Luận văn Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán hình học không gian

CẦN THƠ 04/2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN ----------  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: ThS. Nguyễn Văn Sáng Nguyễn Thành Khoa Lớp: Sư Phạm Toán K34 MSSV: 1080050 Mục lục  PHẦN MỞ ĐẦU.....................................................................................................1  Chương 1: KHÁI NIỆM VỀ TƯ DUY ....................................................................3  1.1 Khái niệm về tư duy.......................................................................................3  1.2 Đặc điểm của tư duy ......................................................................................3  1.2.1 Tính có vấn đề của tư duy .......................................................................3  1.2.2 Tính gián tiếp của tư duy.........................................................................4  1.2.3 Tính khái quát của tư duy........................................................................4  1.2.4 Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ....................................................5  1.2.5 Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính....................................5  1.3. Các giai đoạn và thao tác của tư duy .............................................................5  1.3.1 Các giai đoạn của tư duy.........................................................................5  1.3.2 Các thao tác tư duy..................................................................................8  1.4 Vai trò của tư duy ........................................................................................10  1.5 Tư duy trong học tập toán học......................................................................10  Chương 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN THƯỜNG  DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG...............................................12  2.1. Đường thẳng và mặt phẳng .........................................................................12  2.2 Đường thẳng song song ...............................................................................13  2.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng ........................................................14  2.4 Mặt phẳng song song ...................................................................................14  2.5 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng........................................................15  2.6 Đường vuông góc và đường xiên .................................................................16  2.7 Mặt phẳng vuông góc ..................................................................................18  2.8 Thể tích khối đa diện ...................................................................................20  Chương 3: RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG  QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ............................................21  3.1 Vận dụng từng thao tác tư duy giải toán.......................................................21  3.1.1. Phát triển năng lực phân tích bài toán...................................................21  3.1.2 Phát triển năng lực so sánh....................................................................28  3.1.3. Phát triển khả năng trừu tượng và khái quát .........................................29  3.2 Áp dụng các thao tác tư duy vào bài toán cụ thể...........................................33  Chương 4: MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHỌN LỌC ............40  Chương 5: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ...............................................................64  5.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm .............................................................64  5.1.1 Mục đích thực nghiệm ..........................................................................64  5.1.2 Nội dung thực nghiệm...........................................................................64  5.2 Tường thuật các hoạt động phát triển tư duy cho học sinh thông qua các tiết  dạy thực nghiệm: ...............................................................................................64  5.3 Kết quả các bài kiểm tra thực nghiệm ..........................................................70  5.3.1 Bài kiểm tra 1........................................................................................70  5.3.2 Bài kiểm tra 2........................................................................................70  PHẦN KẾT LUẬN...................................................................................................71   1  PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài   Hình học không gian là một mảng kiến thức rất khó. Với học sinh, khi đứng  trước những khái niệm mới, những dạng Toán hoàn  toàn xa  lạ  các  em không thể  tiếp thu một cách trọn vẹn khiến việc ghi nhớ cũng như làm bài gặp vô vàng những  khó khăn. Còn đối với giáo viên, việc tìm ra cách dạy phù hợp với dạng kiến thức  này cũng là một vấn đề lớn.    Toán học gắn liền với tư duy, việc giải một bài toán hay ghi nhớ những kiến  thức mới không nằm ngoài những thao tác tư duy. Để học tốt được môn Toán, không  cách nào khác là phải nắm vững và vận dụng các thao tác này một cách hợp lý.    Trong đề  thi đại học những năm vừa qua, luôn có mặt một bài  thuộc dạng  toán  hình  không  gian.  Hơn  nữa,  dạng  toán  về  thể  tích  của  khối  đa  diện  thường  xuyên được đưa vào.    Đứng  trước những  lý do  trên,  tôi  quyết  định chọn  đề  tài cho  luận văn  của  mình là “RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”. Thông qua đề tài này tôi  muốn thống kê lại một số phương pháp để giải các dạng toán hình học không gian  cơ bản. Bên cạnh đó luận văn sẽ phân tích một số bài toán theo các thao tác của tư  duy, làm nền cho việc truyền tải kiến thức cho học sinh theo hướng mới. Ngoài ra  tôi  cũng đưa vào  luận văn một  số bài  tập  chọn  lọc  thuộc  chủ đề  thể  tích khối đa  diện. Hy vọng luận văn sẽ là một tài liệu bổ ích cho các giáo viên cũng như học sinh  phổ thông.   2. Những chữ viết tắt sử dụng trong đề tài - SGK: Sách giáo khoa.  - THPT: Trung học phổ thông.  - HHKG : Hình học không gian.  3. Mục đích nghiên cứu   Nghiên cứu nhằm hệ thống kê lại một số phương pháp giải toán hình không  gian cũng như các thao tác tư duy. Từ đó rút ra cách phân tích và giải bài toán hình  học không gian.  4. Nhiệm vụ nghiên cứu   Nhắc lại kiến thức về tư duy, các thao tác của tư duy.   2    Trình bày các phương pháp thường dùng để giải toán hình không gian.    Phân tích tìm cách giải theo các thao tác tư duy và tím ra cách giảng dạy phù  hợp theo hệ thống này.     Hệ thống và giải một số bài tập điển hình chủ đề thể tích khối đa diện.  5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý thuyết: + Nội dung của khái niệm tư duy trong giáo trình lí luận dạy học toán.  + Nội dung những kiến thức liên quan đến hình học không gian lớp 11 và 12.  + Các phương pháp dạy toán hiệu quả.  + Các dạng bài tập có áp dụng thao tác tư duy để giải.  6. Đối tượng nghiên cứu   Hoạt động dạy và học của GV và HS trong nhà trường THPT.  7. Phạm vi nghiên cứu   Sách giáo khoa (hình học 11 và 12 cả cơ bản và nâng cao), sách giáo viên,  các loại sách tham khảo có liên quan.    Các sách về phương pháp và lí luận dạy học môn toán.  8. Cấu trúc về nội dung của luận văn   Luận văn gồm 5 chương:   Chương 1: Khái niệm về tư duy.   Chương 2: Các phương pháp giải toán hình học không gian thường dùng trong  chương trình phổ thông.   Chương 3: Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán  hình học không gian.   Chương 4: Một số bài toán hình học không gian chọn lọc.   Chương 5: Thực nghiệm sư phạm.   3  Chương 1  KHÁI NIỆM VỀ TƯ DUY  1.1 Khái niệm về tư duy   Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những  mối quan hệ và liên hệ có tính quy luật bên trong sự vật, hiện tượng trong thực tại  khách quan mà trước đó ta chưa biết.    Tư duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, là mức độ nhận thức mới về  chất so với cảm giác, tri giác. Hay nói cách khác tư duy là nhận thức lý tính phản  ánh những thuộc  tính bản chất bên  trong, những mối quan hệ  liên hệ có  tính chất  quy luật của sự vật, hiện tượng.    Ví dụ: Khi gặp hình lập phương thì nhận thức cảm tính cho ta biết ngay đó là  hình có dạng hộp có đáy và các mặt xung quanh đều là hình vuông,  đó là nhận  thức dựa vào định nghĩa, tính chất đã học. Còn tư duy sẽ cho ta biết tính chất mặt  chéo của nó, hay thể tích của nó tính thế nào? ... đó là những cái bản chất bên trong  của hình lập phương.    Tuy  rằng  tư  duy  phản  ánh  thuộc  tính  bản  chất  bên  trong  của  sự  vật  hiện  tượng, nhưng tư duy không phải bao giờ cũng đi đến cái đúng mà nó còn phụ thuộc  vào chiến thuật và phương pháp tư duy.  1.2 Đặc điểm của tư duy 1.2.1 Tính có vấn đề của tư duy   Trong thực tế tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Nhưng không  phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều xuất hiện tư duy.    Hoàn cảnh có vấn đề  là những  tình huống mà bằng vốn kiến  thức, phương  pháp cũ không thể giải quyết được mà cần đến những phương pháp tri thức mới để  giải quyết vấn đề, tức là phải tư duy. Nhưng không phải bất cứ hoàn cảnh có vấn đề  nào cũng xuất hiện tư duy ở bản thân. Vậy để kích thích được tư duy thì hoàn cảnh  có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ và có nhu cầu chuyển thành nhiệm  vụ của tư duy để giải quyết vấn đề đó.  Ví dụ: Khi dạy bài “Đường thẳng và mặt phẳng song song” trong chương trình  toán hình học 10 cơ bản, ta hướng dẫn học sinh giải bài sau: “Cho tứ diện ABCD.   4  Lấy M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Gọi     là mặt phẳng đi qua M và  song song với các đường thẳng AB và CD. Xác định  thiết diện  tạo bởi    và  tứ  diện ABCD. Thiết diện đó là hình gì?”  (Ví dụ trang 61 SGK hình học 10 cơ bản)  M H G F E D C B A   Khi gặp bài toán này học sinh sẽ lúng túng. Theo kiến thức đã biết, các em đi  tìm xem có  thể xác định được đường thẳng nào nằm trong     để từ đó  tìm giao  điểm với các cạnh của tứ diện. Nhưng theo giả thuyết bài toán, không thể tìm được  cạnh nào thuộc vào     theo cách thông thường Xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề.    Như vậy học sinh sẽ tìm kiến thức mới để vận dụng giải quyết vấn đề, mà ở  đây là định lý 2 các em vừa học.  1.2.2 Tính gián tiếp của tư duy   Tư duy có khả năng phản ánh gián tiếp thông qua các dấu hiệu, kinh nghiệm,  ngôn ngữ, công cụ,  tính gián tiếp của tư duy giúp con người nhận thức thế giới  khách quan sâu sắc, đầy đủ đồng thời mở rộng khả năng hiểu biết của con người,  của chủ thể tư duy.  Ví dụ: Bằng các phần mềm toán học kết hợp với máy vi tính, ta dễ dàng minh  họa và hướng dẫn cho học sinh: thể  tích của khối đa diện là phần nào?,  thiết diện  tạo thành khi mặt phẳng cắt hình nón là như thế nào?...  1.2.3 Tính khái quát của tư duy   Tức là tư duy có khả năng trừu suất khỏi sự vật hiện tượng những thuộc tính,           những dấu hiệu  cụ  thể,  cá biệt  chỉ giữ  lại những bản  chất  thuộc  tính nhất,  chung  nhiều sự vật hiện tượng cùng loại.   5  Ví dụ: Khi hướng dẫn học sinh giải bài tập về tứ diện đều, ta có thể gợi ý cho  các em tìm hiểu cách tính vừa tìm ra có còn đúng khi áp dụng vào tứ diện bất kỳ  hay không.  1.2.4 Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ   Đặc điểm này nói  lên mối quan hệ giữa nội dung và hình  thức của  tư duy.  Trong đó ngôn ngữ là hình thức biểu đạt cố định của tư duy. Nhờ đó người khác và  chủ thể tư duy tiếp nhận kết quả tư duy một cách dễ dàng. Hay nói cách khác ngôn  ngữ là phương tiện tư duy.  1.2.5 Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính   Trong  học  tập  toán  học  đặc  điểm  này  thể  hiện  để  tìm  hiểu  nội  dung  hay  chứng minh một bài toán trước hết dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu hay giả  thuyết  (thử  hướng này,  hướng  khác)  đi  đến nhận  xét,  kiểm  tra  bằng  những  hoạt  động tư duy đi đến kết quả.  Ví  dụ:  Cho  tứ  diện ABCD. Gọi  M,  N  lần  lượt  là  trung  điểm của  BC  và  BD;  CD a ,  AB 2a . Mặt phẳng     cắt AD, AC lần lượt tại P, Q. Thiết diện của ( )  với tứ diện là hình gì?    Với các dữ liệu của bài toán: M, N là trung điểm của BC & BD.  MN // CD, ( ) qua MN // AB. (Các dữ liệu đều nói đến quan hệ song song)  Ta có thể đoán được rằng thiết diện là hình bình hành.  1.3. Các giai đoạn và thao tác của tư duy 1.3.1 Các giai đoạn của tư duy   Các giai đoạn của tư duy thể hiện bằng sơ đồ sau:   6  * Nhận thức vấn đề:    Tức là xác định vấn đề đòi hỏi họ giải quyết, chính vấn đề được xác định này  quyết định toàn bộ việc cải biến sau đó những dữ kiện ban đầu thành nhiệm vụ và  việc  biểu đạt  vấn đề dưới dạng nhiệm vụ giải  quyết  sau  đó của quá  trình  tư duy,  quyết định chiến lược tư duy. Đây là giai đoạn quan trọng nhất của quá trình tư duy.  * Huy động tri thức và kinh nghiệm    Tùy thuộc vào nhiệm vụ đã xác định ta huy động những tri thức phù hợp.  * Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thiết    Các  tri  thức, kinh nghiệm và các  liên  tưởng còn mang tính  rộng rãi và bao  trùm. Vì thế phải sàng lọc để phù hợp với nhiệm vụ và hình thành giả thiết.  * Kiểm tra giả thiết    Sự đa dạng của các giả thiết không phải là mục đích tự  thân nên phải kiểm  tra  xem các giả  thiết nào  là  tương ứng với các điều kiện và vấn đề đặt  ra.  Chính  bước này có thể xuất hiện nhiệm vụ mới và bắt đầu hoạt động tư duy mới.  * Giải quyết nhiệm vụ    Khi giả thiết đã được kiểm tra và khẳng định thì nó sẽ  thực hiện giải quyết  nhiệm vụ,  tức là đi đến câu  trả  lời cho vấn đề đặt  ra. Quá  trình tư duy giải quyết  nhiệm vụ thường có nhiều khó khăn, do 3 nguyên nhân thường gặp sau:  - Chủ thể không nhận thấy một số dữ kiện cho bài toán.  - Chủ thể dựa vào bài toán điều kiện thừa.  Nhận thức vấn  đề  Xuất hiện các liên tưởng  Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết  Kiểm tra giả thuyết  Chính xác hóa  Hoạt động tư duy mới  Khẳng định  Phủ định  Giải quyết vấn đề   7  - Tình khuôn sáo, cứng nhắc của tư duy.    Trong giải toán, nhận thức vấn đề có thể chỉ đơn giản là xác định giả thuyết  và kết luận.  Xét bài toán: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và BCD là hai tam giác cân, có  chung đáy BC. Chứng minh rằng  BC AD .     D E C B A * Nhận thức vấn đề  * Xuất hiện liên tưởng    Để chứng minh các đường thẳng này vuông góc với nhau, có các cách sau:  - Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng chứa AD.  - Chứng minh BC vuông góc với đường thẳng song song AD.  - Vuông với hai cạnh của tam giác chứa AD.  * Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết    Cách 2 không phù hợp, đối với 2 cách còn  lại, nhận xét rằng  tam giác hay  mặt phẳng chứa AD không  thể  là  (ABD) hay  (ACD) vì BC không thể vuông góc  với AB hay AC   Tìm mặt phẳng hay tam giác khác.    Trong  ABC ta kẻ thêm đường thẳng mà đường thẳng này phải vuông góc  BC, suy ra đường cao AE ( E BC ). Do ABC cân tại A nên E là trung điểm BC.  * Kiểm tra giả thuyết  Với E là trung điểm BCAEBC          Mà tam giác DBC cân tại DE BC              Giả thiết  ABC cân tại A, BCD cân tại D  Kết luận  BC   AD  BC AD (theo cách 3)      8    Với giả thuyết được kiểm tra, bước cuối cùng là ta trình bày lại với lời giải.    Giai đoạn sàng lọc và liên tưởng và hình thành giả thuyết là giai đoạn hoạt  động  tư  duy  tích  cực nhất,  chủ đề  tư  duy  phải  tiến hành,  phân  tích  tổng hợp,  so  sánh, ... còn là các thao tác của tư duy.  1.3.2 Các thao tác tư duy   Xét về bản chất thì tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí  tuệ nhất định để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra.  * Phân tích và tổng hợp    Khi một đối tượng chứa nhiều thành phần, bộ phận trong đó mỗi bộ phận có  một mối quan hệ khác. Để nhận thức được toàn diện bộ phận đó, ta tiến hành nhận  thức riêng từng bộ phận để việc nhận thức được tương đối hoàn thiện hơn, quá trình  đó gọi là phân tích. Tổng hợp là hợp nhất lại kết quả đã nhận thức ở từng bộ phận  thành một chính thể.  Ví dụ: Bài toán cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc  với nhau. Kẽ OH  (ABC), H nằm trên (ABC). (H là trực tâm của tam giác ABC).  Chứng minh:  2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC      H C B A O   Ta đã biết trong tam giác vuông, h là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông, b và c  là hai cạnh góc vuông thì:   2 2 2 1 1 1 h b c       Để  chứng minh đẳng  thức  trên  ta  lần  lược xét  2  tam giác  vuông OAM và  OBC (phân tích thành 2 tam giác).    Xét tam giác vuông OAM ta có:  2 2 2 1 1 1 OH OA OM      (1)   9    Trong tam giác vuông OBC ta có:  2 2 2 1 1 1 OM OB OC    (2)    Tổng hợp hai kết quả từ (1) và (2) ta được:  2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC    .    (đpcm)  * So sánh    So sánh tức là tìm ra những điểm giống nhau và khác nhau, sự đồng nhất hay  không đồng nhất của sự vật hiện tượng.    Xét mối quan hệ giữa song song và vuông góc trong mặt phẳng, không gian.  Trong mặt phẳng  Trong không gian  + Giống nhau:  a / /b c b c a     + Khác nhau:  a b b / /c a c    + Giống nhau:  a / /b c b c a     + Khác nhau:  a b a c    chưa được  b / /c     So sánh góp một phần quan trọng vào hoạt động học tập lĩnh hội tri thức hay  nói cách khác so sánh là cơ sở của mọi sự hiểu biết và tư duy. Vì so sánh giúp cho  ta hiểu biết sâu sát hơn và có hệ thống hơn về sự vật hiện tượng.    Hơn nữa so sánh cũng có quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng hợp. Phân  tích các dấu hiệu, thuộc tính của hai sự vật đối chiếu các dấu hiệu rồi tổng hợp xem  có gì giống nhau và khác nhau.  * Trừu tượng hóa và khái quát hóa    Sức mạnh của trí tuệ được đánh giá ở năng lực trừu tượng hóa, trừu tượng là  gạt bỏ đối tượng những bộ phận, thuộc tính không cần thiết chỉ giữ lại những yếu tố  cần thiết để tư duy.  Ví dụ: Khi nói đến tam diện vuông ta phải liên tưởng ngay đến hình ảnh thực tế  như: góc tường, đỉnh của một hình hộp,     Khái quát hóa trên cơ sở thuộc tính chung giống nhau về bản chất của nhiều  đối tượng mà ta hợp nhất các đối tượng thành một nhóm.  Ví dụ: Sau khi  tìm đoạn vuông góc chung của hai đường  thẳng a, b  trong  các  trường hợp   10  (c)(b)(a) b a a bb a' a ta khái quát lên: Để tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b  ta làm như sau:  1. Xác định mặt phẳng (P) qua b và song song với a.  2. Xác định hình chiếu a’ của a lên (P).  3. Xác định giao điểm M của a’ và b.  4. Xác định đường thẳng d qua M và vuông góc với a.  5. Xác định giao điểm N của a và d.  Khi đó đoạn MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b.    Trừu tượng vá khái quát có mối quan hệ mật thiết với nhau, là hình thức cao  hơn  của  phân  tích  và  tổng  hợp.  Để  phát  triển  năng  lực  trừu  tượng  và  khái  quát,  trước hết cần luyện tập khả năng phân tích và tổng hợp.  1.4 Vai trò của tư duy   Mở rộng giới hạn của nhận thức, tư duy giúp con người khái quát được một  phạm vi rộng lớn của thực tiễn tri thức và nắm được mối quan hệ giữa nhiều lĩnh  vực khác nhau.    Do nắm được quy luật và bản chất vận động tự nhiên, xã hội và con người  mà chủ thể tư duy có thể thấy được những nguyên nhân sâu xa, hay hậu quả của vấn  đề hoặc diễn tiến tương lai.    Khi quan sát  các vì sao, biến  thiên của dãy  số,  chỉ có  thể cho  ta những  nhận thức cảm tính về chúng, dù có do một triệu hình tam giác chỉ có thể nghi ngờ  tổng ba góc trong là 180o. Chỉ có tư duy mới thật sự  làm cho chúng ta có ý nghĩa  rộng lớn trong cuộc sống.  1.5 Tư duy trong học tập toán học    Học tập toán học không nằm ngoài mục đích đó là rèn luyện các thao tác của  tư duy.   11    Tư duy trong toán học có thể chia làm hai cấp độ:  * Tái tạo: Chỉ đến năng lực học toán (ba giai đoạn).  - Khả năng tiếp thu kiến thức.  - Suy luận nhận dạng kiến thức đã học.  - Th