Luận văn Tính ổn định và bền vững của một số tính chất hệ động lực tuyến tính

Lời mở đầu Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập đến các vấn đề kỹ thuật, vật lý, sinh học, kinh tế,... thường được mô tả bởi các hệ động lực. Bắt đầu từ những năm cuối của thế kỷ XIX, tính ổn định của các hệ động lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Nói một cách hình tượng, một hệ động lực được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ, sinh ra bởi các điều kiện bên ngoài, tác động lên cấu trúc của hệ động lực không làm cho hệ động lực thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó. Các kết quả của nhà toán học A. A. Lyapunov [75] có thể được xem như bước ngoặt cho sự phát triển của lý thuyết ổn định. Và đến ngày nay, tính ổn định đã trở thành một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ động lực nói riêng và lý thuyết hệ thống nói chung. Vào những năm 1980, các nhà toán học đi tìm kiếm một định lượng nhằm đánh giá khả năng bảo toàn tính ổn định của hệ thống dưới ảnh hưởng của nhiễu - còn gọi là tính ổn định bền vững. Điều này xuất phát bởi nhận xét rằng tập các hệ động lực tuyến tính dừng ổn định là một tập mở, có nghĩa rằng dưới tác động của nhiễu nhỏ thì hệ bị nhiễu cũng ổn định. Cách tiếp cận đầu tiên của một số nhà toán học như trong tài liệu tham khảo [37, 124] là dựa vào việc phân tích hệ trên miền tần số. Năm 1986, D. Hinrichsen và A. J. Pritchard đã đưa ra một hướng tiếp cận khác, đánh giá trực tiếp hệ động lực trên không gian trạng thái mà không cần phải thông qua miền tần số, trong các tài liệu tham khảo [54, 55]. Trong các tài liệu này, các tác giả đã sử dụng khái niệm bán kính ổn định, tức khoảng cách từ một hệ ổn định đến tập các hệ không ổn định, làm định lượng nhằm đánh giá khả năng bảo toàn tính ổn định của hệ thống. Hướng nghiên cứu này đã nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học, xem [56, 57, 58]. Một nghiên cứu đầy đủ về bán kính ổn định được đối với đơn nhiễu trên không gian hữu hạn chiều 1 có thể được xem trong bài tổng quan [59]. Trường hợp nhiễu bị giới hạn nhận giá trị thực - gọi là bán kính ổn định thực - dần nhận được sự quan tâm của các nhà toán học, xem [33, 73, 97]. Đến 1995, kết quả đầy đủ về bán kính ổn định thực được công bố bởi L. Qiu và các đồng tác giả trong [99]. Sự phức tạp của công thức bán kính ổn định thực đã dẫn đến nhiều khó khăn trong vấn đề tính toán bằng máy tính. Một số hướng tiếp cận nhằm giảm độ phức tạp thuật toán chỉ cho kết quả của các chặn trên, xem [17]. Tuy nhiên, trong trường hợp hệ dương thì kết quả nhận được là rất đẹp khi bán kính ổn định phức và bán kính ổn định thực trùng nhau và có thể tính toán được một cách dễ dàng bởi các kết quả của N. K. Sơn và D. Hinrich- sen trong [61, 62, 104]. Sau đó, bán kính ổn định của hệ dương được nghiên cứu rộng hơn và sâu hơn bởi các tác giả N. K. Sơn và P. H. A. Ngọc trong [106, 107, 108, 109]. Cần chú ý rằng các kết quả kể trên đều nghiên cứu bán kính ổn định dưới tác động của đơn nhiễu. Và cũng chính các tác giả N. K. Sơn và P. H. A. Ngọc [87] đã khởi xướng cho sự phát triển của bán kính ổn định dưới tác động của đa nhiễu. Các mở rộng cho nhiều loại hệ động lực khác nhau có thể được tìm thấy trong [90, 91, 92] và các trích dẫn trong bản thân các tài liệu đó. Bán kính ổn định đối với các hệ động lực trong không gian vô hạn chiều được xem xét và nghiên cứu gần như song song với các kết quả trên không gian hữu hạn chiều. Sau kết quả của A. J. Pritchard và S. Townley [96] là rất nhiều kết quả khác, xem [34, 35, 36, 39, 60, 26, 114] và các trích dẫn trong bản thân các tài liệu đó. Trong đó, các tác giả A. Fischer, D. Hinrichsen và N. K. Sơn [34, 35] đã nghiên cứu bán kính ổn định của các hệ dương trên không gian vô hạn chiều thông qua các toán tử Metzler - đối với hệ liên tục, và toán tử đóng bị chận dương - đối với hệ rời rạc. Tuy nhiên, các kết quả trên không gian vô hạn chiều chỉ xét cho trường hợp đơn nhiễu. Lúc này, bán kính ổn định cho trường hợp đa nhiễu trên các không gian vô hạn chiều được xem như là một bài toán mở - xem [34] - vì các kỹ thuật chứng minh cho đa nhiễu trên các không gian hữu hạn chiều sử dụng triệt để việc tồn tại của các vectơ riêng. Và đóng góp đầu tiên của luận án - xem [T5] - là giải quyết bài toán mở đó cho hệ liên tục có chậm sau u˙(t)= A0u(t)+ A1u(t−h1)+ ...+ ANu(t−hN), t≥ 0, 2 trong đó, các toán tử A i sẽ bị nhiễu dưới dạng A i ,→ A i+D i∆iE i, i ∈N := {1, ...,N} , với D i, E i, i ∈ N , là các toán tử xác định cấu trúc của nhiễu và ∆i, i ∈ N , là các toán tử chưa biết. Việc giới hạn các toán tử ∆i, i ∈ N , là các toán tử phức, thực hay dương dẫn đến các định nghĩa tương ứng cho bán kính ổn định phức, thực hay dương. Kết quả nhận được cho bán kính phức là 1 max i, j∈N sup s∈R ||GPi j(ıs)|| ≤ rC≤ 1 max i∈N sup s∈R ||GPii(ıs)|| , trong đó, GPi j(λ) := E i(λI − A0− N∑ i=1 e−λh i A i)−1D j, i, j ∈ N. Thông qua việc mở rộng định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ liên tục có chậm dương, luận án chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương là s(A0+A1+...+AN)< 0, với s(.) là chận trên phổ. Hơn nữa, nếu các toán tử D i và E i, i ∈ N , là dương và D i =D j (hoặc E i =E j) với mọi i, j ∈N , thì các bán kính ổn định phức, thực và dương trùng nhau và được cho bởi công thức đơn giản sau rC= rR = r+ = 1 max i∈N ||E i(A0+ A1+ ...+ AN)−1D i|| . Trong quá trình nghiên cứu tính ổn định của hệ liên tục có chậm, chúng tôi nhận ra rằng sự thay đổi hệ số chậm sẽ làm ảnh hưởng rất lớn đến tính ổn định của hệ. Tuy nhiên đối với hệ dương, luận án kết luận rằng ngay cả khi có nhiễu nhỏ xuất hiện trong hệ số chậm, và đa nhiễu xuất hiện trên các toán tử thành phần thì hệ vẫn ổn định thông qua khái niệm bán kính ổn định không phụ thuộc trễ, xem [T1]. Trong trường hợp hệ rời rạc, kết quả đối với đa nhiễu trên không gian hữu hạn chiều [87] cũng được luận án mở rộng cho không gian vô hạn chiều, xem [T6, T7]. Cụ thể, luận án xét đến hệ rời rạc cấp cao x(t+K +1)= A0x(t+K)+ A1x(t+K −1)...+AKx(t), t ∈N, trong đó các toán tử A i sẽ bị nhiễu dưới dạng A i ,→ A i+ N∑ j=1 D i j∆i jE i j, i ∈K := {1, ...,K} , 3 vớiD i j, E i j, i ∈K , j ∈N là các toán tử xác định cấu trúc của nhiễu và∆i j, i ∈K , j ∈N, là các toán tử chưa biết. Kết quả nhận được cho bán kính phức là 1 max |s|=1 { ||G i j,uv(λ)||, i,u ∈K , j,v ∈N } ≤ rC ≤ 1 max |s|=1 { ||G i j,i j(λ)||, i ∈K , j ∈N } , trong đó, G i j,uv(λ) := E i j(λI − K∑ i=0 λ−iA i)−1Duv, i,u ∈ K , j,v ∈ N . Cũng thông qua việc mở rộng định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ rời rạc cấp cao dương, luận án chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương là r(A0+A1+ ...+AK)< 1, với r(.) là bán kính phổ. Hơn nữa, nếu các toán tử D i j và E i j , i ∈K , j ∈N , là dương và Duv =D i j (hoặc Euv =E i j) với mọi i,u ∈K , j,v ∈N , thì các bán kính ổn định phức, thực và dương trùng nhau và được cho bởi công thức đơn giản sau rC= rR = r+ = 1 max i∈K , j∈N ||E i j(I− A0− A1− ...− AK)−1D i j|| . Ngoài ra, luận án còn xét đến trường hợp hệ rời rạc cấp cao dương bị nhiễu dưới dạng A i ,→ A i+ N∑ j=1 δi jBi j, i ∈K , với Bi j, i ∈K , j ∈N là các toán tử dương xác định cấu trúc của nhiễu và δi j, i ∈K , j ∈ N, là các hệ số chưa biết. Trong trường hợp này, các bán kính ổn định phức, thực và dương cũng trùng nhau và được cho bởi công thức đơn giản sau rδC= rδR = rδ+ = 1 r[(I− A0− A1− ...− AK)−1(∑i∈K , j∈NBi j)]. Một số hướng tiếp cận khác đối với tính ổn định bền vững của hệ động lực có thể được tìm thấy trong kết quả của các tác giả V. N. Phát và P. T. Nam [85, 94, 95]; hay các tác giả P. K. Anh, N. H. Dư, N. H. Linh và các đồng tác giả cho nhiều loại hệ khác nhau trong [4, 5, 25, 29]. Và một đóng góp khác của luận án, xem [T2, T8, T9], là nghiên cứu tính ổn định bền vững của phương trình sai phân sau y(t)− N∑ i=1 A i y(t− r i)= 0, t≥0. 4 Một cách tổng quát, tính ổn định của phương trình sai phân này là không bền vững và thay đổi nhỏ trong hệ số chậm sẽ làm ảnh hưởng rất lớn đến tính ổn định. Từ đó, khái niệm ổn định không phụ thuộc trễ - nghĩa là ổn định với mọi hệ số trễ - đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu, xem [43]. Luận án chỉ ra rằng tính ổn định không phụ thuộc trễ là bền vững thông qua việc thiết lập công thức cho bán kính ổn định không phụ thuộc trễ. Đặc biệt, trong trường hợp hệ dương thì tính ổn định và ổn định không phụ thuộc trễ là tương đương nhau và được kiểm tra qua điều kiện r(A1+ ...+ AN)< 1. Hơn nữa, dưới điều kiện về tính dương cho các ma trận xác định cấu trúc nhiễu, bán kính ổn định không phụ thuộc trễ phức, thực và dương cũng trùng nhau và được cho bởi các công thức đơn giản sau rC= rR = r+ = 1 maxi∈N, j∈K ∥∥E i j [I− A1− ...− AN]−1D i j∥∥, rδC = rδR = rδ+ = 1 r ( [I− A1− ...− AN]−1 (∑ i∈N, j∈K Bi j )) . Điều này cũng cho thấy rằng tính ổn định của phương trình sai phân dương là bền vững. Song song với sự phát triển của lý thuyết ổn định, tính điều khiển được của hệ động lực được khởi xướng bởi những ý tưởng và kết quả quan trọng của R. E. Kalman [68] và M. L. J. Hautus [49] vào những năm 1960. Tính điều khiển được nghiên cứu các lớp hàm điều khiển chấp nhận được sao cho, dưới tác động của nó, hệ thống được điều khiển về vị trí mong muốn. Sự bền vững của tính điều khiển được khởi xướng từ đầu những năm 1980. Lần đầu tiên định lượng bán kính điều khiển được, tức khoảng cách từ hệ điều khiển được đến tập các hệ không điều khiển được, được đề cập bởi Paige vào năm 1981 trong tài liệu tham khảo [93]. Và ngay sau đó, định lượng này đã có được kết quả tốt hơn bởi R. Eising trong tài liệu tham khảo [31, 32] vào năm 1982. Kết quả này được mở rộng trong [48] cho trường hợp ma trận thành phần của hệ có các trị riêng phân biệt. Các cận trên và cận dưới của bán kính điều khiển được có thể tìm thấy trong [18, 19, 20]. Trong [38], mối liên hệ giữa bán kính điều khiển được và sự kỳ dị của phương trình Riccati được xem xét. Các kết quả [65, 113] biểu diễn bán kính điều khiển được thực dưới dạng các công thức khác nhau nhằm đơn giản việc tính toán. Và kết quả về bán kính điều khiển được của R. Eising cũng đã được luận án mở rộng cho trường 5 hợp chỉ một bộ phận nào đó của hệ thống là bị nhiễu, xem [T10]. Cần chú ý rằng các kết quả về bán kính điều khiển được kể trên đều là kết quả đối với nhiễu không cấu trúc. Kết quả về nhiễu có cấu trúc được chúng tôi nghiên cứu và trình bày trong [T11] khi mà một thành phần của cấu trúc nhiễu bị giới hạn là khả nghịch. Kết quả này được mở rộng bởi M. Karow và D. Kressner [69], trong đó một thành phần của cấu trúc nhiễu bị giới hạn phải là ma trận có hạng đầy đủ. Và một đóng góp nữa của luận án là tiếp tục mở rộng kết quả cho bán kính điều khiển được dưới tác động của nhiễu có cấu trúc - xem [T4] - với kết quả tốt hơn thông qua cách tiếp cận hoàn toàn khác so với M. Karow và D. Kressner. Cụ thể, xét hệ động lực tuyến tính dừng x˙(t)= Ax(t)+Bu(t), t≥ 0, trong đó các ma trận A,B bị tác động bởi nhiễu cấu trúc có dạng A ,→ A+D∆AEA, B ,→B+D∆BEB. Lúc đó, các bán kính điều khiển được cho các trường hợp cả hai ma trận A và B bị nhiễu, hay chỉ một trong hai ma trận A và B bị nhiễu được cho bởi công thức rCAB = minλ∈C σmin ([ (E∗A) †(A∗−λIn) (E∗B) †B∗ ] ,D∗ ) , rCA = minλ∈C σmin ( (E∗A) †(A∗−λIn)NB∗,D∗NB∗ ) , rCB = min λ∈σ(A) σmin ( (E∗B) †B∗N(A∗−λ∗In),D ∗N(A∗−λ∗In) ) , trong đó, σmin(., .) là giá trị kỳ dị suy rộng nhỏ nhất, † ký hiệu cho nghịch đảo Moore- Penrose vàN(.) là ma trận mà các cột của nó tạo thành cơ sở của null(.) - không gian con nhân. Trường hợp các bán kính điều khiển được phức và thực trùng nhau được nghiên cứu thông qua các tính chất đối xứng của ma trận. Câu hỏi cho các kết quả của R. E. Kalman và M. L. J. Hautus về tính điều khiển được trên không gian vô hạn chiều cho hệ với các toán tử không bị chận hiện vẫn là một bài toán mở, xem [16]. Kết quả mới nhất gần đây là của B. Jacob và J.R. Partington [66] cho trường hợp toán tử có phổ rời rạc và chéo hóa được. Đối với trường hợp các 6 toán tử là bị chận, kết quả có thể được tìm thấy trong [30, 67, 111] và nhiều công trình khác. Bằng cách định nghĩa khái niệm giá trị kỳ dị nhỏ nhất cho toán tử đóng bị chận bởi σmin(M) :=min {p λ :λ ∈σ(MM∗)}, luận án cũng đã nghiên cứu và thành lập công thức cho bán kính điều khiển được trên không gian Hilbert, xem [T3]. Vấn đề tính toán bán kính ổn định phức liên quan đến bài toán tối ưu với một biến số thực, được giải quyết bởi S. Boyd và V. Balakrishnan với tốc độ hội tụ bình phương trong [21]. Cải tiến kết quả này được thực hiện bởi C. He và G. Watson [51] thông qua việc tận dụng các tính chất đối xứng đặc biệt của các ma trận xuất hiện trong quá trình tính toán. Các thuật toán cho bán kính ổn định thực có thể được tìm thấy trong kết quả của J. Sreedhar, P. V. Dooren và A. L. Tits [110]. Các thuật toán cho bán kính điều khiển được phức tạp hơn so với các thuật toán cho bán kính ổn định, vì liên quan đến bài toán tối ưu với biến số phức, xem [22, 23, 40, 41, 42, 50, 78]. Các nghiên cứu trong [23, 40, 50] được thực hiện trên kỹ thuật tạo lưới trong không gian hai chiều và tốn kém quá nhiều chi phí cho việc tính toán chính xác. M. Gu [41] đã đề xuất thuật toán chia đôi nhằm tính toán bán kính điều khiển được với độ phức tạp thuật toán đa thức thông qua việc phân tích các tập mức của giá trị kỳ dị. Sử dụng cùng hướng tiếp cận, J. V. Burke, A. S. Lewis, và M. L. Overton [22] cải tiến thuật toán chia đôi thành thuật toán chia ba nhằm tính toán bán kính điều khiển được với độ chính xác cho trước bất kỳ và độ phức tạp thuật toán là O(n6). Sử dụng một số kỹ thuật tính ma trận nghịch đảo xuất hiện trong quá trình tính toán, E. Mengi [78] giảm độ phức tạp thuật toán xuống còn O(n4). Một câu hỏi được đặt ra là liệu có thể sử dụng các công cụ của H. Tụy [112] về tối ưu toàn cục để cải tiến các thuật toán hiện có.... Và đóng góp về mặt thuật toán của luận án là sử dụng hướng tiếp cận M. Gu để đưa ra các thuật toán nhằm tính toán bán kính điều khiển được cho các trường hợp khi chỉ một thành phần của hệ là bị nhiễu hay khi hệ bị tác động bởi nhiễu có cấu trúc, xem [T12, T13]. Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được chia làm 2 phần - về bán kính ổn định và bán kính điều khiển được - gồm 6 chương như sau: • Chương 1: nghiên cứu tính ổn định bền vững của hệ liên tục có chậm dưới tác động của đa nhiễu có cấu trúc trên không gian vô hạn chiều, trong đó đặc biệt chú trọng đến hệ dương thông qua toán tử Metzler; các kết quả đạt được của chương 7 này đã được công bố trong [T1, T5]. • Chương 2: nghiên cứu tính ổn định bền vững của hệ rời rạc cấp cao dưới tác động của đa nhiễu có cấu trúc trên không gian vô hạn chiều; điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương được thiết lập thông qua việc mở rộng định lý Perron- Frobenius đối với đa thức đặc trưng; các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T6] và nhận đăng trong [T7]. • Chương 3: nghiên cứu tính ổn định của phương trình sai phân liên tục theo thời gian; trong đó đặc biệt chú trọng đến hệ dương thông qua việc mở rộng định lý Perron-Frobenius đối với tựa đa thức đặc trưng; tính ổn định bền vững không phụ thuộc trễ được nghiên cứu một cách tổng quát thông qua tính ổn định bền vững của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số; các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T8, T9] và gửi đăng trong [T2]. • Chương 4: trình bày công thức bán kính điều khiển được của hệ cho trường hợp vô hạn chiều đối với nhiễu không cấu trúc, nhằm mở rộng các kết quả trong [31, 32, T10]; các kết quả đạt được của chương này đã được nhận đăng trong [T3]. • Chương 5: thiết lập công thức bán kính điều khiển được của hệ cho trường hợp hữu hạn chiều đối với nhiễu có cấu trúc, nhằm mở rộng các kết quả trong [31, 32]; các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T10, T11] và gửi đăng trong [T4]. • Chương 6: trình bày thuật toán tính bán kính điều khiển được chủ yếu dùng cho trường hợp chỉ một thành phần của hệ là bị nhiễu hay hệ bị tác động bởi nhiễu có cấu trúc; công thức và thuật toán tính toán cho bán kính ổn định hóa được cũng được xem xét; các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T13] và gửi đăng trong [T12]. 8