Luận văn Không gian cận mêtric sober

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hàn Thị Thanh Lan KHÔNG GIAN CẬN MÊTRIC SOBER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hàn Thị Thanh Lan KHÔNG GIAN CẬN MÊTRIC SOBER Chuyên ngành: Hình học và tôpô Mã số: 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Hà Thanh. Nội dung của luận văn có sự tham khảo, trình bày lại và phát triển các khái niệm, định lý trong bài báo Wei Li, Dexue Zhang (2017), “Sober metric approach spaces”, Topology and its Applications. Tôi cam đoan những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. Học viên thực hiện luận văn Hàn Thị Thanh Lan LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ về chuyên môn từ các Giảng viên trong khoa Toán, các giáo viên đồng nghiệp và các bạn trong lớp Hình học và tôpô khóa 28 cùng các anh chị khóa trên. Đầu tiên, em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Hà Thanh - Người hướng dẫn khoa học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Thầy đã nhiệt tình hướng dẫn em trong nghiên cứu về chuyên môn, truyền đạt kiến thức lẫn động viên tinh thần, nhiệt tình giúp em chỉnh sửa luận văn để có một luận văn tốt nhất. Em xin gửi lời cám ơn đến các Thầy, Cô đang công tác tại Phòng Sau đại học đã quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn các thủ tục để em có thể hoàn thành luận văn đúng yêu cầu và đúng tiến độ. Em xin chân thành cảm ơn các Giảng viên đang công tác tại khoa Toán đã giảng dạy em trong suốt quá trình học tập tại lớp cao học này. Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Lý Thường Kiệt – Hóc Môn và các đồng nghiệp đã quan tâm giúp đỡ để em có thời gian nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong gia đình đã động viên, tạo điều kiện để em yên tâm nghiên cứu. Cảm ơn bạn Dư Ngọc Minh Anh (email minhanhsp93@gmail.com) đã giúp đỡ tìm tài liệu và chia sẻ kinh nghiệm trong quá trình làm luận văn. Cảm ơn anh Trần Vũ An và bạn Lê Ngô Ngọc Nam trong lớp cao học Hình học và tôpô khóa 28 đã cùng nhau học tập, nghiên cứu, hỗ trợ, giúp đỡ lẫn nhau, để hoàn thành khóa học này. Xin chân thành cảm ơn. Hàn Thị Thanh Lan MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................... 4 1.1. Một số định nghĩa về hàm tử .................................................................. 4 1.1.1. Hàm tử bao hàm .............................................................................. 4 1.1.2. Hàm tử đơn ánh, toàn ánh, song ánh ............................................... 4 1.2. Một số định nghĩa về phạm trù ............................................................... 4 1.2.1. Phạm trù nhỏ .................................................................................... 4 1.2.2. Phạm trù đầy đủ ............................................................................... 4 1.2.3. Phạm trù đóng .................................................................................. 4 1.2.4. Phạm trù con .................................................................................... 4 1.2.5. Phạm trù con đầy đủ ........................................................................ 5 1.2.6. Phạm trù con đầy đủ phản đối xứng ................................................ 5 1.3. Nửa phạm trù .......................................................................................... 5 1.4. Tập hợp sắp thứ tự .................................................................................. 7 1.5. Một số định nghĩa trong không gian tôpô ............................................... 7 1.5.1. Tập bất khả quy ............................................................................... 7 1.5.2. Không gian tôpô Sober .................................................................... 7 1.5.3. Ánh xạ c trên toán tử đóng .............................................................. 8 1.6. Một số định nghĩa trong không gian mêtric ........................................... 8 1.6.1. Không gian mêtric ........................................................................... 8 1.6.2. Không gian mêtric đối xứng; tách; hữu hạn .................................... 8 1.6.3. Đối của d ; Đối xứng của d . ........................................................... 9 1.6.4. Ánh xạ co; Phép đẳng cự và phạm trù không gian Mêtric .............. 9 1.6.5. Khoảng cách Lawvere (Mêtric Lawvere) ........................................ 9 1.6.6. Trọng và đối trọng của không gian mêtric ...................................... 9 1.6.7. Ánh xạ f  .................................................................................. 10 1.6.8. Tập hợp tất cả các trọng của không gian mêtric............................ 10 1.6.9. Mêtric tách trên PX .................................................................. 11 1.6.10. Tích tenxơ của trọng và đối trọng ............................................... 11 1.6.11. Liên hợp phải, liên hợp trái của trọng và đối trọng ..................... 11 1.6.12. Lưới Cauchy, Lưới song Cauchy ................................................ 12 1.6.13. Giới hạn Yoneda .......................................................................... 12 1.6.14. Ánh xạ liên tục Yoneda ............................................................... 12 1.6.15. Trọng Cauchy, trọng phẳng ......................................................... 13 1.7. Một số định nghĩa trong không gian cận .............................................. 13 1.7.1. Không gian cận .............................................................................. 13 1.7.3. Phép co và phạm trù không gian cận ............................................. 15 1.7.4. Hàm chính quy và các tính chất .................................................... 15 Chương 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC KHÔNG GIAN: KHÔNG GIAN TÔPÔ, KHÔNG GIAN MÊTRIC, KHÔNG GIAN CẬN VÀ THÀNH PHẦN SOBER CỦA KHÔNG GIAN CẬN .............................................................. 17 2.1. Mối liên hệ giữa các không gian: Không gian tôpô, không gian mêtric và không gian cận ..................................................................... 17 2.1.1. Thứ tự đặc biệt của không gian tôpô ............................................. 17 2.1.2. Mêtric đặc biệt trên không gian cận .............................................. 17 2.1.3. Sơ đồ liên hệ giữa các không gian: Không gian tôpô, Không gian mêtric và Không gian cận .............................................................. 18 2.2. Thành phần sober của không gian cận .................................................. 20 2.2.1. Không gian cận Sober ................................................................... 20 2.2.1.2. Không gian cận Sober ................................................................ 20 2.2.2. Tập X và ánh xạ  ....................................................................... 20 2.2.3. Không gian X , ......................................................................... 22 2.2.4. Ánh xạ  X ..................................................................................... 22 2.2.5. Định lý ........................................................................................... 22 2.2.6. Phạm trù con SobApp của phạm trù App ....................................... 26 Chương 3. KHÔNG GIAN CẬN MÊTRIC SOBER ................................. 28 3.1. Tính đầy đủ Yoneda của không gian mêtric ......................................... 28 3.1.1. Không gian mêtric đầy đủ Yoneda ................................................ 28 3.1.2. Tính chất ........................................................................................ 29 3.1.3. Bổ đề .............................................................................................. 30 3.1.4. Tính chất ........................................................................................ 32 3.1.5. Tính chất ........................................................................................ 33 3.1.6. Tính chất ........................................................................................ 34 3.1.7. Định lý ........................................................................................... 35 3.2. Tính đầy đủ Smyth của không gian mêtric ........................................... 35 3.2.1. Không gian mêtric đầy đủ Smyth .................................................. 36 3.2.2. Bổ đề về mối liên hệ giữa lưới Cauchy và song Cauchy .............. 36 3.2.3. Tính chất ........................................................................................ 37 3.2.4. Tính chất ........................................................................................ 38 3.3. Các tính chất của không gian cận mêtric .............................................. 39 3.3.1. Tính chất ........................................................................................ 39 3.3.3. Tính chất ........................................................................................ 40 3.3.4. Bổ đề .............................................................................................. 41 3.3.5. Định lý ........................................................................................... 42 3.3.6. Định lý ........................................................................................... 43 3.4. Mối liên hệ giữa tính đầy đủ Yoneda, đầy đủ Smyth đến không gian cận mêtric Sober .......................................................................... 45 3.4.1. Định lý ........................................................................................... 45 3.4.2. Định lý ........................................................................................... 47 KẾT LUẬN ................................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 50 1 MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu đề tài Vào năm 1906, Maurice Frechet lần đầu tiên giới thiệu về không gian mêtric trong quyển sách “Sur quelques points du calcul fonctionnel”. Từ đó, các nhà khoa học đã tìm hiểu sâu hơn về không gian này và đưa ra nhiều ứng dụng của nó. Không gian mêtric được xây dựng dựa trên lý thuyết về khoảng cách giữa hai điểm trong tập hợp. Có nhiều mở rộng của không gian mêtric, trong đó có không gian cận mêtric Sober được W. Li, D. Zhang giới thiệu trong bài báo “Topology and its Applications” vào năm 2017. Trong tôpô, không gian cận là một mở rộng chung của không gian tôpô và không gian mêtric, dựa trên khoảng cách từ một điểm đến tập hợp, thay vì khoảng cách giữa hai điểm như trong không gian mêtric. “Không gian cận” được giới thiệu lần đầu tiên bởi Robert Lowen trong tài liệu “Approach spaces: a common supercategory of TOP and MET, Mathematische Nachrichten, 141” vào năm 1989. Đến năm 1997, Lowen một lần nữa đề cập về không gian cận trong bài báo “Approach Spaces: The Missing Link in the Topology – Uniformity - Metric Triad”. Lowen đã đưa ra những tính chất cơ bản của không gian cận rằng một không gian cận là một không gian tôpô nếu được cảm sinh trên không gian tôpô và là không gian mêtric nếu được cảm sinh trên không gian mêtric. Luận văn này nhằm giới thiệu không gian cận Sober – Một bản sao của không gian tôpô Sober dưới góc nhìn của mêtric, được giới thiệu bởi B. Banaschewski, R. Lowen và C. Van Olmen trong quyển “Sober approach spaces, Topology and its Applications” được viết năm 2006. Một vấn đề cần quan tâm là khi nào thì không gian tôpô Sober là không gian cận Sober? Không gian như thế nào gọi là không gian cận mêtric, khi nào không gian cận mêtric là không gian cận mêtric Sober? Trong [4], “Cho d là một mêtric 2 thông thường (đối xứng, tách và hữu hạn) trên tập X, thành phần Sober của không gian cận mà là tạo thành không gian mêtric Xd, khi và chỉ khi Xd, là không gian mêtric đầy đủ”. Bài luận văn này nhằm mô tả chi tiết kết quả trên bằng sự tổng quát được phát biểu như sau: “Cho Xd, là không gian mêtric, thành phần Sober của không gian cận có dạng tạo thành của không gian mêtric  Xd, là không gian cận mêtric khi và chỉ khi Xd, là không gian mêtric đầy đủ Smyth”. Không gian mêtric đầy đủ Smyth lần đầu được tìm ra bởi nhà toán học Smyth, được trình bày trong quyển “Quasi- uniformities: Reconciling domains with metric spaces, Lecture Notes in Computer Science và Completeness of quasi-uniform and syntopological spaces, Journal of London Mathematical Society”. Không gian mêtric Xd, được gọi là đầy đủ Smyth nếu nó tách và mọi lưới Cauchy trong không gian Xd, đều hội tụ trong Xd, sym . Mối quan hệ giữa không gian cận và không gian mêtric tương tự như mối quan hệ giữa không gian tôpô và tập sắp thứ tự. Ta có mối liên hệ giữa tập sắp thứ tự, không gian tôpô, không gian mêtric và không gian cận được thể hiện qua sơ đồ sau: Ord Top Top Ord Met App App Met Nội dung luận văn còn quan tâm đến: - Tính đầy đủ Yoneda, đầy đủ Smyth của không gian mêtric và các tính chất liên quan của nó. - Tính đầy đủ Yoneda và đầy đủ Smyth liên quan đến không gian cận mêtric Sober như thế nào?