Luận văn Nhập môn lý thuyết KNOT

UBND TỈNH AN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG FÕG KHOA SƯ PHẠM NGÀNH TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ĐỀ TÀI ( CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC ) GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ ( Giảng Viên Tổ Hình học-Khoa Toán- Trường ĐHSP TPHCM ) SVTH: LÊ THÀNH TUẤN LONG XUYÊN, 5/2008 GVHD:PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khoá Luận Tốt Nghiệp 1 MỤC LỤC FÏG MỤC LỤC.............................................................................................................. 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU ............................................................................................... 3 LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................... 4 CHƯƠNG I : NHÓM CƠ BẢN............................................................................. 6 I. ĐỒNG LUÂN ................................................................................................. 6 1.Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục................................................. 6 1.1. Kiến thức chuẩn bị ............................................................................ 6 1.2. Định nghĩa......................................................................................... 6 1.3. Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục: ................. 7 1.4. Định lý............................................................................................... 7 2. Quan hệ đồng luân giữa hai không gian tôpô............................................. 8 II.NHÓM CƠ BẢN ........................................................................................... 9 1. Khái niệm đường ........................................................................................ 9 1.1. Định nghĩa.......................................................................................... 9 1.2. Định nghĩa........................................................................................ 10 1.3. Định nghĩa........................................................................................ 10 2. Đường đóng............................................................................................... 11 2.1.Định nghĩa......................................................................................... 11 2.2.Tích các đường đóng......................................................................... 11 2.3. Tính chất........................................................................................... 12 3. Không gian liên thông đường ................................................................... 13 3.1. Định nghĩa 1..................................................................................... 13 3.2. Định nghĩa 2..................................................................................... 13 3.3. Tính chất........................................................................................... 13 4. Nhóm cơ bản ............................................................................................. 13 4.1. Định nghĩa....................................................................................... 13 4.2. Định lý.............................................................................................. 14 5. Tính chất hàm tử của 1π ............................................................................. 15 5.1 Định lý 1............................................................................................ 15 5.2 Định lý 2............................................................................................ 17 5.3. Định lý 3........................................................................................... 19 CHƯƠNG II: KNOT........................................................................................... 21 I. KNOT ........................................................................................................... 21 II. PHÉP DỊCH CHUYỂN................................................................................ 27 III. MỘT SỐ KNOT ĐẶC BIỆT ...................................................................... 30 IV. MỘT VÀI BẤT BIẾN CỦA KNOT .......................................................... 37 V. TÍNH CHẤT BA MÀU CỦA KNOT.......................................................... 46 CHƯƠNG III : NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT .................................................. 50 I. ĐỊNH LÝ VAN-KAMPEN ........................................................................... 50 1. Định lý ........................................................................................................ 50 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 2 2. Nhận xét...................................................................................................... 56 3.Hệ quả.......................................................................................................... 57 II. NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT .................................................................... 58 1. Định nghĩa ................................................................................................ 58 2. Đại diện Wirtinger của knot ..................................................................... 59 2.1.Định lý Wirtinger............................................................................... 59 2.2.Chú ý.................................................................................................. 65 3.Ví dụ .......................................................................................................... 66 3.1. Knot tầm thường............................................................................... 66 3.2. Knot ba lá......................................................................................... 66 3.3.Knot hình số 8.................................................................................... 67 Kết Luận............................................................................................................... 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………69 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 3 MỘT SỐ KÝ HIỆU FÂG Ký hiệu Giải thích quan hệ đồng luân hay tương đương ≅ đẳng cấu Z tập hợp số nguyên tập hợp số thực [ ]0;1I = ⊂ đoạn đơn vị *f g đường nối đường f và đường g f đường đảo ngược của đường f [ ]f lớp các đường đồng luân (cố định) với f [ ]g fo phép lấy tích hai lớp đường [ ]f ,[ ]g [ ]f *[ ]g phép nối hai lớp đường [ ]f ,[ ]g XId ánh xạ đồng nhất trên X 0 ( )Xπ tập các thành phần liên thông đường của X 1 0( , )X xπ nhóm cơ bản của 0( , )X x kết thúc một phép chứng minh GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 4 LỜI NÓI ĐẦU FÏG Tôpô theo quan điểm hình học là một ngành khoa học nghiên cứu các bất biến Tôpô, tức là các tính chất không thay đổi qua các phép biến đổi liên tục. Tô pô đại số là một nhánh lớn của Tôpô mà trong đó người ta dùng công cụ đại số để khảo sát các bất biến Tôpô. Nói một cách nôm na, Tôpô đại số là “bức tranh” đại số của “vật thể” Tôpô. Lý thuyết knot là một bộ phận quan trọng của Tôpô học nói chung, Tôpô đại số nói riêng. Lý thuyết knot được khởi xướng bởi C.F.Gauss vào khoảng 1835- 1840. Sau đó được một học trò xuất sắc của Gauss là J. B. Listing phát triển và nghiên cứu như là một đối tượng của Tô pô học. Trong vài ba thập niên gần đây, lý thuyết knot phát triển rất mạnh và tìm được nhiều ứng dụng trong cả nội tại Toán học cũng như trong vật lý, cơ học. Lý thuyết knot là một bộ phận của Tô pô đại số vì các công cụ đại số rất hữu dụng trong nghiên cứu lý thuyết knot. Bất biến đầu tiên của một knot (với tư cách một không gian tôpô) chính là nhóm cơ bản của nó. Các bất biến cơ bản khác của một knot liên quan đến các đa thức (đa thức Alexander, đa thức Jones, đa thức Kauffman). Hệ các bất biến của knot sẽ giúp chúng ta phân loại tô pô các knot. Chính vì sự hấp dẫn và tầm quan trọng của lý thuyết knot nên em quyết định chọn nó làm đề tài nghiên cứu của mình, hy vọng sẽ tìm hiểu và nắm được những kiến thức cơ bản về knot, làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu hơn về sau ở lĩnh vực này. Trong luận văn này ta sẽ trình bày về một số định nghĩa cơ bản của knot dựa trên sự mô tả hình học. Cuối cùng, ta sẽ tiến hành xem xét một bất biến của knot đó là nhóm cơ bản. Ngoài lời nói đầu và kết luận, nội dung của luận văn bao gồm ba chương : 1. Chương I : Nhóm cơ bản Trong chương này ta trình bày lại một số định nghĩa cơ bản của tôpô đại số như đồng luân, nhóm cơ bản,…Đồng thời khảo sát một số tính chất của hàm tử ( )π1 X . 2. Chương II : Knot Phần này dành để định nghĩa thế nào là một knot và mô tả hình ảnh cụ thể của nó trong thực tế bằng ngôn ngữ hình học thông thường. Đồng thời đưa ra GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 5 một số bất biến đơn giản của knot như số crossing của một knot, số link của một link,… 3. Chương III : Nhóm cơ bản của knot Mở đầu chương này ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản của tôpô đại số- định lý Van-Kampen. Từ đó chứng minh định lý Wirtinger làm công cụ để tính nhóm cơ bản của một vài knot đơn giản. Lý thuyết knot là một lý thuyết khó. Cho đến nay vẫn còn nhiều vấn đề, nhiều chỗ chưa thể chứng minh được. Chính vì đặc điểm này, nó đang là một đề tài nóng bỏng được rất nhiều nhà toán học quan tâm. Với một kiến thức hạn chế khi nghiên cứu về một lý thuyết mới, bản thân em khó trách khỏi những thiếu xót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn bè đồng môn. Trước tiên, em xin chân thành cảm ơn các quý thầy cô trong tổ bộ môn Toán những người đã trực tiếp giảng dạy em trong những năm qua để hôm nay em có cơ hội được thực hiện đề tài này . Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Lê Anh Vũ đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho em những ý kiến quý báo. Trong quá trình thực hiện đề tài, em đã tham khảo một số tài liệu sách của một số tác giả nhưng không có điều kiện liên hệ, thông qua đây em xin gửi lời cảm ơn đến các tác giả. Nhân dịp này, em cũng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cũng như giúp đỡ em để đề tài nghiên cứu được hoàn thành. Long Xuyên, tháng 5 năm 2008 Tác giả GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 6 CHƯƠNG I : NHÓM CƠ BẢN Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về quan hệ đồng luân trên không gian các ánh xạ liên tục [ ],C X Y . Để từ đó đi đến việc giới thiệu sơ lược về một vấn đề cơ bản của tôpô đại số - nhóm cơ bản. Kết thúc chương bằng việc tìm hiểu các tính chất của nhóm cơ bản. I. ĐỒNG LUÂN 1.Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục 1.1. Kiến thức chuẩn bị Bổ đề dán : Giả sử không gian tôpô X là hợp hữu hạn các tập đóng của nó ( X =U n i iF 1= ) và : ii F Yf → là một họ các ánh xạ liên tục ( ni ,1= ) mà ( ) ( )FFfFFf jijjii ∩=∩ nji ,1, =∀ . Khi đó ánh xạ f : X→ Y xác định bởi : ( )if F = ,( 1, )if i n= là ánh xạ liên tục. 1.2. Định nghĩa Cho X và Y là hai không gian tôpô. Xét hai ánh xạ liên tục: : →f X Y : →g X Y Ta nói f đồng luân với g bởi phép đồng luân F ( kí hiệu: ( )F f g ) nếu tồn tại ánh xạ liên tục: : × →F X I Y (với [ ]0,1=I ) sao cho ( ) ( )( ) ( ) ,0 ,1 =⎧⎪⎨ =⎪⎩ F x f x F x g x Ví dụ: Xét X là không gian tôpô, Y là tập con lồi của nR ( tức nếu y, z thuộc Y thì toàn bộ đoạn thẳng nối y và z nằm hoàn toàn trong Y ). Xét các ánh xạ liên tục sau: : →f X Y ; : oy c X Y→ ox ya GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 7 Khi đó ta có: ( ) o F yf c . Thật vậy: Xét ánh xạ: : × →F X I Y xác định như sau: ( ) ( ) ( ), 1 . . , ,= − + ∀ ∈ ∀ ∈oF x t t f x t y x X t I hiển nhiên ta có: • F liên tục. • ( ) ( ),0 =F x f x . • ( ) ( ),1 oy F x c x= . 1.3. Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục Hình (a) là trường hợp f, g đồng luân. Hình (b)là trường hợp f, g không đồng luân. Hay một cách hình dung khác, hai ánh xạ liên tục f, g gọi là đồng luân nếu f có thể biến đổi một cách liên tục thành g. 1.4. Định lý Quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương trên không gian [ ],C X Y các ánh xạ liên tục từ X đến Y ( với X , Y là các không gian tôpô bất kì ). Y X f g (a) Y X f g (b) GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 8 Chứng minh • Ta dễ dàng chứng minh tính phản xạ và tính đối xứng của quan hệ đồng luân. Thật vậy : ta có ( )F f f với ( ) ( ), ,= ∀ ∈F x t f x x X ; It ∈∀ ( ) ( )F G f g g f⇒ với ( ) ( ), ,1G x t F x t= − ,x X t I∀ ∈ ∀ ∈ Vì G(x,0) = g(x) = F(x,1) G(x,1) = f(x) = F(x,0). • Tính bắc cầu : Giả sử ta có : ( ) F f g và ( ) H g h ta sẽ chứng minh: ( )H f h Xét ánh xạ : × →H X I Y ( ) ( ), ,x t H x ta xác định như sau: ( ) ( ) ( ) 1,2 , 0 2, 1,2 1 , 1 2 F x t t H x t G x t t ⎧ ≤ ≤⎪⎪= ⎨⎪ − ≤ ≤⎪⎩ Dễ thấy H liên tục vì ( ) ( ) ( )1 1, ,1 ,0 , 2 2 H x F x g x G x H x⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Đồng thời : ( ) ( ) ( ),0 ,0 ,H x F x f x x X= = ∀ ∈ ; ( ) ( ) ( ),1 ,1 ,H x G x h x x X= = ∀ ∈ ; Nên ta có : ( )H f h Vậy ta có điều phải chứng minh. 2. Quan hệ đồng luân giữa hai không gian tôpô Cho X ,Y là hai không gian tôpô. Ta nói X đồng luân với Y (kí hiệu: X Y ) nếu tồn tại các ánh xạ f và g : : f X Y g Y X → → GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 9 sao cho : • f , g liên tục. • Yf g Ido . • Xg f Ido . Từ định nghĩa trên ta thấy rằng : Nếu X và Y là hai không gian đồng phôi thì chúng cũng sẽ là hai không gian đồng luân. Thật vậy, gọi :f X Y→ là một song ánh liên tục thì ta có: 1 Y Yf f Id Id − =o 1 X Xf f Id Id − =o Do đó : X Y . Điều ngược lại thì nói chung là không đúng. Chẳng hạn : Rn và { }0 là đồng luân vì tồn tại các ánh xạ { }0: →nRf và { } nRg →0: thỏa mãn : nRg f Id=o 0ax xa0 và { }0f g Id=o nhưng nR và { }0 không đồng phôi vì tập hợp của chúng không cùng lực lượng. Vì vậy, phân loại ( cùng kiểu ) đồng luân là phân loại thô hơn phân loại đồng phôi ( đồng luân “yếu” hơn đồng phôi ) nên mọi bất biến đồng luân càng là bất biến đồng phôi. Chính vì thế, ta hy vọng sẽ dễ dàng xét các bất biến đồng phôi thông qua bất biến đồng luân bằng công cụ đại số. II.NHÓM CƠ BẢN 1. Khái niệm đường 1.1. Định nghĩa Cho không gian tôpô X, x,y ∈X, [ ]0,1I = ∈ với tôpô cảm sinh từ tôpô tự nhiên của . Ánh xạ liên tục XIf →: sao cho (0)x f= , (1)y f= được gọi là một đường trong X nối x và y ( hình vẽ ). Điểm x gọi là điểm đầu, y gọi là điểm cuối. GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 10 Ví dụ : x,y n∈ . Ánh xạ liên tục : sao cho ( ) (2 ) (1 )f t t t y t x= − + − là một đường trong n nối x và y vì (0)f x= và (1)f y= . 1.2. Định nghĩa Cho ánh xạ XIf →: là một đường trong X nối x và y. Đường XIf →: xác định bởi : )1( tff −= được gọi là đường đảo ngược của đường f nối y và x . 1.3. Định nghĩa Cho hai đường XIgf →:, thỏa mãn ( ) ( )01 gf = . Ánh xạ XIh →: xác định bởi : ⎩⎨ ⎧ ≤≤− ≤≤= 12/1),12( 2/10),2( )( ttg ttf th thì h là ánh xạ liên tục và được gọi là đường nối hai đường f với g . Kí hiệu : *h f g= . : nf I → X x y I f 0 1 I f X x y 0 1 X z x y I g f 0 1 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 11 2. Đường đóng 2.1.Định nghĩa - Ánh xạ liên tục :f I X→ sao cho : ( ) ( ) 00 1f f x= = được gọi là một đường đóng tại 0x . - Với hai đường đóng f và g tại 0x , ta nói f tương đương với g khi f đồng luân với g , kí hiệu : f g . Lớp tương đương đồng luân của đường đóng f được kí hiệu là [ ]f . - Ta đặt ( )1 0,X xπ là lớp tương đương đồng luân các đường đóng tại 0x ( )1 0, ( , )X x C I Xπ = = [ ]{ f / f là đường đóng tại }0x . 2.2. Tích các đường đóng Cho f và g là hai đường đóng tại 0x trong X . Ta định nghĩa tích f g∗ như sau: :f g I X∗ → ( ) ( ) ( ) 12 ;0 2 12 1 ; 1 2 f t t f g t g t t ⎧ ≤ ≤⎪⎪∗ = ⎨⎪ − ≤ ≤⎪⎩ f 0 1 0x X X 0 1 f 0x f g∗ g I GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 12 f*g là đường đóng trong X nối hai đường f và g . 2.3. Tính chất Nếu 1 1, , ,f g f g là các đường đóng tại 0x và 1 1 f f g g ⎧⎨⎩ thì 1 1f g f g∗ ∗ . Chứng minh : Giả sử ( ) 1 ( ) 1 F G f f g g ⎧⎪⎨⎪⎩ ( do 1 1 f f g g ⎧⎨⎩ ) Khi đó, dễ thấy, tại 0t I∈ thì ( ) ( )0 0, , ,F x t G x t là các đường đóng tại 0x . Thật vậy : ta xét ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ →× → → YIXF YXf YXf : : :1 thì ta có : 10 (0) , 0 ( , ) (1) , 1 f t F x t f t =⎧= ⎨ =⎩ mà 1,f f là các đường đóng tại 0x nên suy ra ),( 0txF là đường đóng tại 0x . Tương tự 10 (0) , 0 ( , ) (1) , 1 g t G x t g t =⎧= ⎨ =⎩ mà 1,g g là các đường đóng tại 0x , nghĩa là: 1 1 0 0 (0) (1) (0) (1) g g x g g x = = = = ⇒ 1 0 0 ( ,0) (0) ( ,1) (1) G x g x G x g x = = = = nên suy ra 0( , )G x t là đường đóng tại 0x . Ta xây dựng ánh xạ :H I I X× → thỏa mãn ( ) ( ) ( ), , , , ,H x t F x t G x t x I t I= ∗ ∀ ∈ ∀ ∈ Dễ thấy : • ∀ ∈t I , ( ),H x t là một đường đóng tại 0x • H liên tục trên ×I I ( theo bổ đề Dán ) • 1 1( ,0) ( ,0)* ( ,0) * ( )H x F x G x f g x x I= = ∀ ∈ • ( ,1) ( ,1)* ( ,1) * ( )H x F x G x f g x x I= = ∀ ∈ Vậy ( ) 1 1 H f g f g∗ ∗ . GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 13 Từ tính chất trên ta xây dựng phép toán trên ( )1 0,X xπ như sau: ( ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0( ) : , , ,X x X x X xπ π π∗ × → [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ], f g f g f g∗ = ∗a gọi là phép nối tiếp hai đường đóng trên ( )1 0,X xπ . 3. Không gian liên thông đường 3.1. Định nghĩa 1 Không gian tôpô X được gọi là không gian liên thông đường (hay còn gọi là không gian liên thông tuyến tính) nếu mọi cặp điểm Xxx ∈10 , đều được nối với nhau bằng một đường nào đó trong X. 3.2. Định nghĩa 2 Tập con Y của không gian tôpô X được gọi là tập liên thông đường nếu Y là liên thông đường với tôpô cảm sinh từ X . 3.3. Tính chất Không gian liên thông đường có các tính chất sau : - Cho X,Y là hai không gian tôpô đồng phôi. Khi đó X liên thông đường khi và chỉ khi Y liên thông đường. - Giả sử { }jX Jj∈ là một họ các tập con liên thông đường của không gian tôpô X. Nếu j j J X φ ∈ ≠I thì U Jj jX ∈ cũng liên thông đường. - X,Y liên thông đường YX ×⇔ liên thông đường. - Mọi không gian liên thông đường đều liên thông. 4. Nhóm cơ bản 4.1. Định nghĩa ( )1 0,X xπ cùng với phép toán (*) trên nó tạo thành một nhóm và nhóm đó được gọi là nhóm cơ bản của X tại 0x ( 0x được gọi là điểm cơ sở). Chứng minh : Ta dễ dàng kiểm tra những tính chất sau đây: GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 14 • [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )f g h f g h∗ ∗ = ∗ ∗ • ( ) 01 0, xX xe cπ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ • [ ] ( ) [ ] 11 0,f X x f fπ − ⎡ ⎤∀ ∈ ⇒ ∃ = ⎣ ⎦ sao cho [ ] [ ] [ ] [ ] 0 1 1 xf f f f c − − ⎡ ⎤∗ = ∗ = ⎣ ⎦ với :f I X→ ( ) ( )1x f x f x= −a Do vậy nên ta có ( )1 0,X xπ là một nhóm với 0[ ]xc là phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo của một đường đóng chính là đường đóng đó nhưng lấy theo chiều ngược lại. 4.2. Định lý Cho 0 1,x x X∈ . Giả sử tồn tại đường liên tục :u I X→ sao cho ( ) ( )0 10 ; 1u x u x= = Khi đó ta có: ( ) ( )1 0 1 1, ,X x X xπ π≅ . Chứng minh : Xét ánh xạ ( ) ( )1 0 1 1: , ,u X x X xπ π∗ → [ ] [ ]( ) [ ] [ ] * *f u f u f u∗ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦a với :u I X→ ( ) ( ) 1x u x u x= −a Ta chứng minh *u là một đẳng cấu. Thật vậy: (i) Với mọi [ ] ),( 11 xXg π∈ ta có : [ ] [ ] [ ] [ ]( )* * * *g u u g u u⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = [ ] [ ]( ) [ ]* * * *u u g u u⎡ ⎤⎣ ⎦ = [ ] [ ]( )* * *u u g u⎡ ⎤⎣ ⎦ ( [ ] [ ]( ) 1 0* * ( , )u g u X xπ⎡ ⎤ ∈⎣ ⎦ vì nếu H là phép đồng luân của những đường đóng tại 1x