Lý thuyết KKM và bài toán cân bằng

Mục lục Lời nói đầu 1 Ch−ơng 1 Cơ sở lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô 3 1.1 Nguyên lý ánh xạ KKM và điểm bất động . . . . . . . . . . . 3 1.2 Bất đẳng thức Ky Fan và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . 15 Ch−ơng 2 Bài toán cân bằng 33 2.1 Cân bằng Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Các kết quả gần đây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Ch−ơng 3 Bất đẳng thức biến phân 60 3.1 Bài toán biến phân cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 Kết quả cơ bản về bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . 61 3.3 Các kết quả gần đây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Kết luận 102 Tài liệu tham khảo 104 Lời nói đầu Lý thuyết KKM ra đời năm 1961 với bài báo của Ky Fan: ”A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem”, trong đó có một kết quả quan trọng mà ngày nay đ−ợc gọi là nguyên lý ánh xạ KKM. Kết quả này là sự mở rộng bổ đề Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz (1929) từ không gian tuyến tính hữu hạn chiều ra không gian vectơ tôpô tách bất kỳ. Nguyên lý ánh xạ KKM khởi nguồn cho một loạt kết quả quan trọng khác, có nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến, đặc biệt là một bất đẳng thức minimax mà ngày nay gọi là bất đẳng thức Ky Fan. Từ bất đẳng thức này có thể dễ dàng suy ra một số kết quả nổi tiếng nh− nguyên lý điểm bất động Schauder, định lý tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân. Mặt khác, cũng từ nguyên lý ánh xạ KKM có thể nhận đ−ợc định lý điểm bất động Browder - Fan, từ đây lại nhận đ−ợc định lý minimax Sion - Neumann, định lý tồn tại điểm cân bằng Nash... Những kết quả này đ−ợc tập hợp lại d−ới một cái tên chung: Lý thuyết KKM. Lý thuyết này đã phát triển ra các không gian siêu lồi và nửa dàn tôpô. Năm 1950 chứng kiến sự ra đời của một lý thuyết quan trọng trong Toán kinh tế với bài báo của John Nash: ”Equilibrium points in n-person games” về trò chơi không hợp tác. Lý thuyết này có một tầm quan trọng đặc biệt trong kinh tế nên tác giả của nó đã đ−ợc nhận giải th−ởng Nobel vào năm 1994. Định lý cơ bản của Nash về tồn tại điểm cân bằng cho một hệ kinh tế đến nay đã đ−ợc nhiều nhà toán học cải tiến và nâng cao, từ không gian hữu hạn chiều ra không gian vô hạn chiều, từ ánh xạ đơn trị ra ánh xạ đa trị,... Dạng tổng quát nhất của bài toán cân bằng rất gần với bất đẳng thức Ky Fan, vì vậy lý thuyết KKM đóng một vai trò quan trọng khi nghiên cứu bài toán cân bằng, mà một tr−ờng hợp riêng là các bất đẳng thức biến phân. Cả hai lý thuyết nêu trên đều rất quan trọng về lý thuyết và ứng dụng, vẫn đang trong quá trình phát triển và hoàn thiện. Có thể nói lý thuyết KKM là một cơ sở lý thuyết cho bài toán cân bằng. Đã có nhiều bài báo về các vấn đề này nh−ng theo chúng tôi đ−ợc biết, ch−a có một tài liệu nào giới thiệu một cách hệ thống mối liên hệ giữa các lý thuyết nói trên. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài: ”Lý thuyết KKM và bài toán cân bằng” với hy vọng cung cấp cho độc giả những thông tin bổ ích. Vì thời gian hạn chế nên chúng tôi chỉ giới thiệu các kết quả cơ bản theo các h−ớng nêu trên, đặc biệt là những kết quả gần đây. Trong bản luận văn này, chúng tôi trình ba ch−ơng gồm những nội dung chính sau đây: • Ch−ơng 1 giới thiệu cơ lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô. • Ch−ơng 2 giới thiệu bài toán cân bằng. • Ch−ơng 3 giới thiệu bất đẳng thức biến phân. 1 Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TSKH Đỗ Hồng Tân đã h−ớng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Sự chỉ bảo ân cần của thầy Đỗ Hồng Tân trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thạc sĩ Nguyễn Thế Vinh đã cung cấp cho tác giả các tài liệu quan trọng và những lời khuyên quý báu. Tác giả cũng xin chân thành cám ơn những đóng góp bổ ích của các thành viên của Xêmina ”Hình học của các không gian Banach và lý thuyết điểm bất động” do Bộ môn Giải tích, Tr−ờng Đại học S− phạm Hà Nội tổ chức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo Khoa Toán, Tr−ờng Đại học S− phạm Hà Nội, cùng toàn thể bạn bè và ng−ời thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 02 tháng 09 năm 2007 Học viên: Trần Việt Anh1 1E-mail: tranvietanh.ceqea@gmail.com 2 Ch−ơng 1 Cơ sở lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô Trong ch−ơng này, chúng tôi trình bày các kết quả cơ bản của lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô. Đó là Nguyên lý ánh xạ KKM, bất đẳng thức Ky Fan và các ứng dụng của nó. Sau cùng chúng tôi trình bày một ứng dụng khá mới và hay của bất đẳng thức Ky Fan, đó là chứng minh định lý định lý điểm bất động Fan-Glicksberg. 1.1 Nguyên lý ánh xạ KKM và điểm bất động Năm 1929, ba nhà toán học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh đ−ợc một kết quả quan trọng mang tên ”Bổ đề KKM”([35, trang 68]1). Định lý 1.1.1. Cho Δn := conv({e0, e1, . . . , en}) là n-đơn hình tiêu chuẩn trong Rn, trong đó ei, i = 0, 1, . . . , n, là vectơ đơn vị thứ (i+1) của Rn+1 và các tập hợp đóng F0, F1, . . . , Fn trong Δn thỏa mãn điều kiện: với mọi tập con khác rỗng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta có conv({ej : j ∈ J}) ⊂ ⋃ {Fj : j ∈ J}. Khi đó n⋂ j=0 Fj = ∅. Điều thú vị là ”Bổ đề KKM” đ−ợc chứng minh dựa trên một kết quả của Sperner năm 1928 ([35, trang 67]) về phép tam giác phân một đơn hình, thuộc lĩnh vực toán học tổ hợp, một lĩnh vực t−ởng chừng nh− không liên quan gì đến lý thuyết điểm bất động. Mặc dù Bổ đề KKM rất quan trọng, vì nó cho ta một chứng minh đơn giản Nguyên lý điểm bất động Brouwer (xem Định lý 1.1.3), nh−ng lại hạn chế do chỉ áp dụng đ−ợc cho các không gian vectơ hữu hạn chiều. Để khắc phục điều này, năm 1961, nhà toán học nổi tiếng Ky Fan đã mở rộng Bổ đề KKM cho tr−ờng hợp không gian vectơ tôpô Hausdorff. Định lý của Ky Fan ngày nay đ−ợc gọi là Nguyên lý ánh xạ KKM. Sau đây chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh Nguyên lý ánh xạ KKM bằng cách sử dụng Bổ đề KKM. Điều thú vị và ngạc nhiên là Nguyên lý ánh xạ KKM vẫn còn đúng khi không gian nền không cần tính ”tách”. Theo nh− tác giả đ−ợc biết thì ý t−ởng chứng 1Trong [35], các tác giả phát biểu cho đơn hình S bất kỳ trong Rn, ở đây ta chỉ sử dụng đơn hình tiêu chuẩn Δn trong Rn. 3 minh định lý sau đây gần gũi với ý t−ởng của Horvath và Llinares Ciscar (1996) khi họ chứng minh nguyên lý ánh xạ KKM cho nửa dàn tôpô [17], tuy nhiên bản thân tác giả không hề biết phép chứng minh này. Định lý 1.1.2 (Nguyên lý ánh xạ KKM). Cho C là một tập hợp khác rỗng trong không gian vectơ tôpô X, F : C −→ 2X là một ánh xạ KKM, nghĩa là với mọi tập hợp hữu hạn khác rỗng A trong C ta có conv(A) ⊂ ⋃ {F (x) : x ∈ A}. Giả sử rằng F (x) là tập đóng trong X với mọi x ∈ C . Khi đó với mọi tập hợp hữu hạn khác rỗng A trong C , ta có⋂ x∈A F (x) = ∅. Chứng minh. Xét A = {a0, a1, . . . , an} là tập con hữu hạn khác rỗng trong C , ta chứng minh n⋂ j=0 F (aj) = ∅. Xét ánh xạ ΦA : Δn −→ X cho bởi, với x = n∑ i=0 λi(x)ei ∈ Δn, λi(x)  0, i = 0, 1, . . . , n, n∑ i=0 λi(x) = 1, thì ΦA(x) = n∑ i=0 λi(x)ai. Với i = 0, 1, . . . , n, ta xét ánh xạ pi : Δn −→ R cho bởi, với x = n∑ i=0 λiei ∈ Δn, λi  0, i = 0, 1, . . . , n, n∑ i=0 λi = 1, thì pi(x) = λi. Rõ ràng các ánh xạ pi là liên tục. Với i = 0, 1, . . . , n, ta xét ánh xạ fi : R −→ X cho bởi fi(λ) = λai với mọi λ ∈ R. Vì X là không gian vectơ tôpô nên fi là ánh xạ liên tục. Từ đó, vì ΦA = n∑ i=0 fi ◦ pi nên ΦA : Δn −→ X là ánh xạ liên tục. Ta chứng minh với mọi tập con J khác rỗng của {0, 1, . . . , n} thì ΦA(conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}). Thật vậy, với x = ∑ j∈J λj(x)ej ∈ conv({ej : j ∈ J}), λj(x)  0 với mọi j ∈ J ,∑ j∈J λj(x) = 1, thì ΦA(x) = ∑ j∈J λj(x)aj. Do đó ΦA(x) ∈ conv({aj : j ∈ J}). 4 Vì x ∈ conv({ej : j ∈ J}) là tuỳ ý nên ΦA(conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}). (1.1) Vì F : C −→ 2X là một ánh xạ KKM nên conv({aj : j ∈ J}) ⊂⋃ {F (aj) : j ∈ J}. Kết hợp với (1.1), ta có ΦA(conv({ej : j ∈ J})) ⊂⋃ {F (aj) : j ∈ J}. Suy ra conv({ej : j ∈ J}) ⊂ Φ−1A ( ⋃ {F (aj) : j ∈ J}) = ⋃ {Φ−1A (F (aj)) : j ∈ J}. (1.2) Đặt Fj = Φ−1A (F (aj)), j = 0, 1, . . . , n. Khi đó theo (1.2), với mọi tập con khác rỗng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta có conv({ej : j ∈ J}) ⊂ ⋃ {Fj : j ∈ J}. Vì ánh xạ ΦA : Δn −→ X là liên tục và các tập F (a0), F (a1), . . . , F (an) là đóng trong X nên các tập Fj = Φ−1A (F (aj)) là đóng trong Δn. Khi đó, theo Bổ đề KKM (Định lý 1.1.1) n⋂ j=0 Fj = ∅. Nghĩa là n⋂ j=0 Φ−1A (F (aj)) = ∅, suy ra n⋂ j=0 F (aj) = ∅. Vậy Nguyên lý ánh xạ KKM đ−ợc chứng minh. Trong Nguyên lý ánh xạ KKM, ta chỉ khẳng định ⋂ x∈A F (x) = ∅ với mọi A hữu hạn trong C . Tính chất này th−ờng đ−ợc phát biểu là họ ”{F (x) : x ∈ C} có tính chất giao hữu hạn”. Trong [35], các tác giả đã đ−a ra điều kiện để⋂ x∈C F (x) = ∅, sau đây tác giả xin đ−a ra điều kiện có phần ”tốt” hơn. Điều kiện đó là: tồn tại hữu hạn các điểm a1, a2, . . . , an thuộc C và tập compact K trong không gian vectơ tôpô X để n⋂ j=1 F (aj) ⊂ K . Thật vậy, ta chứng minh ⋂ x∈C F (x) = ∅. Giả sử ⋂ x∈C F (x) = ∅. Suy ra X = X\ ⋂ x∈C F (x) = ⋃ x∈C (X\F (x)). Vì F (x) là đóng trong X và K ⊂ X = ⋃ x∈C (X\F (x)) nên {X\F (x) : x ∈ C} là 5 phủ mở của tập compact K . Do đó, tồn tại x1, x2, . . . , xk ∈ C sao cho K ⊂ k⋃ i=1 (X\F (xi)) = X\ k⋂ i=1 F (xi). Từ đó ta có K ∩ k⋂ i=1 F (xi) = ∅. Kết hợp với n⋂ j=1 F (aj) ⊂ K , ta suy ra n⋂ j=1 F (aj)∩ k⋂ i=1 F (xi) = ∅. Điều này trái với tính chất giao hữu hạn của họ {F (x) : x ∈ C}. Vậy ⋂ x∈C F (x) = ∅. Một trong những định lý nổi tiếng nhất của Toán học trong thế kỷ tr−ớc là Nguyên lý điểm bất động Brouwer. Đó là định lý trung tâm của lý thuyết điểm bất động và cũng là một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến. Định lý này đ−ợc Brouwer chứng minh năm 1912 dựa vào một công cụ rất sâu sắc của tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục nên khá phức tạp. Vì thế, nhiều nhà toán học đã tìm cách chứng minh Nguyên lý điểm bất động Brouwer bằng những công cụ đơn giản hơn. Bây giờ ta sẽ chứng minh Nguyên lý điểm bất động Brouwer từ Bổ đề KKM. Định lý 1.1.3 (Nguyên lý điểm bất động Brouwer). Cho T : Δn −→ Δn là một ánh xạ liên tục. Khi đó T có điểm bất động trong Δn.2 Chứng minh. Mỗi điểm x ∈ Δn đ−ợc biểu diễn duy nhất d−ới dạng x = n∑ i=0 xiei, với xi  0 với mọi i = 0, 1, . . . , n và n∑ i=0 xi = 1. Vì T (x) ∈ Δn nên ta có thể viết T (x) = n∑ i=0 (T (x))iei, với (T (x))i  0 với mọi i = 0, 1, . . . , n và n∑ i=0 (T (x))i = 1. Với mỗi i = 0, 1, . . . , n, đặt Fi = {x ∈ Δn : xi  (T (x))i}. Vì T : Δn −→ Δn là ánh xạ liên tục nên các tập Fi là đóng trong Δn. Thật vậy, với i = 0, 1, . . . , n, ta xét ánh xạ pi : Δn −→ R cho bởi, với x = n∑ i=0 λiei ∈ Δn, λi  0, i = 0, 1, . . . , n, n∑ i=0 λi = 1, thì pi(x) = λi. Rõ ràng các ánh xạ pi là liên tục. Vì T : Δn −→ Δn là ánh xạ liên tục và 2Trong một số tài liệu, Nguyên lý điểm bất động Brouwer th−ờng đ−ợc phát biểu là:”Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong Rn vào chính nó đều có điểm bất động”. 6 pi : Δn −→ R là ánh xạ liên tục nên pi ◦ T : Δn −→ R cũng là ánh xạ liên tục. Chú ý rằng, vì (pi ◦ T )(x) = (T (x))i nên các tập Fi có thể đ−ợc viết lại nh− sau Fi = {x ∈ Δn : pi(x)  (pi ◦ T )(x)}. Vì pi : Δn −→ R và pi ◦ T : Δn −→ R là các ánh xạ liên tục với mọi i = 0, 1, . . . , n nên các tập Fi là đóng trong Δn với mọi i = 0, 1, . . . , n. Giả sử I ⊂ {0, 1, . . . , n} là một tập hợp khác rỗng, ta chứng minh conv({ei : i ∈ I}) ⊂ ⋃ {Fi : i ∈ I}. Lấy x ∈ conv({ei : i ∈ I}) tuỳ ý, khi đó x = n∑ i=0 xiei với xi  0 với mọi i = 0, 1, . . . , n, n∑ i=0 xi = 1 và xi = 0 với mọi i /∈ I . Ta chứng minh x ∈ ⋃ {Fi : i ∈ I}. Giả sử x /∈ Fi với mọi i ∈ I , suy ra xi < (T (x))i với mọi i ∈ I. Khi đó ta gặp mâu thuẫn 1 = n∑ i=0 xi = ∑ i∈I xi < ∑ i∈I (T (x))i  n∑ i=0 (T (x))i = 1. Vậy x ∈ ⋃ {Fi : i ∈ I}. Vì x ∈ conv({ei : i ∈ I}) là tuỳ ý nên conv({ei : i ∈ I}) ⊂ ⋃ {Fi : i ∈ I}. Theo Bổ đề KKM n⋂ i=0 Fi = ∅, nghĩa là tồn tại x∗ ∈ n⋂ i=0 Fi. Khi đó x∗ ∈ Fi với mọi i = 0, 1, . . . , n hay x∗i  (T (x∗))i với mọi i = 0, 1, . . . , n. Kết hợp với n∑ i=0 x∗i = 1 = n∑ i=0 (T (x∗))i, ta suy ra x∗i = (T (x ∗))i với mọi i = 0, 1, . . . , n. Do đó T (x∗) = x∗. Vậy T có điểm bất động trong Δn. Nguyên lý điểm bất động Brouwer có nội dung trực quan rất tự nhiên nh− sau. Giả sử có n+ 1 doanh nghiệp cạnh tranh nhau trên một thị tr−ờng, và mỗi điểm x ∈ Δn biểu thị tình thế trong đó doanh nghiệp i chiếm đ−ợc một thị phần bằng xi. Do cạnh tranh nên từ một tình thế x ∈ Δn có thể dẫn tới tình thế mới f(x). Đ−ơng nhiên, doanh nghiệp i mong muốn chuyển đến một tình thế f(x) 7 với (f(x))i > xi. Nguyên lý điểm bất động Brouwer cho biết nếu ánh xạ f liên tục thì bao giờ cũng có một điểm x∗ = f(x∗), nghĩa là một tình thế cân bằng mà không doanh nghiệp nào muốn thay đổi để đ−ợc lợi hơn. Chính vì thế mà Nguyên lý điểm bất động Brouwer (cùng với các mở rộng của nó) là công cụ xây dựng các lý thuyết cân bằng trong kinh tế và nhiều lĩnh vực khác. Trong chứng minh Bổ đề KKM, tính đóng của các tập F0, F1, . . . , Fn là bắt buộc. Một điều bất ngờ lý thú là tính đóng ở đây có thể thay bằng tính mở và việc chứng minh lại dựa chính vào Bổ đề KKM. Định lý 1.1.4. Cho F0, F1, . . . , Fn là các tập hợp mở trong Δn thỏa mãn điều kiện: với mọi tập con khác rỗng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta có conv({ej : j ∈ J}) ⊂ ⋃ {Fj : j ∈ J}. Khi đó n⋂ j=0 Fj = ∅. Chứng minh. Với mỗi y ∈ n⋃ i=0 Fi, đặt Hy = n⋂ i=0 {Fi : y ∈ Fi}. Khi đó y ∈ Hy và Hy là tập hợp mở trong Δn. Do đó tồn tại tập hợp mở Uy trong Δn sao cho y ∈ Uy ⊂ U y ⊂ Hy. Với mọi I ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta có⋃ {Fi : i ∈ I} ⊂ ⋃ {Uy : y ∈ ⋃ i∈I Fi}. và conv({ei : i ∈ I}) ⊂ ⋃ {Fi : i ∈ I}. Suy ra conv({ei : i ∈ I}) ⊂ ⋃ {Uy : y ∈ ⋃ i∈I Fi}. Vì conv({ei : i ∈ I}) là tập compact trong Rn+1 nên tồn tại tập hữu hạn khác rỗng BI ⊂ ⋃ i∈I Fi sao cho conv({ei : i ∈ I}) ⊂ ⋃ {Uy : y ∈ BI}. Đặt B = ⋃ {BI : I ⊂ {0, 1, . . . , n}} thì B là tập hữu hạn khác rỗng. Với mỗi i ∈ {0, 1, . . . , n}, đặt Gi = ⋃ {U y : y ∈ B,Uy ⊂ Fi}. 8 Ta chứng tỏ rằng tập Gi là xác định. Đặt I = {i}, vì BI = ∅ nên tồn tại y ∈ BI . Ngoài ra vì BI ⊂ Fi nên y ∈ Fi. Theo định nghĩa của Hy thì Hy ⊂ Fi và do đó Uy ⊂ Fi. Vì y ∈ BI và BI ⊂ B nên y ∈ B. Vậy tồn tại y ∈ B để Uy ⊂ Fi, tức là tập Gi xác định. Mà B là tập hữu hạn nên Gi là tập hợp đóng trong Δn. Nếu z ∈ Gi thì tồn tại y ∈ B để y ∈ Uy ⊂ Fi và z ∈ U y ⊂ Hy. Từ định nghĩa của Hy, ta suy ra z ∈ Fi. Vậy Gi ⊂ Fi. Bây giờ ta chứng minh conv({ei : i ∈ I}) ⊂ ⋃ {Gi : i ∈ I} với mọi tập con khác rỗng I của {0, 1, . . . , n}. Lấy z ∈ conv({ei : i ∈ I}) ⊂ ⋃ {Uy : y ∈ BI} thì tồn tại y ∈ BI ⊂ ⋃ {Fi : i ∈ I} để z ∈ Uy. Do đó tồn tại j ∈ I để y ∈ Fj. Theo định nghĩa của Hy thì Hy ⊂ Fj, do đó Uy ⊂ Fj. Mặt khác, từ định nghĩa của Gj thì U y ⊂ Gj và do đó z ∈ Uy ⊂ U y ⊂ Gj hay z ∈ Gj . Vậy ta có z ∈ ⋃ {Gi : i ∈ I}. Vì z ∈ conv({ei : i ∈ I}) là tùy ý nên conv({ei : i ∈ I}) ⊂ ⋃ {Gi : i ∈ I}. Chú ý rằng, vì các tập Gi là đóng trong Δn nên theo Định lý 1.1.1 n⋂ j=0 Gj = ∅. Từ Gj ⊂ Fj với mọi j = 0, 1, . . . , n, ta suy ra n⋂ j=0 Fj = ∅. Định lý đ−ợc chứng minh. Định lý 1.1.4 đ−ợc gọi là Bổ đề KKM cho các tập hợp mở. Vận dụng Định lý 1.1.4, ta phát biểu và chứng minh định lý Shih. Định lý 1.1.5 (Định lý Shih). Cho C là một tập hợp lồi khác rỗng trong không gian vectơ tôpô X và A là một tập con hữu hạn của C . Giả sử F : A −→ 2C là một ánh xạ KKM và F (x) là tập mở trong C với mọi x ∈ A. Khi đó ⋂ x∈A F (x) = ∅. Chứng minh. Xét A = {a0, a1, . . . , an} là tập con hữu hạn khác rỗng trong C , ta chứng minh n⋂ j=0 F (aj) = ∅. Xét ánh xạ ΦA : Δn −→ X cho bởi, với x = n∑ i=0 λi(x)ei ∈ Δn, λi(x)  0, i = 0, 1, . . . , n, n∑ i=0 λi(x) = 1, thì ΦA(x) = n∑ i=0 λi(x)ai. 9 Ta thấy rằng ΦA(x) ∈ C với mọi x ∈ Δn. Thật vậy, với x = n∑ i=0 λi(x)ei ∈ Δn, λi(x)  0, i = 0, 1, . . . , n, n∑ i=0 λi(x) = 1 thì ΦA(x) = n∑ i=0 λi(x)ai ∈ conv({a0, a1, . . . , an}). Vì a0, a1, . . . , an ∈ C và C là tập lồi nên conv({a0, a1, . . . , an}) ⊂ C , do đó ΦA(x) ∈ C . Khi đó, theo nh− chứng minh Nguyên lý ánh xạ KKM ta có ΦA : Δn −→ X là ánh xạ liên tục và với mọi tập con J khác rỗng của {0, 1, . . . , n} thì ΦA(conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}). (1.3) Vì F : A −→ 2C là một ánh xạ KKM nên conv({aj : j ∈ J}) ⊂⋃ {F (aj) : j ∈ J} với mọi tập con J khác rỗng của {0, 1, . . . , n}. Từ giả thiết F (x) là tập mở trong C với mọi x ∈ A, ta có thể viết F (x) = C ∩ T (x) với T (x) là tập mở trong X với mọi x ∈ A. Vì F (x) ⊂ T (x) với mọi x ∈ A nên từ conv({aj : j ∈ J}) ⊂ ⋃ {F (aj) : j ∈ J} ta có conv({aj : j ∈ J}) ⊂ ⋃ {T (aj) : j ∈ J}. Kết hợp với (1.3), ta có ΦA(conv({ej : j ∈ J})) ⊂ ⋃ {T (aj) : j ∈ J}. Suy ra conv({ej : j ∈ J}) ⊂ Φ−1A ( ⋃ {T (aj) : j ∈ J}) = ⋃ {Φ−1A (T (aj)) : j ∈ J}. (1.4) Đặt Tj = Φ−1A (T (aj)), j = 0, 1, . . . , n. Khi đó theo (1.4), với mọi tập con khác rỗng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta có conv({ej : j ∈ J}) ⊂ ⋃ {Tj : j ∈ J}. Vì ánh xạ ΦA : Δn −→ X là liên tục và các tập T (a0), T (a1), . . . , T (an) là mở trong X nên các tập Tj = Φ−1A (T (aj)), j = 0, 1, . . . , n là mở trong Δn. Khi đó, theo Bổ đề KKM cho các tập hợp mở (Định lý 1.1.4) n⋂ j=0 Tj = ∅. Nghĩa là n⋂ j=0 Φ−1A (T (aj)) = ∅. Lấy x ∈ n⋂ j=0 Φ−1A (T (aj)) thì x ∈ Δn và ΦA(x) ∈ n⋂ j=0 T (aj). Kết hợp với ΦA(x) ∈ C , ta suy ra ΦA(x) ∈ n⋂ j=0 (C ∩ T (aj)) hay 10 ΦA(x) ∈ n⋂ j=0 F (aj). Vậy n⋂ j=0 F (aj) = ∅. Vậy định lý Shih đ−ợc chứng minh. Bằng cách sử dụng định lý Shih, ta có thể chứng minh định lý điểm bất động Fan-Glicksberg (xem [35, trang 91]). Trong mục tiếp theo, ta sẽ chứng minh định lý điểm bất động Fan-Glicksberg bằng cách sử dụng bất đẳng thức Ky Fan và định lý Hahn-Banach. Ta nhắc lại một số khái niệm và Bổ đề sau: Định nghĩa 1.1.6. Cho X và Y là hai không gian tôpô và T : X −→ 2Y , khi đó •. T đ−ợc gọi là nửa liên tục trên tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi tập hợp G mở chứa T (x0), tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho T (x) ⊂ G với mọi x ∈ U . Nếu ánh xạ T nửa liên tục trên tại mọi x ∈ X thì T đ−ợc gọi là nửa liên tục trên. • T đ−ợc gọi là nửa liên tục d−ới tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi tập hợp G mở thỏa mãn G ∩ T (x0) = ∅, tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho G∩T (x) = ∅ với mọi x ∈ U . Nếu ánh xạ T nửa liên tục d−ới tại mọi x ∈ X thì T đ−ợc gọi là nửa liên tục d−ới. • T đ−ợc gọi là đóng nếu đồ thị Gr(T ) := {(x, y) ∈ X ì Y : y ∈ T (x)} của T là tập đóng trong X ì Y . Bổ đề 1.1.7. Cho X và Y là hai không gian tôpô Hausdorff và T : X −→ 2Y là ánh xạ đa trị. (i) Nếu X là compact và T là nửa liên tục trên với giá trị compact thì T (X) là compact. (ii) Nếu Y là compact và T là đóng thì T là nửa liên tục trên. (iii) Nếu T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị compact thì T là đóng. Chứng minh. (i) Giả sử G = {Gi : i ∈ I} là một phủ mở tuỳ ý của T (X). Khi đó với mọi x ∈ X thì G = {Gi : i ∈ I} cũng là một phủ mở của T (x). Vì T (x) là compact nên tồn tại Ax ∈ 〈I〉 để T (x) ⊂ ⋃ i∈Ax Gi, trong đó 〈I〉 là họ các tập con hữu hạn khác rỗng của I . Vì các tập Gi là mở với mọi i ∈ I nên ⋃ i∈Ax Gi cũng là tập mở. Do đó từ tính liên tục trên tại điểm x ∈ X của T và T (x) ⊂ ⋃ i∈Ax Gi, tồn tại lân cận mở Ux của x trong X sao cho 11 T (u) ⊂ ⋃ i∈Ax Gi với mọi u ∈ Ux. Vì X = ⋃ x∈X Ux và X là compact nên tồn tại các điểm x1, x2, . . . , xn ∈ X sao cho X = n⋃ i=1 Uxi. Ta chứng minh rằng T (X) ⊂ ⋃ {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ ã ã ã ∪ Axn}. Thật vậy lấy y ∈ T (X) tuỳ ý, vì T (X) = ⋃ x∈X T (x) nên tồn tại x ∈ X để cho y ∈ T (x). Vì x ∈ X và X = n⋃ i=1 Uxi nên tồn tại số nguyên d−ơng k không v−ợt quá n sao cho x ∈ Uxk . Do đó T (x) ⊂ ⋃