Luận văn Ứng dụng quá trình bán markov vào mô hình rủi ro trong bảo hiểm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Ngô Ngọc Minh ỨNG DỤNG QUÁ TRÌNH BÁN MARKOV VÀO MÔ HÌNH RỦI RO TRONG BẢO HIỂM Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TÔ ANH DŨNG TP. Hồ Chí Minh - 2009 Lời cảm ơn Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Toán - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, Bộ môn Xác suất - Thống kê cùng tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình: TS. Tô Anh Dũng, Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP. HCM. Tôi cảm ơn thầy về những lời khuyên, gợi ý và sự hỗ trợ tận tình, chu đáo của thầy trong quá trình học tập và giúp tôi hoàn thành luận văn này. Đồng thời, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn đến PGS. TS Nguyễn Bác Văn, TS. Dương Tôn Đảm. Các thầy đã trang bị cho tôi kiến thức, giúp tôi hiểu rõ hơn về xác suất, thống kê và ảnh hưởng sâu sắc đến con đường học tập, nghiên cứu khoa học của mình. TP. HCM - Ngày 20 tháng 06 năm 2009 Tác giả Ngô Ngọc Minh Lời mở đầu Hầu hết ở các nước phát triển, vốn dự phòng ban đầu là một lượng nhỏ cố định được quy định bởi chính phủ và phụ thuộc vào sự luân chuyển vốn của công ty bảo hiểm. Thật vậy, điều đó giúp bảo vệ khách hàng tránh tình trạng không may là công ty phải trả một lượng lớn tiền bồi thường trong một khoảng thời gian ngắn làm công ty mất khả năng chi trả (rủi ro). Vấn đề quản lý rủi ro trong bảo hiểm là một trong các vấn đề quan trọng nhất. Việc có một mô hình toán học giúp quản lí rủi ro là rất cần thiết cho các công ty bảo hiểm. Jarrow Land và Turnbull chỉ ra rằng có thể giải quyết được vấn đề rủi ro trong tài chính và bảo hiểm bằng công cụ xích Markov. Sau đó nhiều bài báo đã chỉ ra rằng xích Markov có thể nảy sinh nhiều vấn đề. Cũng từ thời điểm này người ta nghĩ đến việc ứng dụng bán Markov vào rủi ro trong tài chính và bảo hiểm. Nguyên nhân là đối với xích Markov thời gian chuyển đổi giữa các trạng thái là rời rạc. Đây là lý do tại sao bán Markov được dùng tốt hơn xích Markov. Trong luận văn này tôi sẽ trình bày ứng dụng của quá trình bán Markov vào quản lý rủi ro trong bảo hiểm. Mục lục Lời cảm ơn 2 Lời mở đầu 3 Mục lục 4 1 Thuyết tái tạo 1 1.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Định nghĩa chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Phương trình tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1 Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.2 Phép biến đổi Laplace Stieltjes (L-S) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.3 Một ứng dụng đối với hàm tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.1 Đẳng thức Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.2 Chặn dưới của hàm tái tạo R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8 Các thời điểm hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8.2 Hàm phân phối của số lần hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8.3 Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng . . . . . . . . . . . . . 30 1.10 Dạng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.10.1 Phương pháp cầu phương tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.10.2 Một vài công thức đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.10.3 Ví dụ thực tế về tai nạn ô tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 Xích Markov 45 2.1 Tính Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.1 Định nghĩa tính Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Định nghĩa xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Phân loại trạng thái xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Các trạng thái tuần hoàn và không tuần hoàn . . . . . . . . . . . . 50 2.3.2 Các trạng thái ước lượng và không ước lượng được – Tính tối giản . 50 MỤC LỤC 5 2.3.3 Trạng thái nhất thời và hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 Số lần chiếm giữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5 Tính xác suất hấp thu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.6 Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.7 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) . . . . . . . . . . . 63 2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.9.1 Thuật toán cho nghiên cứu xích Markov tiệm cận . . . . . . . . . . 65 2.9.2 Mẫu dữ liệu tối giản thực tế trong bảo hiểm xe . . . . . . . . . . . 68 2.9.3 Các ví dụ rút gọn được và không rút gọn được, dạng kết nối chính tắc. 72 3 Quá trình tái tạo Markov, bán Markov và bước ngẫu nhiên Markov 82 3.1 Quá trình (J-X) dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2 Xích bán Markov và xích bán Markov mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3 Các tính chất chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4 Ví dụ về quá trình yêu cầu bồi thường trong bảo hiểm . . . . . . . . . . . 86 3.5 Quá trình tái tạo Markov, quá trình bán-Markov và quá trình đếm liên kết 87 3.6 Các hàm tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.7 Phương trình tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.8 Dáng điệu tiệm cận của MRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.8.1 Dáng điệu tiệm cận của hàm tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . 92 3.9 Dáng điệu tiệm cận của SMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.9.1 Trường hợp tối giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.9.2 Trường hợp không tối giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.10 MRP trì hoãn và MRP dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.11 Trường hợp nghiên cứu về bảo hiểm xã hội . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.11.1 Mô hình bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.11.2 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.12 Quá trình (J-X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.13 Các hàm của quá trình (J-X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.14 Các bước ngẫu nhiên cổ điển và lý thuyết rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.14.1 Các kí hiệu cơ bản trong bước ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 103 3.14.2 Sự phân loại các bước ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.15 Các bước ngẫu nhiên bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.16 Phân phối cận trên đúng cho các bước ngẫu nhiên bán Markov . . . . . . . 107 4 Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm 109 4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ điển cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản . . . 109 4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.2 Phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.3 Ba quá trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.4 Xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.2 Xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.3 Quản lí rủi ro bằng xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3.4 Ước lượng Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 MỤC LỤC 6 4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản . . . . 123 4.4.1 Mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.4.2 Mô hình rủi ro ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.1 Mô hình rủi ro bán Markov (hay SMRM) . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.2 Mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (hay GSMRM) . . . . . . . . 125 4.5.3 Quá trình đếm số yêu cầu bồi thường . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5.4 Quá trình tiền bảo hiểm tích lũy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.5.5 Quá trình tiền đóng bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.6 Quá trình rủi ro và rủi ro của vốn dự trữ . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.7 Mô hình rủi ro bán-Markov dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát . . . . . . . . 132 4.6.1 Xác suất phá sản và không phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.6.2 Sự thay đổi mức phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.6.3 Giải pháp tổng quát cho vấn đề tiệm cận xác suất rủi ro . . . . . . 134 Kết luận 137 Tài liệu tham khảo 138 Chương 1 Thuyết tái tạo 1.1 Mục đích Đặt (Xn, n ≥ 1) là một dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập và có cùng phân phối được xác định trên không gian xác suất (Ω,=, P ). Ta xét vấn đề về độ tin cậy như sau: tại thời điểm 0, hệ được xét bắt đầu với một thành phần mới và sau đó nó bị hỏng tại thời điểm ngẫu nhiên T1. Tại thời điểm này, một thành phần mới khác lập tức được thay thế cho thành phần đầu tiên trong hệ, sau đó nó cũng bị hỏng tại thời điểm c và cứ tiếp tục quá trình như vậy. Tất cả các thành phần này đều cùng loại. Ta gọi (Tn, n ≥ 0) là các thời điểm thay thế liên tiếp, ta có T0 = 0. (1.1) Tuổi thọ của các thành phần liên tiếp được đưa vào hệ cho bởi Xn = Tn − Tn−1, n ≥ 1. (1.2) Hình 1.1: Đồ thị của N(t) 1.2 Định nghĩa chính 2 Từ quan điểm toán tử, một đặc trưng quan trọng của hệ được xét tại thời điểm t là tổng số các thay thế xảy ra trong khoảng [0, t]. Lưu ý rằng ta không xét thành phần đầu tiên. Nếu N(t) là biến ngẫu nhiên ta vừa định nghĩa, với n ≥ 1 ta có: N(t) > n− 1 ⇔ Tn ≤ t. (1.3) Quá trình ngẫu nhiên (N(t), t ≥ 0), được thể hiện ở hình 1.1. Mômen cấp một của N(t) sẽ cho số lượng trung bình của sự thay thế trong (0, t]. Đặc biệt nếu tại thời điểm 0, người quản lý có đủ khả năng để thực hiện toàn bộ sự thay thế, số lượng thay thế trung bình sẽ là kì vọng E(N(t)). Dĩ nhiên, nhà quản lý phải dự trữ thêm để ngăn chặn sự gia tăng ngẫu nhiên. Vấn đề này sẽ được giải quyết trong mục 1.7. Lĩnh vực nghiên cứu xác suất của các quá trình này được gọi là thuyết tái tạo. Nó được sử dụng cho xác suất ứng dụng, một trong những chủ đề quan trọng để giải quyết một số vấn đề trong cuộc sống. 1.2 Định nghĩa chính Định nghĩa 1.1. Dãy ngẫu nhiên (Tn, n ≥ 0), trong đó T0 = 0, (1.4) Tn = X1 + . . .+Xn, n ≥ 1 (1.5) được gọi là dãy tái tạo hoặc quá trình tái tạo. Các biến ngẫu nhiên Tn, n ≥ 0 được gọi là thời điểm tái tạo và biến ngẫu nhiênXn, n ≥ 1 được gọi là khoảng thời gian giữa hai lần chuyển đổi. Ví dụ 1.1. 1. Ta xét hệ thống hàng đợi của một dịch vụ, quá trình khách hàng đến và quá trình số lần phục vụ được áp dụng bởi luật FIFO, nghĩa là khách hàng nào tới trước sẽ được phục vụ trước. Trong nhiều mô hình của lý thuyết hàng đợi, quá trình đến được thừa nhận là một quá trình tái tạo. Trong trường hợp này, biến ngẫu nhiên Tn là thời gian đến của khách hàng thứ n, khi đó khách hàng số 0 thì sẽ được phục vụ tại thời điểm 0 và biến ngẫu nhiên Xn mô tả khoảng thời gian đến giữa khách hàng thứ (n− 1) và thứ n. 2. Quá trình đến cũng được xét trong lý thuyết rủi ro. Ta xét một công ty bảo hiểm bắt đầu tại thời điểm 0 với số vốn ban đầu u(u ≥ 0). Khách hàng đóng phí bảo hiểm và công ty bảo hiểm phải trả tiền bồi thường khi khách hàng xảy ra tai nạn. Trong trường hợp này, biến ngẫu nhiên Tn mô tả yêu cầu bồi thường bảo hiểm thứ n và công ty sẽ bắt đầu xem xét chi trả tiền bồi thường với yêu cầu đầu tiên được gọi là yêu cầu bồi thường 0, biến ngẫu nhiên Xn là “khoảng thời gian đến” giữa sự bồi thường thứ (n− 1) và thứ n. 3. Trong lý thuyết đếm, ta xét các mẫu đến tại thời điểm Tn, n ≥ 0 với T0 = 0, biến ngẫu nhiên Xn thỏa các điều kiện của thời điểm đến giữa 2 lần chuyển đổi liên tục. Định nghĩa 1.2. Với mỗi dãy tái tạo, ta có thể kết hợp các quá trình ngẫu nhiên sau có thời gian liên tục với các giá trị trong N : (N(t), t ≥ 0) (1.6) khi đó N(t) > n− 1 ⇔ Tn ≤ t, n ∈ N0. Quá trình này được gọi là quá trình đếm kết hợp hoặc quá trình đếm tái tạo. N(t) mô tả tổng số tái tạo trong (0, t]. 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo 3 Định nghĩa 1.3. Hàm tái tạo được định nghĩa H(t) = E(N(t)) (1.7) trong đó kì vọng được quy định là hữu hạn. 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo Ta giả sử rằng các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên R có hàm phân phối F như vậy: F (0) < 1. (1.8) Nếu F (+∞) = 1 (1.9) ta sẽ có trường hợp thông thường của các biến ngẫu nhiên thực. Từ hệ thức 1.5, ta có: P (N(t) > n− 1) = F (n)(t), n ≥ 1 (1.10) F (n) là tích chập n lần của hàm F với chính nó. Từ đó với n ≥ 1 P (N(t) = n) = P (N(t) > n− 1)− P (N(t) > n). (1.11) Áp dụng hệ thức 1.10 ta có: P (N(t) = n) = F (n)(t)− F (n+1)(t), n ≥ 1. (1.12) F (0) đựơc định nghĩa là phân phối Heaviside với giá trị tại thời điểm ban đầu F (0) = U0, (1.13) hệ thức 1.12 vẫn đúng cho n = 0, do đó P (N(t) = 0) = 1− F (t). (1.14) Áp dụng bổ đề Stein, kết quả quan trọng sau được chứng minh. Mệnh đề 1.4. Nếu F (0) < 1, với mọi t thì N(t) có mô men bậc bất kì. Đặc biệt, mệnh đề này có nghĩa là hàm tái tạo hữu hạn với mọi t hữu hạn. Do đó, ta có thể viết : E(N(t)) = ∞∑ n=1 n [ F (n)(t)− F (n+1)] = F (t)− F (2)(t) + 2F (2)(t)− 2F (3)(t) + · · · (1.15) = F (t) + F (2)(t) + F (3)(t) + · · · vì thế sử dụng hệ thức 1.7: H(t) = ∞∑ n=1 F (n)(t). (1.16) 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo 4 Trong một vài trường hợp, nó hữu ích để xét tái tạo ban đầu và để định nghĩa biến ngẫu nhiên N ′(t) vào thời điểm t là tổng số tái tạo trong [0, t]. Rõ ràng, với mọi t ≥ 0: N ′(t) = N(t) + 1 (1.17) do đó: E(N ′(t)) = H(t) + 1. (1.18) Đặt R(t) = E(N ′(t)) (1.19) Theo hệ thức 1.18, 1.16 và 1.13 ta có: R(t) = ∞∑ n=0 F (n)(t). (1.20) Hiển nhiên ta có: R(t) = U0(t) +H(t). (1.21) Sự phân loại của quá trình tái tạo dựa trên ba khái niệm: hồi quy, nhất thời và tuần hoàn. Định nghĩa 1.5. i) Một quá trình tái tạo (Tn,n ≥ 1) là hồi quy nếu Xn < ∞ với mọi n, ngược lại nó được gọi là nhất thời. ii) Một quá trình tái tạo (Tn,n ≥ 1) là tuần hoàn với chu kì δ nếu các giá trị có thể có của các biến ngẫu nhiên Xn, n ≥ 1 có dạng tập hợp đếm được {0, δ, 2δ, . . .}, và δ là số lớn nhất. Ngược lại, nếu không có δ nào dương thì quá trình tái tạo là không tuần hoàn. Kết quả trực tiếp của định nghĩa này là đặc trưng của một kiểu quá trình tái tạo với sự trợ giúp của hàm phân phối F. Mệnh đề 1.6. Một quá trình tái tạo của hàm phân phối F là i) Hồi quy khi và chỉ khi F (∞) = 1. ii) Nhất thời khi và chỉ khi F (∞) < 1. iii) Tuần hoàn với chu kì δ (δ > 0) khi và chỉ khi nếu F là hằng số nằm ngoài khoảng [nδ,(n + 1)δ), n ∈ N và tất cả các bước nhảy của nó xảy ra tại các điểm nδ, n ∈ N. Nếu t tiến đến +∞ hệ thức 1.16 cho: H(+∞) =  +∞ nếu F (+∞) = 1F (+∞) 1− F (+∞) nếu F (+∞) < 1. (1.22) Hoặc tương đương với với hệ thức 1.20: R(+∞) =  +∞ nếu F (+∞) = 11 1− F (+∞) nếu F (+∞) < 1. (1.23) Điều này sẽ được chứng minh ở định lí tiếp theo. Mệnh đề 1.7. Quá trình tái tạo của hàm phân phối F là hồi quy hay nhất thời phụ thuộc vào H(+∞) = +∞ hoặc H(+∞) < +∞. Trong trường hợp cuối, ta có R(+∞) = 1 1− F (+∞) hoặc H(+∞) = F (+∞) 1− F (+∞) . (1.24) 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo 5 Sự phân loại được trình bày ở trên sẽ rõ ràng hơn với khái niệm tuổi thọ của quá trình tái tạo. Định nghĩa 1.8. Tuổi thọ của quá trình tái tạo (Tn, n ≥ 1) là biến ngẫu nhiên L được định nghĩa: L = sup{Tn : Tn <∞}. (1.25) Vì thế, nếu L = `, có nghĩa là chỉ có một số lượng hữu hạn sự tái tạo trên [0,∞). Ta cũng định nghĩa một biến ngẫu nhiên N mới, nó là tổng số lượng tái tạo trên [0, L). Định nghĩa 1.9. Tổng số lượng các tái tạo trong (0,∞), có thể là vô hạn, được cho bởi N = sup{N(t), t ≥ 0}. (1.26) Trong lý thuyết độ tin cậy, biến cố {N = k} có nghĩa là thành phần thứ (k + 1) được đưa vào hệ thống và sẽ có tuổi thọ là vô hạn. Phân phối xác suất của N được cho bởi công thức P (N = 0) = 1− F (+∞), (1.27) P (N = 1) = F (+∞)(1− F (+∞)) (1.28) và tổng quát với k ∈ N : P (N = k) = (F (+∞))k(1− F (+∞)). (1.29) Hiển nhiên nếu F (+∞) = 1, ta có N = +∞. (1.30) Trong trường hợp quá trình tái tạo nhất thời, theo hệ thức 1.29 ta có: E(N) = ∞∑ k=1 k[F (+∞)]k(1− F (+∞)). (1.31) Như hàm số 1 1− x với |x| < 1 (hay −1 < x < 1) có thể viết dưới dạng chuỗi lũy thừa: 1 1− x = ∞∑ n=0 xn. (1.32) Với x ∈ (−1,+1) và như vậy, lấy đạo hàm ta được 1 (1− x)2 = ∞∑ n=1 nxn−1. (1.33) Viết hệ thức 1.31 dưới dạng E(N) = F (+∞)(1− F (+∞)). ∞∑ k=1 k[F (+∞)]k−1 (1.34) theo 1.33 ta có: E(N) = F (+∞) 1− F (+∞) . (1.35) 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo 6 Vì vậy, có thể tính được trung bình của tổng số các tái tạo một cách dễ dàng trong trường hợp nhất thời. Ta cũng có thể đưa ra hàm phân phối của L. Thực vậy, ta có: P (L ≤ t) = ∞∑ n=0 P (Tn ≤ t, Xn+1 = +∞). (1.36) Với Tn và Xn+1 độc lập nhau ta suy ra : P (L ≤ t) = 1− F (+∞) + ∞∑ n=1 F (n)(t)(1− F (+∞)). (1.37) Cuối cùng, theo đẳng thức 1.20: P (L ≤ t) = (1− F (+∞))R(t). (1.38) Để tính tuổi thọ trung bình của quá trình, ta sử dụng thủ thuật sau dựa trên tính độc lập của các biến ngẫu nhiên Xn, n ≥ 1, ta có thể viết: E(L) = E(T1 .I{T1<∞}) + E(L).E(I{T1<∞}) (1.39) = F (+∞) +∞∫ 0 ( 1− F (t) F (+∞) ) dt+ E(L).F (+∞) (1.40) vì thế E(L) = +∞∫ 0 (F (+∞)− F (t))dt+ E(L).F (+∞). (1.41) Và cuối cùng E(L) = 1 1− F (+∞) +∞∫ 0 (F (+∞)− F (t)) dt. (1.42) Vì vậy, với quá trình tái tạo nhất thời, tuổi thọ luôn hữu hạn và có một giá trị trung bình hữu hạn được cho bởi hệ thức 1.42. Ví dụ 1.2 (Quá trình Poisson). Trong lý thuyết hàng đợi và lý thuyết rủi ro đã được trình bày trong ví dụ 1.1, giả thiết cổ điển của quá trình đến là nó hình thành quá trình tái tạo mà ở đó biến ngẫu nhiên Xn thường có hàm phân phối được cho bởi F (x) = { 0 nếu x < 0 1− e−λx nếu x ≥ 0 (1.43) với λ là một hằng số xác định dương. Với F (+∞) = 1 thì quá trình đến là một quá trình hồi quy. Theo 1.10, có thể có biểu thức giải tích của tích chập liên tục n lần. Thực vậy, ta có thể viết tiếp: 1.4 Phương trình tái tạo 7 F (2)(t) = λ ∫ t 0 (1− e−λ(t−x))e−λxdx (1.44) = λ t∫ 0 (e−λx − e−λt)dx (1.45) = 1− e−λt − λte−λt (1.46) = 1− e−λt(1 + λt) (1.47) và tổng quát: F (n)(t) = 1− e−λt n−1∑ k=0 (λt)k k! . (1.48) Áp dụng kết quả 1.12 ta có: P (N(t) = n) = 1− e−λt n−1∑ k=0 (λt)k k! − 1 + e−λt n∑ k=0 (λt)k k! = e−λt (λt)n n! . (1.49) Với mọi t cố định, quá trình (N(t)) là quá trình Poisson của tham số λt. Giá trị của hàm tái tạo H theo hệ thức 1.16 và 1.15 H(t) = ∞∑ n=1 ne−λt (λt)n n! (1.50) = e−λt ∞∑ n=1 (λt)n (n− 1)! (1.51) = e−λtλt ∞∑ n=1 (λt)n−1 (n− 1)! .