Luận văn Mặt cực hạn và dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  Đỗ Thị Phương Quỳnh MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60. 46. 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai Thái Nguyên – 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 MỤC LỤC Mở đầu 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Ánh xạ chỉnh hình 6 1.2. Khoảng cách 7 1.3. Không gian Hyperbolic 12 1.4. Đa tạp phức 13 1.5. Miền giả lồi - giả lồi mạnh 14 1.6. Miền taut 17 Chương 2 MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 2.1. Mặt cực hạn 21 2.2. Mặt cực hạn trong miền giả lồi 25 2.3. Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. 31 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 MỞ ĐẦU Cho D là miền bị chặn trong n và f : D D là ánh xạ chỉnh hình. Khi đó định nghĩa dãy lặp  nf của f như sau: 1 n n 1 f f f f .f .     Một vấn đề được đặt ra ở đây là dãy  nf có hội tụ đều trên các tập compact hay không, và nếu hội tụ thì có hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình nh : D  hay không ? Vào năm 1926 Wolff và Denjoy đã giải quyết vấn đề trên khi D   (  là đĩa đơn vị trong  ). Cụ thể họ đ ã chứng minh được định lí Denjoy – Wolff như sau: “ Cho :f   là một hàm chỉnh hình từ đĩa đơn vị  trong  lên chính nó. Khi đó dãy lặp  nf không hội tụ nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu của  có đúng một điểm cố định. Hơn nữa, giới hạn của  nf , khi nó tồn tại, là hằng số x ”. Để chứng minh định lí này trong trường hợp f có một điểm cố định 0 z  thì Denjoy và Wolff đã sử dụng bổ đề Schwarz. Tuy nhiên trong trường còn lại, f không có điểm cố định, thì không thể tiếp tục sử dụng bổ đề Schwarz được nữa mà cần một công cụ mới để thay thế. Để đáp ứng được yêu cầu đó, định nghĩa về đường cực hạn đã được sử dụng và bổ đề Wolff: “Cho :f   là hàm chỉnh hình không có điểm cố định. Khi đó tồn tại x sao cho với mỗi R>0 có     , ,f E x R E x R ” được thay thế cho bổ đề Schwarz. Về bản chất, đường cực hạn là một đường tròn tiếp xúc trong với biên của  tại x. Đến năm 1941 Heins đã mở rộng định lí Denjoy - Wolff trên một miền tổng quát hơn trong  : “ Cho D là một miền hữu hạn liên thông Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 bị chặn bởi đường cong Jordan, và :f D D là một hàm chỉnh hình. Khi đó dãy lặp hội tụ nếu và chỉ nếu f không phải là tự đẳng cấu của D. Hơn thế nữa giới hạn, khi nó tồn tại, là một ánh xạ hằng x D ”. Năm 1983, MacCluer đã mở rộng kết quả của Denjoy - Wolff đối với hình cầu đơn vị trong n bằng việc đưa ra khái niệm mặt cực hạn cổ điển trong nB . Đến năm 1988, Marco Abate đã dựa vào mối liên hệ giữa khoảng cách Kobayashi và mặt cực hạn cổ điển để định nghĩa mặt cực hạn trên một miền bất kì. Bây giờ, cho D là một miền bị chặn trong n và xét một ánh xạ chỉnh hình f : D D . Giả thiết f có một điểm cố định 0 z D , và khả vi tại 0 z . Theo định lí Cartan - Carathéodory, giá trị riêng của 0z df thuộc vào  . Sử dụng dạng chính tắc Jordan của 0z df , dễ dàng kiểm tra được rằng   0 n z df hội tụ nếu và chỉ nếu giá trị riêng của nó nằm trong  1 và khi đó cho ta một kết quả như sau: “ Cho D là miền taut, compact tương đối trong n , :f D D là một ánh xạ chỉnh hình có đúng một điểm cố định 0 z D . Khi đó dãy lặp  nf hội tụ nếu và chỉ nếu 0z df không có giá trị riêng 1  và 1  ”. Định lí này đã mô tả một cách rõ ràng giới hạn điểm của dãy lặp  nf . Mục đích của luận văn là nghiên cứu về mặt cực hạn và sự hội tụ của dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình, nội dung của luận văn gồm hai chương : Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở có liên quan chặt chẽ với nội dung chính của luận văn như : ánh xạ chỉnh hình, các giả khoảng cách Kobayashi, giả khoảng cách Carathéodory, miền lồi, miền giả lồi mạnh, không gian hyperbolic, và miền taut. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Chương 2 trình bày khái niệm và các tính chất của mặt cực hạn trên miền D bất kì và trên miền giả lồi mạnh, sự hội tụ của dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. Trong quá trình hoàn thành luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Thị Tuyết Mai. Với tấm lòng thành kính tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô. Nhân dịp này tôi cũng xin được chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Khuê, GS.TSKH Lê Mậu Hải, TS Phạm Hiến Bằng, PGS.TS Phạm Việt Đức, cùng các thầy cô đã giảng dạy, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại Trường ĐHSP - ĐHTN. Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn Trường ĐHSP - ĐHTN, Trường ĐHYK - ĐHTN đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và nghiên cứu của tôi. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp những người luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008 Đỗ Thị Phương Quỳnh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Ánh xạ chỉnh hình [1] 1.1.1. Định nghĩa + Giả sử X là một tập mở trong n , hàm số f : X   được gọi là khả vi phức tại 0x X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính n:   sao cho      0 0 h 0 f x h f x h lim 0 h      . Trong đó   n n 2 1 2 n i i 1 h ,h h ,h ,...,h , h h      . + Hàm f được gọi là chỉnh hình tại 0x X nếu tồn tại một lân cận mở U của 0x sao cho f khả vi phức với 0x x U  . + Hàm f được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X. + Cho ánh xạ n mf :X ;   có thể viết dưới dạng  1 2 mf f ,f ,...,f . Trong đó i i f f : X    , i=1,...,m là các hàm toạ độ, và   m i 1 2 m i : f ,f ,...,f f .      Khi đó f được gọi là chỉnh hình trên X nếu i f chỉnh hình trên X với mọi i=1,...,m. Chú ý : Ánh xạ   nf :X f X   được gọi là song chỉnh hình nếu f là song ánh, chỉnh hình và 1f  cũng là ánh xạ chỉnh hình. 1.1.2. Tính chất Định lí : Giả sử U là tập con mở của n , với mỗi ánh xạ :f U   các điều kiện sau đây là tương đương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 a. f là hàm chỉnh hình. b. f là liên tục c. f là liên tục và |U Mf  là chỉnh hình với   nM , M là không gian con hữu hạn chiều. 1.2. Khoảng cách 1.2.1. Định nghĩa [1] Khoảng cách d trên tập X là một hàm     d : X X x,y d x,y .     thoả mãn điều kiện sau với mọi x, y thuộc X. i)    d x,y 0;d x,y 0 x y    ; ii) d(x,y)=d(y,x); iii)      d x,y d x,z d z,y  ; Nếu d chỉ thoả mãn ii) và iii) và  d x,y 0 thì d được gọi là giả khoảng cách trên X. 1.2.2. Khoảng cách Bergman Poincaré [4]  z :| z | 1    là đĩa đơn vị trên mặt phẳng phức  . Trên  , ta xét khoảng cách Bergman Poincaré cho bởi   1 | z | 0,z log , z . 1 | z |       Lấy a,b , phép biến đổi z - b w= 1 - bz là một tự đẳng cấu của  mà biến b thành 0 và biến a thành a b 1 ab   . Vậy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8   a b 1 1 ba a,b log . a b 1 1 ba          1.2.3. Giả khoảng cách Kobayashi [1] 1.2.3.1. Định nghĩa Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tuỳ ý của X. Hol(D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, được trang bị tôpô compact mở. Xét dãy các điểm 0 1 kp x,p ,...,p y  của X, dãy các điểm 1 2 ka ,a ,...,a của D và dãy các ánh xạ chỉnh hình 1 2 kf ,f ,...,f trong Hol (D, X) thoả mãn    i i 1 i i if 0 p ,f a p ; i 1,...,k    . Tập hợp  0 k 1 2 k 1 2 kp ,...,p ,a ,a ,...,a ,f ,f ,...,f  thoả mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Ta định nghĩa     k X D i x,y i 1 d x,y inf 0,a ,            , trong đó x,y là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Khi đó X d : X X  là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. Tổng   k D i i 1 0,a   được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình. 1.2.3.2. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi + Nếu f : X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là       X Yd x, y d f x ,f y x, y X   , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f là song chỉnh hình. Hơn nữa Xd là giả khoảng cách lớn nhất trên X thoả mãn mọi ánh xạ chỉnh hình f : D X là giảm khoảng cách. + Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi Xd : X X   là hàm liên tục. + Nếu D là đĩa đơn vị trong  thì giả khoảng cách Kobayashi trùng với khoảng cách Bergman Poincaré. 1.2.4. Giả khoảng cách Carathéodory [10] 1.2.4.1. Định nghĩa: Cho một không gian phức X, kí hiệu Hol(X,  ) là tập các ánh xạ chỉnh hình f: X   . Giả khoảng cách Carathéodory xC trong X được định nghĩa như sau       xC p,q sup f p ,f q ; p,q X   . Trong đó supremum được lấy theo toàn bộ  f Hol X,  . Khi  là đĩa đơn vị thuần nhất, nó thoả mãn để lấy supremum trên toàn bộ tập con     F f Hol X,D ;f p 0   1.2.4.2. Một số tính chất *Mệnh đề 1 Cho đa tạp phức X, ta có    X Xd p,q C p,q , p,q X  . Chứng minh: Như trong định nghĩa của  Xd p,q , chọn 0 1 kp p ,p ,...,p q  của X, và các điểm 1 2 k 1 ka ,a ,...,a ,b ,...,b của  và các ánh xạ chỉnh hình 1 2 kf ,f ,...,f trong Hol(  ,X) thoả mãn    i i i 1 i i if a p ,f b p  . Cho f là một ánh xạ chỉnh hình của X vào  . Khi đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10                  k k i i i i i i i 1 i 1 1 1 k k a ,b f f a ,f f b f f a ,f f b f p ,f q ,               Trong đó bất đẳng thức thứ nhất được suy ra từ bổ đề Schwarz và bất đẳng thức thứ hai là hệ quả của tiên đề tam giác. Do đó ,            k X i i X i=1 d p,q inf a ,b sup f p ,f q C p,q .      * Mệnh đề 2: Nếu X và Y là không gian phức thì         Y xC f p ,f q C p,q f Hol X,Y ;p,q X    thì f : X Y có tính giảm khoảng cách. *Mệnh đề 3: Cho  là một đĩa mở trong  , C   . Chứng minh: Sử dụng bổ đề Schwarz đối với ánh xạ chỉnh hình f : ta thu được    p,q C p,q , p,q .    Từ định nghĩa của C , xét phép biến đổi đồng nhất của  , ta thu được bất đẳng thức    p,q C p,q , p,q .     * Mệnh đề 4: Cho X là không gian phức a) Nếu X là một giả khoảng cách như sau         Xf p ,f q p,q f Hol X, ;p,q X       thì    X XC p,q p,q ; p,q X    b) Nếu X là một giả khoảng cách thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11         X f a ,f b a,b ; f Hol X, ;a,b       thì    X Xp,q d p,q  . 1.2.4.3. Bổ đề Schwarz [10] Cho f là hàm chỉnh hình biến hình tròn đơn vị  (0,r) thành chính nó thoả mãn f(0)=0. Khi đó : i)  f z z ; z D   ii) Nếu  0 0f z z với điểm 0z 0 nào đó trong  thì  f z z  trong đó 1  . Chứng minh: Với r tuỳ ý , 0<r<1 theo công thức tích phân Cauchy ta có      D 0,r f1 f z d 2 i z       , đặc biệt      D 0,r f1 0 f 0 d 2 i        . Vì vậy           D 0,r D 0,r f1 1 1 z f z f d d 2 i z 2 i z                     tức là hàm         D 0,r f z f1 z d z 2 i z          chỉnh hình trên hình tròn  . Vì r<1 tuỳ ý nên  chỉnh hình trên  . Khi z r 1  thì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12    f z 1 z z r    nên theo nguyên lý môđun cực đại   1 z r   với z r . Cho r 1 ta nhận được    f z z 1, z z      hay  f z z , z   Nếu    0 0 0 0 0 f z z 1, z ,0 z z       thì theo nguyên lí môđun cực đại  f z const z  . Tức là  f z z; 1     1.3. Không gian Hyperbolic [1] 1.3.1. Định nghĩa Không gian phức X được gọi là không gian phức hyperbolic nếu giả khoảng cách Kobayashi xd là khoảng cách trên X, kí hiệu là xk , tức là :  xk p,q 0 p q, p,q X     1.3.2. Một số tính chất + Nếu X, Y là các không gian phức, thì X Y là không gian phức hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian phức hyperbolic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 + Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y, nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác không gian con phức của một không gian phức hyperbolic là hyperbolic. 1.3.3. Ví dụ + Đĩa r D và đa đĩa m r D là hyperbolic. + Một miền bị chặn trong m là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa. + m không là hyperbolic, vì md 0 . 1.4. Đa tạp phức [1] 1.4.1. Định nghĩa Giả sử X là một không gian tôpô Hausdorff. + Cặp  U, được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là tập mở trong X và n: U  là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thoả mãn: i)  U là tập mở trong n . ii)  : U U  là một đồng phôi. + Họ   i i i IA U ,   các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thoả mãn: i)  i i IU  là một phủ mở của X. ii) Với mọi i jU ,U mà i jU U  , ánh xạ    1j i i i j j i j. : U U U U      là ánh xạ chỉnh hình. Xét họ các atlas trên X. Hai atlas A và B được gọi là tương đương nếu hợp A  B là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 1.4.2. Ví dụ Giả sử D là miền trong n . Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ địa phương   DD,Id . 1.5. Miền giả lồi - giả lồi mạnh 1.5.1. Miền giả lồi [12] Miền lồi là các miền mà cùng với các điểm x’,x” tuỳ ý, chúng chứa mọi điểm x=tx’+(1-t)x”, trong đó  t 0,1 . Có định nghĩa tương đương: miền nD  được gọi là lồi, nếu hàm  lnd x, D  trong đó  d x, D là khoảng cách Ơclit từ điểm x đến biên của miền, là hàm lồi trong D. Định nghĩa: Miền nD  được gọi là giả lồi, nếu hàm    z lnd z, D ,    trong đó  d z, D là khoảng cách Ơclit của điểm z đến biên D ,đa điều hòa dưới trong D. Ví dụ: trên mặt phẳng  miền tuỳ ý là giả lồi. 1.5.2. Miền giả lồi mạnh [10] 1.5.2.1. Định nghĩa Cho X là một miền bị chặn trong n với nz  1 2 n iz z ,z ,...,z ,z  , X là miền giả lồi mạnh với biên 2C nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới  xác định trong một lân cận U của biên X sao cho: i)  X U x X; (x) 0     ; ii) d 0  trong U. Dạng Levi của  tại 0x X là một dạng Hermitan cho như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15       0 2 ,x 0 i j 1 2 n i j L x , , ,..., z z               . Khi X là miền giả lồi mạnh biên 2C vì dạng 0,x L là xác định dương, X compact, tồn tại hai số dương 1 2c ,c sao cho   0 2 2 1 ,x 2c L c     . 1.5.2.2. Một số tính chất Bổ đề Cho rB là cầu Euclid bán kính r tâm O. Khi đó với mọi rz B        logr- logd , 0, 0, log2 log , r rr B B r z B C z d z r d z B      . Định lí 1 Cho nX  là miền giả lồi mạnh bị chặn với biên 2C . Khi đó tồn tại một lân cận X’ của X và một hàm liên tục : '   X X sao cho mỗi điểm cố định 0x X ,  0x , . là chỉnh hình trong X’ và  0x , . chuẩn hoá nên      0 0 0 0, 1, , 1, \     x x x z z X x . Định lí 2 Cho nX  là miền bị chặn với biên 2C và K là một tập con compact của X. Khi đó tồn tại một hằng số 1 c  chỉ phụ thuộc vào X và K sao cho    0 1 0, log , , ,     Xd z z c d z X z X z K . Định lí 3 Cho nX  là miền giả lồi mạnh với biên 2C và K là tập con compact của X. Khi đó tồn tại một hằng số 2 c  chỉ phụ thuộc vào X và K sao cho    2 0 0log , , , ,     Xc d z X C z z z X z K . Chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Cho X’ là một lân cận nhỏ của X , và : X X'    , sao cho mỗi điểm cố định 0x X ,  0x , . là chỉnh hình trong X’ và nó chuẩn hoá vì thế      0 0 0 0x ,x 1, x ,z 1, z X \ x      , và định nghĩa           0 0 0 0 0 : X X X D 1 x,z x,z x,z , . 1 x,z 1 x,z               . Khi đó có 0 r , 00 r 1  , sao cho  0 0 0x,z r 1, x X,z K      ,  0x,z ,  được định nghĩa trong 01/ r X K D   . Thì ánh xạ        00 x,z 0 x,z ,z z x,z , x,z      là xác định và liên tục trên X K K'   nếu X’ là một lân cận đủ nhỏ của X , và mỗi 0x,z  là một hàm chỉnh hình yếu trên X tại x D thoả mãn   0x,z 0 z 0  . Cho  P x, là đa đĩa bán kính  tâm x. Cho 0x X,z K  và  z P x,  .           0 0 0 0 x,z x,z x,z x,z P x, 2 X K P x, 1 z x z z x z c z x M z x ,                      trong hằng số M là độc lập với z và x. Đặt  2c min logM,log   . Chú ý rằng    B x, P x,   , đặt  x XU B x,   , với mỗi  >0 sao cho U là compact tương đối trong X. Xét 2 trường hợp: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 +) z X U  . Chọn x X sao cho  d z, X z x     . Khi đó     0 0x,z x,z 0 X D, z 0    , ta có         0 0 0 X 0 x,z 0 x,z x,z 1 C z ,z z , z log 1 z        . Vì       0 0x,z x,z 1 z 1 z M z x Md z, X         . Nên      X 0 2C z ,z logM logd z, X c logd z, X       . +) z X U    . Vì  d z, X   . Do đó,      X 0 2C z ,z 0 log logd z, X c logd z, X        Miền giả lồi mạnh và miền taut có mối liên hệ khá chặt chẽ với nhau. 1.6. Miền taut [4] 1.6.1. Định nghĩa Giả sử M là một không gian phức: a. Dãy  k k 1f Hol( ,M)     được gọi là phân kì compact nếu với mỗi tập compact K và với mỗi tập compact L M tồn tại số  0j j K,L sao cho  j 0f K L , j j    (  là đĩa đơn vị). b. M được gọi là taut nếu mọi dãy  k k 1f Hol( ,M)     chứa một dãy con hoặc hội tụ hoặc phân kì compact. 1.6.2. Định lí Kiernan Mỗi không gian phức taut M là hyperbolic. Mỗi không gian phức hypebolic đầy M cũng là taut. Các khẳng định ngược lại đều không đúng. Để chứng minh định lí ta đưa vào một số khái niệm sau : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của không gian phức M. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p=0 và   2 21 2 n 1 nB w ,w ,...,w ;| w | ... | w | 1    là một lân cận của p trong M sao cho q B .   2 2 2s 1 2 n 1 nB w ,w ,...,w ;| w | ... | w | s 1     .   sV p' M; p,p ' s    .  2z ; z 1      . 1.6.2.1. Định nghĩa : Một cặp có thứ tự  r, các số dương được gọi là có tính chất A nếu với mỗi ánh xạ chỉnh hình f : M với