Luận văn Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov dạng Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân và hệ phương trình có xung

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của Luận văn, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy hướng dẫn khoa học của mình: PGS. TS. Đặng Đình Châu - người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt là các bạn trong nhóm Giải Tích lớp Cao học 2008 - 2010 đã động viên giúp đỡ tác giả về tài liệu tham khảo và kỹ thuật biên soạn Latex. Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý tận tình của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng 12 năm 2010 Học viên Ngô Quý Đăng. 1 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân . . . . . . . . . 7 1.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên hằng số Lagrăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4. Khái niệm ổn định của hệ phương trình sai phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân . . . . . . . . . . . 10 1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm . . . . 13 1.2.1. Khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2. Một số định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Phương trình vi phân có xung và ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Khái niệm về hệ phương trình vi phân có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Định nghĩa và ví dụ về hệ phương trình vi phân có xung. . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân có xung . . . . . . 26 2.2. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thường có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1. Các định lý so sánh nghiệm của hệ phương trình vi phân thường . . . . . . 29 2.2.2. Các định lý so sánh nghiệm của phương trình vi phân có xung . . . . . . . . 30 2.2.3. Các định lý về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có xung . 34 2.3. Nghiên cứu tính ổn định bộ phận của nghiệm của phương trình vi phân có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4. Sử dụng phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1. Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm với xung . . . 38 2.4.2. Các định lý kiểu Razumikhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 2.5. Áp dụng cho mô hình quần thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình vi phân có xung được phát hiện từ các ứng dụng: xác định quỹ đạo của vệ tinh, điều khiển máy móc, lấy mẫu dữ liệu, quản lý hệ sinh thái,... Trong thực tế, những quá trình vật lý khác nhau tạo ra những thay đổi đột ngột của trạng thái tại thời điểm nhất định của thời gian giữa khoảng tiến hóa liên tục. Thời gian của những thay đổi này thường không đáng kể so với của toàn quá trình tiến hóa và do đó những thay đổi đột ngột có thể được xấp xỉ tốt về tức thời thay đổi của trạng thái tức là xung. Ví dụ: Mô hình tăng trưởng dân số có thể được mô tả bằng một phương trình vi phân có xung. Các xung mô tả một số yếu tố bất ngờ như nhập cư, di cư, bệnh dịch. Trong ứng dụng thông tin liên lạc, phương trình vi phân có xung sử dụng để mô tả lỗi khi thời gian gây ra lỗi bởi truyền tải và xung được sử dụng để ổn định. Phương trình vi phân có xung thường bao gồm ba yếu tố: Hệ phương trình vi phân; hệ phương trình sai phân; tiêu chí để xác định khi các không gian pha của hệ được thiết lập lại. Do đó nghiệm của của hệ phương trình vi phân có xung thường liên tục từng mảnh, nên gây ra một số khó khăn: Ví dụ: nếu x(t) là liên tục từng mảnh, thì x(t) có thể là hàm không liên tục khắp nơi theo t. Khi đó tính tồn tại, ổn định và bị chặn của nghiệm có thể bị thay đổi do xung. Phương trình vi phân thường có xung xuất hiện không lâu được viết vào năm 1960 bởi A.Myshkis và V.Mill’man (xem [12]). Kể từ đó một số kết quả cổ điển phương trình vi phân thường đã được mở rộng cho phương trình vi phân có xung. Phương trình vi phân trễ có xung ứng dụng rộng rãi nhưng nghiên cứu về phương trình vi phân trễ có xung mới xuất hiện. Bài viết đầu tiên về chủ đề này vào năm 1986 bởi A.Anokhin (xem [4]). Trong những năm gần đây, nghiên cứu tính ổn định nghiệm và ứng dụng của phương trình vi phân có xung được phát triển rất mạnh bởi các ứng dụng thực tế của chúng. Các công cụ nghiên cứu ổn định thường là phương pháp hàm Lyapunov, kỹ thuật Razumikhin. Ổn định là một trong những vấn đề quan trọng của phương trình vi phân trễ có xung, nó có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như mạng thần kinh, các mô hình tăng trưởng dân số, điều khiển máy móc.... Bố cục của luận vặn gồm: Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về: phương trình sai phân, tính ổn định nghiệm của phương trình sai phân (xem [5]), phương trình vi phân hàm, tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm (xem [7],[9]). Chương 2: Trình bày khái niệm về phương trình vi phân có xung, tính tồn tại, duy nhất, tiêu chuẩn so sánh, mối liên hệ gữa hệ phương trình vi phân có xung và phương trình vi phân có xung (xem [6],[10],[11]). Trình bày phương trình vi phân hàm có xung và các định lý ổn định kiểu Razu- mikhin và một số ứng dụng vào giải các bài toán thực tế (xem [13],[14]). 4 Để làm sáng tỏ vấn đề trên công việc của người viết chủ yếu là đọc hiểu khái niệm ổn định nghiệm, phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân. Tiêu chuẩn so sánh nghiệm cho phương trình vi phân thường. Khái niệm tính ổn định nghiệm, phương pháp hàm Lyapunov, các định lý dạng Razumikhin cho phương trình vi phân hàm. Sau đó mở rộng các khái niệm cho đó cho phương trình vi phân có xung và phương trình vi phân hàm có xung. Nghiên cứu vấn đề này người viết đã cố gắng khai thác triệt để, xong thời gian và trình độ còn hạn chế chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận được sự đóng góp của các thầy, cô và các bạn. 5 Bảng ký hiệu N Tập hợp các số nguyên không âm. N(a) Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a (a ∈ N). N(a,b) Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a, nhỏ hơn hoặc bằng b(a,b ∈ N). N¯ Là một trong ba tập N,N(a),N(a,b). R Tập các số thực. R+ Tập hợp các số thực dương. Rn Không gian n chiều. Rn+ Không gian mã mỗi phần tử có n thành phần toạ độ thực dương. limsup n→∞ Giới hạn trên. liminf n→∞ Giới hạn dưới. 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân 1.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình sai phân thuần nhất (xem [5]): u(n+1) = A(n).u(n), n> n0, (1.1) trong đó u(n)= (u1(n),u2(n), ...,um(n))T ∈Rm, A(n)= (ai j(n))mm là ma trận không suy biến. Bài toán Cô-si: Xét hệ phương trình sai phân:{ u(n+1) = A(n).u(n), n> n0, u(n0) = u0. (1.2) Bằng phương pháp truy hồi, bài toán Cô-si luôn có nghiệm và nghiệm được xác định: u(n) = A(n−1)A(n−2)...A(n0 +1)A(n0)u0,n> n0. * Toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến Định nghĩa 1.1.1. Với mỗi s> n0, ký hiệu: W (n,s) = { A(n−1)A(n−2)...A(s+1)A(s), n > s, I n = s. (1.3) Khi đó, họ {W (n,s)}n>s>n0 được gọi là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến A(n). 7 * Ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cô-si) Định nghĩa 1.1.2. Giả sử {W (n,s)}n>s>n0 là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận hàm không suy biến A(n). Khi đó W (n,n0) được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc (hay ma trận Cô-si) của hệ (1.2). Nhận xét 1.1.3. Từ định nghĩa của ma trận Cô-si và họ toán tử tiến hoá ta thấy, với mỗi s> n0 thì W (n,s) =W (n,k).W (k,s),n> k > s. Đặc biệtW (n,n0) =W (n,k).W (k,n0), n> k > n0, khi đó ta có: W (n,k) =W (n,n0).W−1(k,n0),n> k > n0. Nhận xét 1.1.4. Khi A(n) = A là ma trận hằng, ta có: W (n,n0) = An−n0 ,∀n> n0. Nhận xét 1.1.5. Nghiệm u(n) = u(n,n0,u0) của bài toán Cô-si (1.2) có thể viết dưới dạng u(n) = W (n,n0).u0 với mọi n > n0, hoặc u(n) = W (n,s).u(s) với mọi n> s> n0. 1.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên hằng số Lagrăng Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (xem [5]):{ v(n+1) = A(n)v(n)+b(n), n> n0, v(n0) = v0, (1.4) trong đó b(n) ∈ Rm. Định lý 1.1.6. Nghiệm v(n) = v(n,n0,v0) của hệ (1.4) được xác định bởi công thức v(n) =W (n,n0)v0 + n ∑ k=n0+1 W (n,k)b(k−1). (1.5) Chứng minh. Ta tìm nghiệm v(n) của 1.4 dưới dạng v(n) =W (n,n0).C(n) sao cho v(n0) = v0, (1.6) bằng phương pháp biến thiên hằng số. Vì v(n0) =W (n0,n0)C(n0) =C(n0) nênC(n0) = v0. Từ v(n) =W (n,n0)C(n), 8 suy ra v(n+1) =W (n+1,n0)C(n+1). (1.7) Mà v(n+1) = A(n)v(n)+b(n) = A(n)W (n,n0)C(n)+b(n), ta có: v(n+1) =W (n+1,n0)C(n)+b(n). (1.8) Kết hợp (1.7) và (1.8) ta được W (n+1,n0)C(n+1) =W (n+1,n0)C(n)+b(n), suy ra W (n+1,n0)∆C(n) = b(n), hay ∆C(n) =W−1(n+1,n0)b(n). Do đó n−1 ∑ k=no ∆C(k) = n−1 ∑ k=no W−1(k+1,n0)b(k), (1.9) và ta được C(n)−C(n0) = n−1 ∑ k=no W−1(k+1,n0)b(k). (1.10) Thay (1.10) vào (1.6) ta nhận được kết quả (1.5). Hệ quả 1.1.7. Nếu A(n) = A là ma trận hằng thì v(n) = An−no .vo+ n ∑ k=no+1 An−kb(k−1), (1.11) với mọi n > n0. 1.1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến:{ z(n+1) = A(n)z(n)+g(n,z(n)), n> n0, z(n0) = z0, (1.12) trong đó g : N(n0)×Rm→ Rm. Định lý 1.1.8. Nghiệm z(n) = z(n,n0,z0) của(1.12)được cho bởi công thức z(n) =W (n,n0)z0 + n ∑ n0+1 W (n,k)g(k−1,z(k−1)). (1.13) Chứng minh. Từ công thức (1.5) lấy b(n) = g(n, z(n)), ta có (1.13). 9 1.1.4. Khái niệm ổn định của hệ phương trình sai phân Với phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov được sử dụng từ năm 1892, trong khi phương trình sai phân mới sử dụng gần đây (xem [5]). Xét hệ phương trình sai phân: u(k+1) = f (k,u(k), k ∈ N¯, (1.14) trong đó u và f là các vectơ (1×n) với các thành phần ui và fi, 1 6 i 6 n. Giả sử f (k,0) = 0 với mọi k ∈ N(a) vậy hệ (1.14) có nghiệm tầm thường. Định nghĩa 1.1.9. Nghiệm tầm thường của (1.14) được gọi là: (i) Ổn định, nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ (a,ε)> 0 sao cho, với mọi nghiệm u(k) = u(k,a,u0) của (1.14) thỏa mãn ||u0||< δ , thì ||u(k,a,u0)||< ε,∀k ∈ N(a). (ii) Ổn định đều, nếu δ trong (i) không phụ thuộc vào a. (iii) Ổn định tiệm cận, nếu nó ổn định và tồn tại δ = δ (a) > 0 với mọi nghiệm u(k) = u(k,a,u0) của (1.14), thỏa mãn ||u0||< δ thì ||u(k,a,u0)|| → 0 khi k→ ∞. (iv) Ổn định tiệm cận đều, nếu ổn định đều và tồn tại δ > 0 không phụ thuộc vào a và với mọi nghiệm u(k) = u(k,a,u0) của (1.14), thỏa mãn ||u0|| < δ , thì ||u(k,a,u0)|| → 0 khi k→ ∞. (v) Ổn định tiệm cận mũ, nếu tồn tại số λ > 0 và với ε > 0, tồn tại δ = δ (ε) sao cho: với mọi nghiệm u(k) = u(k,a,u0) của (1.14) thỏa mãn ||u(k1)|| < δ với k1 ∈ N(a), thì ||u(k,a,u0)||< ε exp(−λ (k− k1)), với mọi k ∈ N(k1). 1.1.5. Phương pháp hàmLyapunov cho hệ phương trình sai phân Trong phần này, chúng ta sẽ mở rộng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân.(xem [5]) Xét hệ phương trình sai phân (1.14): u(k+1) = f (k,u(k), k ∈ N¯, Giả sử Sρ = {u ∈Rn : ‖u‖6 ρ}, và u(k) = u(k,a,u0) là một nghiệm bất kỳ của (1.14) sao cho ‖u(k)‖< ρ,∀k ∈ N(a). Cho Ω là tập mở trong Rn và chứa gốc tọa độ. Giả sử V(k,u) là hàm liên tục vô hướng xác định trên Ω,V ∈ C[Ω,R] và V (k,0) = 0. Định nghĩa 1.1.10. Hàm φ(r) được gọi là thuộc vào lớp K, nếu và chỉ nếu φ ∈ C([0,ρ),R+),φ(0) = 0, và φ(r) là tăng chặt theo r. Định nghĩa 1.1.11. Hàm vô hướng V(k, u) xác định trên N(a)× Sρ được gọi là xác định dương nếu và chỉ nếu V (k,0) = 0 với mọi k ∈ N(a) và tồn tại một hàm φ(r) ∈ K sao cho φ(r)6V (k,u),‖u‖= r,(k,u) ∈N(a)×Sρ .Và là xác định âm nếu V (k,u)6−φ(r). 10 Định nghĩa 1.1.12. Hàm vô hướng V(k, u) xác định trên N(a)× Sρ được gọi là giảm dần về không (decrescent) nếu và chỉ nếu V (k,0) = 0 với mọi k ∈ N(a) và tồn tại một hàm ϕ(r) ∈ K sao cho V (k,u)6 ϕ(r),‖u‖= r,(k,u) ∈ N(a)×Sρ . Với u(k)= u(k,a,uo) là nghiệm của (1.14) sao cho ‖u(k)‖< ρ với mọi k∈N(a). Khi đó ta có biến phân của hàm V (k,u(k)) là: ∆V (k,u(k)) =V (k+1,u(k+1))−V (k,u(k)) =V (k+1, f (k,u(k)))−V (k,u(k)). Định lý 1.1.13. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (k,u) ∈C[N(a)× Sρ ,R+] sao cho ∆V (k,u(k,a,u0)) 6 0, với nghiệm bất kỳ u(k) = u(k,a,u0) của (1.14) thoả mãn ‖u(k)‖ < ρ thì nghiệm tầm thường u(k,a,0) = 0 của (1.14) là ổn định. Chứng minh. DoV(k,u) là xác định dương, tồn tại một hàm φ ∈K sao cho φ(‖u‖)6 V (k,u) với mọi (k,u) ∈ N(a)×Sρ . Với 0 < ε < ρ cho trước. Vì V(k,u) liên tục và V (k,0) = 0 nên có thể chọn được một số δ = δ (ε)> 0 sao cho ‖u0‖< δ thoả mãn V (k0,u0) < φ(ε). Giả sử nghiệm tầm thường của (1.14) không ổn định thì tồn tại một nghiệm u(k) = u(k,0,u0) của (1.14), sao cho ||u0|| < δ mà ε 6 ‖u(k1)‖ < ρ với k1 ∈ N(a). Tuy nhiên do ∆V (u(k))6 0 khi ‖u(k)‖< ρ , ta có V (u(k1))6V (u0) và do đó φ(ε)6 φ(‖u(k1)‖)6V (u(k1))6V (u0) < φ(ε), dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu ‖u0‖ < δ thì ‖u(k)‖ < ε,∀k ∈ N. Nên nghiệm tầm thường của (1.14) là ổn định. Định lý 1.1.14. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (k,u) ∈C[N(a)× Sρ ,R+] sao cho ∆V (k,u(k,a,u0))6−α(‖u(k,a,u0‖) với α ∈ K, và nghiệm bất kỳ u(k)= u(k,a,u0) của (1.14) thoả mãn ‖u(k)‖< ρ thì nghiệm tầm thường u(k,a,0)= 0 của (1.14) là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (1.14) được thoả mãn, nên nghiệm tầm thường của (1.14) là ổn định. Bằng phản chứng với 0 < ε < ρ cho trước, giả sử tồn tại δ > 0,λ > 0 và một nghiệm u(k) = u(k,a,u0) của (1.14) thoả mãn λ 6 ‖u(k)‖< ε, k ∈ N(a), ‖u0‖< δ . (1.15) Vì ‖u(k)‖> λ > 0,∀k∈N nên tồn tại hằng số d > 0 sao cho α(‖u(k)‖)> d,∀k∈N. Vậy ta có ∆V (k,u(k))6−d < 0, k ∈ N. Điều này kéo theo V (k,u(k)) =V (a,u0)+ k−1 ∑ l=0 ∆V (l,u(l))6V (a,u0)− kd, với k đủ lớn vế phải sẽ âm, mâu thuẫn với V(k,u) xác định dương. Do đó không tồn tại λ thoả mãn (1.15). Hơn nữa V(k,u(k)) xác định dương và là hàm giảm theo k nên 11 lim k→∞ V (k,u(k)) = 0. Do đó lim k→∞ ‖u(k)‖ = 0. Vậy nghiệm tầm thường u(k,a,0) = 0 của (1.14) là ổn định tiệm cận. Định lý 1.1.15. Với giả thiết của định lý (1.1.13) (định lý (1.1.14)) và hàm V(k,u) là hàm giảm dần về không thì nghiệm tầm thường u(k,a,0) = 0 của hệ (1.14) là ổn định đều (tiệm cận đều). Chứng minh. Vì V (k,u) là hàm xác định dương và giảm dần về không, nên tồn tại hàm ϕ,φ ∈ K sao cho φ(‖u‖) 6 V (k,u) 6 ϕ(‖u‖), với mọi (k,u) ∈ N(a)×Sρ . Với mỗi ε,0 0 sao cho ϕ(δ ) < φ(ε). Ta chứng minh nghiệm tầm thường của hệ (1.14) ổn định đều, tức là với k1 ≥ a và ‖u(k1)| < ρ , thì ‖u(k)| k1, thỏa mãn k2 > a và ‖u(k2)| < ρ kéo theo ε 6 ‖u(k2)‖ < ρ. Nhưng ∆V (k,u(k)) 6 0 suy ra V (k,u(k))6V (k1,u(k1))) với mọi k ∈ N(k1), từ đó: φ(ε)6 φ(‖u(k2)‖)6V (k2,u(k2))6V (k1,u(k1)) 6 ϕ(‖u(k1)‖)6 ϕ(δ ) < φ(ε), mâu thuẫn. Vậy ta có điều cần chứng minh. Định lý 1.1.16. Giả sử tồn tại hàm vô hướng V (u) ∈C[N(a)×Sρ ,R], sao cho: (i) |V (k.u)| ≤ ϕ(||u||) với mọi (k,u) ∈ N(a)×Sρ , ở đó ϕ ∈ K. (ii) Với mọi δ > 0 tồn tại u0 với ||u0||6 δ sao cho V (a,u0) < 0. (iii) ∆V (k,u(k,a,u0)) ≤ −φ(‖u(k,a,u0)‖) với φ ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) = u(k,a,u0) của (1.14) thoả mãn ‖u(k‖< ρ . Thì nghiệm tầm thường u(k,a,0) = 0 của (1.14) là không ổn định. Chứng minh. Giả sử nghiệm tầm thường của (1.14) là ổn định. Thì với mọi ε > 0(ε 0 sao cho ||u0||< δ ta có ||u(k)||= ||u(k,a,u0)||< ε với mọi k ∈ N(a). Lấy u0 thỏa mãn ||u0|| < δ và V (a,u0) < 0 từ ||u0|| < δ ta có ||u(k)||< ε , từ điều kiện (i) ta có: |V (k,u(k))| ≤ ϕ(||u(k)||) < ϕ(ε),k ∈ N(a). (1.16) Từ điều kiện (iii) ta thấy rằng V(k,u(k)) là hàm giảm với mọi k ∈ N(a), nên từ V (k,u(k))≤V (a,u0)< 0 ta có |V (k,u(k))| ≥ |V (a,u0)| do đó từ điều kiện (i) chúng ta có ||u(k)|| ≥ ϕ−1(|V (a,u0)|). Từ điều kiện (iii) ta có ∆V (k,u(k))≤−φ(||u(k)||), do đó: V (k,u(k))≤V (a,u0)− k−1 ∑ l=a φ(||u(l)||). Tuy nhiên từ ||u(k)|| ≥ ϕ−1(|V (a,u0)|) ta có: φ(||u(k)||)≥ φ(ϕ−1(|V (a,u0)|)). 12 Như vậy ta có: V (k,u(k))≤V (a,u0)− (k−a)φ(ϕ−1(|V (a,u0)|)). Hay limk→∞V (k,u(k)) =−∞, trái với điều kiện (1.16). Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 1.1.17. Xét hệ phương trình sai phân:{ u1(k+1) = u2(k)− cu1(k)(u21(k)+u22(k)), u2(k+1) = u1(k)+ cu2(k)(u21(k)+u 2 2(k)), (1.17) trong đó c là hằng số. Chọn hàm xác định dươngV (u1,u2)= u21+u 2 2 trênΩ=R2. Khi đó ∆V (u1(k),u2(k))= c2(u21(k) + u 2 2(k)) 3. Do đó nếu c = 0 thì ∆V (u1(k),u2(k)) = 0 nên nghiệm tầm thường của hệ là ổn định. Tuy nhiên nếu c 6= 0 thì nghiệm tầm thường của hệ là không ổn định. 1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm Trong phần này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của phương trình vi phân hàm (xem [7],[9]). Với x ∈ Rn, ký hiệu |x| là chuẩn của x. Với τ > 0 cho trước ký hiệu C là không gian các hàm liên tục trên đoạn [−τ,0] nhận giá trị trong Rn và với ϕ ∈C, ‖ϕ‖= sup −τ≤θ≤0 |ϕ(θ)|, là chuẩn của ϕ trong không gian C. Với H > 0, kí hiệu CH = {ϕ ∈C : ‖ϕ‖ 6 H}. Với bất kỳ hàm x(u) liên tục trên [−τ,A] với A > 0 và với t ∈ [0,A], ký hiệu xt là hạn chế của x(u) trên [t− τ, t], tức là xt là một phần tử của C xác định bởi xt(θ) = x(t+θ),−τ 6 θ 6 0. Xét phương trình vi phân hàm: x˙ = f (t,xt), (1.18) với f (t,ϕ) xác định trên [0,c]×CH . Chúng ta gọi phương trình (1.18) là phương trình vi phân có chậm (RDEs),(DDEs) hoặc phương trình vi phân hàm (FDEs).Dễ thấy (1.18) chứa cả phương trình vi phân thường (ODEs) và phương trình vi phân x˙(t) = f (t,x(t),x(t− τ1(t)), ...,x(t− τp(t)), 13 với 0 6 τ j(t) 6 τ, j = 1,2, ..., p và ta có thể xây dựng như là phương trình tích phân sau: x˙(t) = ∫ 0 −r g(t;θ ;x(t+θ))dθ . Chúng ta gọi phương trình (1.18) là tuyến tính nếu f (t,xt) = L(t,xt)+h(t) trong đó L(t,xt) là tuyến tính đối với xt , tuyến tính thuần nhất nếu h(t) ≡ 0, tuyến tính không thuần nhất nếu h(t) 6≡ 0. Chúng ta gọi (1.18) là autonomous nếu f (t,xt) = g(xt) ở đây g(t) không phụ thuộc vào t, trường hợp còn lại ta gọi là không au- tonomous. Giống như phương trình vi phân thường (ODEs) ta cũng có các kết quả tương tự như sau: Bổ đề 1.2.1. Nếu t0 ∈R,ϕ ∈C cho trước và f (t,ϕ) là hàm liên tục trên Ω, thì việc tìm nghiệm phương trình (1.18) tương đương với việc giải phương trình tích phân{ x(t) = ϕ(0)+ ∫ t t0 f (s,xs)ds, t ≥ t0, xt0 = ϕ. Định lý 1.2.2. (Tồn tại nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R×C, f là hàm liên tục trên Ω. Nếu (t0,ϕ) ∈Ω, thì tồn tại nghiệm của phương trình (1.18) đi qua (t0,ϕ). Chúng ta gọi f (t,φ) là Lipsch