Luận văn Thác triển dấu hiệu hội tụ trong nhóm tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHÓM TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHÓM TÔPÔ Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Hà Thanh. Nội dung của luận văn có sự tham khảo, trình bày lại và phát triển các khái niệm, định lý trong bài báo [10] Lin, Shou, Fucai Lin, and Li-Hong Xie (2015), “The extensions of some convergence phenomena in topological groups”, Topology and its Applications, 180, pp.167- 180. Những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. Học viên thực hiện luận văn Dư Ngọc Minh Anh LỜI CÁM ƠN Để hoàn thành luận văn này em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ về chuyên môn từ các Giảng viên trong khoa Toán, các giáo viên đồng nghiệp và các bạn trong lớp Hình học và tôpô khóa 26 cùng các anh chị khóa trên. Đầu tiên em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Hà Thanh - Người hướng dẫn khoa học, trường Đại học Sư phạm Tp.HCM. Thầy đã nhiệt tình hướng dẫn em trong nghiên cứu về chuyên môn, truyền đạt kiến thức lẫn động viên tinh thần, nhiệt tình giúp em chỉnh sửa luận văn để có một luận văn tốt nhất. Em xin gửi lời cám ơn đến các Thầy, Cô đang công tác tại phòng Đào tạo Sau Đại học đã quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn các thủ tục để em có thể hoàn thành luận văn đúng yêu cầu và đúng tiến độ. Em xin chân thành cảm ơn các Giảng viên đang công tác tại khoa Toán đã giảng dạy em trong suốt quá trình học tập tại lớp cao học này. Em xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Thanh Đa và các giáo viên đồng nghiệp đã quan tâm động viên giúp đỡ để em có thời gian nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện để em yên tâm nghiên cứu. Em xin cảm ơn chị Phan Ngọc Yến và chị Nguyễn Phương Anh (email phanngocyen.dhsp@gmail.com và nguyenphuonganhintel@gmail.com) đã giúp đỡ em trong quá trình tìm tài liệu cũng như chia sẻ kinh nghiệm trong quá trình làm luận văn. Cảm ơn các bạn Hoàng Dũng, Hương và anh Xuân Trung trong lớp cao học Hình học và tôpô khóa 26 đã cùng nhau học tập, nghiên cứu, hỗ trợ, giúp đỡ lẫn nhau, để hoàn thành khóa học này. Xin chân thành cảm ơn. Dư Ngọc Minh Anh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 4 1.1. Một số định nghĩa và tính chất trong không gian tôpô .............................. 4 1.2. Các tiên đề tách .......................................................................................... 9 1.3. Dãy và hội tụ trong tôpô ........................................................................... 10 1.4. ∑ −không gian .......................................................................................... 11 1.5. Compact .................................................................................................... 12 1.6. Nhóm tôpô ................................................................................................ 15 1.7. Không gian khả mêtric ............................................................................. 16 Chương 2. TÍNH CHẤT BA KHÔNG GIAN ĐỐI VỚI CÁC TẬP COMPACT DÃY .......................................................................... 18 2.1. Không gian dãy. Không gian Fréchet ..................................................... 18 2.2. Tính chất thớ nghịch đảo. Tính chất ba không gian đối với các tập compact dãy ............................................................................................ 25 Chương 3. NHÓM THƯƠNG ĐỐI VỚI NHÓM CON THỎA TIÊN ĐỀ ĐẾM ĐƯỢC THỨ HAI VÀ NHÓM CON COMPACT ĐỊA PHƯƠNG KHẢ MÊTRIC ................................................... 35 3.1. Lưới trong không gian tôpô và 0 không gian ..................................... 35 3.2. Sự thác triển các tính chất trong nhóm con thỏa tiên đề đếm được thứ hai ...................................................................................................... 37 3.3. Nhóm thương đối với nhóm con khả mêtric compact địa phương. ........ 43 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 50 1 MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu đề tài Trong tôpô đại cương, không gian thương cùng các tính chất của nó là đối tượng thu hút nhiều nhà toán học quan tâm, tìm hiểu. Bài toán sau đây là chủ đề của sự nghiên cứu chuyên sâu và tỉ mỉ của các nhà toán học trong một thời gian dài. Cho H là một nhóm con đóng của nhóm tôpô G , và GH/ là không gian thương. Giả thiết rằng cả H và GH/ đều thoả một tính chất nào đó của không gian tôpô. Khi nào chúng ta có thể kết luận rằng G cũng có tính chất đó? Nhóm G được gọi là thác triển của nhóm H bởi không gian thương GH/. Năm 1949, Jean-Pierre Serre - một nhà toán học Pháp - đã chứng minh được rằng nếu H là một tập con đóng của nhóm tôpô G , và cả hai không gian H và GH/ đều là compact địa phương, thì nhóm tôpô G là compact địa phương. Kết quả này dựa trên sự thác triển các tính chất từ GH/ lên G , từ đó mở ra một hướng nghiên cứu mới cho câu hỏi được nêu trên. Chúng ta có khái niệm tính chất ba không gian: Cho H là một nhóm con đóng của nhóm tôpô G và GH/ là không gian thương tương ứng, giả thiết rằng không gian H và GH/ đều thoả tính chất P (tôpô, đại số, hoặc cả hai), nếu G cũng thoả tính chất , thì được gọi là tính chất ba không gian. J .P .Serre khẳng định rằng tính compact địa phương là một tính chất ba không gian. Thực tế đã có nhiều công trình chứng minh được tính compact, tính đầy đủ, tính liên thông, tính giả compact và tính mêtric là các tính chất ba không gian trong lớp các nhóm tôpô. Vào các năm gần đây, kế thừa những phát hiện của A.V. Arhangel’skiˇı, M. Bruguera, M. G. Tkachenko và V. V. Uspenskij đã đưa ra nhiều kết quả dựa trên sự mở rộng của các nhóm tôpô đối với các nhóm con đóng chuẩn tắc, nhóm con compact địa phương hay nhóm con khả mêtric compact địa phương. Điều đó cho thấy sự nghiên cứu về các tính chất ba không gian trong lớp các nhóm tôpô 2 được nhiều nhà toán học nghiên cứu, phát triển. Tuy nhiên, đề tài trên vẫn còn khá nhiều những vấn đề mở liên quan đến ứng dụng của các tính chất tôpô và đại số trong quá trình tạo ra nhóm thương. Mặt khác, sự hội tụ của dãy (tập hợp) là một đề tài luôn được quan tâm trong tôpô. Vào năm 2008, A. V. Arhangel’skii đã trình bày trong [3] những phát hiện ban đầu về sự thác triển các tiêu chuẩn hội tụ trong nhóm tôpô. Đây là một vấn đề mở thu hút nhiều sự nghiên cứu của các nhà toán học. Trong luận văn chúng tôi nghiên cứu các nội dung liên quan đến một số tính chất ba không gian trong dấu hiệu hội tụ của các tập compact dãy. Các tính chất liên quan đến lưới của nhóm tôpô có thương đối với nhóm con thỏa tiên đề đếm được thứ hai, nhóm con mêtric, compact địa phương cũng sẽ được phát biểu và chứng minh. Từ đó giải quyết một số vấn đề trong nghiên cứu sự thác triển của một số tiêu chuẩn hội tụ trong các nhóm tôpô. 2. Phương pháp nghiên cứu Trình bày các lý thuyết về tính chất ba không gian, lý thuyết không gian thương, đưa ra các kết quả qua lập luận và chứng minh chi tiết. Tổng hợp, bổ sung và hoàn thiện từ những bài báo đã có, tài liệu khoa học có liên quan đến đề tài, vấn đề cần nghiên cứu. 3. Cấu trúc của luận văn Luận văn được trình bày như sau: Mở đầu gồm có giới thiệu đề tài, nội dung của luận văn, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. Chương 1: Kiến thức tổng quan. Trình bày các kiến thức chuẩn bị cho luận văn gồm các khái niệm, Định nghĩa và tính chất cơ bản trong không gian tôpô. Chương 2: Trình bày các tính chất ba không gian đối với các tập compact dãy. 3 Chương 3: Trình bày sự thác triển các tính chất liên quan đến lưới của không gian thương đối với nhóm con thỏa tiên đề đếm được thứ hai và tính chất của không gian thương đối với nhóm con khả mêtric, compact địa phương. Kết luận: Hệ thống các kết quả đạt được trong chương 2 và chương 3. Tài liệu tham khảo. 4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số định nghĩa và tính chất trong không gian tôpô 1.1.1. Định nghĩa Cho X là tập hợp khác rỗng và  là một họ các tập con của X sao cho: i. , X  ii. UV,  UV   iii. Ui  , i I Ui  iI Khi đó ta gọi  là một tôpô trên X và X; là một không gian tôpô. 1.1.2. Định nghĩa Cho không gian tôpô X; và điểm xX , UX được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại V  sao cho xV và VU . 1.1.3. Định nghĩa Tập AX là tập mở nếu với mỗi xA thì có một lân cận Ux của x được chứa trong A . Tập BX được gọi là tập đóng nếu XB\ là tập mở. 1.1.4. Định nghĩa Cho không gian tôpô X, và AX . Trên A ta xét tôpô A AUU  : mở trong X là họ các tập mở trong A . Dễ thấy A là tôpô được cảm sinh từ tôpô  . Khi đó X,A được gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô X, . 1.1.5. Định nghĩa Cho họ các không gian tôpô đôi một rời nhau X . iiI Đặt: XX i và  UXUX :  i mở trong Xi , i I iI Khi đó  là một tôpô trên X và X,  được gọi là tôpô tổng của các không gian tôpô X . Kí hiệu:  X . iiI i I i 5 1.1.6. Định nghĩa Cho họ các không gian tôpô X ,  . Xét tích Descartes ii iI X và họ các phép chiếu p từ X lên X . Khi đó tôpô cảm sinh từ các  i iiI i iI phép chiếu p được gọi là tôpô tích trên X , kí hiệu  . Không gian iiI  i iI  Xii, được gọi là không gian tôpô tích. i I i I 1.1.7. Định nghĩa Cho không gian tôpô X, và R là một quan hệ tương đương trên X . Ta đặt: q:/ X X R xx[] với XR/ là tập các lớp tương đương của R . Họ //:()R U  X R q 1 U  là một tôpô trên XR/ và được gọi là tôpô thương. 1.1.8. Định nghĩa Cho không gian tôpô X, , một họ    được gọi là cơ sở của không gian X, nếu mọi tập con khác rỗng của  được biểu diễn qua hợp của một họ con của  . Như vậy, một họ các tập con (trên X )    gọi là cơ sở của không gian X, nếu với mọi xX và lân cận V bất kì của x thì tồn tại tập mở U  sao cho x  U V . Một không gian tôpô X, có thể có nhiều cơ sở khác nhau. Một họ  x các lân cận của x được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với lân cận V bất kì của x thì có một Ux  sao cho x  U V .