Luận văn Một số tìm hiểu về hình học phi Euclide

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÀNH TOÁN Đề tài GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SV thực hiện: Nguyễn Thị Xuyên Chuyên ngành: Hình học Long Xuyên, 5 - 2008 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 1 LỜI NÓI ĐẦU Hình học nói chung là môn học khá thú vị đối với mỗi sinh viên. Lịch sử phát triển Hình học rất lâu đời với ý tưởng phục vụ nhu cầu sống của con người. Đến giai đoạn của Euclide, người ta được mở rộng thêm hiểu biết với tác phẩm “Nguyên lý” rất nổi tiếng có tất cả 13 quyển. Tác phẩm “Nguyên lý” trình bày cách xây dựng môn Hình học bằng phương pháp tiên đề. Trong tác phẩm, tác giả nêu ra các định nghĩa, định đề và tiên đề. Trong đó có 5 định đề có nội dung quan trọng và vấn đề đặt ra là định đề 5 của Euclide có phải là một định đề hay không? Hay nó có thể được chứng minh như một định lý? Việc tìm lời giải cho bài toán này đã thu hút rất nhiều nhà Toán học trong một thời gian dài. Và chưa ai làm sáng tỏ được cho đến ngày 6/2/1826, vấn đề được giải quyết bởi nhà Toán học người Nga, Lobachevsky (1792–1856), ông đã trình bày nghiên cứu của mình tại khoa Toán – Lý trường đại học Ka–zan (Nga). Lobachevsky chứng minh rằng: không thể chứng minh định đề 5. Định đề 5 đúng là một định đề chứ không phải định lý. Từ đó, ông giữ nguyên các định đề của Euclide và thay định đề 5 bằng một mệnh đề phủ định, dựa vào đó chứng minh các định lý của các hệ thống Hình học mới mà ngày nay ta gọi là Hình học phi Euclide hay Hình học Lobachevsky. Nghiên cứu Hình học phi Euclide chúng ta sẽ thấy được những kết quả hết sức bất ngờ và thú vị hoàn toàn trái ngược với Hình học Euclide. Luận văn được trình bày gồm 3 chương: +Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị. +Chương II: Hình học phi Euclide. +Chương III: Mẫu đĩa Poincare và mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại Học An Giang với sự hướng dẫn nhiệt tình của cô Phạm Thị Thu Hoa. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô hướng dẫn, quý thầy cô khoa Sư phạm và Bộ môn Toán trường Đại học An Giang, cảm ơn các bạn lớp DH5A1 đã giúp tôi hoàn thành luận văn này trong suốt quá trình học tập. Xin chúc quý thầy cô được dồi dào sức khoẻ, hạnh phúc và công tác tốt. Do sự hạn chế về thời gian và khả năng nghiên cứu khoa học nên Khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Long Xuyên, tháng 5 năm 2008 Tác giả GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 2 MỤC LỤC Lời nói đầu.....................................................................................................1 Mục lục ..........................................................................................................2 Các ký hiệu ....................................................................................................5 Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .........................................................6 1. Vài nét về lịch sử ra đời của Hình học phi Euclide ................................6 1.1 .Hình học Euclide. ...............................................................................6 1.2 .Về định đề 5 của Euclide.. ..................................................................7 1.3 .Sự ra đời của Hình học phi Euclide.. ..................................................7 2.Kiến thức bổ trợ .......................................................................................8 2.1. Tứ giác saccheri: ................................................................................8 2.2. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương trong không gian vectơ 8 2.2.1. Dạng song tuyến tính: ................................................................8 2.2.2. Dạng toàn phương: ....................................................................8 3. Thể hiện khái niệm cơ bản của hình học Euclide. ..................................9 3.1. Mô hình xạ ảnh của không gian Euclide. ...........................................9 3.2. Cái tuyệt đối........................................................................................9 3.3. Khái niệm vuông góc của hai đường thẳng. .....................................10 3.4. Khái niệm siêu cầu: ..........................................................................10 Chương II. HÌNH HỌC PHI EUCLIDE .................................................12 1. Không gian vectơ giả Euclide...............................................................12 1.1. Định nghĩa........................................................................................12 1.2. Định lý. ............................................................................................13 2. Hình học giả Euclide ............................................................................14 2.1. Định nghĩa không gian giả Euclide bằng tiên đề.............................14 2.2. Mục tiêu trực chuẩn. ........................................................................14 2.2.1. Định lý .....................................................................................14 2.2.2. Định lý .....................................................................................15 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 3 2.3. Định nghĩa........................................................................................16 2.4. Định nghĩa........................................................................................16 2.4.1. Mệnh đề. ...................................................................................16 2.4.2. Định lý ......................................................................................16 2.4.3. Hệ quả: ......................................................................................17 2.4.4. Định lý. .....................................................................................17 2.5. Modul của vectơ – độ dài đoạn thẳng...............................................19 2.5.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. .........................................19 2.5.2. Modul của vectơ. ......................................................................19 2.5.3. Độ dài đoạn thẳng. ....................................................................19 2.5.4 . Một số khái niệm khác.............................................................20 2.6. Định nghĩa........................................................................................21 2.6.1. Định lý .....................................................................................21 2.6.2. Mệnh đề. ..................................................................................22 2.6.3. Định lý. ....................................................................................22 2.7. Mô hình xạ ảnh của không gian giả knΕ ...........................................23 2.7.1. Xây dựng mô hình. ..................................................................23 2.7.2. Thể hiện khái niệm giả Euclide trên mô hình..........................24 2.8. Phép đồng dạng trong không gian knΕ – Hình học giả Euclide. ......27 2.8.1. Phương trình của phép đồng dạng – phép dời trong knΕ . ........27 2.8.2. Định lý. ....................................................................................29 3. Hình học Lobachevsky .........................................................................31 3.1 Định nghĩa.........................................................................................31 3.2. Một số quy ước. ...............................................................................31 3.3. Các định nghĩa. ................................................................................32 3.4. Khái niệm vuông góc.......................................................................32 3.5. Phương trình của phép dời hình trong Hn. .......................................33 3.6. Khoảng cách giữa hai điểm trong Hn ..............................................33 3.7. Góc giữa hai đường thẳng................................................................34 Chương III: MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN ...............35 1. Mẫu đĩa Poincare và hình học Lobachevsky. .......................................35 1.1. Mặt phẳng Hyperbolic trong mẫu đĩa Poincare...............................35 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 4 1.1.1. Các định nghĩa. ........................................................................35 1.1.2. Khoảng cách mêtric trên mặt Hyperbolic................................37 1.1.3. Định nghĩa khoảng cách Hyperbolic từ A đến B.....................37 1.1.4. Những đường thẳng song song. ...............................................38 1.1.5. Định lý. ....................................................................................38 1.1.6. Định lý. ....................................................................................39 1.1.7. Định lý Lobachevsky. ..............................................................39 1.1.8. Định lý. ....................................................................................41 1.1.9. Định lý .....................................................................................41 1.1.10. Định lý. ..................................................................................42 1.1.11. Định lý ...................................................................................42 1.1.12. Định lý Pythagorean Hyperbolic. ..........................................42 2. Mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare. .....................................................42 2.1. Các định nghĩa. ..............................................................................42 2.1.1. Điểm.......................................................................................42 2.1.2. Đường thẳng. .........................................................................43 2.1.3. Phép nghịch đảo.....................................................................43 2.1.4. Góc.........................................................................................43 2.1.5. Sự bằng nhau của các đoạn thẳng và các góc........................44 Kết luận........................................................................................................47 Tài liệu tham khảo. ......................................................................................48 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 5 CÁC KÝ HIỆU Vn: không gian vectơ thực n- chiều An: không gian afin thực n- chiều Pn: không gian xạ ảnh n- chiều k n uuur E : không gian vectơ giả Euclide n- chiều chỉ số k k nE : không gian giả Euclide n- chiều chỉ số k ⊕ : Tổng trực tiếp f r : kn uuur E → kn uuur E : ánh xạ tuyến tính liên kết giữa giữa hai không gian vectơ giả Euclide n- chiều chỉ số k H2: không gian Lobachevsky 2- chiều Pr: r- phẳng xạ ảnh Hr: r- phẳng Lobachevsky [u]*: ma trận chuyển vị của ma trận [u] GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 6 Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Vài nét về lịch sử ra đời của Hình học phi Euclide 1.1 . Hình học Euclide Như ta đã biết Euclide là một nhà hình học vĩ đại. Tên tuổi của ông gắn liền với tác phẩm “Nguyên lý” rất nổi tiếng có tất cả 13 quyển. Trong đó có 8 quyển dành cho hình học phẳng và hình học không gian. Kiến thức trong những cuốn sách này bao gồm toàn bộ nội dung hình học sơ cấp, mà một phần của nó được dạy trong các trường phổ thông hiện nay. Về phương pháp: Ta thấy Euclide đã cố gắng xây dựng môn hình học bằng phương pháp tiên đề. Trong cuốn sách đầu tiên Euclide đã nêu ra 23 định nghĩa của các khái niệm: điểm, đường, đường thẳng, mặt, mặt phẳng, đường thẳng song song. Sau định nghĩa Euclide trình bày các “định đề” và “tiên đề” là những mệnh đề mà sự đúng đắn của nó được thừa nhận, không chứng minh. Có 5 định đề nói về hình học đó là: 1). Từ một điểm bất kỳ này đến một điểm bất kỳ khác có thể vẽ được một đường thẳng. 2). Một đường thẳng có thể kéo dài mãi về cả hai phía. 3). Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tuỳ ý có thể vẽ được một đường tròn. 4). Hai góc vuông thì bằng nhau 5).Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai vuông, thì hai đường thẳng đó cắt nhau về phía có hai góc đó. Có 5 tiên đề nội dung rộng hơn dùng cho các suy luận toán học nói chung: 1). Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau. 2). Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. 3). Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. 4). Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau. 5). Toàn thể lớn hơn bộ phận. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 7 Sau khi đã có các định nghĩa, các định đề và tiên đề Euclide đã trình bày các định lý và chứng minh các định lý đó. Các định lý này đều được cố gắng dựa vào các định lý đã có trước hoặc các tiên đề và định đề. 1.2. Về định đề 5 của Euclide Định đề 5 của Euclide đóng vai trò đặc biệt trong lịch sử phát triển của hình học nói riêng và Toán học nói chung. Khi nghiên cứu tập “Nguyên lý”, các nhà toán học đều băn khoăn: Định đề 5 có thật là một định đề hay không? Hay nó có thể được chứng minh như là một định lý? Có lẽ như chính Euclide cũng băn khoăn như vậy, bởi vì ông đã cố trì hoãn việc áp dụng định đề đó vào việc chứng minh các định lý. Thế là nhiều nhà toán học đã cố gắng tìm cách chứng minh định đề 5. Có thể nói trong lịch sử toán học chưa bao giờ có một vấn đề toán học được nhiều người nghiên cứu đến thế, và giải quyết nó lại cần nhiều thời gian đến thế (từ thế kỷ II trước CN đến giữa thế kỷ XIX ). Hầu hết các nhà toán học đều thất bại. Họ cứ tưởng là đã chứng minh được định đề 5, nhưng thật ra thì không phải, vì trong khi chứng minh họ đã sử dụng một điều tương đương với định đề đó. Chẳng hạn, Pro–duyt (Produs Diadochus 410 – 485) trong chứng minh của mình ông đã sử dụng mệnh đề: “ Nếu hai đường thẳng a và b song song thì khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của đường thẳng a tới đường thẳng b đều bằng nhau”. Mệnh đề này có vẻ hiển nhiên nhưng để chứng minh nó ta phải dùng định đề 5 (vòng luẩn quẩn!). Nhiều nhà toán học đã chứng minh định đề 5 bằng phương pháp phản chứng. Hãy giả sử định đề 5 không đúng, rồi cố rút ra những đều vô lý, những mâu thuẫn, nhưng họ không thành công vì họ tưởng đã tìm ra cái vô lý nhưng thực ra lại chẳng vô lý chút nào!. 1.3. Sự ra đời của Hình học phi Euclide Cuối cùng, vào ngày 6/2/1826 vấn đề đã được giải quyết bởi nhà toán học người Nga, Lobachevsky (1792–1856), khi ông trình bày nghiên cứu của mình tại khoa Toán – Lý trường Đại học Ka–zan (Nga). Lobachevsky chứng minh rằng: Không thể chứng minh được định đề 5. Định đề 5 đúng là một định đề chứ không phải định lý. Ông giữ nguyên các định đề của Euclide và thay định đề 5 bằng một mệnh đề phủ định: “Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có thể kẻ ít nhất hai đường thẳng song song với đường thẳng đã cho”, dựa vào đó chứng minh các định lý của hệ thống hình học mới. Ngày nay chúng ta gọi hình học mà Lobachevsky xây dựng là hình học phi Euclide hay hình học Lobachevsky hoàn toàn trái ngược với hình học Euclide. Chẳng hạn, trong hình học của Lobachevsky: tổng các góc của tam giác bé hơn GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 8 1800, có tam giác mà tổng số đo các góc bé tuỳ ý, diện tích tam giác bị chặn trên quỹ tích những điểm cách đều một đường thẳng phải là cặp đường thẳng, … Tuy nhiên trong nội bộ của hình học đó không hề có mâu thuẫn nào. 2. Kiến thức bổ trợ 2.1. Tứ giác Saccheri Xét một tứ giác AA’B’B có hai góc vuông kề đáy AB và có hai cạnh bên AA’ và B’B bằng nhau. Do đối xứng qua trung trực của đoạn AB, các góc A’ và B’ bằng nhau Nếu công nhận định đề 5 thì lập tức suy ra rằng hai góc A’ và B’ đều vuông và tứ giác AA’B’B là một hình chữ nhật. Ngược lại như saccheri đã chứng minh, nếu tìm được ít nhất một tứ giác dạng như trên có hai góc ở đỉnh vuông thì sẽ chứng minh được định đề 5. 2.2 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương trong không gian vectơ 2.2.1 . Dạng song tuyến tính Định nghĩa: Dạng song tuyến tính trên một không gian vectơ Vn là một hàm số S( yx rr, ) của hai vectơ xác định trên toàn bộ Vn và có tính chất tuyến tính đối với từng vectơ, tức là: ⎩⎨ ⎧ +=+ +=+ ),(),(),( ),(),(),( 22112211 22112211 yxSyxSyyxS yxSyxSyxxS rrrrrrr rrrrrrr λµµµ λλλλ (1) Hay một cách tổng quát: 1122112211 ),( µλµµλλ =++ yyxxS rrrr )y,x(S 11 rr + 1λ 2µ )y,x(S 21 rr + 2λ 1µ ),( 12 yxS rr + + 2λ 2µ ),( 22 yxS rr Với các vectơ và số thực tham gia trong đẳng thức đó được lấy tùy ý. 2.2.2. Dạng toàn phương Định nghĩa: Trong không gian vectơ Vn cho dạng song tuyến đối xứng ),( yxS rr . Hàm số của một vectơ P( xr )= ),( xxS rr , với mọi xr nV∈ gọi là dạng toàn phương xác định bởi dạng song tuyến tính ),( yxS rr Ngược lại: ),( yxS rr gọi là dạng đối cực của dạng toàn phương )(xP r B’ A’ H’ H B A GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 9 3.Thể hiện khái niệm cơ bản của hình học Euclide 3.1 . Mô hình xạ ảnh của không gian Euclide Ta chọn trong không gian xạ ảnh thực n chiều Pn, một siêu phẳng Pn–1 làm siêu phẳng vô tận. Như vậy ta được một không gian afin thực n chiều An (như đã mô tả trong giáo trình hình học xạ ảnh). Bằng cách định nghĩa một tích vô hướng trong nền của An thì An trở thành một không gian Euclide. Mô hình đó của không gian Euclide được gọi là mô hình xạ ảnh của không gian Euclide. Bây giờ, ta hãy chọn không gian đó một mục tiêu trực chuẩn { } n1,i1n E;A + , tức là n 1 iA E+ ∗ uuuuuur j1n EA + = ijδ , i, j = 1, 2, …, n. Ta gọi { } 1n1,E;A +i là mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu { } n1,i1n E;A + . Điều đó có nghĩa là, Ai là giao điểm của đường thẳng An+1Ei với siêu phẳng Pn–1, i = n,1 , còn E có tọa độ với mọi mục tiêu trực chuẩn { } n1,i1n E;A + là (1, 1, …, 1) tức là : ∑ = ++ = n 1i i1n1n EAEA Ta nhắc lại rằng, nếu điểm M thuộc Εn có tọa độ đối với mục tiêu { } n1,i1n E;A + là (X1, X2, …, …, Xn) thì nó sẽ có tọa độ đối với mục tiêu xạ ảnh { } 1n1, E;A +i là (x1: x2: …: xn+1) với xn+1 ≠ 0 và 1n i i x xX + = , i = 1, 2, …, n. Đối với mục tiêu trực chuẩn đã chọn, hai vectơ u = (u1, u2, …, un), v = (v1, v2, …, vn) sẽ có tích vô hướng là: i n 1i i vuv*u ∑ = = = [u]*.[v]. 3.2 . Cái tuyệt đối Trong không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu đã chọn{ } 1n1,E;A +i nói trên, phương trình của siêu phẳng vô tận Pn–1 là xn+1 = 0. Trong siêu phẳng Pn–1, ta chọn mục tiêu xạ ảnh là{ } n1,E';Ai , trong đó E’ là giao điểm của An+1E với Pn–1. Ta xét siêu mặt trái xoan không T có phương trình đối với mục tiêu đã chọn trong siêu phẳng Pn–1 là: [x]*[x] = ∑ = n 1i 2 ix = 0 (1) Siêu mặt T gọi là cái tuyệt đối T của không gian xạ ảnh Pn . Cái tuyệt đối trong mặt phẳng xạ ảnh là: x12 + x22 = 0 đó là cặp điểm I(1: i: 0), J(1:–i: 0) được gọi là cặp điểm xyclic. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 10 3.3. Khái niệm vuông góc của hai đường thẳng Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau là hai điểm vô tận của chúng liên hợp đối với cái tuyệt đối T. Chứng minh Ta dựng qua gốc An+1 của mục tiêu{ } n1,i1n E;A + hai đường thẳng d1 và d1’, lần lượt song song với d và d’. Trên d1 và d1’ lần lượt lấy hai điểm X và X’