên, trong cuốn Lịch sử Quốc gia ở Paris, Peter Roth đ−ợc nhắc đến nhiều lần với mốc thời gian 1608-1609, có lẽ trong thời kì này Roth đ−ợc coi là nhà đại số uy tín hàng đầu của Đức. 2.1.2. Đóng góp của Albert Giard. Albert Giard (1595-1632) là nhà toán học, âm nhạc học ng−ời Pháp. Ông chủ yếu làm về l−ợng giác và là ng−ời đầu tiên dùng kí hiệu viết tắt sin, cos, tan. Mặc dù Francois Viète (1540-1603) đã đ−a ra các ph−ơng trình bậc n với n nghiệm nh−ng Albert Giard là ng−ời đầu tiên khẳng định sự tồn tại n nghiệm của đa thức bậc n. Trong cuốn sách “L’invention nouvelle en l’Alge`bre” của Giard xuất bản năm 1629, Ông viết “Ph−ơng trình đa thức bậc n có n nghiệm, trừ khi ph−ơng trình bị khuyết”. Ông giải nghĩa cụm từ “ph−ơng trình khuyết” có nghĩa là ph−ơng trình đa thức trong đó có ít nhất một hệ số bằng 0. Ông không nói đến điều kiện hệ số của đa thức là những số thực. Chắc chắn rằng trong những lập luận chi tiết về điều này, Ông đã thực sự tin t−ởng khẳng định trên vẫn đúng khi ph−ơng trình bị khuyết. Chẳng hạn, Ông chỉ ra rằng mặc dù ph−ơng trình x4 − 4x + 3 = 0 là khuyết (các hệ số bậc 3 và bậc 2 đều bằng 0) nh−ng nó vẫn có 4 nghiệm, trong đó một nghiệm kép là 1 và hai nghiệm còn lại là −1 + i√2 và −1− i√2. 2.1.3. Đóng góp của Rene’ Descartes. Rene’ Descartes (1596-1650) là một nhà khoa học, nhà toán học ng−ời Pháp. Ông là cha đẻ của Triết học hiện đại. Thời của Descartes về cơ bản đã nhận biết đ−ợc Định lí cơ bản của Đại số, nh−ng ch−a chứng minh đ−ợc. Descartes khẳng Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 13 định rằng một ph−ơng trình đa thức bậc n có n nghiệm, trong đó một số nghiệm nằm trong tập số thực, còn một số nghiệm khác chỉ tồn tại trong sự hình dung của chúng ta. Trong số những nghiệm ảo đó có bao gồm các nghiệm có dạng a + b √−1 với a, b là thực, nh−ng Ông không bình luận về các nghiệm không thực này. 2.1.4. Gottfried Wilhelm Leibniz và Nikolaus (II) Bernoulli. Các thông tin trong mục này đ−ợc tham khảo trong bài báo của J. Carrera [Ca] đăng trên tạp chí “Publicacions Matemàtiques” năm 1992. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) sinh ra ở Leipziz và mất ở Hannover (n−ớc Đức). Thời của Ông, rất nhiều ng−ời cố gắng phủ định hoặc chứng minh Định lí Cơ bản của Đại số. Leibniz đã nghĩ đến việc tìm phản ví dụ cho định lí này. Năm 1702, Leibniz cho rằng các đa thức dạng x4+ r4, trong đó r là số thực khác 0, không thể phân tích đ−ợc thành tích của các đa thức bậc 1 hoặc bậc hai với hệ số thực. Lúc đó Ông không nhận ra rằng căn bậc hai của số phức i có thể biểu diễn d−ới dạng a + bi với a, b là các số thực. Sau đó Nikolaus Bernoulli (sinh ra ở Basel - Thụy sĩ năm 1687 và mất ở Basel năm 1759) cũng có sai lầm t−ơng tự, Ông khẳng định rằng đa thức x4 − 4x3 + 2x2 + 4x + 4 không thể phân tích đ−ợc thành tích các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Tuy nhiên, vào năm 1742 Nikolaus (II) Bernoulli đã nhận đ−ợc một bức th− của Leonhard Euler (1707-1783) - một nhà Toán học và Vật lí của Thụy sĩ, trong th− này Euler khẳng định rằng đa thức mà Bernoulli đ−a ra có sự phân tích( x2 − (2 + α)x + 1 + √ 7 + α )( x2 − (2− α)x + 1 + √ 7− α ) trong đó α là một căn bậc hai của 4 + 2 √ 7. Hơn nữa, Euler cũng chú thích rằng các đa thức do Leibniz đ−a ra cũng có sự phân tích x4 + r4 = (x2 + √ 2 rx + r2)(x2 − √ 2 rx + r2). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 14 2.2 Đóng góp của Jean le Rond D’Alembert Các thông tin trong tiết này đ−ợc tham khảo từ các bài báo của Christopher Baltus [Ba] và của J. Carrera [Ca]. Bàn luận nghiêm túc đầu tiên về Định lí cơ bản của Đại số thuộc về Jean le Rond D’Alembert (1717-1783), một nhà Toán học, Cơ học, Vật lí học, Thiên văn học ng−ời Pháp. D’Alembert là ng−ời đầu tiên công bố chứng minh Định lí cơ bản của Đại số trong bài báo [DA] “Recherches sur le calcul integral” đăng trên “Histoire de l’Acad. Royale Berlin” 1746, và kết quả này thực sự đ−ợc công bố năm 1748. Nh−ng chứng minh của Ông là một chứng minh không hoàn chỉnh. Giả sử p(x) là đa thức với hệ số thực. Chứng minh của D’Alembert năm 1946 (xem [DA]) về sự tồn tại nghiệm của p(x) đ−ợc chia làm hai b−ớc. B−ớc 1: Tồn tại một điểm x0 để môđun |p(x)| của p(x) đạt cực tiểu. B−ớc 2 (Bổ đề D’Alembert): Nếu p(x0) = 0 thì bất kì một lân cận nào của x0 đều chứa một điểm x1 sao cho |p(x1)| < |p(x0)|. Rõ ràng, nếu B−ớc 1 và B−ớc 2 đều đúng và x0 là điểm làm cho |p(x)| đạt cực tiểu thì |p(x0)| = 0 và do đó x0 là một nghiệm của p(x). Chứng minh của D’Alembert còn hổng ở một số chỗ. Điểm yếu thứ nhất là D’Alembert đã công nhận (không chứng minh) tính chất trong B−ớc 1. Thực tế, tính chất này đ−ợc chấp nhận một cách tự nhiên vào Thế kỉ 18. Tuy nhiên mãi đến đầu thế kỉ 19 (năm 1821), Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - nhà toán học ng−ời Pháp, mới đ−a ra một chứng minh chặt chẽ cho tính chất này. Vì thế, với D’Alembert, B−ớc 2 mới thực sự quan trọng. Tuy nhiên, điểm yếu thứ hai của D’Alembert là trong chứng minh kết quả