Luận văn Khái niệm xác suất trong dạy - Học toán ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG KHAÙÙI NIEÄÄM XAÙÙC SUAÁÁT TRONG DAÏÏY - HOÏÏC TOAÙÙN ÔÛÛ TRUNG HOÏÏC PHOÅÅ THOÂÂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: DIDACTIC TOÁN Mã số: 60.14.10 Người hướng dẫn: PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố HỒ CHÍ MINH Năm 2005 www.VNMATH.com Lôøi Caûm Ôn Toââ ii xiin traâân troïïng caûûm ôn :: ¾ Phoùù giiaùùo sö Tiieáán só Leââ Thòò Hoaøø ii Chaââu, ngöôøø ii ñaõõ taään tình höôùùng daããn toââ ii veàà maëët nghiieâân cöùùu khoa hoïïc, lluoâân ñoääng viieâân giiuùùp toââ ii coùù ñuûû niieààm tiin vaøø nghòò llöïïc trong suoáát quaùù trình thöïïc hiieään lluaään vaêên naøøy.. ¾ Phoùù giiaùùo sö Tiieáán só Leââ Thòò Hoaøø ii Chaââu, Tiieáán só Leââ Vaêên Tiieáán, Tiieáán só Ñoaøøn Höõõu Haûû ii , Phoùù giiaùùo sö Tiieáán só Cllaude Comiitii, Phoùù giiaùùo sö Tiieáán só Anniie Bessot, Tiieáán só Allaiin Biirebent ñaõõ nhiieäät tình giiaûûng daïïy, giiaûû ii ñaùùp caùùc thaééc maééc, daããn daéét chuùùng toââ ii tìm hiieååu nhöõõng kiieáán thöùùc ban ñaààu vaøø truyeààn cho chuùùng toââ ii söïï höùùng thuùù ñoáá ii vôùù ii chuyeâân ngaøønh Diidactiique Toaùùn.. Toââ ii xiin chaâân thaøønh caûûm ôn :: ¾ Ban llaõõnh ñaïïo vaøø chuyeâân viieâân Phoøøng Khoa hoïïc coââng ngheää – Sau ñaïï ii hoïïc, Ban chuûû nhiieääm vaøø giiaûûng viieâân khoa Toaùùn–Tiin tröôøøng Ñaïï ii hoïïc Sö phaïïm thaøønh phoáá Hoàà Chí Miinh, ñaõõ taïïo thuaään llôïï ii giiuùùp toââ ii hoaøøn thaøønh lluaään vaêên naøøy.. ¾ Ban Giiaùùm hiieääu vaøø caùùc ñoààng nghiieääp trong toåå Toaùùn tröôøøng THPT Voõõ Thòò Saùùu ñaõõ taïïo moïï ii thuaään llôïï ii cho toââ ii trong suoáát thôøø ii giian theo hoïïc cao hoïïc taïï ii tröôøøng ÑHSP.. ¾ Ban Giiaùùm hiieääu tröôøøng THPT Nguyeããn Höõõu Huaâân ñaõõ nhiieäät tình giiuùùp ñôõõ vaøø taïïo ñiieààu kiieään cho toââ ii tiieáán haøønh llaøøm Thöïïc nghiieääm taïï ii quyùù tröôøøng.. Toââ ii xiin toûû lloøøng biieáát ôn ñeáán :: ¾ Trôïï llyùù sö phaïïm Andreùù Siimard ñaõõ chiia seûû vôùù ii toââ ii nhöõõng kiinh nghiieääm giiaûûng daïïy vaøø nhöõõng thaééc maééc veàà Xaùùc suaáát Thoááng keââ .. ¾ Anh Voõõ Theáá Khoââ ii ñaõõ tìm vaøø cung caááp saùùch tham khaûûo cho nghiieâân cöùùu trong lluaään vaêên naøøy ñoààng thôøø ii cuõõng lluoâân llaøø nguoààn ñoääng viieâân llôùùn veàà maëët tiinh thaààn ñoáá ii vôùù ii toââ ii .. ¾ Caùùc baïïn cuøøng llôùùp cao hoïïc Diidactiic Toaùùn - Khoaùù 3 :: Nguyeããn Thòò Phöông Maii, Traààn Anh Duõõng, Phan Höõõu Taøø ii , ñaõõ cuøøng chiia seûû nhöõõng vuii buoààn vaøø khoùù khaêên vôùù ii toââ ii trong suoáát thôøø ii giian theo hoïïc taïï ii tröôøøng ÑHSP Tp.. HCM.. ¾ Môïï vaøø caùùc chòò em trong giia ñình ñaõõ lluoâân naââng ñôõõ vaøø llaøø choãã döïïa cho toââ ii veàà moïï ii maëët.. Vuõõ Nhö Thö Höông www.VNMATH.com MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ......................................................................................1 §I. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu.............................................1 §II. Khung lý thuyết tham chiếu.......................................................................2 §III. Trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu .................5 §IV. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn ..................................6 Chương 1 : ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM XÁC SUẤT 8 §I. Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm xác suất .............10 §II. Vài kết luận .............................................................................................23 Chương 2 : NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG XÁC SUẤT.......................................................................................................27 §I. Phân tích chương trình thí điểm .............................................................29 §II. Phân tích sách giáo khoa ........................................................................30 §III. Kết luận ...................................................................................................56 Chương 3 : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM........................................................59 A. THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT......................................................................................... 59 §I. Giới thiệu thực nghiệm ...........................................................................59 §II. Phân tích a priori các tình huống thực nghiệm .......................................62 §III. Phân tích a posteriori ...............................................................................78 §IV. Kết luận ...................................................................................................86 B. THỰC NGHIỆM THỨ HAI ............................................................................................. 87 §I. Mục đích .................................................................................................87 §II. Nội dung thực nghiệm ............................................................................88 §III. Kết luận .................................................................................................103 C. KẾT LUẬN PHẦN THỰC NGHIỆM ........................................................................... 104 KẾT LUẬN...........................................................................................105 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................................... PHỤ LỤC ......................................................................................................................... PROTOCOLE.................................................................................................................. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -1- PHẦN MỞ ĐẦU § I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ NHỮNG CÂU HỎI BAN ĐẦU Ở Việt nam, trong một thời gian dài, Xác suất và Thống kê chỉ được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán ở cấp đại học. Gần đây, một bộ phận cơ bản của Thống kê là Thống kê mô tả được đưa dần vào chương trình toán ở cấp trung học cơ sở (lớp 9) kể từ năm 1990. Tuy nhiên, phần Xác suất thì vẫn chưa được đưa vào giảng dạy ở phổ thông (chúng tôi không kể đến chương trình toán thí điểm dành cho phân ban KHTN trong giai đoạn 1995-1997 vì chương trình này dù có đề cập đến khái niệm xác suất nhưng lại chỉ được thực hiện ở một số rất ít trường chuyên1 có phân ban KHTN và KHXH rồi sau đó, phần này bị bỏ hẳn). Ngược lại, Xác suất và Thống kê lại được đưa vào giảng dạy khá sâu trong chương trình phổ thông tại nhiều nước trên thế giới như Mỹ, Anh, Pháp, Úc, Brasil,… từ rất nhiều năm nay (chẳng hạn ở Pháp đã có một bề dày gần bốn mươi năm giảng dạy xác suất ở trung học). Điều này càng cho thấy tầm quan trọng của kiến thức về xác suất và thống kê, một ngành toán ứng dụng rất có giá trị sử dụng trong nhiều lĩnh vực như: Vật lý, Cơ học, Sinh học, Kinh tế, Y học, Xã hội học,… Thấy được xu thế của thời đại, các nhà giáo dục Việt nam bắt đầu quan tâm đến việc nên đưa khái niệm thống kê và xác suất vào giảng dạy ở trường phổ thông với mục đích nhằm tiến gần và bắt kịp với thế giới bên ngoài, đồng thời cũng là để đáp ứng với việc đổi mới chương trình giáo dục và phương pháp giảng dạy ở Việt nam. Cụ thể là theo chương trình cải cách gần đây nhất2 thì kể từ năm học 2003-2004, một số yếu tố cơ bản của Thống kê mô tả được đưa vào giảng dạy ở lớp 7 tại tất cả các trường trung học cơ sở và đồng thời một số kiến thức và kỹ năng về Thống kê mô tả cũng được đưa vào lớp 10 theo chương trình thí điểm phân ban KHTN và KHXH tại một số trường trung học phổ thông. Còn Xác suất thì mới được đưa vào giảng dạy lần đầu trong chương trình thí điểm phân ban của lớp 11 năm học này (2004-2005), cũng tại các trường nói trên (trên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh có 4 trường). Do đi sau các nước khác trong việc đưa khái niệm xác suất vào giảng dạy ở phổ thông trung học nên các tác giả sách giáo khoa Việt nam có nhiều tư liệu, sách giáo khoa, chương trình,… của các nước khác để tham khảo cũng như có nhiều chọn lựa trong cách giới thiệu khái niệm xác suất. Điều này khiến chúng tôi tự hỏi: Khái niệm 1 Ở thành phố Hồ Chí Minh chỉ có duy nhất trường phổ thông trung học chuyên Lê Hồng Phong sử dụng chương trình phân ban thí điểm này trong giai đoạn 1995-1997 2 Chương trình cải cách được tiến hành đại trà từ năm học 2002-2003 và bắt đầu ở lớp 6. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -2- xác suất hình thành như thế nào ? Có những quan điểm nào về cách tiếp cận khái niệm xác suất ? Sách giáo khoa Việt nam đã chọn giới thiệu khái niệm xác suất như thế nào (theo quan điểm nào) ? Liệu cách giới thiệu này có giúp học sinh hiểu được « nghĩa thực tế » của khái niệm xác suất hay không ? Như đã nói, đây là lần đầu tiên khái niệm xác suất được chính thức đưa vào dạy thí điểm trước khi có thể được tiến hành dạy đại trà (từ năm học 2006-2007). Vì vậy chúng tôi càng quan tâm đến vấn đề này và quyết định chọn nghiên cứu việc dạy khái niệm xác suất ở trung học phổ thông. Chúng tôi hy vọng rằng những nghiên cứu nhỏ trong phạm vi luận văn này có thể giúp thấy được phần nào thực tế của việc đưa ra khái niệm xác suất trong sách giáo khoa bằng việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi ban đầu dưới đây: – Có những tiếp cận nào cho khái niệm xác suất ? – Khái niệm xác suất được sách giáo khoa trình bày như thế nào ? – Quan hệ giữa thống kê và xác suất được thể hiện ra sao trong sách giáo khoa ? – Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm xác suất của học sinh ? § II. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong khuôn khổ của lý thuyết didactique toán, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học, khái niệm hợp đồng didactique và đồ án didactique. II.1. Lý thuyết nhân chủng học Ở đây, chúng tôi chỉ mô tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu của lý thuyết nhân chủng học để tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra. • Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân. Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, … trong I ? Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao ? Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -3- thể chế I mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó trong R(I,O). • Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán học cũng là một kiểu thực thế xã hội nên cần xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ, θ, Θ] , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T; θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ. Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tồ chức toán học. Bosch M. và Y. Chevallard (1999) nói rõ : « Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên ». Do đó, việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O. Việc chỉ rõ các tổ chức toán học liên quan đến tri thức O cũng giúp ta xác định một số qui tắc của hợp đồng didactique: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm gì, có thể sử dụng tri thức O như thế nào chẳng hạn. II.2. Hợp đồng didactique Hợp đồng didactique liên quan đến một đối tượng dạy–học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy. Khái niệm hợp đồng didactique cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -4- Theo Annie BESSOT và Claude COMITI (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactique, người ta có thể tiến hành như sau: • Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những thành viên chính (giáo viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách : – Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức. – Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó. – Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà của tri thức đang xét không giải quyết được. – Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở học sinh. • Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách: – Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học. – Phân tích các đánh giá toán học của học sinh trong việc sử dụng tri thức. – Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa. Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactique đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức vì việc sử dụng tri thức đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactique) trong quá trình giảng dạy. Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactique. Bất kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là quá trình học sinh làm quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương lượng với giáo viên. Theo Brousseau, sự thương lượng này tạo ra một loại trò chơi có luật chơi ổn định tạm thời, cho phép các thành viên chính, nhất là học sinh, đưa ra các quyết định trong một chừng mực an toàn nào đó, cần thiết để bảo đảm cho họ sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội. Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactique là cần thiết vì để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những sự phá vỡ hợp đồng. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi. II.3. Đồ án didactique Theo Artigue M. (1988) và Chevallard Y. (1982), đồ án didactique là một tình huống dạy học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức công việc www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -5- didactique tựa như công việc của người kỹ sư: nó dựa trên kiến thức khoa học thuộc lĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học. Sau đây là một số yếu tố về khái niệm đồ án didactique: • Chức năng kép của đồ án didactique Đồ án didactique cho phép thực hiện: – một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các nghiên cứu didactique trước. – một kiểm chứng về những xây dựng lý thuyết được thực hiện bằng việc nghiên cứu, bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy. • Các pha khác nhau của phương pháp đồ án : 1. Các phân tích ban đầu: dựa trên – Các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực – Một phân tích khoa học luận về tri thức trong trò chơi – Một phân tích các kiến thức của học sinh (các quan niệm), các khó khăn gặp phải trong việc học (các chướng ngại) – Một phân tích thể chế (chương trình, sách giáo khoa,…) 2. Quan niệm về lớp (kịch bản), phân tích a priori và việc tổ chức tập dữ liệu. 3. Thực nghiệm và tổ chức các quan sát. 4. Phân tích a posteriori và sự hợp thức hóa nội tại. § III. TRÌNH BÀY LẠI CÂU HỎI NGHIÊN CỨU – MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này: Q1. Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm xác suất có thể được phân tích và tổng hợp từ các công trình nghiên cứu đã có ? Những kiểu bài toán, kiểu tình huống nào cho phép khái niệm xác suất xuất hiện và tác động ? Những đối tượng toán học nào khác góp phần làm nảy sinh và tiến triển khái niệm này ? Q2. Khái niệm xác suất được trình bày như thế nào trong sách giáo khoa lớp 11 dùng cho chương trình thí điểm của phân ban KHTN hiện hành ? Theo những cách tiếp cận nào ? Cách tiếp cận nào chiếm ưu thế ? Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactique được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy–học khái niệm xác suất ? Nó được thể hiện cụ thể trong những kiểu nhiệm vụ nào, những kỹ thuật nào ? www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -6- Q4. Những dạng bài tập nào được sách giáo khoa, sách bài tập ưu tiên đưa ra trong hệ thống bài tập ? Q5. Cách trình bày này của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm xác suất của học sinh ? § IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Chương 1 là phần mở đầu, bao gồm: lý do chọn đề tài, các câu hỏi ban đầu, mục đích nghiên cứu, khung lý thuyết tham chiếu, phần trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. Việc nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học về một khái niệm toán học nào đó không chỉ cho phép làm rõ một số kiểu bài toán, kiểu tình huống mà trong đó khái niệm này xuất hiện và tác động một cách tường minh hay ngầm ẩn, mà còn cả những đối tượng, những khái niệm khác có mối quan hệ qua lại mật thiết với khái niệm này và góp phần vào sự nảy sinh và phát triển của nó. Một cách tổng quát, nó cho phép làm rõ những đặc trưng khoa học luận của khái niệm. Vì vậy, trong chương 2 của luận văn, chúng tôi điểm lại lịch sử hình thành khái niệm xác suất và tổng kết phần phân tích khoa học luận của khái niệm xác suất dựa trên các công trình: – các bài báo của Michel Henr