Luận văn Một số tính chất của hàm tựa lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------*****-------- TÔ CÔNG DOANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------*****-------- TÔ CÔNG DOANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------*****-------- TÔ CÔNG DOANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN – 2008 MỤC LỤC Trang Mở đầu .......................................................................................... 1 Chương I HÀM TỰA LỒI KHÔNG TRƠN 1.1. Các khái niệm và định nghĩa ............................................................ 3 1.2. Hai tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi, nửa liên tục dưới .............. 7 1.3. Các hàm tựa lõm và tựa affine ......................................................... 15 1.4. Hàm giả lồi ………………………………………………………… 19 1.5. Hàm không hằng số radian . ………………………………………. 25 Chương II CÁC HÀM TỰA LỒI CHẶT VÀ BÁN CHẶT KHÔNG TRƠN 2.1. Dưới vi phân Clarke – Rockafellar ...................................................... 30 2.2. Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi bán chặt ..................................... 36 2.3. Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi chặt ………………………........ 43 2.4. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân …………………....... 46 KẾT LUẬN ……………………………………………………. 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………… …….... .. 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỞ ĐẦU Lớp các hàm lồi và hàm lồi suy rộng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu hoá. Hàm tựa lồi được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả sâu sắc. Trong [10] O.L. Mangasarian đã trình bày lí thuyết các hàm tựa lồi, hàm giả lồi khả vi và mối quan hệ giữa hàm tựa lồi và các hàm lồi suy rộng liên quan. D. Aussel [1] đã nghiên cứu các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm đó và mối quan hệ giữa các khái niệm này. A. Daniilidis và N. Hadjisavvas [3] nghiên cứu các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn. Kết quả chỉ ra rằng một ánh xạ Lipschitz địa phương là tựa lồi bán chặt hoặc tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu dưới vi phân Clarke của nó tương ứng là tựa đơn điệu bán chặt hoặc tựa đơn điệu chặt. Luận văn tập trung trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi, giả lồi, tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu, giả đơn điệu, tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán chặt của dưới vi phân của hàm đó. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương I . Hàm tựa lồi không trơn. Trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm 2 đó. Kết quả chỉ ra rằng hàm liên tục radian, nửa liên tục dưới f là giả lồi khi và chỉ khi f là tựa lồi và thoả mãn điều kiện :  0 f x f  có cực tiểu toàn cục tại x. Chương II. Các hàm tựa lồi chặt và bán chặt không trơn. Trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán chặt của dưới vi phân của nó. Phần cuối chương trình bày một áp dụng chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS – TS Đỗ Văn Lưu – Viện toán học Việt Nam, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học để tác giả hoàn thành bản luận văn. Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn tập thể giảng viên Khoa Toán đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập, nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các phòng ban chức năng và khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên, các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ rất nhiều để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 Chương I HÀM TỰA LỒI KHÔNG TRƠN Chương I trình bày các tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi và giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm đó, và mối quan hệ giữa hai khái niệm này. Kết quả cũng chỉ ra rằng hàm liên tục radian, nửa liên tục dưới f là giả lồi khi và chỉ khi f là tựa lồi và thoả mãn điều kiện :  0 f x f  có cực tiểu toàn cục tại x. Kết quả trong chương này là của D. Aussel [1]. 1.1 Các khái niệm và định nghĩa Giả sử X là không gian Banach, *X là không gian đối ngẫu tôpô của X và là cặp đối ngẫu. Giá trị của hàm * *u X tại u X là *,u u . Với , 0x X   , ta ký hiệu  B x là hình cầu tâm x bán kính  :    ' : 'B x x X x x    . Với ,x y X , ta ký hiệu đoạn thẳng đóng  ,x y là :     , 1 : 0 1x y tx t y t     , Khoảng mở  ,x y là :     , 1 : 0 1x y tx t y t     . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Tương tự ta có các khoảng  ,x y ,  ,x y . Hầu hết các hàm  :f X    được xét trong chương này là hàm nửa liên tục dưới và domf là miền hữu hiệu của f   : :domf x X f x    Xét ánh xạ đa trị : *A X X . Ký hiệu   : :domA x X A x   . Định nghĩa 1.1 ([2]) Dưới vi phân của hàm nửa liên tục dưới  :f X    tại x X mà ta ký hiệu  f x , là tập con của tập *X thoả mãn 3 điều kiện sau : (P1):       * **: , , f x x X x y x f x f y y X          khi f là hàm lồi ; (P2):  0 f x nếu x domf là cực tiểu địa phương của f; (P3):       f g x f x g x      khi g là hàm giá trị thực lồi liên tục, và g là  - khả vi tại x. Ở đây g là  - khả vi tại x nghĩa là cả  g x và   g x  là khác rỗng. Ta nói rằng một hàm f là  - dưới khả vi tại x khi  f x  Khái niệm dưới vi phân trừu tượng trên bao hàm một lớp rộng các dưới vi phân chẳng hạn : dưới vi phân Clarke – Rockafeller CR f ; dưới vi phân dưới và dưới vi phân trên Dini D f và D f ; dưới vi phân Hadamard dưới H f ; dưới vi phân Fréchet F f , … Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Nhắc lại, một hàm là D  khả vi ( H  khả vi , F  khả vi) tại x nếu và chỉ nếu nó là khả vi Gâteaux tại x ( Hadamard, Fréchet). Sau đây ta sẽ tập trung vào lớp các dưới vi phân  mà nó thoả mãn các tính chất (P1), (P2), (P3) và một trong các bao hàm thức sau : D   ; hoặc CR   . Chú ý rằng, các dưới vi phân Clarke – Rockafeller, dưới vi phân Dini trên là lớn nhất trong số các dưới vi phân cổ điển. Nói riêng, ta có (xem [2]) F H CR     H D D      . Ta nhắc lại định nghĩa của dưới vi phân Clarke – Rockafeller và định nghĩa của dưới vi phân trên Dini :     * **: , , , CR f x x X x v f x v v X      , với                0, 0 0 0 0 , d B v u B x B f x f u t f u td f x v t                         supinf sup inf . Có thể lấy  f u  khi f là hàm nửa liên tục dưới; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6     * **: , , , D Df x x X x v f x v v X       , với       ,D f x tv f x f x v t    t 0 lim sup . Định nghĩa 1.2 Một chuẩn . trên X gọi là   trơn nếu các hàm giá trị thực, lồi, liên tục có dạng sau là   khả vi (i)   22 , , : a b c a b d x x c             min , trong đó [a,b] là đoạn thẳng đóng trong X; (ii)   2 2 : n n n x x v   , trong đó  1, 0; n n n v   hội tụ trong X . Ta nói rằng một không gian Banach nhận một chuẩn mới   trơn nếu nó nhận một chuẩn tương đương mà chuẩn đó là   trơn. Cho một vài ví dụ về chuẩn   trơn trong [2] : (a) Một chuẩn là D  trơn nếu nó là D  khả vi trên  \ 0X , nghĩa là nếu nó là khả vi Gâteaux trên  \ 0X . (b) Một chuẩn bất kỳ là CR  trơn bởi vì các hàm 2 ,a b d     , 2 là hàm Lipchitz địa phương. Kết quả sau đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức giá trị trung bình trong [2]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 Mệnh đề 1.1 Giả sử X là không gian Banach với một chuẩn mới   trơn và hàm  :f X    nửa liên tục dưới. Với bất kỳ ; a domf b X  sao cho    f a f b ,  ,c a b  và dãy  nx hội tụ đến c và    * *; n n nx x f x sao cho * , 0, n nx d x n   , với mọi  , 0d c t b a t    . 1.2 Hai tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi, nửa liên tục dưới Nhắc lại rằng f là hàm tựa lồi nếu  , , ,x y X z x y    thì       ,f z f x f ymax . Ta biết rằng, trong trường hợp khả vi, hàm tựa lồi thoả mãn :      , 0f x y x f x f y     . Trường hợp không khả vi, tính chất trên trở thành        * * : , 0Q x f x x y x f x f y      . Kết quả đầu tiên khẳng định rằng tính chất hỗn hợp mạnh hơn một chút sau đây đặc trưng cho tính tựa lồi của hàm nửa liên tục dưới.          * * : , 0 , ,sQ x f x x y x f z f y z x y        . Ví dụ 1.1. Xét hàm số f xác định trên  như sau : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8   , 0, 0, 0< 1, 1, 1. x khi x f x khi x x khi x        Khi đó f là hàm tựa lồi trên  , nhưng f không là hàm lồi trên  . Định lý 1.1 Giả sử X là không gian Banach với một chuẩn mới   trơn và  :f X    là một hàm nửa liên tục dưới. Ta có các khẳng định sau là tương đương: (i) f là hàm lồi; (ii)        * *: , 0 , ,x f x x y x f z f y z x y        . Chứng minh (i)  (ii) Trong trường hợp CRf f   . Giả sử  *, , x y domf x f x  thoả mãn   *, , 0f x y x x y x     . Vì vậy, tồn tại 0  sao cho n  có thể tìm được  n n x B x Và khi đó,    , 0,1n ny x B y x t    thoả mãn     n n n nf x t y x f x   . Do f là hàm tựa lồi, theo bất đẳng thức trên kéo theo  0,1t  ta có     n nf x t y x f y   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 Và vì vậy, do tính chất nửa liên tục dưới của hàm f ta suy ra      , ,f z f y z x y   . Trường hợp Df f   . Thật vậy, nếu ,x y và  * Dx f x thoả mãn  , 0Df x y x   , thì   _ f z f x       với _z nào đó   _ z ,x y . Do tính chất tựa lồi của hàm f ,      , ,f y f z z x y   .    ii i : Giả sử ,x y domf và    1 ,z x y x y     với    f z f x . Theo mệnh đề 1.1 tồn tại dãy    *, n nx x sao cho     _ *, , n n nx x x z x f x   , và * , 0, n nx y x n    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Giả thiết (ii) kéo theo n  , mọi điểm  ,nz x y xác định bởi  1nz x y    thoả mãn    f z f y . Do đó theo tính chất nửa liên tục dưới ta có    f z f y . Kết quả sau đây chỉ ra rằng một hàm liên tục hoặc liên tục radian (có nghĩa là liên tục trên mỗi đoạn ) hai tính chất (Q) và ( Qs ) là tương đương. Mệnh đề 1.2 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới   trơn. Mọi hàm liên tục radian, nửa liên tục dưới thoả mãn tính chất (Q) là hàm tựa lồi. Chứng minh Giả sử  , , ,x y X z x y  thoả mãn      ,f z max f x f y    . Áp dụng mệnh đề 1.1 cho các điểm x, z ta nhận được hai dãy  na và  *na , với na hội tụ về  ,a x z ,  *n na f a và * , 0, n na c a n    và  ,c x z  . Khi đó, theo tính chất (Q) ta suy ra    nf a f c . Vì vậy, sử dụng tính chất nửa liên tục dưới của hàm f ta có     ,c z y f a f c     min . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Lý luận tương tự như trên thì do    f z f y ta suy ra  ,b z y  sao cho     ,c z y f b f c     min . Vì vậy,       ,c x y f a f b f c      min . Vì hàm f là hàm liên tục radian cho nên tồn tại         _ 0,1 : 2 f a f z t t f a t z a           max . Áp dụng mệnh đề 1.1 cho điểm     _ _ ,a a t z a a z    và y, sử dụng tính chất (Q) ta suy ra ' ,a a z       sao cho    'f a f b . Điều mâu thuẫn nhận được do          ' 2 f a f z f a f b f a     . Nhắc lại, ánh xạ đa trị : *A X X là tựa đơn điệu nếu ,x y X  ,    * * * *: , 0 : , 0x A x x y x y A y y y x        . Sự tương tự giữa tính chất tựa lồi của hàm và tựa đơn điệu của dưới vi phân của nó đã được nghiên cứu trong [2] cho trường hợp CR   . Mục đích của hai kết quả tiếp theo chỉ ra rằng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 f là hàm tựa lồi  f là tựa đơn điệu. và suy luận ngược lại là hệ quả của định lý 1.1. Mệnh đề 1.3 Giả sử X là không gian Banach. Khi đó dưới vi phân Clarke – Rockafellar và dưới vi phân Dini trên của hàm tựa lồi  :f X    là tựa đơn điệu. Chứng minh Giả sử rằng f là hàm tựa lồi và giả sử  *, , CR CRx y dom f x f x   sao cho *, 0x y x  . Ta chỉ cần chứng minh rằng  , 0f y x y   . Ta có với  0, 0,      sao cho  *, 0, x v x v B y    . Cố định   _ v B y . Bởi vì _ ,f x v x       là dương chặt cho nên      ' '_' 0, : , ( ) v u B x B f x         và  0,1  sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 _ _ '_ v v u B v x         , và _ _ _ _ v v v f u v u f u                 . Từ các bất đẳng thức này theo giả thiết tựa lồi của hàm f ta suy ra   _ _ _ _ , 0,1 v f v t u v f v t                    . Hơn nữa, từ việc chọn  và ' suy ra   _ _ v u v B x y   . Tổng hợp các bước trên ta có : 0; 0     sao cho  v B y  và   B f y  ;  f v  và  0,1t  ta tìm được phương  vw u v B x y    sao cho    0 vf v t u v t     . Điều này kéo theo  , 0f y x y   . Trong trường hợp dưới vi phân Dini trên, từ tính tựa lồi của hàm f ta có      , 0Df x y x f x f y     , hoặc Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14      , 0Df x f y f y x y    . Vì vậy nếu  * Dx f x thoả mãn *, 0x y x  , thì ta nhận được    f x f y . Vì vậy,  , 0Df y x y   . Như vậy ta đã chỉ ra rằng D f là ánh xạ đa trị tựa đơn điệu. Định lý 1.2 Giả sử X là không gian Banach, với chuẩn mới   trơn và hàm  :f X    nửa liên tục dưới. Khi đó, f là hàm tựa lồi nếu và chỉ nếu f là tựa đơn điệu. Chứng minh Bởi vì dưới vi phân trừu tượng f được giả thiết nằm trong CR f hoặc D f , cho nên phần “chỉ nếu” được chứng minh từ mệnh đề 1.3. Để chứng minh phần “nếu”, ta giả sử rằng f là tựa đơn điệu, ta phải chứng minh rằng hàm nửa liên tục dưới f thoả mãn tính chất ( Qs ). Giả sử , , x dom f y domf x y    và  ,z x y sao cho    f z f y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Áp dụng mệnh đề 1.1 cho y, z ta có dãy     _ ,ny y x y  và dãy  *ny thoả mãn  *n ny f y và * , 0,n ny x y n    . Do tính tựa đơn điệu của f ta có *, 0, nx x y n   và  *x f x  . Khi đó, _ * * _ , , 0. y x x y x x y x y x       Như vậy hàm f thoả mãn tính chất ( sQ ). 1.3. Các hàm tựa lõm và hàm tựa affine Hàm f được gọi là hàm tựa lõm nếu (- f) là hàm tựa lồi. Hàm f được gọi là tựa affine nếu f và (- f) là hàm tựa lồi. Ví dụ 1.2. Xét hàm số   2 , 0, 1 0, 0 , 2 1 2 1, . 2 x khi x f x khi x x khi x             Khi đó f là hàm tựa lồi và tựa lõm trên  . Do đó f là hàm tựa affine trên  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Xét tính chất hỗn hợp sau đây          * * : , 0 , ,sQ x f x x y x f z f y z x y         . Đặc trưng tính tựa lõm của hàm f bằng tính chất  sQ nói chung không thể suy ra được từ định lý 1.1. Thật vậy, khi xét hàm (- f ) thay cho hàm f trong định lý 1.1 cho ta đặc trưng của tính tựa lõm của hàm f theo ngôn ngữ của  f  mà  f  nói chung là khác f . Mệnh đề 1.4 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới   trơn và hàm  :f X    là liên tục. Khi đó, f là hàm tựa lõm nếu và chỉ nếu ,x y X  , hàm f thoả mãn tính chất  sQ          * * : , 0 , ,sQ x f x x y x f z f y z x y         . Chứng minh Suy ra đúng như chứng minh của định lý 1.1. Giả sử f thoả mãn tính chất  sQ và  , , ,x y X z x y  thoả mãn    f z f y . Từ mệnh đề 1.1 ta suy ra tồn tại hai dãy    ,na a z y  và dãy    * *, nn na a f a thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 * , 0,n na y a n    . Cho 1 2, t t là hai số dương thoả mãn 1 20 t t  , sao cho    1 2, z a t a y x a t a y      ; Và xác định hai dãy    , n nx z bởi    1 2; n n n n nz a t a y x a t a yn      . Với n đủ lớn ta có * , 0n n na x a  . Vì vậy theo tính chất  sQ ta có    n nf z f x . Cuối cùng, do f là hàm liên tục ta có    f z f x . Ngược lại, giả sử f là hàm tựa lõm, giả sử    *, , , , x dom f y X z x y x f x     thoả mãn *, 0x y x  . Nếu CRf f   thì các điểm x và y thoả mãn  , 0f x x y   , và vì vậy 0  sao cho n  có thể tìm được   1 , 0,n n n x B x t n         Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 thoả mãn     n n n nf x t x y f x   . Với n bất kỳ, hai điểm nx và  1nnz x t y   ( với  định nghĩa bởi  1z x t y   nằm trên đoạn thẳng   ,n n nx t x y y  ). Do f là hàm tựa lõm nên ta có     1nf x t y f y    . Do f là hàm nửa liên tục trên nên    f z f y . Nếu Df f   , ta có  , 0Df x x y   . Vì vậy, với mọi n, tồn tại 1 0,nt n       thoả mãn     nf x t x y f x   . Nhưng f là hàm tựa lõm và   , ,nx x t x y y n    . Vì vậy,    f z f y và f thoả mãn tính chất  sQ . Hệ quả 1.1 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới   trơn và hàm  :f X    liên tục. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương : (i) f là hàm tựa affine; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 (ii)  * *: , 0x f x x d      1 2 1 2,f x t d f x t d t t      . Thật vậy, kết hợp các tính chất  sQ và  sQ tương đương với    * * ,: , 0 :x dx f x x d f t f x td     không tăng trên  . Đó chính là khẳng định (ii). Tương đương khác của (ii) là :        * *, , : , 0 .z x y z f z z y x f x f y        1.4. Hàm giả lồi Hàm f được gọi là giả lồi nếu ,x y X  ta có :      * *: , 0x f x x y x f x f y      . Trong trường hợp f khả vi Fréchet, định nghĩa có dạng :      , 0 ,f x y x f y f x     trong đó  f x là ký hiệu đạo hàm Fréchet của hàm f tại x. Trong trường hợp khả vi, mọi hàm giả lồi thoả mãn tính chất cơ bản sau : (a) Mọi cực tiểu địa phương của hàm f là cực