Luận văn Nghiên cứu nâng cao chất lượng bề mặt chi tiết gia công bằng tối ưu hóa một số yếu tố kỹ thuật của quá trình phay tinh trên máy công cụ NCN

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT CHUYÊN NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY NGHIÊN CƢ́U NÂNG CAO CHẤT LƢỢNG BỀ MẶT CHI TIẾT GIA CÔNG BẰNG TỐI ƢU HÓA MỘT SỐ YẾU TỐ KỸ THUẬT CỦA QUÁ TRÌNH PHAY TINH TRÊN MÁY CÔNG CỤ CNC HỌC VIÊN: VŨ NHƢ NGUYỆT HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. HOÀNG VỊ LỚP: CHK10- CNCTM NĂM HỌC: 2007-2009 THÁI NGUYÊN 2009 Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 Lời cảm ơn Với sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc, Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Hoàng Vị- người Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tiếp theo Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp, Khoa đào tạo sau đại học, Khoa Cơ khí và bộ môn Chế tạo Máy đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện bản luận văn này. Sau hết Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Xin trân trọng cảm ơn! Tác giả Vũ Như Nguyệt Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan toàn bộ luận văn này do chính bản thân tôi thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của TS. Hoàng Vị. Nếu sai tôi xin chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy định. Ngƣời thực hiện Vũ Nhƣ Nguyệt Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 MỤC LỤC Nội dung Trang Lời cam đoan 2 Mục lục 3 Danh mục các bảng số liệu 6 Danh mục kí hiệu và chữ viết tắt 6 Danh mục các hình vẽ, đồ thị, ảnh chụp 7 Phần mở đầu 10 1. Tính cấp thiết của đề tài 10 2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 10 3. Phƣơng pháp nghiên cứu 11 4. Nội dung nghiên cứu 11 CHƢƠNG 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN VỀ PHAY TINH CÁC BỀ MẶT HÌNH HỌC PHỨC TẠP 12 1.1. Giới thiệu quá trình gia công tinh các bề mặt phức tạp 12 1.1.1. Các thông số kỹ thuật cần thiết 12 1.1.1.1. Các thông số hình học của bề mặt chi tiết gia công 14 1.1.1.2. Các thông số hình học của dao phay đầu cầu 23 1.1.2. Đặc điểm quá trình phay tinh các bề mặt phức tạp 26 1.1.2.1. Vận tốc cắt khi phay 26 1.1.2.2. Lực cắt khi phay 28 1.2. Một số đặc điểm bề mặt chi tiết sau khi gia công 29 1.3. Kết luận 33 CHƢƠNG 2: CƠ CHẾ TẠO HÌNH BỀ MẶT CHI TIẾT GIA CÔNG 36 2.1. Mô hình hình học bề mặt chi tiết gia công 36 Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 2.2. Mối quan hệ hình học giữa profin của dao và phôi 37 2.3. Mô hình lực cắt khi phay 45 2.4. Kết luận 53 CHƢƠNG 3: CÁC YẾU TỐ ẢNH HƢỞNG ĐẾN CHẤT LƢỢNG BỀ MẶT CHI TIẾT KHI PHAY TINH 55 3.1. Các yếu tố ảnh hƣởng đến chất lƣợng bề mặt chi tiết gia công khi phay tinh bằng dao phay đầu cầu 55 3.1.1. Ảnh hƣởng của điều kiện cắt 55 3.1.2. Ảnh hƣởng của kiểu thoát dao 56 3.1.3. Ảnh hƣởng của tì dao lên bề mặt gia công 57 3.1.4. Ảnh hƣởng của góc nghiêng giữa dao và phôi 58 3.2. Giải pháp tối ƣu để nâng cao chất lƣợng bề mặt khi phay tinh bằng dao phay đầu cầu 59 3.2.1. Chọn thông số gá đặt tối ƣu để tránh cắt ở đỉnh dao 59 3.2.2. Chọn kích thƣớc dụng cụ tối ƣu để tạo hình bề mặt của chi tiết gia công 64 3.3. Kết luận 66 CHƢƠNG 4: THỰC NGHIỆM PHAY TINH BỀ MẶT THEO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 67 4.1. Điều kiện thực nghiệm 67 4.1.1. Máy công cụ CNC 67 4.1.2. Dụng cụ cắt 68 4.2. Tiến hành thí nghiệm 73 4.3. Phân tích các yếu tố kĩ thuật 77 4.3.1. Phân tích bề mặt chi tiết gia công 77 Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 4.3.2. Chế độ cắt 79 4.3.3. Dụng cụ đo kiểm 79 4.4. Kết quả thí nghiệm 79 4.5. Một số hình ảnh thí nghiệm 82 4.6. Đánh giá kết quả 84 CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN 85 5.1. Kết quả nghiên cứu 85 5.2. Hƣớng phát triển của đề tài 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO 86 Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 DANH MỤC CÁC BẢNG SỐ LIỆU TT Bảng Nội dung Trang 1. Bảng 1.1 Phƣơng trình pháp tuyến của các mặt cong 15 2. Bảng 4.1 Các thông số kĩ thuật khi phay tinh 74 3. Bảng 4.2 Thông số kỹ thuật cơ bản của máy phay VMC- 85S 74 4. Bảng 4.3 Thành phần các nguyên tố hoá học thép CR12MOV 76 5. Bảng 4.4 Chế độ cắt khi phay tinh chi tiết 79 6. Bảng 4.5 Bảng tổng hợp kết quả thí nghiệm 80 7. Bảng 4.6 Bảng tổng hợp kết quả thí nghiệm khi phay phôi có bề mặt phẳng 81 DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT CNC Computer Nummerical Control CAD Computer Aided Design CAM Computer Aided Manufacturing NURBS Non-uniform ration B-splines Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ - ẢNH CHỤP TT Hình Nội dung Trang 1. Hình 1.1 Hệ tọa độ của máy phay CNC 13 2. Hình 1.2 Phay mặt cong bằng dao phay cầu 13 3. Hình 1.3 Tọa độ cong trên mặt cong 14 4. Hình 1.4 Góc giữa hai đƣờng cong 17 5. Hình 1.5 Độ cong của mặt cong 18 6. Hình 1.6 Hình minh hoạ tính bán kính cong 18 7. Hình 1.7 Độ cong trung bình của mặt cong 20 8. Hình 1.8 Các điểm đặc biệt trên bề mặt chi tiết 21 9. Hình 1.9 Hình học của dao phay đầu cầu 24 10. Hình 1.10 Thông số hình học của lƣỡi cắt 26 11. Hình 1.11 Thông số tính toán vận tốc cắt của dao phay cầu 27 12. Hình 1.12 Các thành phần của lực cắt 28 13. Hình 1.13 Lƣỡi cắt thành phần 29 14. Hình 1.14 Khi bán kính dao lớn hơn bán kính cong chi tiết 30 15. Hình 1.15 Tiếp xúc ngoài 31 16. Hình 1.16 Tiếp xúc trong 31 17. Hình 1.17 Điểm lùi của đƣờng cong lồi 31 18. Hình 1.18 Điểm lùi của đƣờng cong lõm 31 19. Hình 1.19 Thay đổi kích thƣớc và thông số kết cấu của dụng cụ 31 20. Hình 1.20 Độ nhấp nhô bề mặt chi tiết 31 21. Hình 1.21 Sự hình thành bề mặt khi gia công bằng dao phay cầu 32 22. Hình 2.1 Các thông số hình học của quá trình phay tinh 38 23. Hình 2.2 Mô hình hình học phần cầu của dao 39 24. Hình 2.3 Mối quan hệ giữa các thông số hình học của dao 41 25. Hình 2.4 Đồ thị của hàm F1 42 Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 26. Hình 2.5 Mô hình bề mặt chi tiết gia công tại một vị trí cắt 43 27. Hình 2.6 Các thành phần của vận tốc cắt tại một điểm cắt 44 28. Hình 2.7 Kiểu chạy dao theo biên dạng chi tiết 45 29. Hình 2.8 Kiểu chạy dao theo phƣơng ngang 45 30. Hình 2.9 46 31. Hình 2.10 46 32. Hình 2.11 Vị trí tƣơng quan của điểm P tại Z = ZP 47 33. Hình 2.12 Quá trình tạo phoi 50 34. Hình 3.1 Phƣơng thức chuyển dao khi phay mặt phẳng bằng dao phay đầu cầu 60 35. Hình 3.2 Tọa độ một điểm M0 trên bề mặt chi tiết khi gá nghiêng 63 36. Hình 4.1 Các điểm gốc và điểm chuẩn của máy phay CNC 67 37. Hình 4.2 Hình dạng - kích thƣớc chế tạo của dao phay cầu kiểu 1 ký kiệu BZD25G hãng Missubishi - Nhật Bản [7] 69 38. Hình 4.3 Hình dạng - kích thƣớc chế tạo của dao chỉ có lƣỡi cắt trên phần cầu ký hiệu BNBP 2 R của hãng SUMITOMO - Nhật Bản [7] 70 39. Hình 4.4 Hình dạng - kích thƣớc chế tạo của thân dao ký hiệu SRFHSMW, SRFHSLW và mảnh ghép ký hiệu SRFT vật liệu VP10MF, VP15TF của dao một mảnh cắt hãng Mitssubishi - Nhật Bản [7] 71 40. Hình 4.5 Hình dạng - kích thƣớc chế tạo của thân dao ký hiệu TRM4 và mảnh ghép ký hiệu UPE45,UPE50, UPM40, UPM50, UPM50P0, UPM40P1, UPM50P1vật liệu VP15TF, GP20M, AP20M của dao ghép nhiều mảnh cắt hãng Mitssubishi - Nhật Bản 72 41. Hình 4.6 Điểm chuẩn của dao phay đầu cầu 73 Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 42. Hình 4.7 Thông số hình học của chi tiết 76 43. Hình 4.8 Hình ảnh gia công khi phôi gá nghiêng 200 82 44. Hình 4.9 Phay tinh chi tiết khi gá nghiêng phôi 45,50 83 45. Hình 4.10 Bề mặt chi tiết khi gá nghiêng phôi 45,50 83 46. Hình 4.11 Đo độ nhám bề mặt chi tiết 84 Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Các sản phẩm trong ngành cơ khí có rất nhiều kiểu biên dạng và hình dáng hình học khác nhau nhƣ: mặt phẳng, mặt tròn xoay, mặt nón, bề mặt có hình dáng hình học phức tạp. Để chất lƣợng bề mặt chi tiết đạt yêu cầu phụ thuộc vào nhiều yếu tố kỹ thuật của quá trình gia công chi tiết đó. Khi gia công mặt phẳng, mặt tròn xoay có thể đạt độ bóng, độ chính xác yêu cầu bằng gia công tinh (tiện, phay, mài, đánh bóng…), còn các bề mặt có hình dáng hình học phức tạp ứng dụng nhiều trong thực tế nhƣ khuôn mẫu, hay các chi tiết phức tạp khó mài tinh thƣờng sử dụng nguyên công phay bằng dao phay đầu cầu trên máy công cụ CNC. Với nguyên công phay tinh chi tiết gia công đạt đƣợc độ bóng, độ chính xác hay không phụ thuộc vào nhiều yếu tố kĩ thuật nhƣ: loại dụng cụ cắt, cách gá dao, chế độ cắt, vật liệu dao và phôi… Khi phay tinh các bề mặt hình dáng hình học phức tạp đó thƣờng sử dụng dao phay đầu cầu, gá dao sao cho phƣơng đƣờng tâm dao không đổi so với phƣơng biên dạng cần cắt, vận tốc cắt có phƣơng thay đổi ngẫu nhiên trên bề mặt, lực cắt có phƣơng và các thành phần của lực cắt thay đổi, đồng thời chiều dày lớp cắt cũng thay đổi. Do vậy làm cho quá trình cắt gọt với lực cắt không đều, bị rung động, gây trƣợt trên bề mặt, lực ma sát thay đổi làm cho độ bóng không đồng đều trên bề mặt chi tiết. Vì vậy nghiên cứu đánh giá các yếu tố ảnh hƣởng đến độ bóng, độ chính xác bề mặt để tối ƣu hóa một số yếu tố kỹ thuật của quá trình phay tinh nhằm nâng cao chất lƣợng bề mặt chi tiết, tăng hiệu quả kinh tế của các chi tiết đó. 2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2.1. Ý nghĩa khoa học Các chi tiết với hình dáng hình học phức tạp có nhiều ứng dụng trong thực tế đƣợc nghiên cứu ở đề tài về thông số kĩ thuật của quá trình gia công để đƣa ra phƣơng pháp tối ƣu mới trong quá trình phay tinh nhằm nâng cao chất lƣợng bề mặt chi tiết. 2.2. Ý nghĩa thực tiễn Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Nghiên cứu ảnh hƣởng của một số yếu tố kỹ thuật đến chất lƣợng bề mặt chi tiết để lựa chọn thông số kĩ thuật tối ƣu đó là lựa chọn kiểu dụng cụ, đƣờng chạy dao, thông số gá đặt, vận tốc cắt tối ƣu. Vì thế nghiên cứu có ứng dụng để nâng cao chất lƣợng bề mặt chi tiết khi phay tinh trên máy công cụ CNC. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết kết hợp với phƣơng pháp nghiên cứu thực nghiệm. Khảo sát bề mặt chi tiết để biết đƣợc thông số hình học: mô hình mặt, các điểm đặc biệt của bề mặt, dạng bề mặt làm cơ sở xác định biến thiên véc tơ pháp tuyến trên bề mặt chi tiết. Khảo sát hình học của dụng cụ cắt: dạng lƣỡi cắt, bán kính cong tại các điểm trên lƣỡi cắt làm cơ sở để chọn dao phay phù hợp nhằm nâng cao chất lƣợng bề mặt. Từ đó nghiên cứu mối quan hệ hình học của cặp biên dạng dao- phôi để xác định góc gá đặt tối ƣu. Nghiên cứu thử nghiệm: Thử nghiệm gia công chi tiết trên máy phay CNC, với phôi thép hợp kim CR12MOV đã qua tạo hình dáng và tôi đạt độ cứng: 44 – 45 HRC, dụng cụ cắt là dao phay cầu phủ TiAlN hai lƣỡi cắt ký hiệu VP15TF của hãng Mitsubishi -Nhật Bản và sử dụng các kết quả của phần nghiên cứu lí thuyết. 4. Nội dung nghiên cứu Các nội dung cụ thể cần nghiên cứu: a. Khảo sát và mô hình hóa bề mặt chi tiết gia công b. Khảo sát và mô hình hóa pháp tuyến của bề mặt chi tiết gia công c. Tính toán, thiết kế kích thƣớc dụng cụ cắt và góc gá đặt tối ƣu d. Thử nghiệm Thực nghiệm phay tinh chi tiết có bề mặt parabol lồi và sử dụng kết quả của phần nghiên cứu lí thuyết. Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ GIA CÔNG TINH BỀ MẶT HÌNH HỌC PHỨC TẠP TRONG KỸ THUẬT 1.1. Giới thiệu quá trình gia công tinh các bề mặt phức tạp Trong ngành chế tạo máy, việc chế tạo các chi tiết có hình dáng hình học phức tạp (chi tiết khuôn, mẫu, các chi tiết trong ngành hàng không, giao thông vận tải ...), đƣợc làm bằng vật liệu khó gia công nhƣ thép hợp kim có độ bền cao, thép chịu nhiệt, thép không gỉ, thép đã tôi... đã và đang phát triển mạnh mẽ. Để gia công các chi tiết đó đạt độ chính xác về hình dáng hình học, cơ lý tính bề mặt và độ bóng bề mặt có nhiều phƣơng pháp gia công để lựa chọn vì hiện nay ngành cơ khí chế tạo máy có rất nhiều loại máy công cụ, nhiều kiểu dụng cụ cắt, nhiều loại vật liệu phù hợp và kết hợp với công nghệ hiện đại nhƣ công nghệ CAD/CAM. Việc gia công những bề mặt chi tiết phức tạp này có một số phƣơng pháp nhƣ: Gia công bằng điện hoá, gia công bằng siêu âm, gia công bằng tia lửa điện.... Những phƣơng pháp gia công này cần nguồn đầu tƣ lớn, năng suất gia công thấp dẫn đến giá thành của chi tiết gia công cao. Bên cạnh đó, sự xuất hiện và khả năng ứng dụng của các máy công cụ CNC ngày càng đƣợc khẳng định, đó là khả năng gia công với độ chính xác yêu cầu, năng suất cao và giá thành hạ, cụ thể gia công các chi tiết đó trên máy phay CNC bằng nguyên công gia công tinh. 1.1.1. Các thông số kỹ thuật cần thiết Khi gia công chi tiết trên máy phay CNC cần cung cấp các chuyển động cần thiết để tạo hình bề mặt đó là: Chuyển động quay của dao tạo tốc độ cắt chính, và chuyển động tịnh tiến của phôi. Do đó, các điểm tham gia cắt gọt của dao là các điểm tiếp xúc giữa lƣỡi cắt và bề mặt phôi, và các điểm tiếp xúc này thay đổi vị trí phức tạp phụ thuộc vào mối quan hệ hình học của lƣỡi cắt và bề mặt chi tiết. Điều này quyết định lớn đến chất lƣợng bề mặt chi tiết gia công. Hệ trục tọa độ và vị trí của dao, chi tiết gia công khi cắt gọt trên các máy phay CNC nhƣ hình vẽ: Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Hình 1.1. Hệ tọa độ của máy phay CNC Hình 1.2. Phay mặt cong bằng dao phay cầu Do đó để phay tinh chi tiết đạt chất lƣợng bề mặt cần xác định chính xác về biên dạng và thông số hình học của phôi và dao, vật liệu và phƣơng pháp nhiệt luyện của chi tiết để lựa chọn phƣơng pháp gia công, kiểu dao tối ƣu, chế độ cắt tối ƣu. Nhƣ vậy, việc nghiên cứu về hình dáng hình học của chi tiết cần gia công tinh và hình học của dụng cụ cắt phải chính xác, các bƣớc gia công thô và bán tinh trƣớc Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 đó cần chọn lựa chế độ cắt phù hợp để không ảnh hƣởng đến bƣớc gia công tinh là cần thiết. 1.1.1.1. Các thông số hình học của bề mặt chi tiết gia công Bề mặt hình học phức tạp của chi tiết gia công trong thực tế đƣợc mô tả bằng toán học với các dạng chủ yếu sau [4]: Phương trình mặt cong có thể cho bởi một trong các dạng sau: -Dạng ẩn: F(x,y,z) = 0 (1.1) - Dạng tƣờng minh : z = f(x,y) (1.2) - Dạng tham số: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v) (1.3) - Dạng véc tơ: r = r(u,v) hay r = x(u,v).i + y(u,v).j + z(u,v).k (1.4) Tọa độ cong trên mặt cong: Nếu mặt cong cho dƣới dạng tham số hay véc tơ, thì khi cố định giá trị của một tham số v = v0 và cho tham số kia (u) biến thiên thì điểm r(x,y,z) vạch lên một đƣờng cong nằm trên mặt cong: r = r(u,v0). Nếu cho v những giá trị không đổi khác nhau: v = v1; v = v2; ... thì chúng ta nhận đƣợc một họ đƣờng cong trên mặt cong; bởi vì v = const nên đi dọc theo đƣờng cong ấy mỗi u thay đổi, do đó những đƣờng cong ấy đƣợc gọi những đƣờng u. v2 v1 v0 u0 u1 u2 F(u ,v) =0 M Hình 1.3 Tƣơng tự điểm r(u0,v) vạch nên một đƣờng cong khác; khi cho u những giá trị không đổi khác nhau: u = u1, u = u2, ... ta nhận đƣợc một họ đƣờng v (u = const). Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Do đó có một lƣới đƣờng cong đƣợc lập trên mặt cong, đó là các đƣờng tọa độ, còn hai số u = ui và v = vk là các tọa độ cong hay tọa độ Gauxơ của điểm M trên mặt cong. Mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến: Nếu qua một điểm cho trƣớc M(r,x, y, z) của mặt cong, vạch tất cả các đƣờng cong có thể đƣợc trên mặt cong, thì các tiếp tuyến của chúng tại điểm M sẽ nằm trên cùng mặt phẳng, đó là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong tại điểm M ( trừ những điểm cônic của mặt cong). Đƣờng thẳng đi qua M và thẳng góc với mặt phẳng tiếp xúc gọi là pháp tuyến với mặt cong tại điểm M. Mặt phẳng tiếp xúc đi qua các véctơ v r r u r r       21 ; là các véctơ tiếp xúc với đƣờng u và đƣờng v tại điểm M; tích của chúng r1.r2 là một véc tơ song song với pháp tuyến và véctơ đơn vị của nó 21 210 . . rr rr N  gọi là véctơ đơn vị pháp tuyến. N0 hƣớng về phía này hay phía kia của mặt cong tùy thuộc vào độ cong, u hay v đƣợc xem là tọa độ thứ nhất hay tọa độ thứ hai. Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến với mặt cong: Bảng 1.1: Phƣơng trình pháp tuyến của các mặt cong Phƣơng trình mặt cong Mặt phẳng tiếp xúc Pháp tuyến F(x,y,z) = 0 0)()()(          zZ z F yY y F xX x F z F zZ x F yY x F xX            z = f(x,y) Z – z = p(X –x) + q(Y – y) l zZ q yY p xX       x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v) v z v y v x u z u y u x zZyYxX              __________ __________ ____ =0 v y v x u y u x zZ v x v z u x u z yY v z v y u z u y xX                              . . . . . . Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 r = r(u,v) hay r = x(u,v).i + y(u,v).j + z(u,v).k (R-r). r1.r2 = 0 hay (R-r). N = 0 R = r +  .(r1.r2) hay R = r +  .N Trong bảng này x, y, z, r là các tọa độ và bán kính véctơ của điểm M của đƣờng cong; X, Y, Z, R là các tọa độ và bán kính véctơ của các điểm trên mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến; các đạo hàm đƣợc tính tại điểm M; y z q x z p       ; . Yếu tố bậc nhất của mặt cong: Nếu mặt cong đƣợc cho dƣới dạng (1.3) hay (1.4), M(u,v) là một điểm cho trƣớc của mặt cong và N(u + du, v + dv) là một điểm trên mặt cong gần M, thì độ dài cung MN trên mặt cong đƣợc biểu thị một cách gần đúng bởi vi phân cung hay yếu tố bậc nhất của mặt cong theo công thức: 222 ..2. dvGdvEduduEds  (1.5) Trong đó: 222 2 1                          u z u y u x rE v z u z v y u y v x u x rrF                .... 21 (1.6) 222 2 2                          v z v y v x rG Các hệ số E, F, G phụ thuộc vào các điểm của mặt. Đối với mặt cong cho dƣới dạng 1.1: E = 1 + p2 ; F = p.q; G = 1 + q2 , trong đó y z q x z p       ; . Các phép đo trên mặt cong: Độ dài cung của đƣờng cong u = u(t), v = v(t) trên mặt cong với 10 ttt  đƣợc tính theo công thức: dt dt dv G dt dv dt du F dt du EdsL t t t t   1 0 1 0 22 ).(..2).( (1.7) Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành: Công nghệ CTM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Góc giữa hai đƣờng cong: ( tức là giữa các