Luận văn Định lý cơ bản thứ hai Cartan của lý thuyết Nevanlinna

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ THỊ THANH HUYỀN ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN CỦA LÝ THUYẾT NEVANLINNA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ THỊ THANH HUYỀN ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN CỦA LÝ THUYẾT NEVANLINNA Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH. TRẦN VĂN TẤN Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên iLỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH. Trần Văn Tấn, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Hà Trần Phương và các thầy cô giáo trong tổ Giải tích trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu để hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn trường ĐHSP Thái Nguyên và khoa Toán là nơi mà tôi đã được đào tạo và hoàn thành luận văn thạc sĩ khoa học. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè là nguồn động viên lớn lao trong quá trình tôi làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2011 Tác giả Hà Thị Thanh Huyền Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên ii Mục lục Mở đầu 1 1 Một số khái niệm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna 3 1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Hàm đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Hàm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP n . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.5 Họ các siêu phẳng ở vị trí tổng quát . . . . . . . . . 5 1.2 Một số định lý và mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan 8 2.1 Công thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Bổ đề đạo hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Định lý cơ bản thứ hai Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Ứng dụng của Định lý cơ bản thứ hai trong bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình 19 3.1 Định lý Smiley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Mở rộng Định lý Smiley tới trường hợp họ các siêu phẳng . 21 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 1Mở đầu Năm 1925 Nevanlinna công bố một nghiên cứu về sự phân bố giá trị của hàm phân hình. Kết quả này sau đó nhanh chóng được mở rộng sang trường hợp chiều cao và hình thành một Lý thuyết mang tên Nevanlinna. Trọng tâm của Lý thuyết Nevanlinna này là hai định lý cơ bản, thứ nhất và thứ hai. Trong khi Định lý cơ bản thứ nhất là một hệ quả trực tiếp của công thức Jensen thì Định lý cơ bản thứ hai còn được biết đến trong rất ít trường hợp. Năm 1933 Cartan mở rộng kết quả của Nevanlinna sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình từ mặt phẳng phức C sang không gian xạ ảnh phức n chiều CP n: Với ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính f : C → CP n và q siêu phẳng H1, ..., Hq ở vị trí tổng quát trong CP n, H. Cartan đã chứng minh: với mỗi r > 0 ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn,∥∥∥∥∥(q − n− 1)Tf (r) ≤ q∑j=1N [n]Hj(f)(r) + o (Tf (r)) . Định lý trên không chỉ là kết quả đầu tiên cho trường hợp chiều cao, mà chứng minh của nó còn có vai trò quan trọng trong việc chứng minh các Định lý cơ bản thứ hai trong nhiều trường hợp khác. Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu cách chứng minh của kết quả có tính chất khơi đầu nói trên. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng tìm hiểu ứng dụng của Lý thuyết Nevanlinnna trong bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 2Nội dung luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna. Chương 2: Chúng tôi trình bày Định lý cơ bản thứ hai Cartan. Chương 3: Ứng dụng của Định lý cơ bản thứ hai Cartan trong bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 3Chương 1 Một số khái niệm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna 1.1 Một số khái niệm cơ bản 1.1.1 Hàm đếm Cho ϕ là một hàm phân hình khác đồng nhất không trên C. Kí hiệu νϕ là divisor các không điểm của ϕ, có nghĩa là νϕ (a) = m nếu a là không điểm bội m của ϕ và νϕ (a) = 0 trong trường hợp còn lại. Với mỗi số nguyên dương ( hoặc +∞ ) k, đặt n[k]ϕ (t) = ∑ |z|<t min {νϕ (z) , k}, với t > 0. Định nghĩa 1.1. Hàm đếm các không điểm của ϕ với bội ngắt bởi k được định nghĩa như sau N [k] ϕ (r) = r∫ 1 n [k] ϕ (t) t dt. Trong trường hợp k = +∞, ta bỏ ký tự [k] trong hàm đếm và trong divisor. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 41.1.2 Hàm xấp xỉ Định nghĩa 1.2. Hàm xấp xỉ của ϕ được định nghĩa bởi m (r, ϕ) = 12pi ∫ |z|=r log+ |ϕ (z)| dθ. Ở đây ta kí hiệu log+x = max {log x, 0}, với x ∈ (0,+∞). Ta để ý rằng log x = log+x− log+ 1x , |log x| = log+x+ log+ 1x , log+ n∑ j=1 xj ≤ n∑ j=1 log+xj + log n, log+ n∏ j=1 xj ≤ n∑ j=1 log+xj. Từ đó suy ra m ( r, n∑ j=1 ϕj ) ≤ n∑ j=1 m (r, ϕj) +O (1), m ( r, n∏ j=1 ϕj ) ≤ n∑ j=1 m (r, ϕj). 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP n Định nghĩa 1.3. Ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP n hay còn gọi là đường cong chỉnh hình, trong không gian xạ ảnh CP n được định nghĩa là ánh xạ f = (f0 : ... : fn) : C→ CP n z 7→ (f0 (z) : ... : fn (z)) trong đó fj, 0 ≤ j ≤ n, là các hàm nguyên trên C. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 51.1.4 Hàm đặc trưng Cho f : C → CP n là một ánh xạ chỉnh hình khác hằng với biểu diễn rút gọn f = (f0 : ... : fn). Khi đó với mỗi siêu phẳng H : a0x0 + ...+ anxn = 0 thuộc CP n, đặt (f,H) = H (f) := a0f0 + ...+ anfn. Dễ dàng nhận thấy hàm đếm N [k] H(f)(r) không phụ thuộc vào biểu diễn rút gọn của f và biểu diễn phương trình của H. Kí hiệu ‖f‖ = √ |f0|2 + ...+ |fn|2. Định nghĩa 1.4. Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi Tf (r) = 1 2pi ∫ |z|=r log ‖f‖ dθ − 1 2pi ∫ |z|=1 log ‖f‖ dθ, r > 1. 1.1.5 Họ các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Định nghĩa 1.5. Họ các siêu phẳng H1, ..., Hq thuộc CP n được gọi là ở vị trí tổng quát nếu với mỗi họ k siêu phẳng trong chúng ( k ≤ n+ 1 ) thì giao của k siêu phẳng này là một phẳng có số chiều bằng n− k. Trong trường hợp q ≥ n + 1, thì họ các siêu phẳng nói trên ở vị trí tổng quát nếu và chỉ nếu giao của mỗi họ n + 1 siêu phẳng trong chúng bằng rỗng. 1.2 Một số định lý và mệnh đề Mệnh đề 1.6. Cho n+1 siêu phẳng H0, ..., Hn ở vị trí tổng quát trong CP n và ánh xạ chỉnh hình khác hằng f : C→ CP n. Đặt F = (H0 (f) : ... : Hn (f)). Khi đó Tf (r) = TF (r) +O (1) . Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 6Chú ý 1.7. Ta sử dụng kí hiệu ‖P để chỉ mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0,+∞) trừ một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn. Định lý 1.8. (Định lý Stoke) Cho D là một miền trong C với biên ∂D thuộc lớp C1. Xét η = Pdz +Qdz¯ là 1− dạng thuộc lớp C1 trong một lân cận mở của D¯. Khi đó ta có∫ ∂D dη = ∫ D dη = ∫ D ( −∂P ∂z¯ + ∂Q ∂z ) dz ∧ dz¯. Cho ϕ là một hàm khả vi trên C ( = R2 ), nhận giá trị phức. Biểu diễn ϕ = u (x, y) + iv (x, y). Kí hiệu ∂ϕ ∂x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x , ∂ϕ ∂y = ∂u ∂y + i ∂v ∂y , ∂ϕ ∂z = 1 2 ( ∂ϕ ∂x − i∂ϕ∂y ) , ∂ϕ ∂z¯ = 1 2 ( ∂ϕ ∂x + i ∂ϕ ∂y ) , dz = dx+ idy, dz¯ = dx− idy, ∂ϕ = ∂ϕ∂z dz, ∂¯ϕ = ∂ϕ ∂z¯ dz¯, dcϕ = i4pi ( ∂¯ϕ− ∂ϕ) = 14pi (∂ϕ∂xdy − ∂ϕ∂ydx), dϕ = ∂ϕ+ ∂¯ϕ. Ta có ddc∂ = i2pi∂∂¯ϕ = i 2pi ∂2ϕ ∂z∂z¯dz ∧ dz¯. Đối với toạ độ cực, z = reiθ, z¯ = re−iθ, ta có Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 7dϕ = ∂ϕ∂r dr + ∂ϕ ∂θ dθ, dz = eiθdr + rieiθdθ, dz¯ = e−iθdr − rie−iθdθ, dcϕ = 14pi ( r∂ϕ∂r dθ − 1r ∂ϕ∂θ dr ) . Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 8Chương 2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan 2.1 Công thức Jensen Cho ϕ là một hàm nhận giá trị thực( bao gồm cả ±∞) trên C sao cho Z = {z : ϕ (z) = ±∞} là một tập rời rạc. Giả sử ϕ thuộc lớp C2 trên C\Z và tại mỗi điểm aν ∈ Z có một C2− hàm ψν trên một lân cận của aν và tồn tại số thực λν thoả mãn ϕ (z) = λν. log |z − aν|+ ψν (z). Ta có ∂∂¯ log |z − aν| = 12∂∂¯ log (z − aν) (z − aν) = 12 ∂2 ∂z∂z¯ log (z − aν) (z − aν)dz ∧ dz¯ = 12 ∂ ∂z ( z−aν (z−aν)(z−aν) ) dz ∧ dz¯ = 12 ∂ ∂z ( 1 z−aν ) dz ∧ dz¯ = 0. Do đó (1, 1)− dạng ∂∂¯ϕ được thác triển liên tục tới aν bằng cách đặt ∂∂¯ϕ (aν) = ∂∂¯ψν (aν). Định lý 2.1. (Công thức Jensen) Cho ϕ là hàm thực trên C thoả mãn điều kiện nêu trên. Khi đó, với 0 ≤ s < r nếu ϕ (0) 6= ±∞ và với 0 < s < r cho trường hợp tổng Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 9quát ta có 1 2pi ∫ |z|=r ϕ (z) dθ − 12pi ∫ |z|=s ϕ (z) dθ = 2 r∫ s dt t ∫ ∆(t) i 2pi∂∂¯ϕ+ r∫ s dt t ( ∑ |aν |<t λν ) . Chứng minh. Ta lần lượt chứng minh công thức Jensen cho các trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu {aν} = ∅. Ta có dc log |z| = 14pi ( r ∂∂r (log r) dθ − 1r ∂∂θ (log r) dr ) = 14pidθ. Do đó 1 2pi ∫ |z|=r ϕ (z) dθ − 12pi ∫ |z|=s ϕ (z) dθ = 2 ∫ |z|=r ϕ (z) dc log |z| − 2 ∫ |z|=s ϕ (z) dc log |z| = 2 ∫ ∆(r)\∆(s) d (ϕ.dc log |z|) (do công thức Stoke) = 2 ∫ ∆(r)\∆(s) dϕ ∧ dc log |z|+ 2 ∫ ∆(r)\∆(s) ϕ ∧ ddc log |z| = 2 ∫ ∆(r)\∆(s) dϕ ∧ dc log |z| = 2 ∫ ∆(r)\∆(s) d log |z| ∧ dcϕ (do df ∧ dcg = (∂f + ∂¯f) ∧ i4pi (∂¯g − ∂g) = i4pi∂f ∧ ∂¯g − i4pi ∂¯f ∧ ∂g = i4pi ( ∂f ∧ ∂¯g + ∂g ∧ ∂¯f) nên df ∧ dcg = dg ∧ dcf ). = 2 ∫ [s,r]×[0,2pi] ( ∂ ∂t (log t) dt+ ∂ ∂θ (log t) dθ ) ∧ 14pi (t ∂∂tϕdθ − 1t ∂∂θϕdt) = 2 ∫ [s,r]×[0,2pi] 1 4pi ∂ ∂tϕdt ∧ dθ = 2 r∫ s ( 2pi∫ 0 ( 1 4pi ∂ ∂tϕ ) dθ ) dt Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 10 = 2 r∫ s ( 1 t ∫ |z|=t dcϕ ) dt = 2 t∫ s dt t ∫ ∆(t) ddcϕ (do công thức Stoke và để ý rằng∫ |z|=t 1 td cϕ = ∫ |z|=t 1 t ( 1 4pi t ∂ϕ ∂t dθ − 1t ∂ϕ∂θ dt ) = 2pi∫ 0 1 4pi ∂ϕ ∂t dθ ) = 2 r∫ s dt t ∫ ∆(t) i 2pi∂∂¯ϕ. Vậy định lý được chứng minh trong trường hợp này. Trường hợp 2: Nếu {aν} = a và ϕ = λ log |z − a|, a ∈ ∆s,r. Khi đó 2 r∫ s dt t ∫ ∆(t) i 2pi ∂∂¯ϕ = 0. Để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh điều sau 1 2pi ∫ |z|=r λ log |z − a| − 1 2pi ∫ |z|=s λ log |z − a| = λ (log r − log |a|) . (2.1) Ta có |a| > s nên hàm log |z − a| điều hoà trên ∆ s+|a| 2 . Do đó 1 2pi ∫ |z|=s λ log |z − a| = λ log |a| . (2.2) Vậy 1 2pi ∫ |z|=s λ log |z − a| = 12pi 2pi∫ 0 λ log ∣∣reiθ − a∣∣ dθ + 12pi 2pi∫ 0 λ log ∣∣e−iθ∣∣ dθ = 12pi 2pi∫ 0 λ log ∣∣r − ae−iθ∣∣ dθ = 12pi 2pi∫ 0 λ log ∣∣ r a − e−iθ ∣∣ dθ + 12pi 2pi∫ 0 λ log |a| dθ Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 11 = λ log ∣∣ r a ∣∣+ λ log |a| (do Định lý giá trị trung bình) = λ log |r|. (2.3) Từ (2.2) và (2.3) ta nhận được (2.1). Vậy định lý được chứng minh trong trường hợp này. Trường hợp 3: Nếu ϕ (z) = λ log |z − a|+ ψ (z) với s < a < r. Khi đó 1 2pi ∫ |z|=r ϕ (z) dθ− 12pi ∫ |z|=s ϕ (z) dθ = 12pi ∫ |z|=r λ log |z − a|− 12pi ∫ |z|=s λ log |z − a| + 12pi ∫ |z|=r ψ (z) dθ − 12pi ∫ |z|=s ψ (z) dθ = λ (log r − log |a|) + 2 r∫ s dt t ∫ ∆(t) i 2pi∂∂¯ϕ (do các trường hợp 1 và 2 ) = 2 r∫ s dt t ∫ ∆(t) i 2pi∂∂¯ϕ+ λ (log r − log |a|). Vậy ta nhận được định lý trong trường hợp này. Trường hợp tổng quát: Giả sử Z ∩∆s,r = {a1, ..., an}. Đặt ψ (z) = ϕ (z)− n∑ i=1 λi log |z − ai|. Khi đó ψ (z) là hàm lớp C2 trên một lân cận của ∆s,r. Áp dụng các trường hợp trên cho hàm ψ (z) và λi log |z − ai| ta suy ra định lý cho trường hợp tổng quát. Ta đưa ra hệ quả sau của công thức Jensen đối với hàm đếm. Hệ quả 2.2. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó Nf (r)−N 1 f (r) = 1 2pi ∫ |z|=r log |f (z)| dθ − 1 2pi ∫ |z|=1 log |f (z)| dθ, với mọi r > 1. Chứng minh. Gọi {aν} là tập các không điểm và cực điểm của f . Khi đó tại lân cận của aν ta có f (z) = (z − aν)λνg (z) , Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 12 trong đó λν ∈ Z và g (z) chỉnh hình, không triệt tiêu tại aν. Ta có log |f (z)| = λν log |z − aν|+ log |g (z)| . Do log |g (z)| thuộc lớp C2 nên hàm ϕ = log |f (z)| thoả mãn giả thiết của công thức Jensen. Vậy 1 2pi ∫ |z|=r log |f (z)| dθ − 12pi ∫ |z|=1 log |f (z)| dθ = 2 r∫ 1 dt t ∫ ∆(t) i 2pi∂∂¯ log |f (z)|+ r∫ 1 dt t ( ∑ |aν |<t λν ) = r∫ 1 dt t ( ∑ |aν |<t λν ) = Nf (r)−N 1 f (r). 2.2 Bổ đề đạo hàm logarit Bổ đề 2.3. (Bổ đề Borel) Giả sử hàm Φ (r) ≥ 0 (r ≥ 1) là đơn điệu tăng. Khi đó với mỗi δ > 0 ta có∥∥∥∥ ddrΦ (r) ≤ Φ(r)1+δ. Chứng minh. Do Φ là đơn điệu tăng nên ddrΦ (r) tồn tại hầu khắp nơi. Nếu Φ ≡ 0 thì ta hiển nhiên nhận được kết luận của bổ đề. Giả sử Φ 6≡ 0. Lấy r0 ≥ 1 sao cho Φ (r0) > 0. Đặt E (δ) = { r ≥ r0 : d dr Φ (r) > Φ(r)1+δ } . Khi đó ta có dΦ (r) Φ(r)1+δ > dr trên E (δ). Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Vậy ∫ E(δ) dr ≤ ∫ E(δ) dΦ (r) Φ(r)1+δ ≤ ∞∫ r0 dΦ (r) Φ(r)1+δ ≤ 1 δΦ(r0) δ . Vậy E (δ) có độ đo Lebesgue hữu hạn. Ta nhận được điều phải chứng minh. Bổ đề 2.4. (Bổ đề đạo hàm logarit) Cho f là một hàm phân hình khác hằng. Khi đó với mỗi δ > 0, ta có m ( r, f ′ f ) ≤ ( 1 + (1 + δ)2 2 ) log+Tf (r) + δ 2 log r +O (1) . Chứng minh. Xét (1, 1)− dạng Φ = 1 (1+log2|ω|)|ω|2 . i 4pi2dω ∧ dω¯ trên Ĉ với các điểm kỳ dị 0,∞. Ta có ∫ Ĉ Φ = ∫ C 1( 1 + log2r ) r2 1 2pi2 rdrdθ = ∞∫ 0 1 (1+log2r)r2 1 pirdr = 1. Đặt µ (r) = r∫ 1 dt t ∫ ∆(t) f ∗Φ. Ta có µ (r) = r∫ 1 dt t ∫ ∆(t) |f ′|2( 1 + log2 |f |) |f 2| i4pi2dz ∧ dz¯ = ∫ ω∈C r∫ 1 dt t n (t, (f − ω)0) Φ (ω) = ∫ ω∈C Nf−ω (r) Φ (ω), ở đó n (t, (f − ω)0) là tổng các bội của các không điểm của f − ω trên Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 14 ∆ (t). Mặt khác, theo Định lý cơ bản thứ nhất, tồn tại hằng số c sao cho Nf−ω (r) ≤ Tf (r) + c. Do đó µ (r) ≤ ∫ ω∈C (Tf (r) + c) Φ (ω) = Tf (r) + c. Từ tính chất hàm lõm, ta có m ( r, f ′ f ) = 14pi ∫ |z|=r log+ ( |f ′|2 (1+log2|f |)|f |2 )( 1 + log2 |f |) dθ ≤ 14pi ∫ |z|=r log+ ( |f ′|2 (1+log2|f |)|f |2 ) dθ + 14pi ∫ |z|=r log+ ( 1 + ( log+ |f |+ log+ 1|f | )2) dθ ≤ 14pi ∫ |z|=r log ( 1 + |f ′|2 (1+log2|f |)|f |2 ) dθ + 12pi ∫ |z|=r log+ ( log+ |f |+ log+ 1|f | ) dθ + 12 log 2 ≤ 12 log ( 1 + 12pi ∫ |z|=r |f ′|2 (1+log2|f |)|f |2dθ ) +12 ∫ |z|=r log ( 1 + log+ |f |+ log+ 1|f | ) dθ + 12 log 2 ≤ 12 log ( 1 + 1r d dr ∫ ∆(r) |f ′|2 (1+log2|f |)|f |2 1 2pirdrdθ ) + log ( 1 +m (r, f) +m ( r, 1f )) + 12 log 2 ≤ 12 log ( 1 + pir d dr ∫ ∆(r) f ∗Φ ) + log+Tf (r) +O (1) ≤ 12 log 1 + pir ( ∫ ∆(r) f ∗Φ )1+δ+ log+Tf (r) +O (1) Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 15 ≤ 12 log 1 + pirδ( ddr r∫ 1 dt t ∫ ∆(t) f ∗Φ )1+δ+ log+Tf (r) +O (1) (để ý rằng ddr r∫ 1 dt t ∫ ∆(t) f ∗Φ = ∫ ∆(r) f∗Φ r ) ≤ 12 log ( 1 + pirδµ(r)(1+δ) 2 ) + log+Tf (r) +O (1) ≤ ( 1 + (1+δ) 2 2 ) log+Tf (r) + δ 2 log +r +O (1). Ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 2.5. Cho f là hàm phân hình khác hằng. Khi đó∥∥∥∥m(r, f ′f ) = o (Tf (r)) . Bổ đề 2.6. (Bổ đề đạo hàm logarit cho đạo hàm bậc cao) Cho f là hàm phân hình khác hằng. Khi đó a) ∥∥Tf (k) (r) ≤ (k + 1)Tf (r) + o (Tf (r)), b) ∥∥∥m(r, f (k)f ) = o (Tf (r)), ở đó f (k) là đạo hàm cấp k của f . Chứng minh. Theo bổ đề đạo hàm logarit ta có các kết luận a), b) đúng với k = 0, 1. Giả sử a) đúng với mọi k ≤ n − 1 và b) đúng với mọi k ≤ n, trong đó n ≥ 1. Ta sẽ chứng minh a), b) lần lượt đúng với k = n và k = n+ 1. Ta có m ( r, f (k) ) ≤ m ( r, f (k) f ) +m (r, f) +O (1) = m (r, f) + o (Tf (r)) , và N 1 f(k) (r) ≤ (k + 1)N 1 f (r) . Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Do đó theo Định lý cơ bản thứ nhất, ta có Tf (k) (r) = N 1 f(k) (r) +m ( r, f (k) ) ≤ (k + 1)Tf (r) + o (Tf (r)) , và m ( r, f (k+1) f ) ≤ m ( r, ( f (k) )′ f (k) ) +m ( r, f (k) f ) ≤ o (Tf (k) (r))+ o (Tf (r)) = o (Tf (r)). Ta nhận được điều phải chứng minh. Bổ đề 2.7. (Bổ đề đạo hàm logarit cho trường hợp chiều cao) Cho f : C → CP n là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính. Khi đó với mỗi bộ n+1 siêu phẳng H0, ..., Hn ở vị trí tổng quát trong CP n ta có∥∥∥∥m(r, W (f0, ..., fn)H0 (f) ...Hn (f) ) = o (Tf (r)) , ở đó (f0 : ... : fn) là biểu diễn rút gọn của f . Chứng minh. Ta có W (f0, ..., fn) = c.W (H0 (f) , ..., Hn (f)), với c là một hằng số. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng H0 (f) 6≡ 0. Khi đó m ( r, W (f0,...,fn)H0(f)...Hn(f) ) = m ( r, W ( 1, H1(f) H0(f) ,...,Hn(f)H0(f) ) H1(f) H0(f) ...Hn(f)H0(f) ) +O (1) ≤ O  ∑ 1≤i,k≤n m r, ( (f,Hi) (f,H0) )(k) (f,Hi) (f,H0) +O (1) = o ( n∑ i=1 T (f,Hi) (f,H0) (r) ) +O (1) = o (Tf (r)). Bổ đề 2.8. Cho f : C→ CP n là ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Giả sử H1, ..., Hn là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CP n. Khi đó q∑ j=1 νHj(f) − νW (f) ≤ q∑ j=1 min { νHj(f), n } . Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 17 Chứng minh. Lấy a bất kì thuộc C. Do H1, ..., Hn ở vị trí tổng quát nên tồn tại không quá n chỉ số j sao cho Hj (f (a)) = 0. Không mất tính tổng quát, giả sử νH1(f) (a) ≥ ... ≥ νHn(f) (a) ≥ 0 = νHn+1(f) (a) = ... = νHq(f) (a) . Ta có q∑ j=1 νHj(f) (a)− νW (f) (a) = n+1∑ j=1 νHj(f) (a)− νW (H1(f),...,Hn+1(f)) (a) ≤ n+1∑ j=1 νHj(f) (a)− n+1∑ j=1 max { νHj(f) (a)− n, 0 } = n+1∑ j=1 min { νHj(f) (a) , n } = q∑ j=1 min { νHj(f) (a) , n } . 2.3 Định lý cơ bản thứ hai Cartan Định lý 2.9. (Định lý cơ bản thứ hai Cartan) Cho f : C→ CP n là ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Giả sử H1, ..., Hn là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CP n. Khi đó∥∥∥∥∥∥(q − n− 1)Tf (r) ≤ q∑ j=1 N [n] Hj(f) (r) + o (Tf (r)) . Chứng minh. Do các siêu phẳng H1, ..., Hn ở vị trí tổng quát nên log q∏ j=1 |Hj(f)| |W (f)| = maxJ⊂{1,...,q},#J=q−n−1 log ∏ j∈J |Hj (f)| − max I⊂{1,...,q},#I=n+1 log |W (f)|∏ i∈I |Hi(f)| ≥ (q − n− 1) log ‖f‖ − ∑ I⊂{1,...,q},#I=n+1 log+ |W (f)|∏ i∈I |Hi(f)| . Lấy tích phân hai vế trên đường tròn |z| = r, áp dụng công thức Jensen, Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Bổ đề đạo hàm logarit và Bổ đề 2.8 ta có∥∥∥∥∥∥ q∑ j=1 N [n] Hj(f) (r) ≥ 12pi ∫ |z|=r log q∏ j=1 |Hj(f)| W (f) dθ +O (1) ≥ 12pi (q − n− 1) ∫ |z|=r log ‖f‖ dθ −∑ I ∫ |z|=r |W (f)|∏ i∈I |Hi(f)|dθ +O (1) = (q − n− 1)Tf (r)− o (Tf (r)). Ta nhận được điều phải chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Chương 3 Ứng dụng của Định lý cơ bản thứ hai trong bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình Một trong những ứng dụng đẹp đẽ của Lý thuyết Nevanlinna là bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình. Được lần đầu nghiên cứu bởi Nevanlinna cho trường hợp hàm phân hình, ngày nay bài toán xác định duy nhất ánh xạ phân hình thu được nhiều kết quả thú vị bởi đông đảo các nhà toán học. Chúng tôi đưa ra một trong các kết quả đầu tiên về chủ đề này cho trường hợp chiều cao đạt được bởi Smiley và một kết quả mở rộng nó gần đây của Dethloff-Quang-Tan. 3.1 Định lý Smiley Định lý 3.1. (Định lý Smiley) Cho f và g là hai ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ C vào CP n. Giả sử H1, ..., H3n+2 là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CP n. Giả sử các điều sau thoả mãn i) f−1 (Hj) = g−1 (Hj) , j = 1, ..., 3n+ 2, ii) f−1 (Hi) ∩ f−1 (Hj) = ∅, với mọi 1 ≤ i 6= j ≤ 3n+ 2, Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên 20 iii) f = g trên 3n+2⋃ j=1 f−1 (Hj). Khi đó f ≡ g Chứng minh. Giả sử trái lại f 6≡ g. Lấy siêu phẳng H sao cho f−1 (H) ∩ f−1 (Hj) = ∅, ∀j = 1, ..., 3n + 2. Khi đó tồn tại chỉ số i, chẳng hạn i = 1 sao cho H1 (f) H (f) 6≡ H1 (g) H (g) . Thật vậy, nế