Luận văn Tìm nhiệt độ từ lỗ khoan thăm dò trong trường hợp nhiệt độ phụ thuộc tuyến tính vào nguồn nhiệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÔ THỊ HOÀNG LAN TÌM NHIỆT ĐỘ TỪ LỖ KHOAN THĂM DÒ TRONG TRƯỜNG HỢP NHIỆT ĐỘ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀO NGUỒN NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ: NGÀNH TOÁN HỌC Tp.HCM – 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÔ THỊ HOÀNG LAN TÌM NHIỆT ĐỘ TỪ LỖ KHOAN THĂM DÒ TRONG TRƯỜNG HỢP NHIỆT ĐỘ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀO NGUỒN NHIỆT Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ: NGÀNH TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. PHẠM HOÀNG QUÂN Tp.HCM – 2009 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn thạc sĩ với đề tài “Tìm nhiệt độ từ lỗ khoan thăm dò trong trường hợp nhiệt độ phụ thuộc tuyến tính vào nguồn nhiệt.”, tôi xin chân thành cám ơn thầy Phạm Hoàng Quân đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi với tất cả sự nhiệt tình và lòng tận tâm của thầy. Tôi xin cảm ơn các thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là các thầy cô bộ môn Toán Giải tích đã trang bị nhiều kiến thức cho tôi trong quá trình học Cao học. Những kiến thức này đã giúp tôi rất nhiều trong việc định hướng và giải quyết các vấn đề của luận văn. Qua đây, tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô phòng Đào tạo sau Đại học cũng như của trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo nhiều điều kiện để tôi hoàn thành khóa học một cách tốt nhất. Cuối cùng, tôi xin chuyển lời cảm ơn đến gia đình, toàn thể bạn bè và đồng nghiệp đã giúp đỡ và động viên tôi hoàn thành luận văn này. 1 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục .................................................................................................................. 1 Mở đầu................................................................................................................... 2 Chương 1 – Kiến thức chuẩn bị .............................................................................. 3 1.1. Biến đổi Fourier...................................................................................... 3 1.2. Bài toán chỉnh, không chỉnh.................................................................... 4 1.3. Định lý divergence.................................................................................. 4 1.4. Phương trình Laplace.............................................................................. 5 1.5. Một số bất đẳng thức .............................................................................. 6 Chương 2 – Các kết quả chính................................................................................ 7 2.1. Giới thiệu bài toán .................................................................................. 7 2.2. Phương trình tích phân............................................................................ 7 2.3. Chứng minh bài toán không chỉnh .........................................................22 2.4. Chỉnh hóa nghiệm..................................................................................24 2.5. Tính số và minh họa ..............................................................................30 Kết luận ................................................................................................................35 Tài liệu tham khảo.................................................................................................36 2 MỞ ĐẦU Luận văn nghiên cứu về bài toán tìm lại nhiệt độ của một vật thể từ lỗ khoan thăm dò. Vấn đề này được phát triển trong nhiều lĩnh vực ứng dụng của địa chất. Trong thực tế, ở nhiều lĩnh vực liên quan đến kỹ thuật, ta không thể đo được nhiệt độ bề mặt của một vật thể (ví dụ bề mặt của một vật tỏa nhiệt). Vì vậy, để có được nhiệt độ phân bổ trên bề mặt, ta phải sử dụng những dữ liệu đo đạc bên trong. Cụ thể, luận văn nghiên cứu việc tìm lại nhiệt độ của một vật thể hai chiều được biễu diễn trên dải ( )0,1×
. Cho ( ),u x y là nhiệt độ của vật thể tại điểm ( ) ( ), 0,1x y ∈ ×
và cho một nguồn nhiệt tuyến tính, ta có phương trình 0, ,0 1u x y∆ = ∈ < <
với 2 2 2 2x y ∂ ∂∆ = + ∂ ∂ . Giả sử thông lượng nhiệt và nhiệt độ trên đường thẳng 1y = đã biết, nghĩa là ( ) ( ) ( ) ( ),1 , ,1yu x x u x xϕ ψ= = và ( ), 0u x y → khi ,x y → +∞ . Đây là bài toán Cauchy cho phương trình elliptic và nó là bài toán không chỉnh. Có nhiều công trình đã nghiên cứu về bài toán này. Trong các bài báo, các tác giả đã đưa ra một số phương pháp để chỉnh hóa bài toán như chỉnh hóa rời rạc (tự chỉnh hóa), chỉnh hóa Tikhonov,… Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân để chỉnh hóa. Luận văn được chia làm hai chương: chương 1 cung cấp các kiến thức chuẩn bị và chương hai là các kết quả chính. Trong chương hai, các kết quả được chia làm bốn phần: phương trình tích phân, kiểm tra tính không chỉnh, chỉnh hóa và sai số xấp xỉ và tính số cụ thể. 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Biến đổi Fourier 1.1.1. Định nghĩa Cho ( )1f L∈
, biến đổi Fourier của f là  ( ) ( )1 , 2 i xf f x e dxζζ ζ pi +∞ − −∞ = ∈∫
. (1.1) Cho ( )1f L∈
, biến đổi Fourier ngược của f là ( ) ( )1 , 2 i xf x f e d xζζ ζ pi +∞∨ −∞ = ∈∫
. (1.2) 1.1.2. Tính chất Cho ( )1,f g L∈
, ta có
  f g f g+ = + ,
 f fα α= ,
  .f g f g∗ = ,
( )  ( ) i xf x f e dζζ ζ +∞ −∞ = ∫ với ( ) ( ) ( )12f g x f x y g y dypi +∞ −∞ ∗ = −∫ , và
( )  ( )2 2L L f f=

. (1.3) 1.1.3. Một số biến đổi Fourier Nếu ( ) 2 21f x x k= + thì  ( ) 1 . , 0 2 kf e k k ζpiζ −= > . (1.4) Nếu ( ) ( )2 2lnf x x k= + thì  ( ) 12 , 0kf e kζζ pi ζ −= − > . (1.5) 4 1.2. Bài toán chỉnh, không chỉnh Bài toán chỉnh theo nghĩa của Hadamard là bài toán thỏa mãn các tính chất sau:
Tồn tại nghiệm (tính tồn tại),
Có nhiều nhất một nghiệm (tính duy nhất),
Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu (tính ổn định). Như vậy, cho X và Y là những không gian định chuẩn và ánh xạ :K X Y→ (tuyến tính hoặc không tuyến tính). Phương trình Kx y= được gọi là chỉnh nếu thỏa mãn:
Tính tồn tại: với mỗi y Y∈ có ít nhất một x X∈ sao cho Kx y= ,
Tính duy nhất: với mọi y Y∈ có nhiều nhất một x X∈ với Kx y= ,
Tính ổn định: nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y , nghĩa là với mọi dãy ( )nx X⊂ thỏa ( )nKx Kx n→ → ∞ thì ( )nx x n→ → ∞ . Phương trình không thỏa ít nhất một trong các tính chất trên được gọi là không chỉnh. 1.3. Định lý divergence (định lý Gauss – Ostrogradski) Cho ( ), ,F f g h= là một trường vectơ thuộc lớp 1C xác định trên một miền bị chặn 3Ω ⊂
và D là một miền con của Ω là hội của một số hữu hạn các miền đơn giản rời nhau. Nếu D có biên S là một mặt khả vi trong Ω thì với pháp vectơ đơn vị ngoài n  của S đối với D , ta có D S f g h dxdydz fdydz gdxdz hdxdy x y z  ∂ ∂ ∂ + + = + + ∂ ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫ (1.6) hay . D S Fdxdydz F ndσ∇ =∫∫∫ ∫∫    . (1.7) 5 1.4. Phương trình Laplace 1.4.1. Định nghĩa Ta kí hiệu 1 i i n x x i u u = ∆ =∑ . Phương trình Laplace là phương trình có dạng 0u∆ = (1.8) và phương trình Poisson là phương trình có dạng u f−∆ = . (1.9) Trong cả hai phương trình (1.8) và (1.9) ,x U∈ :u U →
là hàm chưa biết,U là một tập mở trong n
. Ở phương trình (1.9) :f U →
là hàm vế phải đã biết. 1.4.2. Nghiệm cơ bản Hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 ln 2 2 1 1 3 2 n x n x n n n n x pi α −  − = Γ =   ≥ − (1.10) với , 0nx x∈ ≠
và ( )nα là thể tích của hình cầu đơn vị trong n
được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace, trong đó ( )12 2 2 21 2 nx x x x= + + . 1.4.3. Nghiệm của phương trình Poisson Giả sử ( )2 ncf C∈
, tức là hàm f có đạo hàm cấp hai liên tục và có giá compact. Khi đó phương trình Poisson có nghiệm ( ) ( ) ( ) n u x x f dξ ξ ξ= Γ −∫
. (1.11) 6 1.4.4. Hàm Green Ta gọi hàm số sau đây là hàm Green đối với miền U ( ) ( ) ( ), xG x xξ ξ κ ξ= Γ − − ( ), ,x U xξ ξ∈ ≠ , (1.12) trong đó ( ) 0, , x x x U x x U κ κ ξ ∆ = ∀ ∈  = Γ − ∀ ∈∂ . Giả sử 2u C∈ là hàm số bất kỳ. Cố định x U∈ , chọn 0ε > đủ nhỏ sao cho ( ),B x Uε ⊂ , ta có đẳng thức Green ( ) ( ) ( ) ( ) V u G x G x u dx ε ξ ξ ξ ξ ∆ − − − ∆  ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V G u u x G x dS n n ε ξ ξ ξ ξ ξ ∂ ∂ ∂  = − − − ∂ ∂ ∫ , (1.13) trong đó ( )\ ,V U B xε ε= và n là vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài đối với Vε∂ . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U U u G u x G x u x dS G x u d n n ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ∂ ∂ ∂  = − − − − − ∆ ∂ ∂ ∫ ∫ . (1.14) 1.5. Một số bất đẳng thức Với mọi giá trị 0t > , ta luôn có bất đẳng thức 1 t te e t − ≤ . (1.15) Với 30 eε −< < , ta luôn có 5 / 3 2 1 1ln ε ε < . (1.16) 7 Chương 2 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 2.1. Giới thiệu bài toán Đây là bài toán Cauchy cho phương trình elliptic: yêu cầu tìm hàm số u thỏa 0, ,0 1u x y∆ = ∈ < <
(2.1) khi biết ( ) ( ),1u x xϕ= , (2.2) ( ) ( ),1yu x xψ= , (2.3) trong đó ( ) ( ) ( ),0 , , , ,x yu x u x y u x y thuộc ( )1L
. (2.4) 2.2. Phương trình tích phân Bằng cách dùng phương pháp hàm Green, ta sẽ đưa bài toán về phương trình tích phân. Đặt ( ) ( ) ( )( )2 21, , , ln4x y x yξ η ξ ηpiΓ = − − + − (2.5) và ( ) ( ) ( ), , , , , , , , ,G x y x y x yξ η ξ η ξ η= Γ − Γ − . (2.6) Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 1 , , , 2 x x y x y ξ ξξ η pi ξ η −Γ = − + − , ( ) ( ) ( )2 2 1 , , , 2 y x y x y η ηξ η pi ξ η −Γ = − + − , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 , , , 2 x y x y x y ξξ ξ ηξ η pi ξ η − − − Γ =   − + −   , 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 , , , 2 x y x y x y ηη ξ ηξ η pi ξ η − − + − Γ =   − + −   , ( ) ( ) ( )( )2 21, , , ln4x y x yξ η ξ ηpiΓ − = − − + + , ( ) ( ) ( )2 2 1 , , , 2 x x y x y ξ ξξ η pi ξ η −Γ − = − + + , ( ) ( ) ( )2 2 1 , , , 2 y x y x y η ηξ η pi ξ η − −Γ − = − + + , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 , , , 2 x y x y x y ξξ ξ ηξ η pi ξ η − − + Γ − =   − + +   , và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 , , , 2 x y x y x y ηη ξ ηξ η pi ξ η − − + + Γ − =   − + +   . (2.7) Từ (2.7), ta có kết quả: ( ) ( )uG Gu uG Guξ ξ η ηξ η ∂ ∂ − + + − + ∂ ∂ u G uG G u Gu u G uG G u Guξ ξ ξξ ξ ξ ξξ η η ηη η η ηη= − − + + − − + + ( ) ( )u G G G u uξξ ηη ξξ ηη= − + + + 0= (2.8) Lấy tích phân đẳng thức (2.8) trên miền ( ) ( ) ( )( ), 0,1 \ , ,n n B x y εΩ = − × với ( )( ), ,B x y ε là quả cầu tâm ( ),x y bán kính 0ε > , ta có: x y O 1 -n n (x,y) Hình 2.1 9 ( ) ( ) ( ) ( )0 ,0 , , ,0 , , ,0 ,0 n n u G x y G x y u dη ηξ ξ ξ ξ ξ −  = − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ), , ,1 ,1 ,1 , , ,1 n n G x y u u G x y dη ηξ ξ ξ ξ ξ −  + − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 , , , , , , , ,G x y n u n u n G x y n dξ ξη η η η η + − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 , , , , , , , ,u n G x y n G x y n u n dξ ξη η η η η + − − − − − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , , S x y xG x y u u G x y dSξ ξ ε ξξ η ξ η ξ η ξ η ε −  + − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , , S x y yG x y u u G x y dSη η ε ηξ η ξ η ξ η ξ η ε −  + − ∫ . Cho n → ∞ và 0ε → , sử dụng định lý hội tụ bị chặn, ta lần lượt tính giới hạn của các tích phân trên. Ta có ( ) ( )1 ,0 , , ,0 n n I u G x y dηξ ξ ξ − = ∫ ( ) ( ) [ ] ( )2 ,2 1 ,0 n n y u d x y ξ χ ξ ξ pi ξ +∞ − −∞ = − + ∫ . Lại có ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )2 2,2 2,0 ,0n n y y u u x y x y ξ χ ξ ξξ ξ− ≤− + − + khả tích trên
(do ( ),0u ξ bị chặn) và ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )2 2,2 2lim ,0 ,0n nn y y u u x y x y ξ χ ξ ξξ ξ−→∞ =− + − + . 10 Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có kết quả ( ) ( )1 2 2 1lim ,0 n yI u d x y ξ ξ pi ξ +∞ →∞ −∞ = − + ∫ ( ) ( ),0 , , ,0u G x y dηξ ξ ξ +∞ −∞ = ∫ . Ta có ( ) ( )2 , , ,0 ,0 n n I G x y u dηξ ξ ξ − = ∫ ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 ,0 ln 0 4 n n x y u d x yη ξξ ξ pi ξ − − + = − = − + ∫ . Ta có ( ) ( )3 , , ,1 ,1 n n I G x y u dηξ ξ ξ − = ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 11 ,1 ln 4 1 n n x y u d x yη ξξ ξ pi ξ − − + − = − − + + ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 2 2 , 11 ,1 ln 4 1 n n x y u d x yη ξξ χ ξ ξ pi ξ +∞ − −∞ − + − = − − + + ∫ . Lại có ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2, 1 1 ,1 ln ln 1 1n n x y x y u x y x y η ξ ξξ χ ξ ψ ξξ ξ− − + − − + − < = − + + − + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 ln 1 x y x y ξψ ξ ξ − + + = = − + − ( ) ( ) ( )2 2 4ln 1 1 y x y ψ ξ ξ   = +    − + −  . Khi ξ → ±∞ thì ( ) ( )2 2 4 0 1 y x yξ →− + − . 11 Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4ln 1 1 lim 14 1 y x y y x y ξ ξ ξ →±∞   +    − + −  = − + − . Suy ra ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2, 1 4 ,1 ln ln 1 1 1n n x y y u x y x y η ξξ χ ξ ψ ξξ ξ−   − + − < +    − + + − + −  khả tích trên
. Ta lại có ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2, 1 1 lim ,1 ln ln 1 1n nn x y x y u x y x yη ξ ξξ χ ξ ψ ξξ ξ−→∞ − + − − + − = − + + − + + . Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có kết quả ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 3 2 2 11lim ln 4 1n x y I d x y ξψ ξ ξ pi ξ +∞ →∞ −∞ − + − = − − + + ∫ ( ) ( ), , ,1G x y dξ ψ ξ ξ +∞ −∞ = ∫ . Ta có ( ) ( )4 ,1 , , ,1 n n I u G x y dηξ ξ ξ − = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 ,1 2 1 1 n n y y u d x y x y ξ ξ pi ξ ξ −   − + = +  − + − − + +   ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 2 , 1 1 1 ,1 2 1 1 n n y y u d x y x y ξ χ ξ ξ pi ξ ξ +∞ − −∞   − + = +  − + − − + +   ∫ . Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 2 , 1 1 ,1 1 1 n n y y u x y x y ξ χ ξξ ξ −   − + +  − + − − + +   12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 ,1 1 1 y y u x y x y ξ ξ ξ   − + < +  − + − − + +   khả tích trên
và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 2 , 1 1lim ,1 1 1 n nn y y u x y x y ξ χ ξξ ξ −→∞   − + +  − + − − + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 1 y y x y x y ϕ ξ ξ ξ   − + = +  − + − − + +   . Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có kết quả ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 2 2 1 1 1lim 2 1 1n y yI d x y x y ϕ ξ ξ pi ξ ξ +∞ →∞ −∞   − + = +  − + − − + +   ∫ ( ) ( ), , ,1x G x y dηϕ ξ ξ +∞ −∞ = ∫ . Ta có ( ) ( ) 1 5 0 , , , ,I G x y n u n dξη η η= ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 2 2 0 1 ln , 4 x n y u n d x n y ξ η η η pi η − + − = − − + + ∫ . Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 52 2 2 2ln , ln x n y x n y u n M x n y x n y ξ η ηη η η − + − − + + < = − + + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 2 5 2 2 4ln 1 4 yM x n y yM x n y η η η η   = +    − + −  < − + − ( )5 2 4 1 yM y η η < + − khả tích trên ( )0,1 13 và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2lim ln , 0 n x n y u n x n y ξ η η η→∞ − + − = − + + . Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có 5lim 0 n I →∞ = . Ta có ( ) ( ) 1 6 0 , , , ,I u n G x y n dξη η η= ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 0 1 , 2 x n x n u n d x n y x n y η η pi η η   − − = −  − + − − + +   ∫ . Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , x n x n u n x n y x n y x n x n u n u n x n y x n y η η η η η η η   − − −  − + − − + +   − − < + − + − − + + 6M< khi n đủ lớn và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2lim , 0n x n x n u n x n y x n y η η η→∞   − − − =  − + − − + +   . Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có 6lim 0 n I →∞ = . Ta có ( ) ( ) 1 7 0 , , , ,I u n G x y n dξη η η= − −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 0 1 , 2 x n x n u n d x n y x n y η η pi η η  + + = − −  + + − + + +   ∫ . 14 Chứng minh tương tự với trường hợp 6I , ta có 7lim 0 n I →∞ = . Ta có ( ) ( ) 1 8 0 , , , ,I G x y n u n dξη η η= − −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 2 2 0 1 ln , 4 x n y u n d x n y ξ η η η pi η + + − = − − + + + ∫ . Chứng minh tương tự với trường hợp 5I , ta có 8lim 0 n I →∞ = . Ta có ( ) ( ) ( )( ) 9 , , , , , , S x y xI G x y u dSξ ε ξξ η ξ η ε − = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 , , 1 ln , 4 S x y x y x u dS x y ξ ε ξ η ξξ η pi εξ η − + − − = − − + + ∫ . Đặt cos sin x y ξ ε α η ε α = +  = + với 0 2α pi≤ ≤ và dS dε α= . Khi đó ( ) ( ) 2 2 9 2 0 1 ln cos , sin cos 4 4 sin I u x y d y y pi ξ ε ε α ε α ε α α pi ε ε α = + + + +∫ . Ta có ( ) ( ) ( )22 92 2 4 sin ln cos , sin . ln 4 sin y y u x y M y y ξ ε ε αε ε ε α ε α ε ε ε α ε + + + + = + + 9 9 2. ln NM ε ε < 9K< . 15 Lại có ( ) ( ) 2 20 lim ln cos , sin cos 0 4 sin u x y y y ξε ε ε ε α ε α α ε ε α→ + + = + + . Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có 90 lim 0I ε → = . Ta có ( ) ( ) ( )( ) 10 , , , , , , S x y xI u G x y dSξ ε ξξ η ξ η ε − = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2, , 1 , 2 S x y x x x u dS x y x yε ξ ξ ξξ η pi εξ η ξ η   − − − = −  − + − − + +   ∫ Đặt cos sin x y ξ ε α η ε α = +  = + với 0 2α pi≤ ≤ và dS dε α= . Khi đó ( )( ) ( ) ( ) 2 10 2 2 0 1 1 1 cos , sin cos cos 2 4 sin I u x y d y y pi ε α ε α ε α α ε α pi ε ε ε α   = + + − − −  + +  ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 cos , sin cos 1 2 4 sin u x y d y y pi ε ε α ε α α α pi ε ε α   = + + −  + +  ∫ . Vì ( ) 2 21 24 siny y ε ε ε α − < + + nên ( ) ( ) 2 2 102cos , sin cos 1 4 sin u x y M y y ε ε α ε α α ε ε α   + + − <  + +  khả tích trên [ ]0,2pi . 16 Lại có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 20 lim cos , sin cos 1 , cos 4 sin u x y u x y y yε ε ε α ε α α α ε ε α→   + + − =  + +  nên ( ) 2 2 100 0 1lim , cos 2 I u x y d pi ε α α pi→ = ∫ ( ) 2 2 0 , cos 2 u x y d pi α α pi = ∫ ( ), 2 u x y = . Ta có ( ) ( ) ( )( ) 11 , , , , , , S x y yI G x y u dSη ε ηξ η ξ η ε − = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 , , 2 2 2 0 1 ln , 4 1 ln cos , sin sin 4 4 sin S x y x y y u dS x y u x y d y y η ε pi η ξ η ηξ η pi εξ η ε ε α ε α α ε α pi ε ε α − + − − = − − + + = − + + − + + ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 0 1 ln cos , sin sin 4 4 sin u x y d y y pi η ε ε α ε α α α pi ε ε α = + + + +∫ . Chứng minh tương tự với 9I , ta có 110 lim 0I ε → = . Ta có ( ) ( ) ( )( ) 12 , , , , , , S x y yI u G x y dSη ε ηξ η ξ η ε − = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2, , 1 , 2 S x y y y y u dS x y x yε η η ηξ η pi εξ η ξ η   − + − = +  − + − − + +   ∫ 17 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 1 sin 2 sin cos , sin sin 2 4 sin y u x y d y y pi ε α ε α ε α ε α α α pi ε ε α  + = + + −  + +  ∫ . Chứng minh tượng tự với 10I , ta có ( ) 2 2 120 0 1lim , sin 2 I u x y d pi ε α α pi→ = ∫ ( ), 2 u x y = . Như vậy, ta có phương trình tích phân ( ) ( ) ( ) ( )0 ,0 , , ,0 , , ,1u G x y d G x y dηξ ξ ξ ξ ψ ξ ξ +∞ +∞ −∞ −∞ = +∫ ∫ ( ) ( ) ( ), , ,1 ,x G x y d u x yηϕ ξ ξ +∞ −∞ − −∫ , (2.9) hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,0 , , ,0 , , ,1u x y u G x y d G x y dηξ ξ ξ ξ ψ ξ ξ +∞ +∞ −∞ −∞ = +∫ ∫ ( ) ( ), , ,1x G x y dηϕ ξ ξ +∞ −∞ − ∫ . (2.10) Cho 1y → , ta tính giới hạn của vế phải đẳng thức (2.10). Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 ,0 , , ,0 ,0 yu G x y d u d x yη ξ ξ ξ ξ ξ pi ξ +∞ +∞ −∞ −∞ = − + ∫ ∫ . Lại có ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 ,0 ,0yu u x y x ξ ξξ ξ<− + − khả tích trên
và ( ) ( ) ( ) ( )2 221 1lim ,0 ,0 y y u u x y x ξ ξξ ξ→ =− + − . 18 Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có ( ) ( ) ( ) ( )21 1 1lim ,0 , , ,0 ,0 1y u G x y d u d x ηξ ξ