Luận văn Tìm hiểu về phép tính vi phân trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH CHANTHAVONG Ladda TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH CHANTHAVONG Ladda TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜNG HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “ Tìm hiểu về phép tính vi phân trong không gian Banach ” do tôi thực hiện với sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, không sao chép của bất cứ ai. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2018 Học viên thực hiện CHANTHAVONG Ladda LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, Thầy đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành bài luận này. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy trong khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn trong suốt quá trình học cao học. Xin được gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Khoa học Công nghệ và phòng Sau đại học, phòng Tổ chức hành chính, phòng Kế hoạch - Tài chính Trường đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Và cũng cảm ơn các bạn Học viên K26 đã cùng chia sẻ với tôi rất nhiều về kinh nghiệm học tập, rèn luyện và viết luận văn. Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công tới quý thầy cô, anh chị và các bạn! CHANTHAVONG Ladda MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 Chương 1. ĐẠO HÀM .................................................................................................. 2 1.1. Sự khả vi ............................................................................................................... 2 1.2. Định lý số giá giới nội và ứng dụng ..................................................................... 9 1.2.1. Định lý số giá nội ........................................................................................... 9 1.2.2. Một số ứng dụng .......................................................................................... 11 1.3. Đạo hàm bậc cao, công thức Taylor ................................................................... 18 1.3.1. Ánh xạ đa tuyến tính .................................................................................... 18 1.3.2. Đạo hàm bậc hai ........................................................................................... 20 1.3.3. Đạo hàm bậc cao .......................................................................................... 23 1.3.4. Công thức Taylor ......................................................................................... 26 1.3.5. Đạo hàm ấc p cao của một số ánh ................................................................. 29 1.4. Ánh xạ ngược – ánh xạ ẩn .................................................................................. 40 Chương 2. CỰC TRỊ ................................................................................................... 46 2.1. Cực trị địa phương .............................................................................................. 46 2.2. Cực trị có điều kiện ............................................................................................. 50 2.2.1. Trường hợp riêng ......................................................................................... 50 2.2.2. Cực trị với ràng buộc phiếm hàm ................................................................ 53 2.2.3. Bài toánự c c trị có điều kiện tổng quát ........................................................ 54 2.3. Bài toán biến phân .............................................................................................. 57 2.3.1. Trường hợp một biến. Phương trình Euler .................................................. 57 2.3.2. Trường hợp hàm nhiều biến. Phương trình Euler – Lagrange ................... 64 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 73 1 MỞ ĐẦU Khái niệm đạo hàm là khái niệm cơ sở nhất và quan trọng nhất của Toán học nói riêng và khoa học nói chung. Nó có mặt trong những bài toán đơn gian nhất cho đến các bài toán phức tạp nhất. Đạo hàm được định nghĩa ban đầu cho hàm số một biến số, sau đó cho hàm số nhiều biến số. Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như đề nghiên cứu những bài toán mới phát sinh trong quá trình phát triển của khoa học – công nghệ mà khái niệm đạo hàm và các vấn đề liên quan đã được mở rộng cho các ánh xạ tác động trong các không gian Banach và rộng hơn là các không gian tô pô tuyến tính. Đến nay đã hình thành một lí thuyết hoàn chỉnh về phép tính vi phân trong không gian Banach. Lí thuyết này tìm được những ứng dụng sâu sắc và cơ bản trong lí thuyết phương tình vi phân, Giải tích phi tuyến, Lí thuyết điều khiển, Tối ưu hoá, Toán kinh tế,... Việc tìm hiểu về phép tính vi phân trong không gian Banach giúp học viên bổ sung cho mình những kiến thức mới hiện đại; thấy được phương pháp hình thành và phát triển những khái niệm Toán học tổng quát hơn trên cơ sở những khái niệm cũ, riêng biệt. Mục tiêu đề tài là trình bày chi tiết và hệ thống các vấn đề cơ bản nhất của phép tính vi phân trong không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các không gian như các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc tính đạo hàm, công thức số gia giới nội, đạo hàm bậc cao và công thức Taylor các định lí hàm ngược, hàm ẩn, ứng dụng vào bài toán cực trị, bài toán biến phân,... Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên Đại học và học viên cao học. Khi học bộ môn phép tính vi phân trong không gian hữu hạn chiều và không gian Banach. 2 Chương 1. ĐẠO HÀM 1.1. Sự khả vi EF,,, Trong chương này, ta xét EF là các không gian Banach trên cùng một trường K ( K là R hoặc C ). Định nghĩa Cho EF, là hai không gian Banach, D là tập mở trong E chứa điểm x và f: D F . 1) Ta nói f khả vi theo Frechet hay F khả vi tại nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục AEF: sao cho với mọi hE mà x h D thì: f x h f x A h h  h , 1 E với xác định trong một lân cận của 0E có giá trị trong F, im h 0F . h 0E 2) Ta nói khả vi theo Gateaux hay G khả vi tại nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục sao cho f x th f x im A h ,  h E . 2 t 0 t Mệnh đề 1.1 Cho là hai không gian Banach, là tập mở trong và . 1) Ánh xạ tuyến tính liên tục A thoả mãn hoặc , nếu tồn tại, sẽ duy nhất, đặt f' x A và gọi là đạo hàm của tại . 2) Nếu khả vi theo Frechet tại xD thì liên tục tại . Chứng minh 1) Ta chứng minh cho trường hợp là khả vi. Giả sử AA12, là ánh xạ tuyến tính liên tục thoả mãn . Với mọi uE và t 0 sao cho x tu D, ta fxtu fx Atu tu  tu Atu tu  tu , có: 1 EE 1 2 2 với im 12 h im h 0F . hh 00EE 3 Do tuyến tính và nên: Atu tu  tu Atu tu  tu A u A u u tu tu . 1 EE 1 2 2 1 2 E 2 1 Cho t 0, ta có: A12 u A u ,.  u E Vậy AA12 2) Từ và tính liên tục của suy ra: im f x h f x . h 0 EF, D E E x Vậy liên tục tại . f: D F Từ và là tuyến tính, ta có: f f x th f x t im im A h t h th A h . tt 00t 1 Do đó khả vi theo Gateaux tại . Định nghĩa Cho là hai không gian Banach, là tập mở trong và . Nếu khả vi tại mọi xD , ta nói khả vi trên hay khả vi. Khi đó ánh xạ f' :, D L E F biến mỗi thành đạo hàm của tại , f' x L E, F được gọi là ánh xạ đạo hàm của . Ghi chú Nếu E R , mọi ánh xạ tuyA ến tính ARF: có dạng A t tw, với w F,1 w A . Ta đồng nhất ánh xạ tuyến tính với Aw1 là vectơ trong F . Khi đó với I là khoảng mở trong , f:, I F f khả vi tại tI nếu tồn tại phần tử wF sao cho với h R, t h I thì: AA12, f x h f t hw h  h ,0 im h F hay h 0 f x h f t im w f' t . h 0 h t 0 Mệnh đề .2 Cho là hai không gian Banach, là tập mở trong và . 4 ' i) Nếu là ánh xạ hằng thì khả vi và f x 0LEF , ,  x D . ii) Nếu là thu hẹp trên của ánh xạ tuyến tính liên tục thì khả vi và: f' x f,  x D . Chứng minh i) Hiển nhiên. ii) Do tuyến tính liên tục nên D x f x h f x f h h  h , h 0,  h E E với F . Định lý 1.1f (Công thức đạo hàm của ánh xạ hợp) Cho EFG,, là không gian Banach, U là tập mở trong EV, là tập mở trong F và f:,: U V g V G . Giả sử khả vi Frechet tại và g khả vi Frechet tại y f x thì gf khả vi tại x và g f ' x g'' f x f x . Chứng minh Đặt k h f x h f x . Với hE sao cho x h U và f x h V . Do g khả vi tại fx nên gfxh gfx gfxkh' kh  k,0 imk . F G k 0F Do khả vi tại nên: k h f' x h h  h,0 im h . E F h 0E Suy ra gfxh gfx gfx''' fxhhgfx  h kh  k E F Ta cần chứng minh: kh ' F im g f x  h k h 0G . h E h E Điều này suy từ các đánh giá: 5 kh k h f' x  h  h   h nên F f' x  h bị chặn. FFEE h F E Khi h 00EF, im k h và im k h 0G . h 0E h 0E Vậy khả vi tại và g f ' x g'' f x f x . Nhận xét Nếu khả vi Gateaux tại và khDả vi theo Frechet tại y f x x thì gf khả vi Gateaux tại và g f ' x g'' f x f x . Từ đây vềf sau nếu không nói gì thêm, ta hiểu sự khả vi là theo Frechet. Định nghĩa Cho FFF12, ,..., n là các không gian Banach. Đặt FFFF 12 ... n . Mỗi y F, y y12 , y ,..., yn , y i F i , i 1,2,..., n , gf Đặt yF y12 F y ... y n .Khi đó F, là không gian Banach. 1 FF2 n F Cho E, Fi , i 1, n là các không gian Banach, là tập mở trong E và f: D F12 F ... Fn . Khi đó f x f12 x , f x ,..., fn x trong đó fii: D F , i 1,2,..., n là ánh xạ thành phần thứ i của . Ánh xạ là tuyến tính, liên tục khi và chỉ khi các ánh xạ f là tuyến tính, liên tục  in1, . i Định lý 1.2 Cho EFFF,12 , ,..., n là các không gian Banach, là tập mở trong và f: D F1 F 2 ... Fnn , f f 1 , f 2 ,..., f . Khi đó khả vi tại nếu và chỉ nếu các ánh xạ thành phần f12, f ,..., fn khả vi tại . Hơn nữa: '''' ' fxh fxhfxh12 , ,..., fxhn , trong đó f x L E, F ' ' với FFF 12 ... FfxLEFin , i , i , 1,2,..., n , nghĩa là fxi chính là thành phần thứ i của fx' .