Luận văn Sự hội tụ kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Newmann

Môc lôc Trang Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 - 13 1.1. Kú väng cã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. C¸c ®Æc tr­ng cña kú väng cã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Thêi ®iÓm dõng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2. Sù héi tô hÇu ®Òu trong ®¹i sè von Neumann . . . . . . . . . 14 - 30 2.1. §¹i sè von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. D¹ng kh¸c cña héi tô hÇu ch¾c ch¾n trong ®¹i sè von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Mét d¹ng kh«ng giao ho¸n cña §Þnh lý Egoroff . . . . . . . 27 3. Sù héi tô cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale trong ®¹i sè von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - 62 3.1. Kú väng cã ®iÒu kiÖn trong ®¹i sè von Neumann . . . . . . 31 3.2. Sù héi tô hÇu ®Òu cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tµi liÖu tham kh¶o. HÖ thèng ký hiÖu (Ω,F ,P) Kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ. G σ−®¹i sè con cña F. (Fn, n ∈ N) D·y kh«ng gi¶m c¸c σ - ®¹i sè con cña F. (ξn, n ∈ N) D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn t­¬ng thÝch víi (Fn, n ∈ N). Lp TËp tÊt c¶ c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch cÊp p, 1 6 p 6∞. E(ξ) = ∫ Ω ξ(ω)dP Kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn ξ. EG(ξ) = E(ξ|G) Kú väng cã ®iÒu kiÖn cña ξ biÕt G. τ ∈ T Thêi ®iÓm dõng bÞ chÆn. H Kh«ng gian Hilbert. B(H) TËp tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn trªn H. C∗ C∗ - ®¹i sè. A §¹i sè von Neumann A. A′ Ho¸n tËp cña A. ProjA TËp tÊt c¶ c¸c phÐp chiÕu trùc giao trong A. A∞ = W ∗{An;n > 1} §¹i sè von Neumann sinh bëi (An). φ Tr¹ng th¸i trªn A. Më §Çu Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ thèng kª lµ mét bé phËn cña to¸n häc, nghiªn cøu c¸c hiÖn t­îng ngÉu nhiªn vµ øng dông chóng vµo thùc tÕ. C¸c kh¸i niÖm ®Çu tiªn cña x¸c suÊt do c¸c nhµ to¸n häc tªn tuæi Pierre Fermat (1601 - 1665) vµ Bailes Pascal (1623 - 1662) x©y dùng tõ thÕ kû thø 17 dùa trªn viÖc nghiªn cøu c¸c quy luËt trong trß ch¬i may rñi. Sau gÇn 3 thÕ kû ph¸t triÓn, lý thuyÕt x¸c suÊt ®· ®­îc A.N. Kolmogorov tiªn ®Ò ho¸. Cã thÓ nãi, cuèn s¸ch "C¸c c¬ së cña lý thuyÕt x¸c suÊt" do «ng xuÊt b¶n lÇn ®Çu tiªn b»ng tiÕng §øc, n¨m 1933 ®­îc coi lµ b»ng chøng khai sinh ra x¸c suÊt hiÖn ®¹i. Dùa trªn nÒn t¶ng ®ã, nhiÒu h­íng nghiªn cøu chuyªn s©u cña x¸c suÊt ®· ra ®êi, trong ®ã cã lý thuyÕt vÒ kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale. §Ò tµi luËn v¨n cña t«i: "Sù héi tô cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale trong ®¹i sè von Neumann" lµ mét phÇn nhá thuéc h­íng nghiªn cøu ®ã. §Ó cã thÓ hiÓu vµ n¾m b¾t ®­îc mét sè kÕt qu¶ cña ®Ò tµi, t«i x©y dùng luËn v¨n theo 3 ch­¬ng nh­ sau: Ch­¬ng 1: Kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale. Ch­¬ng 2: Sù héi tô hÇu ®Òu trong ®¹i sè von Neumann. Ch­¬ng 3: Sù héi tô cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale trong ®¹i sè von Neumann. Hai ch­¬ng ®Çu lµ nÒn t¶ng, trong ®ã mét sè ®Æc tr­ng cña kú väng cã ®iÒu kiÖn trong kh«ng gian Lp vµ c¸c d¹ng héi tô trong ®¹i sè von Neumann ®­îc coi lµ quan träng nhÊt. Néi dung chÝnh cña luËn v¨n n»m trong Ch­¬ng 3. ë ®ã, c¸c §Þnh lý 3.2.9 ; 3.2.11 vµ §Þnh lý 3.2.16 vÒ sù héi tô hÇu ®Òu cña kú väng cã ®iÒu kiÖn trong ®¹i sè von 1 Neumann lµ ®¸ng chó ý nhÊt. Hoµn thµnh ®­îc luËn v¨n trªn, tr­íc tiªn t«i muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn PGS.TS Phan ViÕt Th­, ng­êi ®· tËn t×nh h­íng dÉn, chØ b¶o cho t«i trong suèt qu¸ tr×nh t«i thùc hiÖn luËn v¨n. T«i còng muèn ®­îc göi lêi c¶m ¬n ®Õn c¸c thÇy c« thuéc Khoa To¸n - C¬ - Tin häc, Bé m«n X¸c suÊt thèng kª, Phßng §µo t¹o, Phßng Sau ®¹i häc tr­êng §HKHTN - §HQGHN vµ c¸c thÇy bªn ViÖn To¸n häc ®· gi¶ng d¹y, rÌn luyÖn t«i trong suèt thêi gian t«i häc tËp t¹i tr­êng, còng nh­ tÊt c¶ c¸c b¹n líp cao häc khãa 2007 - 2009 ®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi ®Ó t«i hoµn thµnh b¶n luËn v¨n nµy. LuËn v¨n còng lµ mãn quµ nhá cña t«i dµnh kÝnh tÆng bè mÑ, vî con vµ nh÷ng ng­êi th©n trong gia ®×nh ®· dµnh nh÷ng t×nh c¶m yªu th­¬ng nhÊt cho t«i. Cuèi cïng, do kh¶ n¨ng vµ thêi gian cã h¹n nªn luËn v¨n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng sai sãt. V× vËy, t«i rÊt mong nhËn ®­îc sù h­íng dÉn, chØ b¶o cña c¸c thÇy c«, sù hîp t¸c cña c¸c b¹n ®Ó t«i cã thÓ hoµn thiÖn h¬n. Hµ Néi, ngµy 10 th¸ng 12 n¨m 2009. Häc viªn: §inh Thanh TuÊn. 2 Ch­¬ng 1. kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale 1.1 Kú väng cã ®iÒu kiÖn Kú väng cã ®iÒu kiÖn lµ mét c«ng cô c¬ b¶n vµ h÷u hiÖu cña lý thuyÕt x¸c suÊt. V× vËy, trong phÇn nµy t«i xin tr×nh bµy v¾n t¾t c¸c tÝnh chÊt cña to¸n tö kú väng cã ®iÒu kiÖn. Tr­íc hÕt, ta cã ®Þnh nghÜa sau: 1.1.1. §Þnh nghÜa. Cho (Ω,F ,P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ, G lµ σ− ®¹i sè con cña F vµ ξ ∈ L1. Ta gäi biÕn ngÉu nhiªn, ký hiÖu lµ E(ξ|G) hay EG(ξ) lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña ξ víi G ®· cho, nÕu nã tho¶ m·n: i) E(ξ|G) lµ G− ®o ®­îc vµ E(ξ|G) ∈ L1. ii) Víi mäi A ∈ G, ta cã: ∫ A E(ξ|G)dP = ∫ A ξdP. Chó ý: 1) NÕu ξ = 1A, A ∈ F th× P(A|G) := E(1A|G) ®­îc gäi lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè A víi ®iÒu kiÖn σ− ®¹i sè G ®· cho. 2) NÕu η lµ biÕn ngÉu nhiªn ®· cho vµ G = σ(η) lµ σ− ®¹i sè sinh bëi η th× E(ξ|η) := E(ξ|G) ®­îc gäi lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña ξ biÕt η. 1.1.2. VÝ dô. Cho (Ω,F ,P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt, (Bi)i∈K,K ⊂ N lµ mét ph©n ho¹ch nµo ®ã cña Ω, G = σ{(Bi)i∈K} vµ ξ ∈ L1. Khi ®ã: EG(ξ) = ∑ k∈K EBk(ξ)1Bk víi EBk(ξ) = 1 P(Bk) ∫ Bk ξdP, k ∈ K. 3 1.1.3. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña kú väng cã ®iÒu kiÖn . Trong suèt môc nµy ta lu«n gi¶ thiÕt (Ω,F ,P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ cè ®Þnh, c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®Òu kh¶ tÝch vµ G ⊂ F lµ σ− ®¹i sè con nµo ®ã cña F . Khi ®ã, kú väng ®iÒu kiÖn cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. NÕu c lµ h»ng sè th× E(c|G) = c (h.c.c). 2. NÕu ξ > η(h.c.c) th× E(ξ|G) > E(η|G) (h.c.c). 3. NÕu a, b lµ h»ng sè ; ξ, η lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn th×: E(aξ + bη|G) = aE(ξ|G) + bE(η|G) (h.c.c). 4. E(ξ|{φ,Ω}) = E(ξ) (h.c.c). 5. E(ξ|F) = ξ (h.c.c). 6. E ( E(ξ|G)) = E(ξ) (h.c.c). 7. TÝnh t­¬ng thÝch: NÕu G1,G2 lµ c¸c σ− ®¹i sè con cña F vµ G1 ⊂ G2 th×: E ( E(ξ|G2)|G1 ) = E(ξ|G1) = E ( E(ξ|G1)|G2 ) (h.c.c). 8. TÝnh kh«ng gi·n:∣∣E(ξ|G)∣∣ 6 E(|ξ|∣∣G) (h.c.c) vµ ∣∣∣∣E(ξ|G)∣∣∣∣ 1 6 ||ξ||1. 9. NÕu ξ vµ G ®éc lËp th× E(ξ|G) = E(ξ) (h.c.c). 10. NÕu η lµ G− ®o ®­îc, E(|η|) <∞ vµ E(|ξη|) <∞ th×: E(ξη|G) = ηE(ξ|G) (h.c.c). §èi víi kú väng cã ®iÒu kiÖn, ngoµi nh÷ng tÝnh chÊt trªn cßn cã mét sè tÝnh chÊt quan träng sau ®©y: Nhãm tÝnh chÊt chuyÓn qua giíi h¹n: 11. §Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu Levy: a) NÕu ξn ↑ ξ (h.c.c) vµ tån t¹i n ∈ N sao cho E(ξ−n ) <∞ th×: E(ξn|G) ↑ E(ξ|G) (h.c.c). b) NÕu ξn ↓ ξ (h.c.c) vµ tån t¹i n ∈ N sao cho E(ξ+n ) <∞ th×: E(ξn|G) ↓ E(ξ|G) (h.c.c). 12. Bæ ®Ò Fatou: Gi¶ sö η lµ biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch, khi ®ã: 4 a) NÕu ξn 6 η (h.c.c) th× E(lim ξn|G) 6 limE(ξn|G) (h.c.c). b) NÕu ξn > η (h.c.c) th× E(lim ξn|G) > limE(ξn|G) (h.c.c). 13. §Þnh lý bÞ chÆn Lebesgue: Gi¶ sö η kh¶ tÝch, |ξn| 6 η (h.c.c) vµ ξn h.c.c−−→ ξ, n ∈ N. Khi ®ã: E(lim n ξn|G) = lim n E(ξn|G) (h.c.c). 14. BÊt ®¼ng thøc Jensen: Gi¶ sö ϕ : I → R lµ hµm låi d­íi, I ⊂ R vµ ξ lµ biÕn ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trong I. Khi ®ã, nÕu ξ vµ ϕ(ξ) kh¶ tÝch th×: ϕ ( E(ξ|G)) 6 E(ϕ(ξ)|G). V× khu«n khæ cã h¹n cña luËn v¨n, còng nh­ c¸c chøng minh chi tiÕt cã thÓ t×m ®­îc trong [1] , [9] nªn t«i xin phÐp ®­îc bá qua c¸c gi¶i thÝch cô thÓ mµ b­íc ngay sang phÇn quan träng sau. 1.2 C¸c ®Æc tr­ng cña kú väng cã ®iÒu kiÖn Tr­íc tiªn, ta sÏ nghiªn cøu nã trªn kh«ng gian L2. Trong kh«ng gian L2, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa mét tÝch v« h­íng nh­ sau: = ∫ Ω ξ.ηdP = E(ξ.η) ξ, η ∈ L2 Râ rµng, tÝch v« h­íng nµy x¸c ®Þnh trªn L2 chuÈn ||.||2 ®· cã: ||ξ||2 = ( ) 1 2 = (∫ Ω |ξ|2dP ) 1 2 . V× ( L2, ||.||2 ) lµ kh«ng gian Banach nªn ( L2, ) lµ kh«ng gian Hilbert. Tõ kÕt qu¶ thuéc vÒ gi¶i tÝch hµm ta thu ®­îc kh¼ng ®Þnh sau ®©y: 1.2.1. §Þnh lý. NÕu M lµ mét kh«ng gian vÐc t¬ con ®ãng cña kh«ng gian Hilbert L2 th× mçi phÇn tö ξ cña L2 ®­îc biÓu diÔn duy nhÊt d­íi d¹ng : ξ = η+ζ, trong ®ã η ∈ M ; ζ ∈ M⊥ víi M⊥ = {H ∈ L2 := 0,M ∈ M}. 5 Tõ nay vÒ sau, ta gäi η lµ h×nh chiÕu trùc giao cña ξ trªn kh«ng gian M. 1.2.2. Bæ ®Ò. Kú väng ®iÒu kiÖn EG(.), h¹n chÕ trªn L2 lµ phÐp chiÕu vu«ng gãc tõ kh«ng gian Hilbert L2 xuèng kh«ng gian vÐc t¬ con ®ãng L2(G) cña nã, trong ®ã: L2(G) = { ξ ∈ L2 : ξ lµ G- ®o ®­îc } . Chøng minh. DÔ thÊy, L2(G) lµ kh«ng gian vect¬ con ®ãng cña kh«ng gian L2. Khi ®ã, nÕu ξ ∈ L2 th× theo §Þnh lý trªn ta cã ξ = η + ζ, η ∈ L2(G) vµ ζ ∈ L⊥2 (G). Víi B ∈ G ta thÊy 1B ∈ L2(G) nªn:∫ Ω 1BζdP == 0, hay ∫ B ζdP = 0, suy ra ∫ B ξdP = ∫ B (η + ζ)dP = ∫ B ηdP, B ∈ G. Do ®ã, theo ®Þnh nghÜa cña E(.|G) ta cã : η = E(ξ|G). VËy EG(.) thu hÑp trªn L2 lµ phÐp chiÕu trùc giao tõ kh«ng gian L2 lªn kh«ng gian L2(G), nghÜa lµ, nÕu ξ ∈ L2 vµ η ∈ L2(G) th×: E(ξ|G) ∈ L2(G), vµ: ∫ Ω EG(ξ)ηdP = ∫ Ω ξηdP. 1.2.3. §Þnh lý. §Ó to¸n tö tuyÕn tÝnh T : L2 → L2 lµ to¸n tö kú väng ®iÒu kiÖn, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ: T lµ phÐp chiÕu trùc giao, kh«ng ©m vµ bÊt biÕn ®èi víi hµm h»ng. 6 Chøng minh. (⇒) Cho T : L2 → L2 lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö nã còng lµ kú väng ®iÒu kiÖn E(.|G) víi G lµ σ− ®¹i sè con cña F. Lóc ®ã, theo Bæ ®Ò 1.2.2 th× T ph¶i lµ phÐp chiÕu trùc giao tõ L2 lªn L2(G), h¬n n÷a theo TÝnh chÊt 1.1.3 th× T ph¶i lµ to¸n tö kh«ng ©m vµ b¶o toµn h»ng sè. (⇐) §Ó chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ cña ®Þnh lý, ta ®Æt: M = {ξ ∈ L2 : Tξ = ξ}. Tõ nh÷ng gi¶ thiÕt vÒ T , dÔ dµng kiÓm tra ®­îc r»ng M tháa m·n c¸c gi¶ thiÕt cña HÖ qu¶ I.1.2- [6], tøc lµ, tån t¹i σ− ®¹i sè con G cña F sao cho M = L2(G). VËy T cã hai tÝnh chÊt c¬ b¶n: 1) T (ξ) ∈ L2(G), ξ ∈ L2. 2) ∫ Ω T (ξ)ηdP = ∫ Ω ξηdP, víi ξ ∈ L2, η ∈ L2(G). §Æc biÖt víi η = 1A, A ∈ G th× 1A ∈ L2(G), nªn tõ ®¼ng thøc trªn, ta cã:∫ A T (ξ)dP = ∫ Ω T (ξ)1AdP = ∫ Ω ξ1AdP = ∫ A ξdP, vµ nh­ vËy th× T (ξ) = E(ξ|G). §Þnh lý ®­îc chøng minh. Sau ®©y, ta sÏ nghiªn cøu kú väng cã ®iÒu kiÖn trªn kh«ng gian Lp 1.2.4. §Þnh lý. Cho tr­íc mét sè p > 1. Khi ®ã to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc T tõ Lp vµo Lp lµ to¸n tö kú väng cã ®iÒu kiÖn (tøc lµ T = E(.|G)) víi G lµ σ− ®¹i sè con nµo ®ã cña F khi vµ chØ khi T tho¶ m·n hai tÝnh chÊt sau: i) ∫ Ω TξdP = ∫ Ω ξdP, ξ ∈ Lp. 7 ii) T (ξ.Tη) = Tξ.Tη víi ξ ∈ Lp, η ∈ L∞. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn suy ngay ra tõ ®Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt kú väng cã ®iÒu kiÖn. §Ó chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ ta tiÕn hµnh theo hai b­íc sau: B­íc 1: Ta chøng minh T (L∞) ⊂ L∞. ThËt vËy, víi ξ ∈ L∞, ta lËp d·y (ξn, n ∈ N) trong Lp nh­ sau: ξ1 = ξ; ξn+1 = ξ.T (ξn) víi n > 1. Râ rµng ξn ∈ Lp. Víi n > 1 th× theo (ii) ta cã: Tξn+1 = T (ξ.T (ξn)) = Tξ.T (ξn). L¹i tiÕp tôc biÓu diÔn ξn nh­ vËy, cuèi cïng ta sÏ ®­îc Tξn = (Tξ)n. V× (Tξ)n ∈ Lp víi mäi n, nªn suy ra Tξ ∈ Ls víi mäi s <∞. H¬n n÷a, do Tξn+1 = T (ξ.T ξn) vµ T liªn tôc nªn:∥∥∥Tξn+1∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ.T ξn∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ . ∥∥∥Tξn∥∥∥ p . V×: ∥∥∥Tξ∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ , nªn: ∥∥∥(Tξ)n∥∥∥ p = ∥∥∥Tξn∥∥∥ p 6 (∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ )n . Nh­ng: ∥∥∥(Tξ)n∥∥∥ p = ∥∥∥Tξ∥∥∥n np nªn ∥∥∥Tξ∥∥∥n np 6 (∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ )n , suy ra: ∥∥∥Tξ∥∥∥ np 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ , víi n > 1. V× ta cã Tξ ∈ ⋂ s<∞ Ls vµ hä chuÈn ∥∥∥Tξ∥∥∥ s s→∞−−−→ ∥∥∥Tξ∥∥∞, suy ra, nÕu ξ ∈ L∞ 8 th× Tξ ∈ L∞ vµ ∥∥∥Tξ∥∥∥ ∞ 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ . VËy ta ®· chøng minh ®­îc T (L∞) ⊂ L∞. B­íc 2: XÐt ®¹i sè Λ = { ζ : ζ ∈ L∞, T (ξζ) = T (ξ).ζ ∀ξ ∈ Lp } , theo MÖnh ®Ò I.1.5 - [6] th× Λ lµ ®¹i sè con cña L∞ chøa gi¸ trÞ h»ng, suy ra Λ trong Lp sÏ cã d¹ng Lp(G) víi G lµ σ− ®¹i sè con ®Çy ®ñ nµo ®ã cña F . Lóc ®ã, nÕu ζ ∈ Lp(G) th× tån t¹i d·y con (ζn, n ∈ N) cña Λ héi tô trong Lp ®Õn ζ. V× T lµ to¸n tö liªn tôc tõ Lp vµo Lp nªn ta cã: T (ξ)ζn Lp−→ T (ξ)ζ, n ∈ N, ξ ∈ Lp, T (ξζn) Lp−→ T (ξζ), n ∈ N, ξ ∈ Lp Nh­ng v× tõng ζn ∈ Λ, nªn ta còng cã: T (ξ)ζn = T (ξζn), n ∈ N. §iÒu nµy cho ta: T (ξ)ζ = T (ξζ), ξ ∈ Lp, ζ ∈ Lp. Do ®ã theo (i) th×:∫ Ω ξζdP = ∫ Ω T (ξζ) = ∫ Ω T (ξ)ζdP. VËy víi mäi A ∈ G cè ®Þnh, lÊy ζ = 1A ta nhËn ®­îc∫ A ξdP = ∫ A T (ξ)dP. Cuèi cïng ®Ó chøng minh T lµ to¸n tö kú väng cã ®iÒu kiÖn E(.|G) ta chØ cÇn ph¶i chøng minh r»ng T (ξ) ∈ Lp(G), ξ ∈ Lp. ThËt vËy, theo b­íc 1 vµ (ii) ta cã : T (η) ∈ Λ ⊂ Lp(G), η ∈ L∞. MÆt kh¸c nÕu ξ ∈ Lp th× lu«n tån t¹i d·y biÕn ngÉu nhiªn ®¬n gi¶n (ηn, n ∈ N) cña L∞ sao cho ηn Lp−→ ξ. Kh¼ng ®Þnh nµy cïng víi tÝnh liªn tôc cña T trong Lp kÐo theo T (ηn) Lp−→ T (ξ), n ∈ N. L­u ý r»ng T (ηn) ∈ Λ nªn T (ξ) ∈ Λ = Lp(G). §Þnh lý ®­îc chøng minh. 9 1.3 Thêi ®iÓm dõng Ngoµi kú väng cã ®iÒu kiÖn, thêi ®iÓm dõng còng ®­îc xem nh­ lµ mét c«ng cô m¹nh kh¸c ®Ó nghiªn cøu martingale. C«ng cô nµy ®­îc hiÓu mét c¸ch ®¬n gi¶n nh­ sau: Gi¶ sö (ξn, n ∈ N) lµ d·y thu nhËp cña mét ng­êi ch¬i nµo ®ã trong trß ch¬i ngÉu nhiªn hai ng­êi vµ Fn lµ σ− ®¹i sè c¸c "th«ng tin" mµ ng­êi ch¬i biÕt ®­îc cho tíi v¸n thø n, n ∈ N. Râ rµng (Fn, n ∈ N) lµ d·y t¨ng vµ (ξn, n ∈ N) lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn t­¬ng thÝch víi (Fn, n ∈ N), nghÜa lµ tõng ξn lµ Fn - ®o ®­îc. Dùa vµo d·y (Fn, n ∈ N), ng­êi ch¬i ®­a ra mét chiÕn l­îc hoÆc ch¬i tiÕp hoÆc dõng l¹i. Thêi ®iÓm dõng ®­îc ®Þnh nghÜa d­íi ®©y chÝnh lµ m« h×nh ngÉu nhiªn cña c¸c chiÕn l­îc nãi trªn. 1.3.1. §Þnh nghÜa. BiÕn ngÉu nhiªn τ : Ω → N gäi lµ thêi ®iÓm dõng ®èi víi hä kh«ng gi¶m c¸c σ− ®¹i sè con (Fn, n ∈ N) cña F, nÕu: {ω : τ (ω) = n} = {τ = n} ∈ Fn, n ∈ N. H¬n n÷a, nÕu tån t¹i k ∈ N sao cho P(τ < k) = 1 th× τ gäi lµ thêi ®iÓm dõng bÞ chÆn. §Ó cho tiÖn, tõ nay vÒ sau ta ký hiÖu tËp tÊt c¶ c¸c thêi ®iÓm dõng bÞ chÆn lµ T. H¬n thÕ, ta ®Þnh nghÜa thø tù: τ 6 σ nÕu vµ chØ nÕu τ 6 σ(h.c.c). Lóc ®ã, (T,6) lµ mét tËp ®Þnh h­íng vµ N cã thÓ coi lµ tËp con cña T. 1.3.2. NhËn xÐt. 10 i) Víi τ ∈ T, ta ®Þnh nghÜa Fτ = { A ∈ F : A ∩ {τ = n} ∈ Fn, n ∈ N } . Lóc ®ã Fτ lµ σ− ®¹i sè, h¬n thÕ, nÕu τ, σ ∈ T tho¶ m·n σ 6 τ (h.c.c) th× Fσ ⊂ Fτ . ii) E(ξ|Fτ ) = ∑ n∈N E(ξ|Fn) víi ξ ∈ L1, τ ∈ T. 1.4 Martingale 1.4.1. §Þnh nghÜa (d·y t­¬ng thÝch). D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn (ξn, n ∈ N) ®­îc gäi lµ t­¬ng thÝch (thÝch nghi) víi hä c¸c σ− ®¹i sè F1 ⊂ F2 ⊂ .... ⊂ Fn ⊂ F, nÕu ξn lµ Fn - ®o ®­îc víi mäi n ∈ N, tøc lµ: ξn ∈ L0(Fn) víi mäi n ∈ N. Tõ ®©y trë ®i, nÕu ta kh«ng gi¶ thiÕt g× thªm th× (Fn, n ∈ N) lu«n ®­îc hiÓu lµ mét d·y kh«ng gi¶m c¸c σ - ®¹i sè con ®Çy ®ñ cña F ,Fn ↑ F vµ (ξn, n ∈ N) lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch, t­¬ng thÝch víi (Fn, n ∈ N). Tõ gi¶ thiÕt nµy vµ NhËn xÐt 1.3.2, ta thÊy mçi d·y (ξn, n ∈ N) c¶m sinh ra mét d·y (suy réng) c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch (ξτ , τ ∈ T) t­¬ng thÝch víi d·y kh«ng gi¶m c¸c σ - ®¹i sè con (Fτ , τ ∈ T) cña F, nghÜa lµ, tõng ξτ lµ Fτ - ®o ®­îc. Ta cã ®Þnh nghÜa sau: 1.4.2. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (Ω,F ,P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt. Khi ®ã, d·y (ξn, n ∈ N) ®­îc gäi lµ: a) martingale, nÕu: Víi mäi m 6 n th× E(ξn|Fm) = ξm. P − h.c.c b) martingale trªn, nÕu: Víi mäi m 6 n th× E(ξn|Fm) 6 ξm P− h.c.c. c) martingale d­íi, nÕu: Víi mäi m 6 n th× E(ξn|Fm) > ξm P− h.c.c. 11 KÕt qu¶ sau ®©y rÊt gi¶n ®¬n nh­ng cùc kú quan träng: 1.4.3. MÖnh ®Ò. Ta cã c¸c kh¼ng ®Þnh d­íi ®©y: α) D·y (ξn, n ∈ N) lµ martingale trªn khi vµ chØ khi d·y c¸c sè ( E(ξτ ), τ ∈ T ) lµ d·y kh«ng t¨ng. β) D·y (ξn, n ∈ N) lµ martingale d­íi khi vµ chØ khi d·y c¸c sè ( E(ξτ ), τ ∈ T ) lµ d·y kh«ng gi¶m. γ) D·y (ξn, n ∈ N) lµ martingale khi vµ chØ khi tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña d·y ( E(ξτ ), τ ∈ T ) ®Òu b»ng mét h»ng sè cè ®Þnh (nµo ®ã). 1.4.4. VÝ dô. (1). Gi¶ sö ξ lµ biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch. Khi ®ã d·y ( ξn = E(ξ|Fn), n ∈ N ) lµ martingale vµ ta sÏ gäi lµ martingale chÝnh quy. ThËt vËy: i) (ξn, n ∈ N) lµ d·y t­¬ng thÝch v× E(ξ|Fn) lµ hiÓn nhiªn ®o ®­îc ®èi víi Fn kÐo theo ξn lµ ®o ®­îc ®èi víi Fn. ii) Do ξ kh¶ tÝch nªn: E (|ξn|) = E(|E(ξ|Fn)|)6 E((|ξ|) | Fn)= E(|ξ|) <∞ iii) ξn−1 = E(ξ|Fn−1) = E ( (ξ|Fn) | Fn−1 ) = E(ξn|Fm). (2). Gi¶ sö (ηn, n ∈ N) lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch, ®éc lËp víi E(ηn) = 0, n ∈ N. Khi ®ã, d·y tæng riªng: S = η0 + η1 + ....+ ηn, lµ martingale ®èi víi (Fn = σ(η0, η1, ..., ηn), n ∈ N). 12 (3). Gi¶ sö (ζn, n ∈ N) lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch, ®éc lËp víi E(ζn) = 1, n ∈ N. Khi ®ã, d·y: S = n∏ k=0 ζk, lµ martingale ®èi víi (Fn = σ(ζ0, ζ1, ..., ζn), n ∈ N). Do khu«n khæ cã h¹n cña luËn v¨n, nhiÒu tÝnh chÊt vµ ®Æc tr­ng kh¸c cña to¸n tö kú väng cã ®iÒu kiÖn còng nh­ martingale ch­a ®­îc nh¾c ®Õn. Nh÷ng ai quan t©m cã thÓ t×m ®äc thªm trong [1] , [6] , [9] . . . . . . 13 Ch­¬ng 2. Sù héi tô hÇu ®Òu trong ®¹i sè von Neumann 2.1 §¹i sè von Neumann Trong phÇn nµy t«i tr×nh bµy mét sè vÊn ®Ò liªn quan ®Õn ®¹i sè von Neumann. Tr­íc hÕt ta nh¾c l¹i mét sè ®Þnh nghÜa c¬ b¶n sau: 2.1.1. §Þnh nghÜa. Mét kh«ng gian vect¬ thùc X ®­îc gäi lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert (hay kh«ng gian Unita), nÕu trong ®ã cã x¸c ®Þnh mét hµm hai biÕn (x, y), gäi lµ tÝch v« h­íng cña hai vect¬ x, y tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau ®©y: i) (x, y) = (y, x) ii) (x+ y, z) = (x, z) + (y, z) iii) (αx, y) = α(x, y), víi mäi α thùc iv) (x, x) = ‖x‖2 V× mét kh«ng gian tiÒn Hilbert lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn, nªn mäi kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®Òu cã thÓ ¸p dông cho nã. Nãi riªng, mét kh«ng gian tiÒn Hilbert cã thÓ ®ñ hoÆc kh«ng ®ñ. Mét kh«ng gian tiÒn Hilbert ®ñ gäi lµ kh«ng gian Hilbert. 2.1.2. §Þnh nghÜa. Mét ®¹i sè A ®­îc gäi lµ mét ®¹i sè Banach nÕu nã tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y: i) A lµ kh«ng gian Banach; ii) Cã mét tÝch: A×A→ A sao cho, víi mäi x, y, z ∈ A;λ ∈ C, ta cã: (xy)z = x(yz), (x+ y)z = xz + yz, 14 x(y + z) = xy + xz, λ(xy) = (λx)y = x(λy) H¬n n÷a, cã mét phÇn tö ®¬n vÞ e : ex = xe = x,∀x ∈ A; iii) ‖e‖ = 1; iv) ‖xy‖ 6 ‖x‖‖y‖, víi mäi x, y ∈ A. 2.1.3. §Þnh nghÜa. i) Mét ®¹i sè A ®­îc gäi lµ mét ∗ - ®¹i sè nÕu A lµ mét ®¹i sè phøc cïng víi phÐp tuyÕn tÝnh liªn hîp ∗ mµ nã lµ mét ph¶n ®¼ng cÊu, nghÜa lµ, víi mäi x, y ∈ A vµ λ ∈ C, ta cã: (x+ y)∗ = x∗ + y∗, (λx)∗ = λx∗, x∗∗ = x vµ (xy)∗ = y∗x∗. ii) Mét chuÈn trªn ∗ - ®¹i sè A tháa m·n: ‖x∗x‖ = ‖x‖2, víi mäi x ∈ A, gäi lµ mét C∗- chuÈn. NÕu víi chuÈn nµy, A ®Çy ®ñ th× A ®­îc gäi lµ mét C∗ - ®¹i sè. 2.1.4. T«p« låi ®Þa ph­¬ng trªn B(H). Cho H lµ kh«ng gian Hilbert. Ký hiÖu B(H) lµ C∗− ®¹i sè tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn trªn H. Khi ®ã: i) Mét t«p« låi ®Þa ph­¬ng trong B(H) ®­îc cho bëi chuÈn to¸n tö: ‖x‖ = ‖x‖∞ = sup h∈H ‖h‖61 ‖xh‖. ii) Mét t«p« m¹nh trªn B(H) lµ mét kh«ng gian t«p« låi ®Þa ph­¬ng liªn kÕt víi hä nöa chuÈn x 7→ ‖x(h)‖, víi x ∈ B(H) vµ h ∈ H. Nãi c¸ch kh¸c, d·y {xλ} héi tô m¹nh ®Õn x khi vµ chØ khi {xλ(h)} héi tô ®Õn x(h), víi mäi h ∈ H. iii) Mét t«p« σ−m¹nh (hay siªu m¹nh) trªn B(H) ®­îc cho bëi nöa chuÈn: x 7→ ( ∞∑ i=1 ‖xhi‖2)1/2, 15 víi {hi} lµ d·y c¸c phÇn tö bÊt kú trong H, sao cho: ∑∞ i=1 ‖xhi‖2 <∞. iv) Mét t«p« yÕu trªn B(H) lµ mét kh«ng gian t«p« låi ®Þa ph­¬ng liªn kÕt víi nöa chuÈn x 7→ |(x(h), g)|, víi x ∈ B(H) vµ h, g ∈ H. Nãi c¸ch kh¸c, d·y {xλ} héi tô yÕu ®Õn x ∈ B(H) khi vµ chØ khi ( (xλ − x)(h), g ) → 0 víi mäi h, g ∈ H. v) Mét t«p« σ−yÕu (hay siªu yÕu) trªn B(H) ®­îc x¸c ®Þnh bëi nöa chuÈn: x 7→ | ∞∑ i=1 (xhi, gi)|, víi ∑∞ i=1 ‖hi‖2 <∞, vµ ∑∞ i=1 ‖gi‖2 <∞. 2.1.5. §Þnh nghÜa. Víi mçi tËp con A ⊂ B(H), ta ký hiÖu A′ lµ ho¸n tËp cña A, tøclµ: A′ = {y ∈ B(H) : xy = yx,∀x ∈ A}. DÔ dµng chØ ra ®­îc A′ lµ ®ãng yÕu. NÕu A′ lµ tù liªn hîp th× A′ lµ mét C∗− ®¹i sè. Tõ nay vÒ sau ta sÏ ký hiÖu A′′ thay cho (A′)′ 2.1.6. §Þnh nghÜa. Mét C∗− ®¹i sè con ®ãng yÕu A ⊂ B(H) ®­îc gäi lµ mét ®¹i sè von Neumann. Nãi c¸ch kh¸c