Luận văn Tính chất ổn định của hệ phương trình vi phân hàm xấp xỉ tuyến tính

Mục lục 1 Kiến thức cơ sở 2 1.1 Phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tính chất ổn định của phương trình vi phân hàm . . . . . . . . 4 1.3 Tính chất ổn định theo xấp xỉ của hệ phương trình vi phân thường 5 1.4 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Bổ đề Gronwall - Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.2 Bổ đề Bihari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.3 Định lí xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Phương pháp trung bình hóa trong lí thuyết ổn định của phương trình vi phân hàm 8 2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Các điều kiện đủ về tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Điều kiện đủ về tính không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Tính chất ổn định của hệ phương trình vi phân hàm xấp xỉ tuyến tính 32 3.1 Ma trận A có tất cả các giá trị riêng có phần thực âm . . . . . 32 3.2 Ma trận A có ít nhất một giá trị riêng với phần thực dương . . 35 3.3 Ma trận A là xyclic, tức A có tất cả các giá trị riêng với phần thực không dương và các giá trị riêng có với phần thực bằng không ứng với ước sơ cấp đơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1 Chương 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Phương trình vi phân hàm Giả sử h > 0 là một số thực cho trước, C = C([−h, 0],Rn) là không gian Banach các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0], với chuẩn được xác định: ‖ϕ‖ = sup {|ϕ(s)| : −h ≤ s ≤ 0} ∀ϕ ∈ C ở đó |.| là chuẩn trong Rn. Nếu σ ∈ R, A > 0, x ∈ C([σ − h, σ + A),Rn), thì với bất kỳ t ∈ [σ, σ + A), kí hiệu xt ∈ C xác định bởi xt(s) = x(t+ s), s ∈ [−h, 0]. Giả sử D là tập con của R×C và hàm f : D −→ Rn là hàm cho trước, ta gọi mọi phương trình dạng: x˙(t) = f(t, xt) (1.1) trong đó x˙(t) được hiểu là đạo hàm trên bên phải của hàm x tại t x˙(t) = lim sup ∆→0+ 1 ∆ {x(t+∆)− x(t)}, là phương trình vi phân hàm. Hàm số x được gọi là nghiệm của hệ (1.1) trên [σ−h, σ+A) với σ ∈ R, A > 0 nếu: x ∈ C([σ − h, σ + A),Rn), (t, xt) ∈ D và x(t) thỏa mãn hệ (1.1) với t ∈ [σ, σ + A). Với σ ∈ R+, ϕ ∈ C, ta nói rằng x(σ, ϕ, f) là nghiệm của hệ (1.1) với điều kiện đầu là ϕ tại σ, hay điều kiện đầu (σ, ϕ) nếu có số A > 0 sao cho x(σ, ϕ, f) là nghiệm của hệ (1.1) trên [σ − h, σ + A) và xσ(σ, ϕ, f) = ϕ. Về sau nếu không nói gì khác ta sẽ hiểu vế phải luôn là f và ta sẽ kí hiệu nghiệm với điều kiện đầu (σ, ϕ) là x(σ, ϕ). Bổ đề 1.1.1. Nếu σ ∈ R, ϕ ∈ C cho trước và f(t, ϕ) liên tục thì bài toán (1.1) với điều kiện đầu (σ, ϕ) tương đương với bài toán xσ = ϕ x(t) = ϕ(0) + ∫ t σ f(s, xs)ds, t ≥ σ 2 3Ta có các kết quả về sự tồn tại, duy nhất, phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu và sự thác triển liên tục của nghiệm. Trước hết, để thuận lợi trong quá trình sau, ta đưa ra một số kí hiệu cần thiết. Với (σ, ϕ) ∈ R× C, kí hiệu ϕ˜ ∈ C([σ − h,∞),Rn) xác định như sau ϕ˜(t+ σ) = { ϕ(t) t ∈ [−h, 0] ϕ(0) t > 0 Nếu x là nghiệm của hệ (1.1) với điều kiện đầu (σ, ϕ) và x(t+σ) = ϕ˜(t+σ)+ y(t), t ≥ −h, thì từ Bổ đề 1.1 ta có y thỏa mãn y(t) = ∫ t 0 f(s+ σ, ϕ˜s+σ + ys)ds, t ≥ 0. (1.2) Ngược lại, nếu y thỏa mãn phương trình (1.2) thí cũng suy ra được nghiệm x của hệ (1.1) bằng phép đổi tọa độ trên. Do đó, việc tìm nghiệm của hệ (1.1) cũng tương đương với tìm nghiệm của phương trình (1.2). Nếu V ⊂ R × C thì C(V,Rn) là lớp các hàm f : V −→ Rn liên tục và ◦ C(V,Rn) ⊂ C(V,Rn) là tập con các hàm liên tục và bi chặn từ V vào Rn. Không gian ◦ C(V,Rn) trở thành không gian Banach với chuẩn ‖f‖V = sup (t,ϕ)∈V |f(t, ϕ)|. Với α, β là số thực thì Iα = [0, α];Bβ = {ϕ ∈ C : ||ϕ|| < β}, A(α, β) = {y ∈ C([−h, α), Rn) : y0 = 0, yt ∈ Bβ, t ∈ Iα}. Bổ đề 1.1.2. Nếu Ω ⊆ R×C là tập mở, W ⊆ Ω là tập compact, ◦ f ∈ C(Ω,Rn) là hàm cho trước, thì có lân cận V ⊂ Ω của W sao cho ◦ f ∈ ◦ C(V,Rn), có lân cận U ⊆ ◦ f ∈ ◦ C(V,Rn) của ◦ f ∈ C(Ω,Rn) và hằng số dương M,α, β sao cho ||f(σ, ϕ)|| < M, (σ, ϕ) ∈ V, f ∈ U. Ta cũng có với bất kì ( ◦ σ, ◦ ϕ) ∈ W, thì ( ◦σ + t, yt + ϕ˜◦σ+t) ∈ V với mọi t ∈ Iα và y ∈ A(α, β). Bổ đề 1.1.3. Giả sử Ω ⊆ R × C là tập mở, W ⊆ Ω là tập compact, ◦ f ∈ C(Ω,Rn) là hàm cho trước, và lân cận U, V, hằng số dương M,α, β ở trong Bổ đề 1.1.2. Nếu T : W × U ×A(α, β) −→ C([−h, α],Rn), T (σ, ϕ, f, y)(t) = 0, t ∈ [−h, 0], T (σ, ϕ, f, y)(t) = ∫ t 0 f(σ + s, ϕ˜σ+s + ys)ds, t ∈ Iα 4thì T liên tục và tồn tại tập compact K trong C([−h, 0],Rn) sao cho T : W × U ×A(α, β) −→ K. Hơn nữa nếu Mα ≤ β thì T :W × U ×A(α, β) −→ A(α, β). Bổ đề 1.1.4 (Định lý Schauder về điểm cố định). Nếu U là tập lồi đóng bị chặn của không gian Banach X, và ánh xạ T : U −→ U liên tục hoàn toàn (tức T là liên tục và biến một tập bị chặn thành một tập tiền compact) thì T có điểm cố định trên U. Định lý 1.1.1 (Sự tồn tại nghiệm). Nếu Ω là tập mở trong R × C, ◦ f ∈ C(Ω,Rn), (σ, ϕ) ∈ Ω thì phương trình vi phân (1.1) với f được thay bởi ◦ f luôn có nghiệm với mọi điều kiện đầu (σ, ϕ). Hơn nữa nếu W ⊂ Ω là tập compact thì có một lân cận V của W trong Ω sao cho ◦ f ∈ ◦ C(V,Rn), và có lân cận U ⊂ ◦ C(V,Rn) của ◦ f sao cho có α > 0 để mỗi f ∈ U, phương trình vi phân RFDE(f) (retarded functional differential equation) có nghiệm trên [σ − h, σ + α) với mỗi điều kiện đầu (σ, ϕ). Định lý 1.1.2 (Tính phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu và vế phải). Giả sử Ω là tập mở trong R × C, ◦ f ∈ C(Ω,Rn), ( ◦σ, ◦ϕ) ∈ Ω, và ◦x là nghiệm duy nhất của phương trình RFDE( ◦ f) với điều kiện đầu ( ◦ σ, ◦ ϕ) xác định trên [ ◦ σ − h, b]. Cho tập ◦ W ⊆ Ω là tập compact xác định bởi ◦ W = {(t, ◦xt) : t ∈ [ ◦σ, b]} và ◦ V là lân cận mở của ◦ W mà trong đó ◦ f bị chặn. Nếu (σk, ϕk, fk), k = 1, 2, 3, . . . thỏa mãn σk → ◦σ, ϕk → ◦ϕ, fk → ◦ f, khi k →∞ thí có k0 sao cho đối với RFDE(fk) với k ≤ k0 sao cho mỗi nghiệm xk = xk(σk, ϕk, fk) với điều kiện đầu (σk, ϕk) tồn tại trên [ ◦ σ − h, b]; được hiểu là với  > 0 bất kỳ, tồn tại k1() sao cho xk(t), k ≥ k1(), xác định trên [ ◦σ − h + , b] và xk → ◦x đều trên [ ◦ σ − h + , b]. Định lý 1.1.3 (Định lí tồn tại và duy nhất). Giả sử Ω là tập mở trong R × C, f : Ω −→ Rn liên tục và f(t, ϕ) Lipschitz theo ϕ với mỗi tập compact trong Ω. Với mọi (σ, ϕ) ∈ Ω, tồn tại duy nhất nghiệm của hệ (1.1) với điều kiện ban đầu (σ, ϕ). Định lý 1.1.4 (Thác triển liên tục nghiệm). Giả sử Ω là một tập mở trong R×C, f : Ω −→ Rn là liên tục hoàn toàn, tức f liên tục và biến một tập đóng, bị chặn của Ω thành một tập bị chặn trong Rn, và x là một nghiệm không thác triển được của phương trình (1.1) trên [σ− h, b). Khi đó, với mọi tập đóng, bị chặn U trong R× C,U ⊂ Ω, thì tồn tại một số tU sao cho (t, xt) /∈ U với mọi tU ≤ t < b. 51.2 Tính chất ổn định của phương trình vi phân hàm Giả sử f : R× C −→ Rn là hàm liên tục, xét hệ x˙(t) = f(t, xt) (1.3) Hàm f giả sử liên tục hoàn toàn và thỏa mãn mọi điều kiện để hệ tồn tại duy nhất nghiệm với mỗi điều kiện ban đầu, hơn nữa nghiệm liên tục trong khoảng xác định của nó. Cũng giả sử rằng f(t, 0) = 0 với mọi t ∈ R, điều này đảm bảo cho hệ có duy nhất nghiệm tầm thường với điều kiện đầu ϕ = 0. Ta đưa ra các định nghĩa về ổn định của nghiệm không đối với hệ (1.3). Kí hiệu B(0, ) = {ϕ ∈ C : ||ϕ|| < } là hình cầu tâm O bán kính  trong C. Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm x = 0 của hệ (1.3) được gọi là ổn định nếu với bất kỳ σ ∈ R,  > 0, tồn tại δ = δ(σ, ) > 0 sao cho nếu ϕ ∈ B(O, δ) thì xt(σ, ϕ) ∈ B(O, ) với mọi t ≥ σ. ổn định đều nếu δ ở trên không phụ thuộc vào σ. ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại η = η(σ) > 0 sao cho nếu ϕ ∈ B(O, η) thì x(t, σ, ϕ)→ 0 khi t→∞. ổn định tiệm cận đều nếu nó là ổn định đều và tồn tại η > 0 sao cho với mọi  > 0, tồn tại T = T () > 0 sao cho nếu ϕ ∈ B(O, η) thì x(t, σ, ϕ) ∈ B(O, ) khi t ≥ σ + T với mọi σ ∈ R. ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại số α > 0 sao cho với mọi  > 0 tồn tại η = η() > 0 thỏa mãn với mọi σ ∈ R, ϕ ∈ B(O, η) thì ||xt(σ, ϕ)|| ≤ .e−α(t−σ).||ϕ|| ∀t ≥ σ. Tiếp theo đây ta sẽ đưa ra một số điều kiện đủ cho sự ổn định của nghiệm x = 0 đối với hệ (1.3) nhờ việc mở rộng phương pháp hàm Liapunov trong phương trình vi phân thường. Nếu V : R×C −→ R là hàm liên tục và x(t, ϕ) là nghiệm của hệ (1.3) đối với điều kiện đầu (t, ϕ) thì ta xác định V˙ (t, ϕ) = lim sup ∆→0+ 1 ∆ {V (t+∆, xt+∆(t, ϕ))− V (t, ϕ)}. Hàm V˙ (t, ϕ) là đạo hàm trên bên phải của V (t, ϕ) dọc theo nghiệm của hệ (1.3). Trong (Yoshizawa) đã chứng minh rằng nếu hệ (1.3) thỏa mãn điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm thì V˙ (t, ϕ) xác định duy nhất theo (t, ϕ). 6Định lý 1.2.1 (Ổn định đều và ổn định tiệm cận đều). Giả sử tồn tại các hàm a, b ∈ K(K − hàm lớp Hahn) và c là hàm liên tục, không âm. Nếu tồn tại hàm liên tục V : R× C −→ R sao cho 1. a(|ϕ(0)|) ≤ V (t, ϕ) ≤ b(||ϕ||) 2. V˙ (t, ϕ) ≤ −c(|ϕ(0)|) thì nghiệm x = 0 của hệ (1.3) ổn định đều. Nếu hàm c là xác định dương thì nghiệm x = 0 ổn định tiệm cận đều. Định lý 1.2.2 (Không ổn định). Giả sử V : C −→ R là hàm liên tục bị chặn. Nếu tồn tại số γ > 0 và một tập mở U trong C sao cho 1. V (ϕ)) > 0 trên U , V (ϕ) = 0 trên biên U , 2. 0 thuộc bao đóng của U ∩B(O, γ), 3. V (ϕ) ≤ b(|ϕ(0)|) với b ∈ K, 4. V˙−(ϕ) ≥ c(|ϕ(0)|) với c ∈ K, V˙−(ϕ) = lim inf ∆→0+ 1 ∆ {V (xt+∆(t, ϕ))− V (ϕ)} Khi đó nghiệm x = 0 của hệ (1.3) là không ổn định. Hơn nữa, mọi nghiệm xt(σ, ϕ) với điều kiện đầu (σ, ϕ) với ϕ ∈ U∩b(O, γ) sẽ tiến ra biên của B(O, γ) sau thời gian hữu hạn. 1.3 Tính chất ổn định theo xấp xỉ của hệ phương trình vi phân thường Xét hệ phương trình vi phân thực: x˙ = Ax+ ϕ(t, x) (1.4) trong đó A là ma trận hằng số và ϕ(t, x) ∈ C(R+×BH) hơn nữa ϕ(t, x) = 0(|x|) đều theo t, tức là: |ϕ(t, x)| |x| → 0 đều theo t khi x→ 0 Khi đó, ta có các Định lí về tính ổn định của hệ (1.4). Định lý 1.3.1 (Liapunov). Nếu mọi giá trị riêng λj(A), (j = 1, 2, . . . , n) của ma trận A có phần thực âm: Reλj(A) < 0, (j = 1, 2, . . . , n) thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ tựa tuyến tính (1.4) ổn định tiệm cận theo Liapunov. Định lý 1.3.2 (Định lí không ổn định). Nếu ít nhất một giá trị riêng λj(A), (j = 1, 2, . . . , n) của ma trận A có phần thực dương, thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.4) không ổn định theo Liapunov khi t→ +∞. 71.4 Một số bổ đề Trong phần này ta trình bày một số Bổ đề sẽ được sử dụng trong Chương 2 và Chương 3. 1.4.1 Bổ đề Gronwall - Bellman Bổ đề 1.4.1. Cho m,n ∈ C(R+,R+) và giả sử rằng m(t) ≤ c+ ∫ t t0 v(s)m(s)ds, t ≥ t0 ≥ 0 trong đó c ≥ 0 là hằng số. Khi đó: m(t) ≤ c exp (∫ t t0 v(s)ds ) , t ≥ t0. Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Gronwall - Bellman mở rộng). Cho m,n, h ∈ C(R+,R+) và giả sử rằng m(t) ≤ h(t) + ∫ t t0 v(s)m(s)ds, t ≥ t0 ≥ 0 trong đó h(t) là hàm dương và không giảm. Khi đó: m(t) ≤ h(t) exp (∫ t t0 v(s)ds ) , t ≥ t0. 1.4.2 Bổ đề Bihari Bổ đề 1.4.3 (Bihari). Giả sử u(t) ≥ 0 và f(t) ≥ 0 với t ≥ t0, hơn nữa u(t), f(t) ∈ C([t0,∞)) và có bất đẳng thức: u(t) ≤ c+ ∫ t t0 f(s)Φ(u(s))ds, t ≥ t0 trong đó c là hằng số downg và Φ(u) là hàm dương, liên tục, không giảm khi 0 < u < u, (u ≥ ∞) và giả sử: Ξ(u) = ∫ c u du1 Φ(u1) , (0 < u < u) Khi đó, nếu: ∫ t t0 f(s)ds < Ξ(u− 0), (t0 ≥ t <∞) thì với t0 ≤ t <∞ ta sẽ có bất đẳng thức: u(t) ≤ Ξ−1 [∫ t t0 f(s)ds ] trong đó Ξ−1(u) là hàm ngược của hàm Ξ(u). Đặc biệt, nếu u =∞ và Ξ(∞) = ∞ thì kết luận của Bổ đề không có sự hạn chế nào. 8Hệ quả 1.4.1 (Trường hợp Φ(u) = ud (d > 1) ). Giả sử các giả thiết của Bổ đề 1.4.3 vẫn đúng với hàm Φ(u) = ud, (d > 1). Khi đó, nếu∫ t t0 f(s)ds < 1 (d− 1)cd−1 , thì với t0 ≤ t <∞ ta sẽ có bất đẳng thức: u(t) ≤ c[ 1− (d− 1)cd−1 ∫ t t0 f(s)ds ] 1 d−1 1.4.3 Định lí xấp xỉ Bổ đề 1.4.4. Cho ma trận A và số  > 0 cho trước. Khi đó tồn tại ma trận không suy biến T sao cho: T−1AT =  λ1 b12 · · · b1n 0 λ2 b2n ... ... . . . ... 0 0 · · · λn  với ∑ i,j |bj| < . Trong đó λj (j = 1, 2, . . . , n) là các giá trị riêng của ma trận A. Chương 2 Phương pháp trung bình hóa trong lí thuyết ổn định của phương trình vi phân hàm 2.1 Mở đầu Xét hệ phương trình vi phâm hàm x˙ = F (t, xt) = f(t, x) + g(t, xt) (2.1) ở đó f : DH −→ Rn liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x F, g : GH −→ Rn liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo xt và F (t, 0) ≡ 0 với DH = R+ × BH ; GH = R+ × ΩH trong đó BH = {x ∈ Rn : |x| < H} và ΩH = {ϕ ∈ C ([−r, 0] ;Rn) : ‖ϕ‖ < H} Giả sử: |g(t, ϕ (.))| ≤ m0 ‖ϕ(.)|d0 (m0 > 0, d0 > 1) (2.2) Khi đó hệ (2.1) trong lân cận đủ bé của điểm O trong ΩH sẽ "gần" với phương trình vi phân thường x˙ = f(t, x) (2.3) theo nghĩa: F (t, xt) = f(t, ϕ(0)) + 0(‖ϕ‖) khi ‖ϕ‖ → 0 trong C([−h, 0];Rn) • Kí hiệu: Với t0 ∈ R+; ϕ ∈ ΩH , y0 ∈ BH 1. x(t0, ϕ) : R+ −→ Rn t 7−→ x(t; t0, ϕ) là nghiệm của phương trình vi phân hàm dạng trễ (2.1) với điều kiện ban đầu xt0(t0, ϕ) = ϕ 2. y(t0, y0) : R+ −→ Rn t 7−→ y(t; t0, y0) là nghiệm của phương trình vi phân thường (2.3) với điều kiện ban đầu y0, tức y(t0; t0, y0) = y0 9 10 Ta sẽ phát biểu và chứng minh một vài khẳng định bổ trợ: Bổ đề 2.1.1. Giả sử hàm F thỏa mãn trong miền GH điều kiện Lipschitz với hằng số L và giả sử đã cho điểm ϕ ∈ ΩH . Khi đó: đối với x(t; t0, ϕ) ∈ BH đánh giá sau đây là đúng ‖xt‖ ≤ ‖ϕ‖ exp[L(t− t0)] (2.4) Chứng minh. Do x(t+ s) = xt0(t+ s− t0) nên với s ∈ [−h, 0], ta có x(t+ s) = { ϕ(0) + ∫ t+s t0 F (u, xu)du với t0 − t ≤ s ≤ 0 ϕ(t− t0 + s) với −h ≤ s ≤ t− t0 Từ đó ta nhận được đánh giá |x(t+ s)| = { ‖ϕ‖+ ∫ t+s t0 |F (u, xu)| du ≤ ‖ϕ‖+ L ∫ t+s t0 |xu| du với t0 − t ≤ s ≤ 0 ‖ϕ‖ với −h ≤ s ≤ t− t0 Do đó, khi t ≥ t0: ‖xt‖ = Max {|x(t+ s)| : −h ≤ s ≤ 0} ≤ ‖ϕ‖+ L ∫ t+s t0 ‖xu‖ du Áp dụng Bổ đề Gronwall - Bellman ta được: ‖xt‖ ≤ ‖ϕ‖ exp[L(t− t0)] . Bổ đề 2.1.2. Giả sử đã cho t0 và hàm ϕ ∈ ΩH và giả sử x(t0, ϕ) và y(t0, ϕ(0)) là các nghiệm của hệ (2.1) và (2.3) tương ứng mà giá trị trùng nhau tại t = t0. Khi đó: |x(t; t0, ϕ)− y(t; t0, ϕ(0))| ≤ ‖ϕ‖d0 ( m0 Ld0 ) (eLd0(t−t0) − 1)eL(t−t0) (2.5) với mọi t ≥ t0, mà tại đó các quỹ đạo x(t; t0, ϕ) và y(t; t0, ϕ(0)) vẫn còn nằm trong BH (ở đây L là hằng số Lipschitz của hàm f và F ). Chứng minh. Nhờ biểu diễn đáng chú ý đối với y(t) = y(t; t0, ϕ(0)) y(t) = ϕ(0) + ∫ t t0 f(s, y(s))ds x(t) = ϕ(0) + ∫ t t0 F (s, xs)ds với mọi t ≥ t0 11 và nhờ vào tính toán (2.2) ta nhận được đánh giá |x(t)− y(t)| = ∣∣∣∣(ϕ(0) + ∫ t t0 F (s, xs)ds ) − ( ϕ(0) + ∫ t t0 f(s, y(s))ds )∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ t t0 [F (s, xs)− f(s, y(s))]ds ∣∣∣∣ ≤ ∫ t t0 |f(s, x(s))− f(s, y(s))| ds+ ∫ t t0 |g(s, xs)| ds ≤ L ∫ t t0 |x(s)− y(s)|ds+ ∫ t t0 m0||xs||d0ds ≤ L ∫ t t0 |x(s)− y(s)|ds+ ∫ t t0 m0||ϕ||d0eLd0(s−t0)ds ≤ L ∫ t t0 |x(s)− y(s)|ds+ ||ϕ||d0 m0 Ld0 [eLd0(s−t0) − 1.] Từ đó do tính đơn điệu của hàm exp[Ld0(t−t0)] và nhờ bất đẳng thức Gronwall - Bellman mở rộng ta có: |x(t; t0, ϕ)− y(t; t0, ϕ(0))| ≤ ‖ϕ‖d0 ( m0 Ld0 ) (eLd0(t−t0) − 1)eL(t−t0). Bổ đề 2.1.3. Giả sử x : [t0 − h,∞) −→ Rn là hàm liên tục và tồn tại số R > 1 sao cho: |x(t)| ≤ ||xt||/R với mọi t ≥ t0. Khi đó: limt→∞ |x(t)| = 0 hơn nữa: |x(t)| ≤ ||xt0 ||/RN+1 khi t ≥ t0 +Nh; N=0,1,2.... Chứng minh. Ta sẽ chứng minh: |x(t)| ≤ ||xt0 ||/RN+1 với t ≥ t0 +Nh bằng quy nạp theo N . Thật vậy: ◦N = 0, tức t ≥ t0, theo giả thiết ta có |x(t)| ≤ ||xt||/R Cố định t ≥ t0, |x(t)| ≤ ||xt||/R = 1 R Max {|x(t+ s)| : −h ≤ s ≤ 0} ≤ 1 R |x(t+ s1)| với s1 < 0 ≤ 1 R2 ||x(t+ s1)|| ≤ 1 R2 |x(t+ s1 + s2)| với s2 < 0 · · · ≤ 1 Rn |x(t+ s1 + · · ·+ sn)| với sn < 0 12 do si ∈ [−h, 0] với mọi i ≥ 1 nên có thể coi: limn→∞ sn = s0 vì |x(t)| 6= ||xt|| =⇒ s0 < 0 do vậy tồn tại N0 > 0 saocho ∀M > N0: M∑ i=1 si < Ms0 2 chọn M đủ lớn sao cho t+ s1 + · · ·+ sM < t0 khi đó |x(t+ s1 + · · ·+ sM)| ≤ ||xt0 || Vậy |x(t)| ≤ ||xt0 || R ◦ Giả sử kết luận đúng với N ≥ 0 ◦ Với N + 1, tức t ≥ t0 + (N + 1)h, ta có: |x(t)| ≤ ||xt|| R = 1 R Max {|x(t+ s)| : −h ≤ s ≤ 0} ≤ 1 R Max {|x(τ)| : với t0 +Nh ≤ τ ≤ t } ≤ 1 R 1 RN ||xt0 || = 1 RN+1 ||xt0 || Theo giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh. 2.2 Các điều kiện đủ về tính ổn định Giả sử hệ phương trình vi phân thường (2.3) là tới hạn: có nghĩa nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ này là ổn định Liapunov nhưng không ổn định tiệm cận. Giả sử v : DH −→ R là hàm Liapunov tương ứng. Khi đó v˙|(2.1) = v˙|(2.3) + Φ(t, xt) ≤ Φ(t, xt) (2.6) trong đó: Φ(t, xt) = v˙xg(t, xt) Ta đưa vào việc xét hệ phương trình tuyến tính xấp xỉ bậc nhất (tuyến tính hóa) của hệ (2.3) trong lân cận của gốc tọa độ trong Rn ξ˙ = f ′ x(t, 0)ξ (2.7) Giả sử ρ(t, x) = f(t, x)− f˙x(t, 0).x thỏa mãn trong miền DH : |ρ(t, x)| ≤ m1|x|d1 (m1 > 0, d1 > 1) 13 Kí hiệu K - lớp Haln K = { a : R+ −→ R+ liên tục, đơn điệu tăng, a(0) = 0 } Định lý về tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ phương trình vi phân thường phi tuyến được tổng quát hóa cho hệ phương trình vi phân hàm dạng trễ (2.1) Định lý 2.2.1. Giả sử rằng: 1. Tồn tại các hàm a, b ∈ K và hằng số R0 ≥ 1 sao cho: a(|x|) ≤ v(t, x) ≤ b(|x|) ∀(t, x) ∈ DH Hơn nữa các hàm ngược a−1, b−1 ∈ K có quan hệ a−1(γ) ≤ R0b−1(γ) khi 0 < γ < H 2. Tồn tại các hằng số M > 0, d > 1 sao cho: |Φ(t, ϕ(.))| ≤M ||ϕ(.)||d ∀(t, ϕ) ∈ GH |Φ(t, ϕ(.))−Φ(t, ψ(.))| ≤Mrd−1||ϕ(.)−ξ(.)|| ∀t ∈ R+; ϕ(.), ψ(.) ∈ Ωr; (0 < r < H) 3. Tồn tại T > 0, δ > 0 sao cho ∀ t0 ≥ h > 0 và x0 ∈ BH I(∆t, t0, x0) = ∫ t0+∆t t0 Φ(t, ξt)dt ≤ −2δ|x0|d|∆t với ∆t ≥ T , trong đó ξ = ξ(t0, x0) là nghiệm của hệ tuyến tính hóa (2.7) với điều kiện ban đầu ξ(t0) = x0 Khi đó nghiệm không của hệ (2.1) ổn định tiệm cận đều. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh định lý qua 2 bước sau: Bước 1. Chứng minh:Nghiệm không của hệ (2.1) là ổn định Liapunov đều. Cố định  > 0 (bé tùy ý), σ ∈ R+. Ta sẽ chứng minh tồn tại η > 0 sao cho ∀ ϕ ∈ Ωη: x(t; σ, ϕ) ∈ B ∀ t ≥ σ. Đặt γ = a(/2), η = b−1(γ). Khi đó ∀|x| < η, theo 1) ta có: v(t, x) ≤ b(|x|) ≤ b(η) = γ nên: v(t, x) ≤ γ ∀|x| < η. Giả sử ban đầu hàm ϕ ∈ Ωη Do điều kiện 1) của định lý nên ta có miền: {v ≤ γ} := {x ∈ BH : v(t, x) ≤ γ} ⊂ B/2 ∀ t ≥ σ 14 Giả sử tại thời điểm đầu tiên t0 nào đó quỹ đạo x(t) = x(t; σ, ϕ) giao với mặt {v = γ} và đi ra khỏi miền {v ≤ γ}. Khi đó tích phân bất đẳng thức (2.6) từ t0 → t, ta được v(t, x(t)) ≤ v(t0, x(t0)) + ∫ t t0 Φ(τ, xτ )dτ hay v(t, x(t)) ≤ γ + ∫ t t0 Φ(τ, xτ )dτ. (2.8) Xét hàm z : R+ −→ Rn cho bởi z(t) = { x(t) với t0 − h ≤ t ≤ t0 ξ(t; t0, x(t0)) với t ≥ t0 với ξ(t) là nghiệm của hệ phương trình (2.7) với ξ(t0) = x(t0) và ta biểu diễn tích phân ở vế phải của (2.8) dạng∫ t t0 Φ(τ, xτ )dτ = ∫ t t0 Φ(τ, zτ )dτ + ∫ t t0 [Φ(τ, xτ )− Φ(τ, zτ )] dτ (2.9) Do điều kiện 2) của Định lý, ta có: |Φ(τ, xτ )− Φ(τ, zτ )| ≤Mrd−1||xτ − zτ || (2.10) với r =Max {||xτ ||, ||zτ || : t0 ≤ τ ≤ t} Tiếp theo ta giả sử rằng: t0 ≤ t ≤ t0 + T1;T1 ≥ T (với T là hằng số từ điều kiện 3) của Định lý, còn T1 là đại lượng sẽ chọn sau) Do Bổ đề 2.1 với t0 ≤ τ ≤ t0 + T1 |x(τ)| ≤ ||xt0 ||.eLT1 (2.11) Khi τ ≥ t0 : z(τ) = ξ(τ ; t0, x(t0)), nên cũng theo Bổ đề 2.1 ta được |ξ(τ)| ≤ |x(t0)|.eLT1 (2.12) với t0 ≤ τ ≤ t0 + T1 Nhờ các đánh giá (2.11) và (2.12), ta kết luận rằng trong (2.10) có thể đặt r = ||xt0 ||.eLT1 Sử dụng Bổ đề Gronwall - Bellman không khó khăn gì ta nhận được đánh giá chuẩn của hiệu các nghiệm của các hệ phương trình (2.3), (2.7) tương ứng (trường hợp riêng của Bổ đề 2.2) |y(t; t0, x(t0))−ξ(t; t0, x(t0))| ≤ |x(t0)|d1 ( m1 Ld1 )( eLd1(t−t0) − 1) eL(t−t0) (2.13) 15 bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi t mà y(t), ξ(t) còn nằm trong BH . Ta đánh giá hiệu: ||xτ − zτ || với τ ∈ [t0, t0 + T1]. Tính toán hàm z, ta nh