Luận văn Khảo sát tính khả tích Lebesgue

1 2 LỜI CẢM ƠN ---- – & — ---- Trong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn tốt nghiệp em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, động viên từ quý thầy cô và bạn bè. Vì vậy, em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Bộ môn Toán đã truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt 4 năm học vừa qua. Xin chân thành cảm ơn Thư viện Khoa Sư Phạm, Trung tâm học liệu Đại học Cần Thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em thực hiện tốt đề tài. Em xin chân thành cảm ơn cô Trần Thị Thanh Thúy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành đề tài. Xin cảm ơn tập thể lớp SP Toán K 30 đã đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thành. Tuy nhiên, do kiến thức có hạn nên luận văn còn nhiều hạn chế và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Sinh viên thực hiện Phan Trần Diễm 3 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... 4 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... 5 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ..................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................. 1 2. Lịch sử vấn đề ................................................................................. 1 3. Mục đích nghiên cứu ....................................................................... 1 4. Phạm vi nghiên cứu ......................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................. 2 PHẦN NỘI DUNG.................................................................................. 3 PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 3 1. Độ đo trên một đại số tập hợp.......................................................... 3 1.1. Định nghĩa độ đo........................................................................ 3 1.2. Một số tính chất của độ đo. ........................................................ 4 2. Độ đo Lebesgue trên R .................................................................... 5 3. Hàm số đo được…..…..……………………………….……….……5 3.1. Định nghĩa ................................................................................. 5 3.2. Một số tính chất ......................................................................... 6 3.3. Các phép toán trên hàm số đo được............................................ 6 3.4. Khái niệm hầu khắp nơi ............................................................. 6 3.5. Cấu trúc của hàm đo được.......................................................... 7 3.6. Sự hội tụ theo độ đo................................................................... 8 PHẦN II: TÍCH PHÂN LEBESGUE ....................................................... 9 1. Các định nghĩa tích phân ................................................................. 9 1.1. Tích phân của hàm đơn giản, không âm ..................................... 9 1.2. Tích phân của hàm đo được, không âm ...................................... 11 1.3. Tích phân của hàm đo được bất kỳ............................................. 12 2. Các tính chất.................................................................................... 12 3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân ...................................................... 19 4. Tính liên tục tuyệt đối của tích phân ................................................ 25 5. Mối quan hệ giữa tích phân Lebesgue và tích phân Riemann........... 26 6. Điều kiện khả tích Lebesgue đối với tích phân trên khoảng vô hạn.. 27 6 7. Điều kiện khả tích Lebesgue của hàm không bị chặn....................... 28 PHẦN III: BÀI TẬP ................................................................................ 29 PHẦN KẾT LUẬN.................................................................................. 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................ 58 7 PHẦN MỞ ĐẦU ---- – & — ---- 1. Lý do chọn đề tài Ở chương trình phổ thông, chúng ta đã bước đầu làm quen với khái niệm tích phân và những ứng dụng hữu ích của nó. Khi đó, phép lấy tích phân của những hàm liên tục hoặc gián đoạn tại hữu hạn điểm được thực hiện một cách dễ dàng bằng tích phân Riemann. Thế nhưng, đối với những hàm gián đoạn tại vô số điểm hoặc tất cả các điểm thì làm thế nào để có thể lấy tích phân theo một nghĩa nào đó? Đây là một câu hỏi đã được đặt ra trong suy nghĩ của em suốt thời phổ thông. Khi bước vào đại học, em đã có cơ hội để trả lời câu hỏi đó qua việc tìm hiểu về tích phân Lebesgue. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một môn học, em không có điều kiện để nghiên cứu sâu về các tính chất cũng như các điều kiện khả tích của loại tích phân này trong những trường hợp khác nhau. Do đó, em luôn có mong muốn đào sâu hơn về vấn đề này để bổ sung và hoàn thiện thêm kiến thức của mình. Với những lý do trên, cùng với sự gợi ý của cô em đã mạnh dạn chọn đề tài này để hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Lịch sử vấn đề Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu thế kỷ XX. Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann. Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp ứng được các yêu cầu phát triển trong các lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ học lượng tử… 3. Mục đích nghiên cứu - Hệ thống các tính chất của tích phân Lebesgue, tìm hiểu các điều kiện khả tích (L), xét tính khả tích (L) của các hàm đo được. Nghiên cứu sâu hơn các tính chất liên quan đến tính khả tích (L). - Giải một số bài toán về tích phân Lebesgue. Chẳng hạn: · Tính tích phân (L) bằng cách sử dụng các hàm đơn giản, hàm tương đương, tính s_cộng tính, tính chất của độ đo, định lý hội tụ đơn điệu, định lý hội tụ bị chặn. · Giải một số bài toán liên quan đến qua giới hạn dưới dấu tích phân. 8 · Giải các bài toán liên quan đến điều kiện khả tích của các hàm đo được. 4. Phạm vi nghiên cứu Tích phân Lebesgue: các tính chất, các dạng toán liên quan đến tích phân Lebesgue. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tập hợp, tham khảo các tài liệu có liên quan đến đề tài. - Hệ thống những kiến thức tiên quyết, cơ sở để tiếp cận nội dung chính của đề tài. - Kết hợp tự nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn. 9 PHẦN NỘI DUNG PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Độ đo trên một đại số tập hợp 1.1. Định nghĩa độ đo Cho C là một đại số trên X. Hàm tập m : C "R được gọi là một độ đo trên C nếu thỏa mãn các điều kiện sau: a) m(A) ³ 0 , "A Î C b) m(Æ) = 0 c) An Î C, ( ) ιÆ=Ç ¥ = U 1 , n nmn AmnAA C ( )å ¥ = ¥ = =÷÷ ø ö çç è æ Þ 11 n n n n AA mm U (tính s_ cộng tính) Khi đó (X, C, m) được gọi là một không gian độ đo. + Độ đo m được gọi là hữu hạn nếu m(X) < + ¥ + Độ đo m được gọi là s_hữu hạn nếu $ { }n n NA Î Ì C sao cho U ¥ = = 1n nAX và m(An) < + ¥, "n Î N. Ví dụ: · X ¹ Æ, C = P (X) m(A) = 0 , "A Î C và ( ) 0, , A A A m = Æì = í+¥ ¹ Æî là hai độ đo trên C. · Hàm m: C "R ( )AA ma (trong đó ( )Am bằng card(A) nếu A hữu hạn và bằng ¥+ nếu A vô hạn) Khi đó m là độ đo và được gọi là độ đo đếm. * Độ đo đủ: Một không gian độ đo (X, C, m) gọi là đầy đủ nếu mọi tập con của một tập có độ đo không bất kỳ đều đo được. 10 1.2. Một số tính chất của độ đo Tính chất 1: Cho (X, C, m) là một không gian độ đo. a) A, B Î C, B Ì A Þ m(B) £ m(A). b) Nếu {An}n Î NÌ C, 1 n n A ¥ = ÎU C thì m( 1 n n A ¥ = U ) £ 1 ( )n n Am ¥ = å . c) Nếu An Î C , "n, A1 Ì A2 Ì …, 1 n n A ¥ = ÎU C thì ( )nnn n AA mm ¥® ¥ = =÷÷ ø ö çç è æ lim 1 U . d) Nếu An Î C , "n, A1 É A2 É…, m(A1) < +¥, 1 n n A ¥ = I Î C thì ( )nnn n AA mm ¥® ¥ = =÷÷ ø ö çç è æ lim 1 I . Tính chất 2: Cho m là độ đo trên đại số C. Khi đó: i) m(Ai) = 0, 1 i i A ¥ = ÎU C 1 ( ) 0i i Am ¥ = Þ =U . ii) A Î C, m(B) = 0 Þ m(A È B) = m(A \ B) = m(A). Tính chất 3: Giả sử m: C "R là một hàm tập hợp trên C. Khi đó m là một độ đo trên C khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn: i) m(Æ) = 0 ii) {Ai}iÎ NÌ C, A Î C, 1 i i A A ¥ = ÌU và Ai Ç Aj = Æ (i ¹ j) Þ 1 ( ) ( )i i A Am m ¥ = £å iii) {Ai}iÎ NÌ C, A Î C,