Luận văn Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho cánh tay robot bằng phương pháp quy hoạch phi tuyến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐHKT CÔNG NGHIỆP CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc -----------***----------- THUYẾT MINH LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO CÁNH TAY ROBOT BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH PHI TUYẾN Học viên: Nguyễn Trung Thành Lớp: CH K10 Chuyên ngành: Tự động hoá Người HD Khoa học: PGS.TS Nguyễn Hữu Công HIỆU TRƯỞNG KHOA ĐT SAU ĐH CB HƯỚNG DẪN PGS.TS Nguyễn Hữu Công HỌC VIÊN Nguyễn Trung Thành Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP ----------------***---------------- LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGÀNH: TỰ ĐỘNG HOÁ Mã ng ành: 605260 NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO CÁNH TAY ROBOT BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH PHI TUYẾN NGUYỄN TRUNG THÀNH THÁI NGUYÊN 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là: Nguyễn Trung Thành Sinh ngày 13 tháng 11 năm 1980 Học viên lớp Cao học Khoá 10 Chuyên ngành Tự động hoá- Trƣờng Đại Học Kỹ Thuật Công Nghiệp Thái Nguyên Đơn vị công tác: Trƣờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên Xin cam đoan: Đề tài: “Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho cánh tay Robot bằng phương pháp Quy hoạch phi tuyến’’ do PGS.TS. Nguyễn Hữu Công hƣớng dẫn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng. Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 10 năm 2009 Tác giả Nguyễn Trung Thành Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 MỤC LỤC Lời cam đoan ................................................................................................. 1 Mục lục ......................................................................................................... 2 Danh mục các thuật ngữ, kí hiệu, từ viết tắt.................................................. 5 Danh mục các bảng biểu ............................................................................... 7 Danh mục các hình vẽ, đồ thị ........................................................................ 8 Lời nói đầu .....……………………………………………………………… 9 CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU…………. 11 1.1. Địnhnghĩa.................................................................................................. 11 1.2. Điều kiện hạn chế ………………………………………………………. 11 1.3. Bài toán điều khiển tối ƣu…………………………...…………………. 12 1.3.1. Điều khiển tối ƣu tĩnh………………………………………….…….. 12 1.3.1.1. Mô tả toán học……………………………………...……….……… 13 1.3.1.2. Biểu diễn hình học…………………………………………….……. 13 1.3.1.3. Giả thiết cho lời giải ………………………………………….……. 14 1.3.1.4. Một số phƣơng pháp tìm nghiệm…………………………………… 16 1.3.2. Điều khiển tối ƣu động……………………………………..………… 24 1.3.2.1. Phƣơng pháp biến phân………………………………………..……. 24 1.3.2.2. Phƣơng pháp quy hoạch động của Bellman…………………..…… 29 1.3.2.3. Nguyên lý cực đại…………….……………………………………. 34 CHƢƠNG 2: ROBOT CÔNG NGHIỆP VÀ GIỚI THIỆU BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐỘNG HỌC NGƢỢC ROBOT................................. 39 2.1. Tổng quan về robot công nghiệp.............................................................. 39 2.1.1. Tự động hóa và robot công nghiệp………………….………………... 43 2.1.2. Các đặc tính của robot công nghiệp…………………….……………. 45 2.1.2.1. Tải trọng…………………………………………….……………… 45 2.1.2.2. Tầm với ……………………………………………….…………… 45 2.1.2.3. Độ phân giải không gian…………………………………………… 45 2.1.2.4. Độ chính xác………………………………………………………. 46 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 2.1.2.5. Độ lặp lại …………………………………………….……………. 47 2.1.2.6. Độ nhún …………………………………………………………… 47 2.2. Chất lƣợng quá trình làm việc và các thông số điều khiển …………… 48 2.2.1. Yêu cầu về chất lƣợng trong điều khiển Robot……………….……… 48 2.2.2. Giới thiệu bài toán điều khiển động học ngƣợc Robot …………....... 49 2.2.3. Bài toán động học trên quan điểm điều khiển thời gian thực ………. 54 2.2.3.1. Yêu cầu về thời gian thực trong điều khiển động học robot ……… 54 2.2.3.2. Hiệu quả giải thuật trên quan điểm điều khiển thời gian thực…….. 56 CHƢƠNG 3: GIẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU CHO CÁNH TAYROBOT........................................................................... 58 3.1. Thành lập bài toán điều khiển…………………………………………. 58 3.1.1. Mô hình đối tƣợng………………………………………..……….…. 58 3.1.2. Phiếm hàm mục tiêu …………………………………………………. 61 3.1.2.1. Bài toán tối ƣu về độ chính xác về vị trí và hƣớng của khâu chấp hành………………………………………………………………… 61 3.1.2.2. Bài toán di chuyển tối thiểu……………………………………..….. 62 3.1.3. Điều kiện giới hạn của các biến............................................................. 63 3.2. Khả năng ứng dụng của giải thuật trên máy tính…………………….… 64 3.3. Thành lập bài toán cho một số dạng robot……………………………... 65 3.3.1. Robot cơ cấu 3 khâu phẳng (3 khớp quay)…………………………... 65 3.3.1.1. Phƣơng trình động học (Mô hình toán học)....................................... 65 3.3.1.2. Hàm mục tiêu .................................................................................... 66 3.3.1.3. Điều kiện hạn chế .............................................................................. 67 3.3.2. Robot Elbow (Sáu bậc tự do toàn khớp quay)……………….…….…. 67 3.3.2.1. Phƣơng trình động học (Mô hình toán học) ...................................... 67 3.3.2.2. Hàm mục tiêu .................................................................................... 68 3.3.2.3. Điều kiện hạn chế ……………..................…………………..…..… 69 3.3.3. Robot Puma (Sáu bậc tự do toàn khớp quay)………………………… 69 3.3.3.1. Phƣơng trình động học (Mô hình toán học) .....………………….… 69 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 3.3.3.2. Hàm mục tiêu .................................................................................... 71 3.3.3.3. Điều kiện hạn chế ............................................................................. 71 3.4. Giới thiệu bài toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc dạng chuẩn và nghiệm tối ƣu của nó ..................................................................……. 72 3.4.1. Bài toán quy hoạch phi tuyến ………….…....................................... 72 3.4.2. Nhận định chung ................................................................................... 72 3.4.3. Tính chính xác ...................................................................................... 73 3.5. Lời giải bài toán điều khiển tối ƣu cho Robot cơ cấu 3 khâu phẳng (3 khớp quay)........................................................................................... 73 3.5.1. Khởi tạo một số ma trận thế ngẫu nhiên cho lời giải……………….... 74 3.5.2. Ứng dụng Optimization Toolbox trong Matlab để giải bài toán……... 74 3.5.2.1.Giới thiệu Optimization Toolbox trong Matlab…………………….. 74 3.5.2.2. Sử dụng Optimization Toolbox trong Matlab để giải bài toán……... 77 3.5.3. Ứng dụng phƣơng pháp giải thuật di truyền (GA) giải bài toán …..… 79 3.5.3.1. Giới thiệu phƣơng pháp giải thuật di truyền (GA)…………….…… 79 3.5.3.2. Các kỹ thuật trong giải thuật di truyền GA………………………… 80 3.5.3.3. Giải bài toán bằng phƣơng pháp di truyền (GA)………….……..… 84 3.5.4. Sử dụng phƣơng pháp khai triển thành đa thức để giải bài toán……… 86 3.5.4.1. Đặt vấn đề………………………………………………………...… 86 3.5.4.2. Đa thức nội suy ……………………………………………….…..… 87 3.5.4.3. Đa thức nội suy Lagrange .......................................................... 88 3.5.4.4. Áp dụng cho bài toán cụ thể………………………………………... 88 CHƢƠNG 4. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………………………………… 92 4.1. Các kết quả nghiên cứu của Luận văn…………………………..…..….. 92 4.2. Một số kiến nghị cho hƣớng nghiên cứu tiếp theo…………………...… 93 Tài liệu tham khảo………………………………………………………...… 94 Tóm tắt………………………………………………………………….…... 97 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ, KÝ HIỆU, CÁC TỪ VIẾT TẮT TT KÝ HIỆU DIỂN GIẢI NỘI DUNG ĐẦY ĐỦ ĐƠN VỊ 1 a(…) Approach (Vectơ hƣớng tiếp cận vật thể của bàn kẹp) 2 an Lƣợng tịnh tiến dọc theo trục ox mm 3 Ai Ma trận truyền giữa khâu (i-1) và khâu (i) 4 aij Hệ số thứ (i) của đa thức nội suy thứ (j) 5 A T Transpose (A) 6 αn Góc quay quanh trục ox rad 7 D Miền thoả mãn của ràng buộc vậy lý của các khớp 8 DH Denavit-Hartenbeg 9 dn Lƣợng tịnh tiến dọc theo trục oz mm 10 E Véctơ mô tả mũi dụng cụ(hoặc tâm bàn kẹp) trong hệ quy chiếu chung 11 ε Sai lệch tuyệt đối cho phép của hàm muc tiêu 12 GA Genetic Algorithms 13 IR Industrian Robot 14 J Vectơ định vị điểm đặt robot so với hệ quy chiếu chung 15 li Lower bound (i) 16 MRO Minimal Represent Orient 17 n(…) Normal (Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa s, a) 18 n Số bậc tự do của robot 19 NC Numerical Control 20 qi Biến khớp thứ (i) 21 s(…) Sliding (Vectơ hƣớng đóng mở bàn kẹp) 22 o Tn Phƣơng trình động học thuận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 23 i-1 Ti Biểu diễn của hệ quy chiếu (i) trong hệ quy chiếu (i-1) 24 ui Upper bound (i) 25 θn Góc quay quanh trục oz rad 26  Vectơ gradien Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU KÝ HIỆU NỘI DUNG BẢNG BIỂU TRANG 2.1 Số lượng Robot sản xuất ở một số nước công nghiệp phát triển 41 3.1 Bảng DH robot Elbow 68 3.2 Bảng DH robot Puma 70 3.3 Kết quả bài toán ngược cơ cấu 3 khâu phẳng giải bằng hàm fmincon 79 3.4 Kết quả giải bài toán ngược cơ cấu 3 khâu phẳng bằng phương pháp Giải thuật di truyền GA 86 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ KÝ HIỆU NỘI DUNG HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ TRANG 1.1 Đồ thị hàm mục tiêu 14 1.2 Minh họa công thức biến phân 26 1.3 Mô tả nguyên lý tối ưu Bellman 30 1.4 Nguyên lý cực đại là trường hợp tổng quát của công thức biến phân 37 2.1 Quan hệ số loại và số lượng sản phẩm ứng với các dạng tự động hóa 44 2.2 Minh họa độ chính xác và độ phân dải điều khiển 46 2.3 Các dạng sai số lặp lại 48 2.4 Trễ trong hệ thống điều khiển số 49 2.5 Sơ đồ điều khiển trong không gian khớp 50 2.6 Sơ đồ điều khiển trong không gian công tác 50 2.7 Chiều dài và góc xoắn của một khâu 51 2.8 Các thông số của khâu θ, d, a và α 52 3.1 Các vectơ định vị trí và định hướng của bàn tay máy 59 3.2 Sơ đồ động học cơ cấu 3 khâu phẳng (3 khớp quay) 65 3.3 Sơ đồ động học Robot Elbow 67 3.4 Sơ đồ động học Robot Puma 69 3.5 Sơ đồ cấu trúc kỹ thuật trong giải thuật di truyền 80 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 LỜI NÓI ĐẦU Khoa học kỹ thuật và công nghệ ở các nước trong khu vực và trên thế giới đang trong thời kỳ phát triển như vũ bão đã đưa Việt Nam đứng trước rất nhiều thời cơ vận hội và thách thức mới trên con đường hội nhập với nền kinh tế thế giới. Để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội, phục vụ công cuộc đổi mới của đất nước đòi hỏi đội ngũ các nhà khoa học, cán bộ kỹ thuật và công nhân lành nghề phải không ngừng nghiên cứu, học tập nâng cao trình độ để kịp thời tiếp cận làm chủ các kiến thức khoa học kỹ thuật hiện đại và công nghệ tiên tiến. Các khoá đào tạo thạc sỹ tại Trường Đại học Kỹ Thuật Công Nghiệp Thái Nguyên nhằm đào tạo những cán bộ khoa học có trình độ cao để tiếp thu và làm chủ kỹ thuật hiện đại để phục vụ cho công tác nghiên cứu, giảng dạy và sản xuất. Là một giáo viên giảng dạy tại một trường kỹ thuật tôi rất vinh dự được học tập tại khoá đào tạo thạc sỹ khoá 10 của trường. Để đánh giá kết quả học tập trong toàn khoá học tôi được giao đề tài luận văn tốt nghiệp: “Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho cánh tay Robot bằng phương pháp Quy hoạch phi tuyến” Trong quá trình công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước, các ngành công nghiệp đang phát triển hết sức nhanh chóng, nhiều nhà máy xí nghiệp được xây dựng với quy mô và công nghệ hiện đại, tiên tiến đáp ứng được nhu cầu của tình hình sản xuất hiện nay. Trong đó phải kể đến sự tiến bộ vượt bậc của khoa học kỹ thuật, nhất là sự ra đời của máy tính và công nghệ thông tin đã tạo tiền đề cho sự phát triển mạnh mẽ của nền sản xuất có tính chất tự động hoá cao, đã dần thay thế sức lao động của con người đồng thời hiệu quả của nó đem lại cho nền kinh tế là rất lớn. Hiện nay sự xuất hiện của các Robot trong các ngành công nghiệp, cũng như trong đời sống sinh hoạt đã trở nên phổ biến. Chúng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vục khác nhau, đặc biệt trong các ngành sản xuất có tính dây truyền và công nghệ cao. Robot đóng vai trò quan trọng, chúng vừa đảm bảo độ chính xác vừa đảm bảo tính liên tục của dây truyền mà với con người hay những máy móc thông Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 thường khó có thể đạt được. Đồng thời nó có thể thay thế con người làm việc trong những môi trường độc hại, nơi con người khó có thể đặt chân tới như vũ trụ… Nói chung, ứng dụng của Robot là hết sức to lớn, vì vậy mà trong tương lai đây là nhân tố rất quan trọng trong sự phát triển của các ngành sản xuất của nền kinh tế hiện đại. Do vậy việc nghiên cứu các vấn đề về Robot mang tính thời sự. Để Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho cánh tay Robot bằng phương pháp Quy hoạch phi tuyến, luận văn của tôi gồm bốn chương: Chƣơng 1: Giới thiệu chung về điều khiển tối ưu Chƣơng 2: Robot công nghiệp và giới thiệu bài toán điều khiển động học ngược robot Chƣơng 3 Giải bài toán điều khiển tối ưu cho cánh tay robot Chƣơng 4: Kết luận và kiến nghị Đề tài đã được hoàn thành đúng thời hạn dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Hữu Công - Trưởng Khoa Điện Tử - Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp cùng sự nỗ lực của bản thân. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn, các thầy giáo, cô giáo thuộc trường Đại học kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn. Vì nhiều điều kiện khách quan và khả năng của bản thân, luận văn hoàn thành chắc chắn còn thiếu sót. Rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Trung Thành Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 CHƢƠNG 1 : GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU 1.1. Định nghĩa Điều khiển tối ưu là một chuyên ngành cơ bản trong điều khiển tự động, nó có vai trò xác định và tạo lập những luật điều khiển cho hệ thống để hệ thống đạt được chỉ tiêu về tính hiệu quả đã được định trước dưới dạng ( phiếm) hàm mục tiêu Q. Trong thực tế tồn tại các bài toán điều khiển tối ưu như sau: - Bài toán tối ưu cực tiểu: + Xác định tham số của mô hình sao cho bình phương sai lệch trung bình giữa mô hình và đối tượng đạt giá trị nhỏ nhất, ví dụ như huấn luyện mạng nơ-ron, nhận dạng đối tượng, ... + Điều khiển một quá trình đạt chỉ tiêu chất lượng, kỹ thuật cho trước sao cho tổn hao năng lượng là nhỏ nhất. + Tạo ra một sản phẩm đạt chỉ tiêu chất lượng cho trước nhưng chi phí là nhỏ nhất. + Bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm bất kỳ, ví dụ như xác định quĩ đạo chuyển động của cánh tay robot, đường đi thu rác, thu tiền điện, thu tiền nước, đi chào hàng ... - Bài toán tối ưu cực đại. + Tạo ra sản phẩm với chi phí cho trước, nhưng có chất lượng cao nhất. + Bài toán tìm đường căng. - Bài toán tối ưu tác động nhanh: Thời gian xảy ra quá trình là ngắn nhất, ví dụ như điều khiển tên lửa. 1.2. Điều kiện hạn chế Cho hệ thống nhiều đầu vào và nhiều đầu ra, được mô tả bởi hệ các phương trình như sau: y = f(x,u) được gọi là mô hình toán học u = (u1 u2 . . . ur) T là các đầu vào x = (x1 x2 . . . xn) T là các trạng thái Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 y = (y1 y2 . . . ym) T là các đầu ra Do bài toán tối ưu được thực hiện trên mô hình hệ thống, cho nên lời giải của bài toán tối ưu phụ thuộc vào độ chính xác của mô hình hệ thống. Những tín hiệu không thể mô tả được trong các phương trình trên sẽ được coi là nhiễu tác động. 1.3. Bài toán điều khiển tối ƣu Bài toán tối ưu được xây dựng dựa trên các giả thiết sau: + Có một mô hình toán học. + Không có nhiễu tác động. + Biết các điều kiện biên của mô hình như : điểm làm việc, thời gian làm việc của hệ thống. + Biết miền giá trị cho phép của các đầu vào u. + Biết hàm mục tiêu Q mô tả tính hiệu quả mà hệ thống cần đạt được. Mục đích của điều khiển tối ưu là tìm tín hiệu tối ưu u* để hàm mục tiêu Q đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu. Với những giả thiết này có rất nhiều phương pháp giải bài toán điều khiển tối ưu khác nhau. Trong nội dung của Luận văn sẽ giới thiệu các phương pháp cơ bản nhất của lĩnh vực điều khiển tối ưu, được chia thành hai nhóm chính như sau: + Điều khiển tối ưu tĩnh. + Điều khiển tối ưu động. 1.3.1. Điều khiển tối ƣu tĩnh Bài toán điều khiển tối ưu tĩnh là bài toán trong đó quan hệ vào, ra và biến trạng thái của mô hình không phụ thuộc vào thời gian. Giá trị đầu ra tại một thời điểm chỉ phụ thuộc vào các đầu đầu vào và trạng thái tại thời điểm đó. Mô hình hệ thống được cho như sau: yk = fk(u1, u2, . . .ur), với k = 1, 2, . . ., m, viết gọn lại thành y = f(u). Hàm mục tiêu như sau: Q = Q(u,y). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Thay y = f(u) vào hàm mục tiêu được: Q = Q(u,y) = Q(u,f(u)) = Q(u), như vậy Q chỉ phụ thuộc vào các đầu vào và đầu ra. 1.3.1.1. Mô tả toán học Mô hình hệ thống có dạng như sau: y = f(u) với Uu u = (u1 u2 . . . ur) T các đầu vào y = (y1 y2 . . . ym) T các đầu ra U là miền thích hợp của các biến đầu vào, được định nghĩa như sau:  rkuuuuuuuU kkkTñ  1;)...,,( maxmin21 Hàm mục tiêu có dạng như sau: Q = Q(u,y) = Q(u,f(u)) = Q(u) Không mất tính tổng quát nếu giả thiết tiêu chuẩn tối ưu là: Q(u) min Bài toán điều khiển tối ưu tĩnh được phát biểu như sau: Tìm tín hiệu tối ưu u * U , sao cho Q(u *) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, ta có )1()()( * UuuQuQ  Nếu u* thoả mãn (1) với mọi u thuộc U, thì u* được gọi là véc tơ tối ưu toàn cục. Nếu u* thoả mãn (1) với mọi u thuộc lân cận u*, thì u* được gọi là véc tơ tối ưu cục bộ. 1.3.1.2. Biểu diễn hình học Xét hệ thống có hai tín hiệu đầu vào u1 và u2. Hàm mục tiêu Q chỉ phụ thuộc vào u1 và u2, Q = Q(u1,u2). Giả thiết hàm mục tiêu Q có đồ thị như hình 1.1. Vậy điểm tối ưu u* =       * 2 * 1 u u là điểm thuộc mặt phẳng (u1,u2), tại đó mặt cong Q ở điểm thấp nhất. Điểm A là điểm tối ưu cục bộ, điểm B là điểm yên ngựa và điểm C là điểm tối ưu toàn cục. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng (u1,u2), tại các điểm đó hàm mục tiêu Q có cùng giá trị được gọi là đường đồng mức. 1.3.1.3. Giả thiết cho lời giải a. Bài toán tối ƣu không có giới hạn - Nghiệm u* của bài toán tối ưu không có giới hạn là một điểm cực trị. Các điểm cực trị thoả mãn hệ phương trình vi phân rk u Q k ...,2,10    hay 0),...,,( 21           T ru Q u Q u Q u Q - Tại mỗi điểm u của mặt cong Q tồn tại véc tơ đạo hàm riêng u Q   , ký hiệu là u Q gradQ    , véc tơ đạo hàm riêng grad Q có các tính chất sau: + Có phương vuông góc với mặt cong Q. + Có hướng chỉ chiều tăng giá trị của các đường đồng mức. C B A u1 u2 O Q đường đồng mức Hình 1.1: Đồ thị hàm mục tiêu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 + Có độ lớn thể hiện tốc độ tăng hay giảm giá trị của Q. Do đó tại điểm cực trị của mặt cong Q phải có grad Q = 0 (*). Hệ phương trình này chỉ là điều kiện cần để tìm nghiệm tối ưu u*. Để giải hệ phương trình (*) sẽ gặp những vấn đề sau: + Hệ phương trình (*) là hệ phi tuyến, dẫn đến việc giải trực tiếp khó thực hiện được. + Có nhiều điểm u* thoả mãn hệ ph