Luận văn Phương trình tích chập và hệ toeplitz

3 MỞ ĐẦU Phương trình tích phân là một trong những loại phương trình quan trọng, xuất phát từ nhiều bài toán ứng dụng. Đặc biệt đối với nhiều phương trình đạo hàm riêng mà bằng cách dùng hàm Green, người ta quy về việc giải một phương trình tích phân dạng ( ) ( ) ( ) ( ) D f t K t s f s ds g tα + − =∫ , (1) hay ( ) ( ) ( ) D K t s f s ds g t− =∫ , (2) với t D′∈ , trong đó nhân K và hàm g cho trước và f là Nn hàm cần tìm. Tổng quát, (1) được gọi là phương trình tích phân Fredholm loại hai và là bài toán chỉnh (với các mêtríc thông thường trên các không gian hàm) và (2) là phương trình loại một và là bài toán không chỉnh. Trong trường hợp D D′= = ℝ hay nℝ , người ta có thể dùng phép biến đổi Fourier để giải (1) cũng như xây dựng nghiệm chỉnh hóa tường minh cho (2). Nội dung luận văn nhằm tìm một cách tiếp cận khác cho các trường hợp D ≠ ℝ hay nℝ , trong đó các phương trình (1) và (2) được xấp xỉ trực tiếp bằng các hệ phương trình tuyến tính với Nn cần tìm chính là giá trị của Nn hàm tại các điểm nút trong miền xác định của nó. Hơn nữa, với một số các điều kiện thích hợp, hệ phương trình tuyến tính nhận được có ma trận các hệ số thuộc loại đặc biệt : ma trận Toeplitz, ma trận Toeplitz đối xứng hay ma trận Circulant Toeplitz mà để giải nó, luận văn xây dựng một giải thuật đệ quy nhằm xác định nghiệm. Giải thuật này có ưu điểm về mặt tính toán do nó có độ phức tạp nhỏ hơn hẳn các giải thuật giải hệ phương trình tuyến tính thông thường. 4 Với nội dung chính nêu trên, luận văn bao gồm 3 chương, trong đó Chương 1 giới thiệu một số khái niệm và kết quả về các loại ma trận Toeplitz, sự liên hệ giữa ma trận Toeplitz với phương trình tích phân dạng (1) và (2). Đặc biệt, một số kết quả về giá trị riêng cũng như vectơ riêng của các loại ma trận này cũng được khảo sát. Điều này sẽ giúp ích sau này trong việc kiểm soát các sai số tính toán khi giải số bằng máy tính. Chương 2 nhằm xây dựng một số kết quả mà đặc biệt là xây dựng giải thuật cũng như chương trình giải xấp xỉ phương trình tích phân Fredholm loại hai. Chương 3 đưa ra giải thuật đệ quy giải hệ phương trình tuyến tính có ma trận các hệ số là ma trận loại Toeplitz. Từ đó, tính toán cũng như so sánh trên một số ví dụ cụ thể cho các hệ phương trình tuyến tính cũng như một số phương trình tích phân cụ thể. 5 Chương 1 MA TRẬN TOEPLITZ & CIRCULANT TOEPLITZ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả cho ma trận Toeplitz, ma trận Toeplitz đối xứng và ma trận Circulant Toeplitz, trong đó ma trận loại này xuất hiện khi ta xấp xỉ một phương trình tích phân loại Fredholm với nhân dạng tích chập về một hệ phương trình tuyến tính. 1. MA TRẬN TOEPLITZ 1.1. Khái niệm ma trận Toeplitz Một ma trận vuông cấp n được gọi là ma trận Toeplitz (hay ma trận hằng đường chéo), ký hiệu n k, j k, j 0,1, ,n 1T t = − =   … , khi k, j k jt t −= , với mọi k, j 0,1, ,n 1= −… , nghĩa là ma trận có dạng 0 1 2 (n 1) 1 0 1 (n 2) n 2 1 0 (n 3) n 1 n 2 n 3 0 t t t t t t t t T t t t t t t t t − − − − − − − − − − − −         =          … … … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ … (1.1) Loại ma trận này xuất hiện nhiều trong các bài toán ứng dụng. Chẳng hạn, xét phương trình Fredholm loại một, ( ) ( ) ( ) b a g t K t,s f s ds= ∫ (1.2) với ( )f t là Nn hàm cần tìm, ( )g t và ( )K t,s là các hàm cho trước, trong đó ( )K t,s được gọi là nhân của phương trình tích phân. 6 Giả sử a, b hữu hạn. Ta chia đoạn [ ]a ;b thành n 1− đoạn bằng nhau [ ]0 1s ;s , [ ]1 2s ;s , ..., [ ]n 2 n 1s ;s− − , mỗi đoạn có độ dài b ah n 1 − = − , bằng các điểm chia is a ih= + , i 0, n 1= − . Ta có thể xấp xỉ tích phân ở vế phải bằng công thức cầu phương, ( ) ( ) b n 1 i i i 0a y s ds w y s − = =∑∫ trong đó ( )iw là những trọng số của công thức cầu phương. Trường hợp đơn giản nhất, ta chọn iw 1= . Áp dụng công thức trên vào phương trình (1.2), ta được ( ) ( ) ( )n 1 i i i 0 g t K t,s f s , t [a ;b] − = = ∀ ∈∑ (1.3) Khi đó, tại các điểm jt t= , với j 0, n 1= − , ta có hệ phương trình ( ) ( ) ( )n 1j j i i i 0 g t K t ,s f s − = =∑ và tại những điểm j js t= , ta được hệ phương trình tuyến tính theo giá trị của Nn hàm f tại các điểm is , ( ) ( ) ( )n 1j j i i i 0 g s K s ,s f s − = =∑ (1.4) Trong trường hợp nhân K có dạng ( ) ( )K t,s t s= ϕ − , trong đó ϕ là một hàm số thực cho trước, ta có ( )j, i j i j it s s t −= ϕ − = , và với ( )j jg s g= , ( )i if s f= , phương trình (1.4) được viết lại thành n 1 n 1 j j, i i j i i i 0 i 0 g t f t f − − − = = = =∑ ∑ 7 nghĩa là ta được hệ o 0 1 1 2 2 (n 1) n 1 0 1 0 0 1 1 2 (n 2) n 1 1 2 0 1 1 0 2 (n 3) n 1 2 n 1 0 n 2 1 n 3 2 0 n 1 n 1 t f t f t f t f g t f t f t f t f g t f t f t f t f g t f t f t f t f g − − − − − − − − − − − − − − − − − + + + + =  + + + + =  + + + + =    + + + + = … … … …… … (1.5) Hệ phương trình (1.5) được viết lại dưới dạng phương trình ma trận nT f g= , trong đó 0 1 2 (n 1) 1 0 1 (n 2) n 2 1 0 (n 3) n 1 n 2 n 3 0 t t t t t t t t T t t t t t t t t − − − − − − − − − − − −         =          … … … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ … là ma trận Toeplitz cấp n và 0 1 n 1 g g g g −       =       ⋮ là những ma trận đã biết, và 0 1 n 1 f f f f −       =       ⋮ là ma trận Nn cần tìm. 8 Một trường hợp đặc biệt của ma trận Toeplitz là ma trận Toeplitz đối xứng dạng 0 1 2 n 1 1 0 1 n 2 n 2 1 0 n 3 n 1 n 2 n 3 0 t t t t t t t t T t t t t t t t t − − − − − −        =         … … … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ … . Chú ý rằng ma trận Toeplitz đối xứng được hoàn toàn xác định chỉ bằng n số thực 0 1 n 1t , t , t − ∈ℝ . 1.2. Vectơ riêng và giá trị riêng Nhắc lại rằng số phức α được gọi là một trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ x khác vectơ không sao cho Ax x= α (1.6) và khi đó vectơ x được gọi là một vectơ riêng tương ứng với trị riêng α . Trường hợp đặc biệt khi A là ma trận Hermite, nghĩa là *A A= , trong đó *A là ma trận liên hợp chuyển vị của A thì các trị riêng của A là số thực. Khi đó, ta có thể giả sử dãy giá trị riêng ( )iα của ma trận A là dãy không tăng, nghĩa là 0 1 2α ≥ α ≥ α ≥… Xét dãy ma trận Toeplitz Hermite n k j k, j 0,1,...,n 1T t − = − =   ứng với tập giá trị riêng { }n,i ; i 0,1,2,..., n 1τ = − . Dáng điệu tiệm cận của các giá trị riêng { }n,i ; i 0,1,2,...,n 1τ = − này được cho bởi Định lý Szegö với điều kiện tồn tại sự liên hệ của chuỗi Fourier với các hệ số kt , ( ) [ ]ikk k f t e , 0;2 +∞ λ =−∞ λ = λ ∈ pi∑ (1.7) và 9 ( ) 2 ik k 0 1 t f e d 2 pi − λ = λ λ pi ∫ . (1.8) Điều kiện này có nghĩa rằng dãy ( )kt xác định một hàm f và ngược lại, các kt được xác định từ một hàm số f. Khi đó, dãy các ma trận Toeplitz được ký hiệu bởi ( )nT f . Khi ( )nT f là ma trận Hermite thì *k kt t− = và f là hàm nhận giá trị thực. Khi đó với mỗi hàm F liên tục trên miền xác định của f , định lý Szegö cho ( ) ( )( )2n 1 n,k n k 0 0 1 1lim F F f d n 2 pi − →∞ = τ = λ λ pi ∑ ∫ (1.9) Chẳng hạn, với ( )F x x= , ta có ( ) 2n 1 n,k n k 0 0 1 1lim f d n 2 pi − →∞ = τ = λ λ pi ∑ ∫ (1.10) và điều này có nghĩa là trung bình cộng các trị riêng của nT (f ) hội tụ về tích phân của hàm f . Mặt khác, do vết ( )Tr A là tổng các phần tử trên đường chéo của A và cũng chính là tổng của các giá trị riêng của A khi A là ma trận Hermite, nên từ (1.10), ta suy ra ( )( ) ( )2n n 0 1 1lim Tr T f f d n 2 pi →∞ = λ λ pi ∫ (1.11) Tương tự, với sF(x) x= , ta được ( ) 2n 1 s s n,k n k 0 0 1 1lim f d n 2 pi − →∞ = τ = λ λ pi ∑ ∫ (1.12) Nếu f là hàm thực và các giá trị riêng thỏa n,k m 0 ; n,kτ ≥ > ∀ thì do hàm F(x) ln x= liên tục trên [ )m ; + ∞ , ta suy ra 10 ( ) 2n 1 n,i n i 0 0 1 1lim ln ln f d n 2 pi − →∞ = τ = λ λ pi ∑ ∫ (1.13) Mặt khác, do định thức của các ( )nT f chính là tích các giá trị riêng của nó, ( )( ) n 1n n,i i 0 det T f − = = τ∏ , (1.13) trở thành ( )( )( ) ( )21 n 1nn n,i n x i 0 0 1 1lim ln det T f lim ln ln f d n 2 pi − →∞ →∞ =   = τ = λ λ  pi  ∑ ∫ (1.14) Nếu f bị chặn dưới thì tất cả các giá trị riêng của nT (f ) sẽ bị chặn dưới và (1.14) mô tả giới hạn của dãy định thức Toeplitz. 2. MA TRẬN CIRCULANT TOEPLITZ 2.1. Khái niệm ma trận Circulant Toeplitz Ma trận C được gọi là ma trận Cicurlant Toeplitz nếu nó là ma trận Toeplitz có dạng 0 1 2 n 1 n 1 0 1 2 n 1 0 1 1 n 1 0 c c c c c c c c C c c c c c c − − − −        =         … ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ … (1.15) ký hiệu ( )k, j j k mod nC C c − = =   . Đây là một trường hợp đặc biệt của ma trận Toeplitz, trong đó là mỗi hàng dưới của ma trận là một dịch chuyển tuần hoàn của hàng trên. Ma trận Cicurlant Toeplitz thường dùng để xấp xỉ cũng như biểu diễn dáng điệu tiệm cận của các ma trận Toeplitz. 11 2.2. Vectơ riêng và giá trị riêng Giá trị riêng kψ và vectơ riêng (k )y của C là nghiệm phương trình Cy y= ψ (1.16) hoặc tương đương với n phương trình sai phân m 1 n 1 n m k k k m k m k 0 k m c y c y y ; m 0, 1, ,n 1 − − − + − = = + = ψ = −∑ ∑ … . (1.17) Đổi chỉ số, ta được n 1 m n 1 k k m k k (n m) m k 0 k n m c y c y y ; m 0, 1, ,n 1 − − − + − − = = − + = ψ = −∑ ∑ … (1.18) Ta có thể giải các phương trình sai phân này với cùng một phương pháp giải các phương trình vi phân bằng cách tìm nghiệm đặc biệt của nó. Do phương trình là tuyến tính với các hệ số hằng, một nghiệm đặc biệt hợp lý là kky = ρ (tương tự như dạng nghiệm mũ ( ) sty t e= trong phương trình vi phân tuyến tính). Thay vào (1.18), ta được n 1 m n 1 k m k (n m) m k k k 0 k n m c c − − − + − − = = − ρ + ρ = ψρ∑ ∑ hay n 1 m n 1 k n k k k k 0 k n m c c − − − − = = − ρ + ρ ρ = ψ∑ ∑ . Nếu ta chọn n 1−ρ = , nghĩa là ρ là một căn bậc n phức của đơn vị, ta nhận được giá trị riêng n 1 k k k 0 c − = ψ = ρ∑ (1.19) với vectơ riêng tương ứng 12 ( )T2 n 11y 1, , , , n − = ρ ρ ρ… (1.20) Cụ thể, với 2i m n m e pi −ρ = , ta có giá trị riêng 2 imkn 1 n m k k 0 c e pi − − = ψ =∑ (1.21) và vectơ riêng tương ứng ( )( )2 i n 12 imn n T(m) 1y 1,e , ,e n pi −pi − − = … Từ định nghĩa của trị riêng và vectơ riêng, (m) (m) mCy y ; m 0,1, ,n 1= ψ = −… (1.22) và do (1.21) chính là biểu thức Fourier rời rạc (DFT) của dãy k(c ) , ta có thể phục hồi k(c ) từ các kψ bằng công thức biến đổi Fourier ngược. Đặc biệt, ( ) ( ) 2 imk n 2 i l k m n n 1 n 1 n 1 2 ilm 2 ilm m k m 0 m 0 k 0 n 1 n 1 k l k 0 m 0 1 1 e c e e n n 1 c e c n pi pi − − − − −pi pi = = = − − = = ψ = = = ∑ ∑∑ ∑ ∑ (1.23) trong đó ta dùng tính chất 2 imk n n l k mod n m 0 n khi k mod n 0 e n 0 khi k mod n 0 pi − = = = δ =  ≠ ∑ (1.24) với ký hiệu Kronecker m 1 khi m 0 0 khi m 0 =δ =  ≠ Như vậy, giá trị riêng của ma trận Circulant là biến đổi Fourier rời rạc của dòng đầu tiên của nó, và ngược lại, dòng đầu tiên của ma trận Circulant là biến đổi Fourier rời rạc ngược của các giá trị riêng của nó. 13 Phương trình (1.22) có thể được viết lại dưới dạng ma trận CU U= Ψ (1.25) trong đó (0) (1) (2) (n 1) 2 imk n m,k 0,1, , n 1 U y y y y 1 e n − pi − = −  =     =     … … là ma trận mà mỗi vectơ cột là một vectơ riêng và ( )kdiagΨ = ψ là ma trận chéo với các phần tử chéo là 0ψ , 1ψ , ..., n 1−ψ . Hơn nữa (1.24) cho thấy U là ma trận unita. Thật vậy, ký hiệu phần tử hàng k cột j của *UU bởi k, ja và chú ý rằng k, ja chính là tích của hàng thứ k của U, 2 imk n 1 e ;m 0,1, ,n 1 n pi −  = −    … với cột thứ j của *U , 2 imj n 1 e ;m 0,1, ,n 1 n pi  = −    … . Do đó ( ) ( ) 2 im j kn 1 n k, j k j mod n m 0 1 a e n pi − − − = = = δ∑ và ta có *UU I= . Tương tự *U U I= . Do vậy (1.25) trở thành *C U U= Ψ (1.26) *U CUΨ = (1.27) 2.3. Các phép toán trên ma trận Circulant Từ các kết quả nhận được trong phần trên, ta tổng kết một số tính chất quan trọng về phép toán trên ma trận Circulant như sau : 14 Định lý. Mỗi ma trận Circulant C có vectơ riêng ( )( )2 i n 12 imn n T(m) 1y 1,e , ,e n pi −pi − − = … , với m 0, 1, ,n 1= −… , tương ứng với các giá trị riêng 2 imkn 1 n m k k 0 c e pi − − = ψ =∑ và có thể biểu thị dưới dạng *C U U= Ψ trong đó U có các vectơ cột chính là các vectơ riêng và Ψ là ma trận chéo ( )kdiagΨ = ψ . Đặc biệt, mọi ma trận Circulant có cùng các vectơ riêng có thể biểu diễn bởi ma trận U và bất kỳ ma trận C có dạng *C U U= Ψ là ma trận Circulant. Cho ( )k jC c −= và ( )k jB b −= là hai ma trận Circulant cấp n với các giá trị riêng tương ứng 2 imkn 1 n m k k 0 c e pi − − = ψ =∑ , 2 imkn 1 n m k k 0 b e pi − − = β =∑ . Khi đó (1) C và B giao hoán, *CB BC U U= = γ , trong đó ( )m mdiagγ = ψ β , và CB cũng là ma trận Circulant. (2) C B+ là ma trận Circulant và *C B U U+ = Ω trong đó ( )( )m m k m−Ω = ψ + β δ . (3) Nếu m 0 ; m 0, 1, ,n 1ψ ≠ = −… thì C là không suy biến và 1 1 *C U U− −= Ψ . 15 Chứng minh. Ta có *C U U= Ψ và *B U U= Φ , với ( )mdiagΨ = ψ và ( )mdiagΦ = β . (1) Ta có * * * *CB U U U U U U U U BC= Ψ Φ = ΨΦ = ΦΨ = và vì ΦΨ là ma trận chéo nên ta suy ra CB là ma trận Circulant. (2) *C B U( )U+ = Ψ + Φ (3) Nếu Ψ không suy biến, thì 1 * * 1 * 1 * *CU U U U U U U U UU I− − −Ψ = Ψ Ψ = ΨΨ = = . Do đó, 1 1 *C U U− −= Ψ . 16 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH FREDHOLM LOẠI HAI Trong chương này, chúng ta khảo sát phương trình Fredholm loại hai dạng ( ) ( ) ( ) ( ) b a f t K t,s f s ds g t= λ +∫ (2.1) với ( )f t là Nn hàm cần tìm, ( )g t và ( )K t,s là các hàm cho trước, trong đó ( )K t,s được gọi là nhân của phương trình tích phân. Khi ( )g t 0= phương trình tương ứng được gọi là thuần nhất. Ta khảo sát 3 bài toán sau : Bài toán 1 : Tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất (2.1) với λ và ( )g t cho trước. Bài toán 2 : Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của nhân ( )K t,s , tức là tìm tham số λ , để phương trình thuần nhất ( ) ( ) ( ) b a f t K t,s f s ds= λ∫ có nghiệm không tầm thường ( )f t . Giá trị λ nhận được gọi là giá trị riêng của ( )K t,s và hàm ( )f t 0≠ tương ứng được gọi là hàm riêng (vectơ riêng) của ( )K t,s . Bài toán 3 : Các giải thuật giải số phương trình Fredholm loại hai và thực hành một số ví dụ cụ thể. 17 1. TÌM NGHIỆM XẤP XỈ CỦA PHƯƠNG TRÌNH FREDHOLM LOẠI HAI KHÔNG THUẦN NHẤT 1.1. Phương pháp Nystrom (thay nhân bằng tổng hữu hạn) Dùng công thức cầu phương ( ) ( )b n j j j 1a y s ds w y s = =∑∫ (2.2) trong đó ( )jw là những trọng số của công thức cầu phương và [ ]1 2 ns ,s ,...,s a ; b∈ . Thay công thức (2.2) vào (2.1), ta được phương trình xấp xỉ ( ) ( ) ( ) ( )n j j j j 1 f t w K t,s f s g t = = λ +∑ (2.3) Khi đó, với it t= , i 1,..., n= , ta có phương trình ( ) ( ) ( ) ( )ni j i j j i j 1 f t w K t ,s f s g t = = λ +∑ ; i 1,..., n= (2.4) Đặt ( )i if f t= , ( )i ig g t= , ( )ij i jK K t ,s= và ij i j jK K w=ɶ thì (2.4) được viết lại thành hệ phương trình tuyến tính 1 11 1 12 2 1n n 1 2 21 1 22 2 2n n 2 n n1 1 n2 2 nn n n f K f K f ... K f g f K f K f ... K f g ... f K f K f ... K f g  = λ + λ + + λ +  = λ + λ + + λ +    = λ + λ + + λ + ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (2.5) hay dưới dạng phương trình ma trận ( )1 K f g− λ ⋅ =ɶ . (2.6) Hệ (2.5) là hệ gồm n phương trình tuyến tính, n Nn. Giải hệ phương trình này, ta được giá trị của hàm f tại những điểm ( )it . Tại những điểm t khác, ta dùng 18 (2.3) làm công thức nội suy. Như vậy, biểu thức giải tích của nghiệm gần đúng có thể lấy ở công thức (2.3). Để tìm các giá trị riêng gần đúng, trong (2.6) cho ig 0= , ta được hệ phương trình thuần nhất. Để hệ có nghiệm không tầm thường thì định thức của hệ phải bằng không. Từ đó, ta được phương trình bậc n của λ . Giải phương trình này, ta được các giá trị riêng gần đúng 1 n, ...,λ λɶ ɶ . Thay các giá trị riêng này vào hệ thuần nhất tương ứng, ta được các hàm số riêng tương ứng độc lập tuyến tính của ( )K t,s . Ví dụ 2.1. Giải xấp xỉ phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân không suy biến ( ) ( ) ( )1 t s t 0 f t t 1 e f s ds e t= − + −∫ . Dùng công thức cầu phương Simpson ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1y x dx y 0 4y 0.5 y 1 6 ≈  + +  ∫ , để tìm nghiệm gần đúng tại 1 2 3t 0 ; t 0.5 ; t 1= = = , ta được hệ phương trình tuyến tính (theo (2.6)) ( ) ( ) ( ) 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 1 K f K f K f g K f 1 K f K f g K f K f 1 K f g  − − − =   − + − − =  − − + − = ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (2.7) Do t t s 1 2 3 1 2 1g(t) e t ;w ,w ,w ;K(t,s) t(1 e ) 6 3 6 = − = = = = − ta suy ra 19 ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 13 21 0,25 22 0,5 23 0,5 31 32 33 K K(0,0) 0;K K(0,0.5) 0;K K(0,1) 0 K K(0.5,0) 0; 1K K(0.5,0.5) 1 e ; 2 1K K(0.5,1) 1 e 2 K K(1,0) 0 ; K K(1,0.5) 1 e ; K K(1,1) 1 e  = = = = = =   = =   = = −   = = −  = = = = − = = − Từ đó, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 13 0,25 0,5 21 22 23 0,5 31 32 33 K K K 0 1 1K 0 ; K 1 e ; K 1 e 3 12 2 1K 0 ; K 1 e ; K 1 e 3 6   = = =   = = − = −   = = − = − ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ và 0.5 1 2 3g 1 ; g e 0.5 ; g e 1= = − = − . Thay vào (2.7) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0.25 0.5 0.5 2 3 0.5 2 3 f 1 1 1 e 2 f e 1 f e 0.5 3 12 2 1 e 1 f e 5 f e 1 3 6   =   + + − = −   − + + = − (2.8) Với các xấp xỉ 0.25 0.5e 1.2840254 ; e 1.6487213≈ ≈ ( ) ( ) ( ) ( ) 0.25 0.5 0.5 1 1 e 2 1.0947 ; e 1 0.0541 3 12 2 1 e 1 0.4325 ; e 5 1.2864 3 6 + ≈ − ≈ − ≈ + ≈ 20 (2.8) trở thành 1 2 3 2 3 f 1 1.0947f 0.0541f 1.1487 0.4325f 1.2864f 1.7183 =  + =  + = và ta được 1 2 3f 1 ; f 0.9999 ; f 0.9996= = = . Ta nhận được một biểu thức giải tích của nghiệm xấp xỉ theo công thức (2.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3f t w K t,s f s w K t,s f s w K t,s f s g t= + + + trong đó 1 2 3 0.5 t 1 2 1 w , w , w 6 3 6 K(t,0) 0, K(t,0.5) t(1 e ) ,K(t,1) t(1 e ) f (0) 1, f (0.5) 0.9999, f (1) 0.9996  = = =  = = − = −  = = =   và do đó ( ) ( ) ( )0.5t t t2 1f t t 1 e 0.9999 t 1 e 0.9996 e t3 6= − + − + − hay ( ) 0.5t t tf t 0.1668t 0.6666te 0.1666te e= − − − + Nghiệm này cho các giá trị xấp xỉ tại một vài điểm như sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f 0 1 ; f 0.5 1.0000 ; f 1 0.9996; f 0.4 1.0000 ; f 0.8 0.9999= = = = = . Chú ý rằng nghiệm chính xác của phương trình là ( )f t 1= . 21 1.2. Phương pháp thay nhân bằng nhân suy biến Khi nhân ( )K t,s ở phương trình (2.1) có thể biểu diễn dưới dạng ( ) ( ) ( )n i i i 1 K t,s A t B s = =∑ (2.9) thì nhân ( )K t,s được gọi là nhân suy biến, chẳng hạn các nhân ( ) t st s, t s, sin t s , e ,...−+ ⋅ + là các nhân suy biến. Chú ý rằng nhân ( ) t sK t,s e= tuy là nhân không suy biến nhưng ta có thể xấp xỉ ( )K t,s bằng nhân suy biến với độ chính xác tùy ý bằng khai triển Taylor ( )knt s k 0 t s e k! = =∑ . Giả sử ta phải giải phương trình (2.1) với nhân dạng (2.9). Khi đó, ta giả sử các hệ ( ) ( ) ( ){ }1 2 nA t ,A t ,...,A t và ( ) ( ) ( ){ }1 2 nB s ,B s ,...,B s là các hệ độc lập tuyến tính trên [ ]a ; b (vì trong trường hợp ngược lại, ta có thể rút gọn bớt số hạng trong tổng ở vế phải của (2.9)). Thay (2.9) vào phương trình (2.1), ta được ( ) ( ) ( ) ( ) b n i i i 1a f t A (t)B s f s ds g t = = λ +∑∫ hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bn i i i 1 a f t A t B s f s ds g t = = λ +∑ ∫ (2.10) Đặt ( ) ( ) b i i a C B s f s ds= ∫ (2.11) thì nghiệm của phương trình đã cho có thể được tìm dưới dạng 22 ( ) ( ) ( )n i i i 1 f t g t C A t = = + λ∑ (2.12) Thay (2.12) vào (2.10), ta có ( ) ( ) ( ) (